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绝密★启用前
2024~2025 学年高三 11 月测评（福建）
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 和 是两个互不相等的正实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ， 是两个非零平面向量， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将角 的终边顺时针旋转 后经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．定义在 上的偶函数 和奇函数 满足 ，若函数
的最小值为 ，则 （ ）A．1 B．3 C． D．
7．数列 是首项为1，公比为2的等比数列，其前 项和为 ． ， 为数
列 的前 项和，则 （ ）
A． B． C． D．
8．函数 的定义域为 ， 为 的导函数，满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 的最小正周期为
B．函数 过定点
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 是偶函数，则
的最小值为
D．函数 在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围为11．已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别是 ， ， 的中点，点 为
正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的面积为
B．三棱锥 体积的最大值为
C．若 平面 ，则点 的轨迹长度为
D．当点 为 的中点时， 到直线 的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数 ，则 ________．
13．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 ， ， ，则
________．
14．记数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，函数 均存在两个
极值点 ， ，且满足 ，则 ________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ．
（1）求数列 的通项公式 及前 项和 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 。
16．（本小题满分15分）
如图所示， ， 分别为半圆锥 的底面半圆弧上的两个三等分点， 为 中点， 为母线 的
中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若 为等边三角形，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
函数 ，其中 为整数．
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求 的最大值．
18．（本小题满分17分）
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
．
（1）求 ；
（2）求 的面积；
（3）在 所在的平面内有一动点 ，满足 ，求 的最小值．
19．（本小题满分17分）
设 为函数 的导函数，若 在区间 上单调递增，则称 为区间 上的凹函数，区间
称作函数 的凹区间；反之，则称 为区间 上的凸函数，区间 称作函数 的凸区间．（1）已知函数 ，求 的凹、凸区间；
（2）如图所示为某个凹函数 的图象，在图象上任取两个不同的点 ，
，过线段 的中点 作 轴的垂线，与函数图象和 轴分别交于 ， 两点，则有
．
①将不等关系 转化为对应的不等式；
②证明：当 ， 时， 恒成立．2024~2025 学年高三 11 月测评（福建）·数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C B C B D
题号 9 10 11
答案 BCD BC ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】易得 ， ，则 ，所以 ，故选B．
2．【答案】C
【解析】 ，在复平面内对应的点在第三象限，故选C．
3．【答案】A
【解析】若 ，易得 ， 或者 ， ，可推出 ，反之，若
，无法推出 ，故选A．
4．【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，即 ，可得 ，则
在 方向上的投影向量为 ，故选C．
5．【答案】B
【解析】根据三角函数的定义， ，即 ，解得 ，即
，易得 是第四象限角， ， ，解得
，故选B．
6．【答案】C
【解析】 ， ，解得 ，， ，设 ，函数
的对称轴为 ，当 时， ，解得 或者 （舍）．当
时， ，解得 （舍）．故选C．
7．【答案】B
【解析】易得 ， ，所以 ，显
然当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，此时 ，因此
．
故选B．
8．【答案】D
【解析】将条件变形为 ，构造函数 ，则
，则 ，即 ，所以
， ， ，当 时，
，函数 在区间 上单调递减，当 时， ，函数 在区间
上单调递增，则 的最小值为 。故选D。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】A选项错误， ，当 时，最小值为2；
B选项正确， ，当且仅当 ，即 时，等号成立；C选项正确， ，当且仅当 时等号成立．
