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清华附中初 20 级（2022.10）
一、选择题
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形
就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 关于 的一元二次方程 的根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】判断方程的根的情况，根据一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号即可得到结论．
【详解】解：∵Δ=b2-4ac= ＜0，
∴方程总没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3. 下列关于抛物线 的说法，正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 顶点坐标是C. 有最小值1 D. 对称轴是直线
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式解析式进行一一分析即可．
【详解】解：由抛物线解析式 可得，a＞0，
∴开口向上，A错误；
对称轴x=1，D错误；
顶点坐标为（1，1），B错误；
为
开口向上有最小值，当x=1时有最小值， 1，C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质和最值，通过二次函数顶点式的表达式得到相应的信息是关键．
4. 如图，将一个含30°角的直角三角板 绕点 旋转，使得点 ， ， 在同一条直线上，则旋转角
的度数是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】根据点B，A， ，在同一条直线上，可求得∠CA =180° ∠BAC=180° 30°=150°，利用旋转
的性质可得旋转角∠BA =∠CA ，即可求解．
【详解】解：∵点B，A， ，在同一条直线上，
∴∠BAC+∠CA =180°，
∴∠CA =180°-∠BAC=180° 30°=150°，∴旋转角∠BA =∠CA =150°，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转 的性质，邻补角，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5. 若 所在平面内有一点 ，点 到 上点的最大距离为8，最小距离为2，则 的直径为（
）
A. 6 B. 10 C. 6或10 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设⊙O的直径为d,
当点P在圆外时， ；
当点P在⊙O内时， ．
故选C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD BC，连接
DM、DN、MN．若AB＝4 ，则DN＝（ ）
A. 3 B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先证MN是△ABC的中位线，再证四边形NDCM为平行四边形，得出DN=CM，最后由直角三角
形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】解：∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN是 ABC的中位线，
△
∴MN= BC，MN BC，
∵CD= BC，
∴CD=MN，又∵MN BC，
∴四边形NDCM为平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
报名项目个数 0 1 2 3
人数 5 14 a b
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有
多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 中位数，众数 B. 平均数，方差
C. 平均数，众数 D. 众数，方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数、中位数和众数、方差的定义进行判断即可；
【详解】解：由题意可知报名2个项目和3个项目的一共有30-5-14=11(人)，
14>11，
∴无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，都少于报名1个项目的人数，
故众数为1不变,
共有30名学生则中位数为第15，16个数据的平均数，由于5+14=19>16，
故中位数为 ，
则无论报名2个项目和3个项目的学生各有多少人中位数不变，
综上所述不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A
【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8. 已知二次函数 ，点 是该函数图像上一点，当 时， ，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧 随 的增大而增大，当 时， ，可知点
在对称轴的左侧，可得 ，当 时 ，代入得 ，结合 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，对称轴为 ，开口向下，
在对称轴 的左侧 随 的增大而增大，
∵点 是该函数图像上一点，当 时， ，
又∵ ，
∴点 在 的左侧，即 ，
当 时 ，代入得 ，
解得 ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，判断出对称轴的位置是解题的关键．二、填空题
9. 一元二次方程 的根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解： ，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
10. 若二次函数 的图象上有两点 , 则 _____ .（填“>”，“=”或“<”）
【答案】<
【解析】
【分析】直接把点A和点B的坐标代入二次函数解析式，求出a和b，然后比较大小即可．
【详解】当x=0时，a=（0-1）2+3=4；
当x=-5时，b=（5-1）2+3=19，
所以a＜b．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
11. 函数 与 的图像如图所示，根据图像可知不等式 的解集是______．
【答案】【解析】
