文档内容
石景山区 2022-2023 学年第二学期初一期末试卷
数学
1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题
用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 太钢不锈钢精密带钢有限公司生产的“手撕钢”宽 米、厚 米（ 毫米），广泛应用于
航空航天、新能源、 通信等高精尖端设备制造行业，至今保持世界最宽、最薄“手撕钢”记录．
用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法是指把一个绝对值大于等于 (或者小于 )的数记为 的形式(其中
)即可解答．
【详解】解：∵ ，
故选 ．
【点睛】本题考查了科学记数法，确定 和 的值是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式除以单项式进行计算后即可得到答案．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项正确，符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方、单项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A. 了解一批科学计算器的使用寿命
B. 调查北京市中学生对神舟十六号载人飞行任务标识寓意的了解情况
C. 了解某班同学登上八达岭长城的人数情况
D. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
【答案】B
【解析】
【分析】根据全面调查的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查的结果比较近似即可
解答．
【详解】解：∵了解一批科学计算器的使用寿命，采用全面调查破坏性很大，
∴采用抽样调查，
故 项不符合题意；
∵调查北京市中学生对神舟十六号载人飞行任务标识寓意的了解情况，安全需求很高，
∴采用全面调查，
故 项符合题意；
∵了解某班同学登上八达岭长城的人数情况，采用全面调查比较费时费力，
∴采用抽样调查，
故 项不符合题意；
∵调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用全面调查比较费时费力，
∴采用抽样调查，
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学科网（北京）股份有限公司故 项不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查了全面调查的定义与抽样调查的定义，理解全面调查与抽样调查的定义是解题的关键．
4. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义及因式分解的方法：提公因式法和公式法对各项判断即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ 错误，
故 项不符合题意；
∵ ，
∴ 错误，
故 项不符合题意；
∵ 不能分解为几个整式乘积 的形式，
故 项不符合题意；
∵ ，
∴ 正确，
故 项符合题意，
故选 ．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解的方法：提公因式法和公式法，理解因式分解的定义是解
题的关键．
5. 如图，下列条件中，能判断 的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据平行线的判定方法进行判断：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内
角互补，两直线平行．
【详解】解：由 ，可得 ，符合题意；
由 ，可得 ，不符合题意；
由 ，可得 ，不符合题意；
由 ，可得 ，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
6. 下列命题中，真命题为（ ）
A. 有理数的绝对值是正数 B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 同旁内角互补 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】利用绝对值的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．有理数的绝对值不一定是正数，0的绝对值是0，是假命题，故不符合题意；
B．平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故符合题意；
C．两直线平行，同旁内角互补，是假命题，不符合题意；
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确理解平行线的性质与判定是解题关键．
7. 月下旬，在石景山区 年“西部温暖计划”启动仪式后，某校组织师生开展捐赠活动．为了解某
班 名学生捐赠物品情况，对每位学生的捐赠数量进行了收集、整理，并绘制统计图如图所示．这组数
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学科网（北京）股份有限公司据的中位数、众数分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条形统计图明确各捐赠数量的人数，再根据中位数及众数的定义即可解答．
【详解】解：∵捐赠总人数为 人，
∴中位数为 ，众数为 ，
故选 ．
【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，理解中位数及众数的定义是解题的关键．
8. 已知：关于 的不等式组 只有三个整数解，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由不等式组 的解法得到不等式组的解集 ，再根据不等式组的整数解的个数得到 的取
值范围．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∵不等式组 只有三个整数解，
∴不等式的解集为： ，
∴不等式组 只有三个整数解为 ，
∴ ，
当 时，不等式的解集为 ，
