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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 北京清华附中初三（上）开学考数学
一、选择题
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法
是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，直线 相交于O，若 ， 平分 ，则 度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题
意可求得 ，根据角平分线的定义可得 ，即可求得
结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
3. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如下图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上点对应数的符号、有理数乘法的符号法则及绝对值的意义求解 ．
【详解】解：由图可知：a>2，所以-a<-2，而b>-2，所以b>-a，A错误；
由图可知，a>0，b<0，所以ab<0，-b>0，2a>0， ，所以B、D错误；
由图可知，|a|>2，|b|<2，所以|a|>|b|，C正确；
故选C．
【点睛】本题考查数轴的应用，熟练掌握有理数乘法的符号法则及绝对值的意义是解题关键．
4. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. －1
【答案】C
【解析】
【分析】根据该方程有两个相等的实数根，得 ，代入数值化简计算，即可作答．本题考查
了根据一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵ 有两个相等的实数根，
∴
解得
故选：C．
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5. 某校组织全体学生进行义卖活动，从中抽取部分学生义卖所得金额制成分布直方图，如图所示，那么金
额在 元的人数占的百分比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图可知，金额在 元的人数是 人，除以
即可，熟练掌握频数分布直方图，频率的计算，是解决问题的关键．
【详解】解：根据统计图可知抽取学生人数为 （人），
∴金额在 元的人数占的百分比是 ，
故选： ．
6. 某健康成年人心脏每分钟约跳 次，每分钟流过的血液量约为 ，则 分钟该成年人心脏流过
的血液量用科学记数法表示约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法．
根据科学记数法的定义即可得解．
【详解】解： 每分钟流过的血液量约为 ，
分钟该成年人心脏流过的血液量为 ．
故选： ．
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7. 下面是“作 的角平分线”的尺规作图方法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线 于点C、D．
（2）分别以点C、D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点M．
（3）作射线 ． 就是 的平分线．
上述方法通过判定 得到 ，其中判定 的依据是
（ ）
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 三边分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图得到 ，再根据 ，得到
，即可．
【详解】解：由作图过程可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴判定 的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
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故选：D．
二、填空题
8. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 0进行
求解即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
10. 方程 解的为______．
【答案】
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，再进行求解，最后检验即可．
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【详解】解：依题意知，方程左右两边同时乘以最小公分母 ，
可得： ，
解得 ，
检验，把 代入 得： ，
∴ 为原分式方程的解．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解分式方程，难度较易，主要考查学生对分式方程求解的掌握，易错：忘记检验．
11. 一个正比例函数的图象过点 ，则 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，设出解析式形式，代点即可求出关系式，再把
代入即可求解．
【详解】解：设正比例函数的解析式为： ，
将点 代入解析式可得： ，
解得： ，
正比例函数的解析式为： ，
把 代入得：
，
解得： ．
故答案为：2．
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12. 某商场为了解顾客对某一款式围巾的不同花色的需求情况，调查了某段时间内销售该款式的30条围巾
的花色，数据如下：
花色 A B C D E F G H
销售量/条 2 2 4 5 3 9 1 4
若商场准备再购进200条同款式围巾，估计购进花色最多的围巾数量为________条．
【答案】60
【解析】
【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，
这时对总体的估计也就越精确．
总数量乘以 花色数量所占比例即可．
【详解】解：估计购进花色最多的围巾数量为 （条 ，
故答案为：60．
13. 如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点H，连接 ，若
， ，则菱形 的面积为______．
【答案】96
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握菱形面积等于对角线乘
积的一半是解题关键．由菱形的性质可知 ， 是 的中点，进而得到 ，即可求出菱形
的面积．
【详解】解： 四边形 是菱形， ，
， 是 的中点，
在 中， ，
，
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菱形 的面积为 ，
故答案为：96．
14. 如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点 ， ， ，可得 ，则边 上的
高为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得 ，然后根据三角形的面积和正方形
的面积，求得 ，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
，
∴边 上的高为 ，
故答案为： ．
15. 综合实践课上，老师带领学生制作甲，乙两个航天器模型，已知每个模型制作完成共需打磨、组装、
上色三道工序，制作要求如下：①两个航天器模型分别按照打磨、组装、上色的顺序依次由 ， ， 三
名学生完成；②同一个学生不能同时给两个模型进行相同的工序；③两个航天器模型每道工序所需时间如
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表所示：
工序
时间 打磨（A） 组装（B） 上色（C）
模型
模型
分钟 分钟 10分钟
甲
模型
7分钟 12分钟 9分钟
乙
在不考虑其它因素的前提下，
（1）若只完成模型甲的制作，需要时间___分钟；
（2）若这两个模型都制作完成，所需的最短时间为___分钟．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了推理与有理数加法运算；
（1）根据表格数据，结合题意，即可求解；
（2）根据表格数据，旋转所需的最短时间的方案，求最短时间，即可求解．
【详解】解：（1） （分钟）；
故答案为： ；
（2）① 先打磨乙模型用时 分钟，
② 打磨甲模型与 组装乙模型同时进行，用时 分钟，（ 完成， 再有 分钟完成），
（分钟），
③ 组装甲模型与 上色乙模型同时进行， 分钟都完成，
④ 上色甲模型，10分钟完成，
这两个模型都制作完成，所需的最短时间为： （分钟）．
故答案为： ．
三.解答题
16. 计算： ．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，零指数幂和负整数指数幂，根据 ， ，二
次根式的加减运算求解即可．
【详解】
．
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大
中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ．
18. 如果 ，求解代数式 的值．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．先算括号里，再算括号外，然后
把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
，
，
原式 ．
19. 如图，在 中，AE BC于点E，延长BC至点F，点使 ，连接AF、DE、DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若 ， ，DE=8，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
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【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明 ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【详解】解△答：
(1)证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC.