【分析】写出直线 在直线 上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图像可得：不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12. 如图， 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得
， ，则 等于______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据两直线平行，同旁内角互补，得出 的度数，然后再根据题意和图形旋转的性质，
得出 ，最后根据角的关系，即可得出 的度数．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 绕点 旋转到 的位置，
∴ ，∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，图形旋转的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质．
13. 某企业决定招聘广告策划人员一人，某应聘者三项素质测试的成绩（单位：分）如下：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
测试成绩 88 80 75
如果将创新能力、综合知识和语言表达三项素质测试成绩按 的比确定应聘者的最终成绩，则该应聘
者的最终成绩为 __分．
【答案】83
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可；
【详解】应聘者的最终成绩是： ；
故答案是83．
【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟练运用加权平均数的运算公式．
14. 如图，四边形 中， ， ，则 的度数为______．
【答案】36°##36度
【解析】
【分析】根据题意可得 三点在以 为圆心 为半径 的圆上，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ 三点在以 为圆心 为半径的圆上，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
15. 将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与 x轴有一个交
点得到 =0，由此求得a的值．
【详解△】抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣2+a，
∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，
∴△=4-4（-1+a）=0，
解得a=2
故答案为2．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，
故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐
标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16. 如图，某建筑公司有 ， ， 三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为 吨，
吨， 吨，有 ， 两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于 吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数
x运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有 吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且
，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原
料库安排一辆装有 吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥， ， ，
则总的“吨千米数”最小为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】通过计算，比较MA+AC与NA+AC的大小即可得出结论；按向三个工地运送水泥的顺序的路线分
别计算总的“吨千米数”后，比较大小即可得出结论．
【详解】解：∵MA=2，NA=2 ，AC=4，
∴MA+AC＜NA+AC
∴若公司安排一辆装有（a+c）吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a＞c，为使总的“吨千
米数”最小，则应从M料库装运，
故答案为：M；
∵A（1，3），B（3，3），C（5，3），N（3，1），
∴NA=NC=2 ，NB=AB=BC=2，
∵ ， ， 则a=3c，b=2c．
当按N-A-B-C运输时，总的“吨千米数”为：2 ×6c+2×3c+2c=（8+12 ）c≈24.97c；
当按N-B-A-C线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4c=24c；当按N-B-C-A线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4×3c=32c，
∵24c＜24.97c＜32c，
∴当按N-B-A-C线路运输时，总的“吨千米数”最小为 ．
故答案为：240．
【点睛】本题主要考查了方案的优选，勾股定理，利用图形经过计算得出结论是解题的关键．
三、解答题
17. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】利用配方法得到 ，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解： ，
，
，
，
，
， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程 配方法．
18. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）根据题意，利用判别式 即可求解．
（2）利用因式分解变形得 ，可得方程的解，再根据方程有一个
根小于0即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，得：
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：
解得 ， ，
∵方程有一个根小于0，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根据根的情况求参数问题，熟练掌握一元二次方程根的判别
式是解题的关键．用因式分解法解含在参数的一元二次方程是本题的难点．
19. 如图， 是线段 上一点，在线段 的同侧作正方形 和正方形 ，连接 ， ．
求证： ．
【答案】见解析
【解析】【分析】根据正方形的性质得 ，证明 即可得证．
