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2022-2023 学年北京二十中八年级（上）月考数学试卷（10 月份）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项
符合题意）
1. 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A. B.
C D.
.
【答案】A
【解析】
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
A选项是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
2. 一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）
×180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选B．3. 下列条件，可以确定 ABC是直角三角形的是（ ）
A. ∠A+∠B+∠C＝180°△ B. ∠A+∠B＝∠C
C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A＝∠B＝2∠C
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的定义“有一个角为 的三角形，叫做直角三角形”逐项分析即可.
【详解】A. ，三个角的度数不确定，此项不符合题意
B. ，根据三角形内角和定理可得 ，此项符合题意
C. ，则 是等边三角形，此项不符合题意
D. ，根据三角形内角和定理可得 则 是等腰三角形，此
项不符合题意
故选：B.
【点睛】本题考查了直角三角形的定义，熟记定义是解题关键.
4. 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块
带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第___________块去，这利用了三角形全等中的
___________原理（ ）
A. 1；SAS B. 2；AAS C. 3；SSS D. 4；ASA
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判断方法解答．
【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：4；ASA．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
【答案】D
【解析】
【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌ DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌ DCB△，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△△ABC≌ DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌ DCB，故此选项符△合题意．
故选D． △
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（
）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得
DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB=8，CD=2，
的
∵AD是∠BAC 角平分线,
∴DE=CD=2，∴△ABD的面积
故选B.
【点睛】考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键.
7. 如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（
）
A. 120° B. 70° C. 60° D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角互补可得∠AEB=60°，再根据全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB=60°，
∠C=∠B=50°，再利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】∵∠AEC=120°，
∴∠AEB=60°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，
∴∠DAC=180°−50°−60°=70°，
故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质定理以及三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等，是解
题的关键．
的
8. 如图，坐标平面上，△ABC≌△DEF，其中A、B、C 对应顶点分别为D，E，F，且AB=BC=5．若
A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点的纵坐标都是﹣3，D、E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为
（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P，
∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
在△AKC和△CHA中，
，
∴△AKC≌△CHA（AAS），
∴KC=HA，
∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），
∴AH=4，
∴KC=4，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AC=DF，
在△AKC和△DPF中，
∴△AKC≌△DPF（AAS），
∴KC=PF=4．
故选C．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 正五边形的每一个内角都等于___．
【答案】108°
【解析】
【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可；
【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°；
故答案为：108°．
10. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 _____．
【答案】15
【解析】
【分析】分3为腰长，6为腰长结合三角形三边的关系进行求解即可
【详解】解：当腰为3时， ，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时， ，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长 ．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
11. 如图，∠E=∠F，AE=AF，要使△ABE≌△ACF，还需添加一个条件是 ___________（填上你认为适当的
一个条件即可）.
【答案】∠B=∠C或BE=CF或∠BAE=∠CAF(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答．