∴不等式 的整数解有 个，不符合题意舍去，
当 时，不等式的解集为 ，
∴不等式的整数解有 个，符合题意，
，
故选 ．
【点睛】本题考查了根的存在性及个数的判断，不等式组的解法，掌握不等式组的解法是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 计算： ______； ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据零指数幂的运算法则及负指数幂的运算法则即可解答．
【详解】解： ，
，
故答案为 ， ；
【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则及负指数幂的运算法则，熟记对应法则是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司10. 若 ，则 ______； ______．
【答案】 ①. 4 ②. 10
【解析】
【分析】根据幂的乘方运算和同底数幂乘法运算进行计算．
【详解】∵ ，
∴
∴ ，
故答案为：4；10．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，解题关键是掌握运算法则．
11. 若一个角是这个角的余角的 倍，则这个角的度数为______．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】设这个角的度数 ，根据题意列方程即可解答．
【详解】解：设这个角的度数 ，根据题意可知，
，
解得： ，
这个角的度数为 ,
故答案为 ．
【点睛】本题考查了余角的定义，一元一次方程与实际问题，掌握余角的定义是解题的关键．
12. 为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作AO，BO的延长
线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是_______________．
【答案】对顶角相等
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由对顶角相等即可得出结论．
【详解】这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案是：对顶角相等．
【点睛】本题考查的是对顶角相等的性质和作图；根据题意正确作出图形、设计出测量方案是解题的关键．
13. 已知： ，请写出一个使不等式 成立的m的值，这个值可以为______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】∵
∴当 时，
∴m的值可以为 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
14. 著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入
微”．如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中 ．根据图形写出一个正
确的等式，可以表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据图形可得中间正方形的面积等于大正方形面积减去4个长方形面积，进而可以解决问题．
【详解】根据题意得 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用图形来推导完全平方公式，图形如何分割，形成面积的和与差，是公式推导的关
键．
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学科网（北京）股份有限公司15. 某篮球架及侧面示意图如图所示，若 ， ， 于点B，则
______ ．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作 ，由平行线的性质求得 ，由 ，得到 ，
进一步得到 ，即可得到 的度数．
【详解】解：过点C作 ，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 于点B，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直定义等知识，作 是解题的关键．
16. 小石的妈妈需要购买盒子存放 升的食物，且要求每个盒子要装满．现有 两种型号的盒子，单
个盒子的容量和价格如下表．
型号
单个盒子容量
（升）
单价（元）
（1）写出一种购买方案，可以为______；
（2）恰逢五一假期， 型号盒子正在做促销活动，即购买三个及三个以上可一次性返现金 元，则购买
盒子所需要的最少费用为______元．
【答案】 ①. 购买方案为 个 型号， 个 型号（答案不唯一） ②.
【解析】
【分析】（1）设购买 型号为 个，购买 型号为 个，根据题意列二元一次方程即可解答；
（2）设购买 型号的盒子 个，则购买 型号的盒子个数为 个，并设购买盒子所需要的费用为
元，根据题意列一次函数即可解答．
【详解】解：（1）∵小石的妈妈需要购买盒子存放 升的食物，
∴设购买 型号为 个，购买 型号为 个，
∴ ，
∴ ， ，
∴购买方案为 个 型号， 个 型号；
故答案为：购买方案为 个 型号， 个 型号；
（2）设购买 型号的盒子 个，则购买 型号的盒子个数为 个，并设购买盒子所需要的费用为
元，
第一种情况：没有接受 型号盒子促销活动的一次性返现金 元，
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学科网（北京）股份有限公司即当 时，
，
∴一次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最小值，
∴购买盒子所需要的最少费用为 ；
第二种情况：有接受 型号盒子促销活动的一次性返现金 元，
即当 时，
，
∴一次函数的解析式为 ,
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 ， 有最小值，
∴购买盒子所需要的最少费用为 ，
∵ ，
∴购买盒子所需要的最少费用为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，二元一次方程与实际问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，