【详解】证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ （SAS）．
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关
键．
20. 一次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点 ．
（1）当 时，求一次函数的解析式及点 的坐标；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）y= x+ ，点A的坐标为(-4，0)
（2）
【解析】
【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求
出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：∵m=2，
∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，
解得k= ；
∴一次函数表达式为y= x+ ，当y=0时， x+ =0，
解得x=-4
∵一次函数y= x+ 的图像与x轴交于点A，
∴点A的坐标为(-4，0)．
【小问2详解】
解：如图，y=kx+4k (k≠0)过定点 ，
∵当 时， ，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数y=kx+4k (k≠0)的值，
∴ ， ，
解得k≤− ．
∴k≤− ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．
21. 已知：如图，线段 与经过点 的直线 ．求作：在直线 上求作点 ，使 ．
作法：
①分别以点B，C为圆心， 长为半径画弧，两弧交于 上方的点 ，连接 ， ；
②以点 为圆心，以 长为半径画圆交直线 于点 （不同于点 ），连接 ．则点 即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵分别以点B，C为圆心， 长为半烃画弧，两弧交于 上方的点 ．
∴
∴ 为等边三角形．
∴ ．
在 中，在优弧 上任取点 ，连接 ， ．
∴ ．（_________________________）（填推理依据）
∵点B，D，C，E在 上．
∴ ．（_________________________）（填推理依据）
即 ．
【答案】（1）见解析 （2）圆周角定理；圆内接四边形对角互补
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可求解；
（2）根据圆周角定理，以及圆内接四边形对角互补，即可求解．
【小问1详解】
解；如图所示，【小问2详解】
证明：∵分别以点B，C为圆心， 长为半烃画弧，两弧交于 上方的点 ．
∴
∴ 为等边三角形．
∴ ．
在 中，在优弧 上任取点 ，连接 ， ．
∴ （圆周角定理）
∵点B，D，C，E在 上．
∴ ．（圆内接四边形对角互补）
即 ．
故答案为：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解
题的关键．
22. 如图，矩形 的对角线相交于点 ， ， ，连接 ．（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据 ， ，可得四边形 是平行四边形，根据四边形 是矩
形可得 ，即可得证；
（2）根据题意求得 ，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得 ，继而求得
，连接 ，根据菱形的性质与矩形的性质可得 ，可得 ．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运
用以上知识是解题的关键．
23. 如图，在长为30m、宽20m的矩形空地上，修建两条同样宽的道路，余下的部分作为草坪，若草坪面
积551m2，求道路的宽度是多少m？【答案】道路的宽度为1m．
【解析】
【分析】假设出路宽x米，利用图形的平移法，将两条道路平移到路的两边，即可列出方程，进一步求出
x的值即可．
【详解】解：假设道路的宽度x米，即可列出方程：
（20-x）（30-x）=551，
整理得： ，
解得： （不合题意舍去），
答：道路的宽度为1m．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是平移道路进而列出等式方程从而解决问
题．
24. 如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 ，直径 是河底线，弦 是水位线， ，
米， 于点 ，此时测得 ．
（1）求 的长：
（2）如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
【答案】（1） 米
（2）经过5小时桥洞会刚刚被灌满
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据垂径定理可得 ，勾股定理求得 ，进而求得 ；
（2）延长 交 于点 ，由（1）求得 ，进而求得 ，根据题意即可求解．
【
小问1详解】
解：如图，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
∴ ，
∵直径 是河底线， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ 米，
【小问2详解】
如图，延长 交 于点 ，
由（1）可得 ，∴
∵水位以0.4米小时的速度上升，
∴ （小时），
即经过5小时桥洞会刚刚被灌满．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
25. 广场俢建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与
池中心的水平距离为 米，距地面的高度为 米．测量得到如表数值：
0 1 2 3 4 4.4
米
2.5 3.3 3.3 2.5 0.9 0
米
小庆根据学习函数的经验，发现 是 的函数，并对 随 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆
的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数的图像；
（2）结合函数图像，出水口距地面的高度为______米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______
米；
（3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水
管高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口至少需要 （填“升高”或“降低”）______米
（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1）见解析 （2）2.5，1.5