【详解】解： 在△ABE与△ACF中，∠E=∠F，AE=AF，要使△ABE≌△ACF，还需添加一个条件 是∠B=∠C(AAS)或BE=CF(SAS)或∠BAE=∠CAF(ASA)，
故答案为：∠B=∠C或BE=CF或∠BAE=∠CAF(答案不唯一) ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键．
12. 如图，在 ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD的中点，点F是 的中点，且 ，
△
则 等于___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：∵点E是AD的中点，
∴ ， ，
∴ ( )，
∵点F是CE的中点，
∴ ( )．
故答案为：3 ．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理
为等底同高的三角形的面积相等．
13. 如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____．【答案】70°
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得 ∠DAC+ ∠ACF=
（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【详解】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF；
又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴ ∠DAC+ ∠ACF= （∠B+∠2）+ （∠B+∠1）= （∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），
∴∠AEC=180°﹣（ ∠DAC+ ∠ACF）=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应
用角平分线的性质是解题关键．
14. 如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在AB
边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长＝____．
【答案】7
【解析】
【分析】根据折叠的性质，可得BE=BC=6，CD=DE，从而AE=AB-BE=2，再由△AED的周长＝AD+DE+AE，即可求解．
【详解】解：∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在AB边上的点E处，
∴BE=BC=6，CD=DE，
∵AB＝8，
∴AE=AB-BE=2，
∴△AED的周长＝AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+DE=5+2=7．
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．
15. 如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，
则图③中的∠1=______°．
【答案】105
【解析】
【分析】利用三角形外角性质求解．
【详解】如图，∵∠2= ，∠3= ，
∴∠4=∠2+∠3= ，
∴∠1= ，
故答案为：105．
．
【点睛】此题考查三角板的角度计算，三角形外角的性质，观察图形掌握各角度之间的位置关系是解题的
关键．
16. 如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出
发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当点Q的运动速度为 ___________时，能够使 BPE与 CQP全等．
△ △
【答案】2或3.5cm/s
【解析】
【分析】分两种情况：①当EB=PC时， BPE △CQP，②当BP=CP时， BEP △CQP，进而求出即可．
【详解】解：设运动的为ts，分两种情况△： △
①当EB=PC，BP=QC时， BPE △CQP，
∵AB=20cm，AE=6cm， △
∴EB=14cm，
∴PC=14cm，
∵BC=16cm，
∴BP=2cm，
∴QC=2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t=2÷2=1（s），
∴点Q的运动速度为2÷1=2(cm/s)；
②当BP=CP，BE=QC=14cm时， BEP △CQP，
由题意得：2t=16-2t， △
解得：t=4（s），
∴点Q的运动速度为14÷4=3.5(cm/s)；
综上，点Q的运动速度为2或3.5cm/s；
故答案为：2或3.5 cm/s．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质．
三、解答题（17题-20题，每题8分，21题-22题，每题10分，共52分）
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．
（1）利用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到AB、BC的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在网格中，△ABC的下方，直接画出△EBC，使△EBC与△ABC全等．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】（1）作∠ABC的平分线即可；
（2）利用翻折变换，或构造平行四边形可得结论．
【详解】解：（1）如图点D即为所求；
（2）△EBC或△E′BC即为所求；
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18. 如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得 ，
， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ，根据 “ ”即可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得 ，则 ，然后根据 即可求解．【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性
质是解题的关键．
19. 如图，AD是 ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC．若∠B=42°，∠C=70°，求∠DAE和∠AEC的度
数． △【答案】∠AEC=76°，∠DAE=14°．
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE= ∠BAC=34°，根
据三角形的外角性质求出∠AEC，根据直角三角形的性质求出∠DAE．
【详解】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=42°，∠C=70°，
∴∠BAC=68°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC=34°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=76°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=90°-∠AEC=14°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的
关键．
20. 在三角形 中， 为 的中点， ， ，垂足分别是 ， ， ．求