即 EF=BC.
∵在 ABCD中,AD∥BC且AD=BC，
∴AD▱∥EF且AD=EF.
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90 .
∴四边形AE∘FD是矩形；
(2)∵四边形AEFD 是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8.
∵AB=6，BF=10，
∴ .
∴∠BAF=90°.
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积= ABAF= BFAE.
⋅ ⋅
∴ .
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识，解题关键是熟练掌握这些知识的应用.
20. 列二元一次方程组解应用题：
快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．
某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；
若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元．求快递员小李平均每
送一件和平均每揽一件的提成各是多少元．
【答案】快递员小李平均每送一件的提成是1.5元，平均每揽一件的提成是2元
【解析】
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【分析】设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是x元，y元，然后根据若平均每天的送件
数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120
件和25件，则他平均每天的提成是230元列出方程组求解即可．
【详解】解：设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是x元，y元，
由题意得： ，
解得 ，
∴快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元，2元，
答：快递员小李平均每送一件的提成是1.5元，平均每揽一件的提成是2元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ， ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数： 的值小于函数 的值，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 的取值范围为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当 时， ，然后结合题意，得不等式，即可求出 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，
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解得： ，
∴这个一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
根据题意得：当 时， ，
解得： ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数： 的值小于函数 的值，
∴ 的取值范围为 ．
22. 某校要派两个代表队去参加区健美操大赛，每个队有8名同学，现统计了她们的身高（单位：cm），
数据整理如下：
a．
甲 16
163 166 167 169 171 172 174
队 9
乙 16
163 165 166 171 171 173 178
队 9
b．每队8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
班
平均数 中位数 众数
级
甲
168.875 169 169
队
乙
169.5 m n
队
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）如果某队选手的身高的方差越小，则认为该队选手的身高比较整齐．据此推断，在甲队和乙队的选
手中，身高比较整齐的是 队（填“甲”或“乙”）；
（3）甲队的6位首发选手的身高分别为166，167，169，169，171，172．如果乙队已经选出5位首发选
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手，身高分别为166，169，171，171，173，要使得乙队6位选手的平均身高不低于甲队6位首发选手的
平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是 cm．
【答案】（1）
（2）甲 （3）165
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；
（2）根据方差的概念，即可作答；
（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位选手的身高取值范围；接着根据题意，从方
差的概念入手，确定第六位选手的身高．
【小问1详解】
解：乙队数据从小到大排列为163、165、166、169、171、171、173、178，
从中可以看出一共八个数，第四个数据为 169、第五个数据为 171，所以这组数据的中位数为：
，故 ；
其中171出现的次数最多，所以这组数的众数为171，故 ；
【小问2详解】
解：根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦
然．
甲队的身高分布于 ，乙队的身高分布于 ，
从中可以看出，甲队的数据较乙队的数据波动较小，更加稳定，所以甲队的选手身高比较整齐，
故答案为：甲；
【小问3详解】
解： （厘米），
设乙队第六位选手的身高为x厘米，则 ，
解得 ，
据此，第六位可选的人员身高为165，
若为165时，乙班的身高数据分布于 ，若为178时，乙班的身高数据分布于 ，
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从中可以看出当身高为165时的数据波动更小，更加稳定，
所以第六位选手的身高应该是165厘米，
故答案为：165．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记相关概念是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线 顶点A的横坐标是 ，且与y轴交于点
，点P为抛物线上一点．
求抛物线的表达式；
若将抛物线 向下平移4个单位，点P平移后的对应点为 如果 ，求点Q的
坐标．
【答案】 为 ； 点Q的坐标为 或 ．
【解析】
【分析】 依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点B的坐标代入线 可求得c的
值,即可求得抛物线的表达式； 由平移后抛物线的顶点在 x轴上可求得平移的方向和距离，故此
，然后由点 ， 轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的
纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．
【详解】 抛物线 顶点A的横坐标是 ，
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，即 ，解得 ．
．
将 代入得： ，
抛物线的解析式为 ．
抛物线向下平移了4个单位．
平移后抛物线的解析式为 ， ．
，
点O在PQ的垂直平分线上．
又 轴，
点Q与点P关于x轴对称．
点Q的纵坐标为−2．
将 代入 得： ，解得： 或 ．