（3）降低，1.8
【解析】
【分析】(1)根据对应点描点、连线，即可画出图象即可；
(2)由图象可知：出水口距地面的高度为2.5米，设y与x的关系式为 ，根据对应点求出y与x的关系式，可得顶点坐标，据此即可得到答案；
(3)把x=3.5代入关系式得到y的值，可得出水口要降低的高度．
【小问1详解】
解：描点、连线，作图如下：
【小问2详解】
解：由图象可知：出水口距地面的高度为2.5米，
设y与x的关系式为 ，
把点 、 、 代入解析式，得
解得
故y与x的关系式为 ，
故顶点坐标为 ，
故水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.5米；
故答案为：2.5，1.5；
【小问3详解】
解： 圆形喷水池半径为5米，水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，
x的最大值为5-1.5=3.5(米)，
当x=3.5时， ，
所以，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，估计出水口至少需要降低1.8米．
故答案为：降低，1.8．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象及求出关系式是解题关键．
26. 已知抛物线 过点 和点 ．
（1）抛物线的顶点坐标为______（用含 的式子表示）；
（2）若抛物线过点 （其中 ），请用含 的式子表示 ；
（3）在（2）的基础上，若 ，直接写出 和 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据解析式化为顶点式即可求解；
（2）根据抛物线的对称性，即可求得点 ，
（3）根据对称性以及 ，可知 在 右侧，即可得 ，结合（2）的结论即可求解．
【小问1详解】
解： ，
∴顶点坐标为 ，
故答案为： ，
【小问2详解】
∵抛物线 过点 和点 ，
对称轴为 ，
抛物线过点 （其中 ），
∴ ，∴ ，
【小问3详解】
如图，
∵抛物线过点 ，（其中 ），抛物线过点 和点 ，
对称轴为 ，
又∵ ，
∴ 点在 的右侧， 点左侧，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，化为顶点式，二次函数图象的对称性，掌握二次函数的性质是解题的
关键．
27. 在 中， ， ，点 是 延长线上一点（ ），连接 ，
将线段 绕点 顺时针旋转60°，得到线段 ，连接 ．（1）依题意，补全图形；
（2）若 ，求 的长．
（3）延长 交 于 ，用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）答案见解析
（2）2 （3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）按照题意进行画图即可；
（2）根据已知条件得到 ， ，然后得到 ≌ ，从而求出
；
（3）作 关于 所在直线的对称图形 ,并作点 关于 所在直线的对称点为点 ,连接
, ,由题意可证得 、 是等边三角形，利用等边三角形的性质以及等量代换可证得
≌ 、 ≌ ，最后得到 ．
【小问1详解】
解：如图所示，【小问2详解】
解：如图所示，在 中,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中,
,
∴ ≌ ,
则 ．
【小问3详解】解： ，理由如下，
如图所示，作 关于 所在直线的对称图形 ,并作点 关于 所在直线的对称点为点 ,
连接 , ,
∵ ,
∴ 是等边三角形, , ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∵ ，
∴ ,
在 和 中，
,
∴ ≌ ，
∴ , ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中，,
∴ ≌ ，
∴ ,
∵ ,
∴ ．
【点睛】本题考查了图形旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、特殊角三角函
数等知识，牢固掌握全等三角形的判定与性质，采用等量代换的方法是解题关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 和点 ，给出如下定义：若在直线 上存在点 ，使得四
边形 为平行四边形，则称点 为线段 的“关联点”．已知 ， ；
（1）在 ， ， ， 中，线段 的“关联点”是______；
（2）若点 在第二象限且点 是线段 的“关联点”，求线段 长度 的取值范围：
（3）已知正方形 边长为1，以 为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点 ， 在线段
上（ 在 的下方）．若正方形 上的任意一点都存在线段 ，使得该点为线段 的“关联
点”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据定义以及平行四边形 的性质；
（2）根据（1）可知点 在直线 上，进而即可求解；
（3）根据定义，可知正方形在直线 与 之间运动时，除开正方形与线段 有交点的部
分，则正方形 上的任意一点都存在线段 ，使得该点为线段 的“关联点”，根据正方形的
性质求得点 的坐标，分别代入直线解析式即可求解．
【小问1详解】
解：如图，∵ ，
设直线 的解析式为
解得
∴直线 的解析式为
在 ， ， ， 中， 在直线 上，不符合定义，
如图，当 点平移到 ， 点平移到 ，则 ，四边形 是平行四边形，
∵ ， ，向左平移4个单位，再向下平移1个单位，
将点 向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到 ，则点 在 上，同理可得 在 上， 不在 上，
综上所述，线段 的“关联点”是
故答案为：
【小问2详解】
由（1）可知，线段 的“关联点”在直线 上，
设直线 的解析式为
解得
∴直线 的解析式为
设直线 与坐标轴交于 点，如图，
令 ，得 ，
令 ，得∵点 在第二象限且点 是线段 的“关联点”，
∴ 在线段 上，不包括端点，
设 到 的距离为 ，则
∴
【小问3详解】
依题意，正方形在直线 与 之间运动时，正方形 上的任意一点都存在线段 ，
使得该点为线段 的“关联点”， ∵ ，正方形 边长为1，
∴ ， ， ，
如图，当点 位于 上时，此时
解得如图，当点 在 上时，
解得 ，
根据（1）中，当 与 共线时，不符合定义，
∴当正方形的与 有交点时，不符合题意，
①当 在直线 上时， ，
∵直线 的解析式为
∴
解得：②当 在直线 上时， ，
∵直线 的解析式为
∴
解得：
结合图形可知：当正方形 上的任意一点都存在线段 ，使得该点为线段 的“关联点”，
或 ．
【点睛】本题考查了几何新定义，平行四边形的性质，正方形的性质，点的平移，待定系数法求解析式，
一次函数与几何图形综合，理解新定义是解题的关键．