证：点 在 的平分线上．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接 ，先证明 ，得到 ，再根据角平分线的判定定理证明结论．
【详解】证明：如图，连接 ．
， ，
，
∵ 为 的中点，
∴ ,
在 和 中，
，
∴ ，
，
∵ ， ，
平分 ，
即点 在 的平分线上．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，证明 ，熟
知角平分线的判定定理是解题关键．
21. 如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．
（1）请写出与AB+AD相等的线段：___________；（2）证明你的结论．
【答案】（1）AC或BE
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）AB+AD=AC．
（2）利用等角的余角相等，证明∠DCA=∠E，根据AAS证明 即可得到结论．
【小问1详解】
解：AB+AD=AC=BE．
故答案为：AC或BE．
【小问2详解】
证明：∵∠DCE=90°，BE⊥AC于B，
∴∠DCA+∠ECB=90°，∠E+∠ECB=90°，
∴∠DCA=∠E，
在 ADC和 BCE中， ，
∴ (AAS)，
∴AD=BC，AC=BE，
∴AB+AD= AB+ BC=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用等角的余角相等得到∠DCA=∠E是解题的关键．
22. 某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放
置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC与BE的位置关系．
【答案】（1） ，证明见解答过程；（2） ，证明见解答过程．
【解析】
【分析】（1）利用SAS定理证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，根据垂直的定义证明结论．
【小问1详解】
解： ．
理由如下：
∵ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中
，
∴ ；
【小问2详解】
解： ．
理由如下：
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和
性质定理是解题的关键．
23. 阅读理解和问题解决（1）如图1，在 ABC中，若AB=10，AC=6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下
方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE．此时构造出一对全等的三角形为：___________
___________，全等的依据为 ___________，于是可推得AD=___________，AC=___________，这样就把
AB，AC，2AD集中在 ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是 ___________；
（2）如图2，在 ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，请你参考问△题（1）的解答思路求证：BE+CF>EF．
【答案】（1） ADC； EDB；SAS； AE；AC=6；2＜AD＜8
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明 ADC EDB，从而可得到AC=BE，然后在 ABE中，依据三角形的三边关系进
行证明即可；
（2）延长FD到G使DF=DG，连接BG、EF、EG．先证明 CDF BDG，从而可得到CF=BG，则
CF+BE=BG+BE，依据依据垂直平分线的性质证明EF=EG，最后，再利用三角形的三边关系进行证明即可．
【小问1详解】
解：在 ADC和 EDB中，
，
∴ ADC EDB(SAS)．
∴AC=BE=6．
在 ABE中，AD= AE，即AE=2AD，
△
依据三角形的三边关系可知：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴4＜2AD＜16，∴2＜AD＜8．
故答案为： ADC； EDB；SAS； AE；AC=6；2＜AD＜8；
【小问2详解】
如下图所示：延长FD到G使DF=DG，连接BG、EF、EG．
在 CDF和 BDG中，
，
∴ CDF BDG．
∴CF=BG．
∴CF+BE=BG+BE．
∵ED⊥DF，DF=DG，
∴ED为DG的垂直平分线，
∴EF=EG．
∵BE+BG＞GE，
∴BE+BG＞EF，
∴BE+FC＞EF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形
的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
24. 如图，将一个含45°角的三角尺的直角顶点放在点M（8，8）处，三角尺的两边分别交x轴、y轴的正
半轴于A，B两点．（1）求OA+OB的值；
（2）把三角尺绕点M旋转，在旋转的过程中保持AP平分∠OAB，AP交OM于P，PN⊥x轴于N．下列两
个结论：
① 的值不变；
②PN+AB的值不变，
其中只有一个正确，请选择正确的结论，直接写出其值．
【答案】（1）OA+OB=16；
（2） 的值不会发生变化，值为8．
【解析】
【分析】（1）作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，根据M的坐标得出ME=MF=OE=OF=8，再证明 AME
BMF，推出AE=BF，求出OA+OB=OF+OE，即可得出答案； △
△
（2）过P作PQ⊥ME于Q，延长PQ到R，使QR=PQ，连接MR，求出AB=PR，求出 =OE，
即可得出答案．
【小问1详解】
解：作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，
∵M（8，8），
∴ME=MF=OE=OF=8，∵∠AMF+∠AME=∠AMF+∠BMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中， ，
∴△AME △BMF（ASA），
∴AE=BF，
∴OA+OB=OA+OF+BF=OA+OF+AE=OE+OF=16；
【小问2详解】
解： 的值不会发生变化，
理由如下：过P作PQ⊥ME于Q，延长PQ到R，使QR=PQ，连接MR，
∵△AEM △BFM，
∴MB=MA，
∵∠AMB=90°，
∴∠MBA=∠MAB=45°，
∵M（8，8），
∴ME=MF=OE=OF=8，
∴△OEM和△OFM都是等腰直角三角形，
∴∠MOA=∠MOB=45°，
∴ON=PN，
∵AP平分∠BAO，∠BOA=90°，
∴∠BAP=∠PAO，
∴∠MOA+∠PAO=∠MAB+∠BAP，
即∠MAP=∠MPA，
∴MP=MA，
∵∠MOE=45°，ME=OE=8，∴∠OME=45°，
∵PR⊥ME，PQ=QR，
∴MP=MR，
∴MB=MP=MA=MR，
∴∠RMQ=∠PMQ=45°，
∴∠PMR=90°=∠BMA，
在△BMA和△PMR中， ，
∴△BMA △PMR（SAS），
∴AB=PR，
∴PN+ AB=ON+ AB=ON+ PR=ON+PQ=OE=8，
即 的值不会发生变化．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰
当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