每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 因式分解：
（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用十字相乘法求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据整式的混合运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则．
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学科网（北京）股份有限公司19. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法 消去 得到 即可解答．
【详解】解： ，
，得： ，
解得： ，
将 代入①可得： ，
∴原方程组的解为 ；
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的方法—加减消元法，熟练解二元一次方程组的方法是解题的关键．
20. 运用乘法公式简便计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】把原式变形后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了平方差公式，把原式变形为 是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司21. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方式及多项式乘以多项式的运算法则即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了完全平方式，多项式乘以多项式的运算法则，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
22. 已知： ， ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】先分解因式得到 ，再根据式子的值即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为 ；
【点睛】本题考查了因式分解的方法：提公因式法和公式法，已知式子的值求代数式的值，掌握因式分解
的方法是解题的关键．
23. 解不等式组 ．
【答案】
【解析】
【分析】求出每个不等式的解集，找到公共部分即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集是 ；
【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的确定方法是解
题的关键
24. 已知：如图，直线 与直线 分别交于点M，N， ， 平分 ，交
于点H．
求证： ．
请补全下面的证明过程：
证明：∵ ① （平角的定义），
（已知），
∴ ② （ ③ ），
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∴ （ ④ ）．
∵ 平分 （已知），
∴ ⑤ （角平分线的定义）．
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学科网（北京）股份有限公司∴ （ ⑥ ）．
【答案】① ；② ；③同角的补角相等；④两直线平行，内错角相等；⑤ ；⑥
等量代换
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定证明即可．
【详解】证明：∵ （平角的定义），
（已知），
∴ （同角的补角相等），
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
∴ （等量代换）．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，补角定义的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此
题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互
补，反之亦然．
25. 为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的口号，某校在植树节到来之际，开展植树活动．
学校计划购买紫薇和银杏两种树苗，相关信息如下表：
编
名称 规格单位 单价 购买数量 预算金额（元）
号
紫薇 棵 （棵）
银杏 捆（ 棵装） （捆）
（1）若两种树苗共买 棵，恰好将预算金额花完，求 的值；
（2）高一年级共有学生 人，老师 人．若要保证师生每两人种一棵树，在预算金额不增加的情况下，
最多可以购买紫薇树苗多少棵？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） 的值为 ；
（2）最多可以购买紫薇树苗 棵；
【解析】
【分析】（1）设购买紫薇树为 棵，购买银杏为 棵，根据题意列方程即可解答；
（2）最多可以购买紫薇树苗 棵，银杏树苗为 棵，根据题意列不等式即可解答．
【小问1详解】
解：设购买紫薇树为 棵，购买银杏为 棵，根据题意可得，
，
∴解得： ，
∴ ，
∴ ， ，
答： 的值为 ；
【小问2详解】
解：∵高一年级共有学生 人，老师 人，
∴树苗总共有 （棵），
设最多可以购买紫薇树苗 棵，银杏树苗为 棵，根据题意可知，
，
解得： ，
答：最多可以购买紫薇树苗 棵．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，读懂题意明确等量关系是解
题的关键．
26. 2023年5月8日是第76个世界红十字日．某校以“生命教育‘救’在身边”为主题开展“红十字博爱
周”活动．为了增强学生的急救意识，宣传急救知识，对七年级200名学生开展急救知识竞赛．为了解七
年级学生急救知识掌握情况，调查小组进行了抽样调查，过程如下：
收集数据 调查小组计划从七年级选取20名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下面的抽样方法中，合
理的是______（填字母）．