点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查 的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、
二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是
解题的关键．
24. 依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别．
A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指 身高以下的
儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于
．
B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接
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接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于 ，但必须低于 ．
C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或
者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量
高于 ，但必须低于 ．
为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位： ）与浸泡时长
（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样
品中P的含量．所得数据如下：
浸泡时长 甲类衣物中P的含量（ 乙类衣物中P的含量（
（h）
） ）
0 79 80
2 32 37
4 25 31
6 21 29
8 18 28
10 17 27
12 16 27
（1）设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为 ， ，在平面直角坐标系 中，描出表中
各组数值所对应的点 ， ，并画出 ， 的图象；
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（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为 时，甲，乙两类衣物中P的含量的
差约为_________ （精确到1）：
（3）若浸泡时长不超过 ，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或
“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）甲；
【解析】
【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息：
（1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过 ，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可
能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求
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【小问2详解】
解：由函数图象可知：当浸泡时长为 时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过 时，乙含P的最低量大于20，甲的最低含
量可以小于20，
∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为甲，
观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡 ，
故答案为：甲； ．
25. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）求抛物线与y轴的交点坐标以及t与m满足的等量关系；
（2）若点 在该抛物线上且 ，求m的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解不等式组：
（1） 中，令 ，则 ，可得与y轴交点坐标；根据 ， 两点关
于抛物线 的对称轴 对称，可得t与m满足的等量关系；
（2）将 和 代入 ，用含m的式子表示出a和b，再根
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据 列不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解： 中，令 ，则 ，
∴抛物线与y轴交点为 ．
∵ ，
∴ ， 两点关于抛物线 的对称轴 对称，
∴ ，
∴ ．
故t与m满足的等量关系为： ．
【小问2详解】
解：由（1）知： ，
∴ ，
将点 代入 得：
．
再把点 代入 得：
．
∵ ，
∴ ．
解得： ，
∴ 或 ．
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故m的取值范围为： 或 ．
26. 如图，在 中， 是 中点，将线段AB绕点 顺时针旋转 得到 ，将线段 绕点 逆
时针旋转 得到 ，且 ，连接 ．
（1）按题意补全图形，求证： ．
（2）若 ，设 与AB交于点 ，且点 为线段 的中点，连接 、CF．
直接写出 的度数 ；
延长 、 交于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2） ； ，理由见解析．
【解析】
【分析】 首先延长AD到 ，使 ，连接 ，则 ，利用 可证
，根据全等三角形的性质可证 ，利用 可证 ，
根据全等三角形的性质可证结论成立；
由 可知 ， ，利用 证明 ，根据全等三角形
的性质可证 ，
，所以可证 是等边三角形，根据等边三角形的性质可知 的度数；
的
由 可 知 是 等 边 三 角 形 ， 根 据 等 边 三 角 形 性 质 可 得 ， 根 据
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、 ，把 、 、 用含 的式子表示出来，
然后再利用四边形内角和定理求出 的度数，再利用含30°角的直角三角形的性质得到线段 与
的数量关系．
【小问1详解】
证明：补全图形如图所示，
延长AD到 ，使 ，连接 ，则 ，
是 中点，
，
在 和 中， ，
，
， ，
根据旋转的性质可得： ， ，
，
，
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，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
；
【小问2详解】
解： 由 可知 ， ，
是 中点，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
是等边三角形，
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，
故答案为：60°；
，理由如下，
由 可知 是等边三角形，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
为直角三角形，
．
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【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的
性质、四边形的内角和定理．解决本题的关键是利用倍长中线法作辅助线构造全等三角形，再利用全等三
角形的性质找边和角之间的关系．
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