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南山中学高二下期数学期末热身考试
数学（参考答案）
一、单选题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A C D A D B
二、多选题：
题号 9 10 11
答案 BCD BD BCD
三、填空题：
12. x=1 13. 729(或36 ) 14.4049
四、解答题：
15.解（1）因为 ①，所以当 时， ②，
由① ②得到 ，整理得到 ，
又 ，所以 ，得到 ，…………………………………………… 4分
所以当 时， ，
当 ，满足 ，所以 . …………………………………………… 7分
（2）由（1）知 ，……………………… 9分
所以 ，…… 11分
因为 ，且 ，所以 是关于 的递增数列，由 恒成立，得到
，
所以实数 的最小值为 . …………………………………………… 13分
16.解：（1）模型内饰为米色的共有20个，所以 ，………… 2分
红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所 ， 4分
红色外观模型且内饰为米色的共有15个，
1所以 ， ，…………………………………… 6分
因为 ，所以 ， 不独立；…………………………………… 7分
（2）设事件 “取出的模型外观和内饰均为同色”，事件 “取出的模型外观和内饰
都异色”，事件 “仅外观或仅内饰同色”，
， …………………………………… 9分
， …………………………………… 11分
， …………………………… 13分
因为 ，
所以获得一等奖的概率为 ，二等奖的概率为 ，三等奖的概率为 ，
其分布列为 …………………………………… 14分
300
2000 1000
0
期望为 . …………………………… 15分
17.解:（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ， …………………………… 3分
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .…………… 5分
（2）解法一：因为 的定义域为 ，且 ，
2若 ，则 对任意 恒成立，
可知 在 上单调递增，无极值，不合题意； …………………………… 7分
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，……………… 9分
则 有极小值 ，无极大值，…………………………… 11分
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，……………………… 13分
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ； …………………………… 15分
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
3构建 ，
因为则 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 . (参考解法一：酌情给分)
18.解:（1）由题可知， 的所有可能取值为 ，且
， …………………………………… 2分
…………………………… 4分
…………………………… 6分
…………………………… 8分
的分布列为 …………………………… 9分
0 1 2 3
则 . …………………………… 10分
（2）设 “考生甲答对第 道试题”，
则 ， …………………………… 12分
4，
则 . …………………………… 14分
因为 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，即 ，
则 ，
即他第10道试题也答对的概率为 . …………………………… 17分
19.解：（1）
①若 ，当 时， ；当 时，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增…2分
②若 ，则 ，则 在 上单调递增 …………………… 3分
③若 ，当 时， ；当 时，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增…5分
综上所述：
①当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单
调递增；
②当 时，则 在 上单调递增；
③当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单
5调递增．
（2）当 时， ， ，切点
…………………………… 7分
切线斜率： ，故切线方程为：
联立得：
化简得：
因式分解得： ．
故 …………………………… 9分
上式亦满足由 作切线而得到的 的横坐标 ，故
，则 是以 为首项，以 为公比的等比数列
故 ，故 …………………………… 11分
（3）构造 ，
，故 在 上单调递减，故
故当 时， …………………………… 13分
故
则 ， ，……， … 15分
将上式累加，得
6故
故 …………………… 17分
7