A．从七年级的救护技能培训班中选取20名学生的竞赛成绩组成样本；
B．从七年级选取20名女生的竞赛成绩组成样本；
C．从七年级随机选取20名学生的竞赛成绩组成样本．
抽样方法确定后，调查小组抽取得到七年级的样本数据如下：
68 88 84 78 92 83 95 88 100 92
86 95 79 76 99 97 88 93 99 100
整理、描述数据按如下分数段整理、描述样本数据：
七年级样本成绩统计表
成绩x（单位：分） 划记 频数
丅 2
4
正丅 7
解决问题
（1）请将统计表、扇形统计图补充完整；
（2）估计该校七年级学生竞赛成绩不低于90分的学生有______名．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】收集数据：C；（1）见解析；（2）100
【解析】
【分析】收集数据：根据提供的数据即可得到答案；
（1）根据收集的数据得到人数补全统计表，分别求出 和 占的百分比，补全扇形
统计图即可；
（2）用七年级人数乘以样本中成绩不低于90分的学生的百分比即可．
【详解】收集数据：根据抽取的样本要具有代表性、随机性，可知从七年级随机选取20名学生的竞赛成绩
组成样本比较合理，故选C；
解决问题
的
（1）根据题意得到 有 人， 有3人，
故统计表补充完整如下：
成绩x（单位：分） 划记 频数
4
丅 2
4
3
正丅 7
占的百分比为 ， 占的百分比为 ，补全扇形
统计图如下：
（2） （名），
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学科网（北京）股份有限公司即该校七年级学生竞赛成绩不低于90分的学生有100名，
故答案为：100
【点睛】此题考查了统计表和扇形统计图、用样本估计总体等知识，读懂题意，根据信息正确进行计算是
解题的关键．
27. 如图， 被 所截， 于点D．E为直线 上一点，过点E作 的垂线，垂足
为F，过点D作 交 于点G．
（1）若点E在线段 上，
①根据题意补全图形；
②判断 与 的数量关系，并证明；
（2）若点E不在线段 上，直接写出 与 的数量关系为______；
（3）通过本题前两问的解决，观察 与 的位置关系和数量关系，归纳出一个你发现的结论．
【答案】（1）①见解析；② ，证明见解析
（2）相等 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②根据平行线的性质求解即可；
（2）根据题意分两种情况讨论：点E在 的延长线上和点E在 的延长线上，分别根据平行线的性质
求解即可；
（3）根据（2）中的证明求解即可．
【小问1详解】
①如图所示，补全图形如下：
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学科网（北京）股份有限公司②∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ；
【小问2详解】
如图所示，当点E在 的延长线上时，
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ；
如图所示，当点E在 的延长线上时，
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ；
故答案为：相等；
【小问3详解】
由（2）可得，
当 在 内部时，即点E在线段 上时， ；
当 在 外部时，即点E在线段 延长线或 延长线上时， ．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
28. 对于二元一次方程 的任意一个解 给出如下定义：若 ，则称 为方程
的“关联值”；若 ，则称 为方程 的“关联值”．
（1）写出方程 的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
（2）若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解；
（3）直接写出方程 的最小“关联值”为______；当关联值为 时，直接写出x的取值范围是
______．
【答案】（1）方程的解为 ，方程的“关联值”为1（答案不唯一）
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司（2） ，
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据“关联值”的概念求解即可；
（2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可；
（3）根据题意得到 ，进而得到当 增大时， 先减小到0，然后再增大，然后联立
求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可．
【小问1详解】
当 时，即 ，
解得 ，
∵
∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为 （答案不唯一）；
【小问2详解】
∵“关联值”为4，
∴①当 时，即 ，解得 ，
∴方程的解为 ；
②当 时，即 ，解得 ，
∴方程的解为 ；
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司③当 时，即 ，解得 ，
∵ ，
∴不符合题意，应舍去；
④当 时，即 ，解得 ，
∵ ，
∴不符合题意，应舍去；
综上所述，所有满足条件的方程的解有 ， ；
【小问3详解】
∵
∴ ，
∵当 时， ，
当 增大时， 先减小到0，然后再增大，
∴当 时，方程 取得最小“关联值”，
∴联立 ，解得
∴方程 的最小“关联值”为 ；
当关联值为 时，即 ，
∴ ，
∴
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴①当 ， 时，即 ， 时，
∴ ，解得 ，
∴ ；
②当 ， 时，即 ， 时，
∴ ，解得 ，
∴ ；
③当 ， 时，即 ， 时，
∴ ，解得 ，
∴ ；
④当 ， 时，即 ， 时，
∴ ，解得 ，
∴ ；
综上所述，当 或 时，关联值为 ．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不
等关系．
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