D选项正确， ，当且仅当 ，即 时等
号成立，故选BCD．
10．【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】A选项错误，当 时，最小正周期 ；
B选项正确， ，与 的取值无关；
C选项正确，向左平移 个单位长度后的函数解析式 ，令
， ，解得 ，当 时， 的最小正值为 ；
D选项错误，令 ，即 ，解得 或
， ， ，即 或者 ，要使得在区间 上恰好
有5个零点，令 ，满足 ，解得 ．故选BC．
11．【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】A选项正确， 是边长为 的等边三角形， ；
B选项错误，由三垂线定理易得， 平面 ，要使得三棱锥体积达到最大值，只需点 与点 重
合．设 与平面 的交点为 ，由等体积法得， ，而 ，所以 ，此时三棱锥的体积为 ；
C选项正确，点 在正三角形 上，其轨迹长度为 ；
D选项正确，以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，则 ，
， ， ， ， 在 上的投影长度为
，故 到 的距离为 ，故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案及评分细则】1（5分，其他结果均不得分）
【解析】 ， ， ．
13．【答案及评分细则】2（5分，其他结果均不得分）
【解析】 ，由正弦定理得， ，解得 ，由余弦定理得
， ， ，解得 ， （舍），所以 ．
14．【答案及评分细则】 （或 或 ）（5分，结果正确均
得分）
【解析】 的定义域为 ．令 ，
即 ，如图所示，不妨设 ，
因为 ， ，所以 ，
解得： ，代入条件得： ，
化简得： ，
即 ， ，
所以
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．【答案】（1） ， （2）
【解析及评分细则】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由题意得：
，解得： ，……3分
通项公式 ，……4分
前 项和 ；……6分
（2） ，……7分……9分
①-②：
……12分
所以 ．……13分
16．【答案】（1）详见解析 （2）
【解析及评分细则】（1）设 的中点为 ，连接 ， ， ， ， ，
在 中， 为三角形的中位线，所以 ， ，……2分
因为 ， 分别为半圆弧上的两个三等分点，
为等边三角形， ，
所以 ， ，……4分
易得四边形 为平行四边形，所以 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；……6分
（2）解法一：
过 作 的垂线，则垂足 为 的中点，过 作 的垂线，设垂足为 ，连接 ，因为平面 平面 ，
平面 平面 ， ，所以 平面 ， ，……8分
又因为 ， ，所以 平面 ， ，
则 为平面 与平面 的夹角，
设底面半径为 ，则 ，……11分
， ，……13分
在 中， ，即 ，……14分
所以 ，即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．……15分
解法二：
作 的中点 ，连接 ，以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空
间直角坐标系，设底面半圆的半径为2，
则 ， ， ， ， ， ，
……9分
由图形可知平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，所以 是平面 的一个法向量，……13分
，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．……15分
17．【答案】（1） （2）2
【解析及评分细则】（1）当 时， ， ，即切点坐标为 ，
，切线斜率 ，……3分
由点斜式得，切线方程为 ，即 ；……5分
（2）当 时， ，则 恒成立，……6分
当 时， ， ，……8分
两边同时取对数，则 ，
问题等价于 恒成立，……10分
设 且 ，
，……11分
当 时，显然 恒成立，则 在区间 上单调递增，
，满足题意，
当 时，令 ，即 ，解得 ，则函数 在区间 上单调递减，
此时 ，不符合题意，……14分
综上所述，整数 的最大值为2．……15分18．【答案】（1） （2） （3）
【解析及评分细则】（1） ，……1分
因为 ，
所以 ，……2分
由正弦定理得： ，即 ，
所以 ；……4分
（2）将余弦定理： 代入得：
，……5分
两边同时除以 ，
，……7分
，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立，即
，
由余弦定理得： ，……9分
即 ， 的面积 ；……11分
（3）由（1），（2）可知 ， ， ，以 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 ，
轴建立直角坐标 ， ，……12分则 ， ，
，∴ ，
所以 （ 为变量），
则 ，……16分
所以 的最小值为 ．……17分
19．【答案】（1）详见解析 （2）① ②详见解析
【解析及评分细则】（1）易得函数 的定义域为 ，
，……1分
设 ， ，……3分
当 时， 恒成立， 在区间 上单调递减，
当 时， 恒成立， 在区间 上单调递增，
所以函数 的凹区间为 ，凸区间为 ；……5分
（2）①对于凹函数 定义域中的任意两个自变量 ， ， ，
， ， ， ，∴
， ，由 ，有 ；……8
分②对不等式 两边取对数，问题等价于，
恒成立，……10分
构造函数 ， ，
即 恒成立，……12分
，令 ，……13分
，……14分
令 ，即 ，解得 ，所以 是函数 的凹区间，
，所以当 时， 是凹函数，由①知 ，即
，当 时， ，……16分
所以 ， 时， 恒成立，即 恒成
立．……17分
