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一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．i 为虚数单位，i607的共轭复数为（ ）.
A．i B．-i C．1 D．-1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）.
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）.
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
A．212 B．211 C．210 D．29
4．设 X N(m, s2)，Y N(m, s2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
: 1 1 : 2 2
（ ）.
A．P(Y ³m)³P(Y ³m)
2 1
B．P(X £s)£P(X £s)
2 1
C．对任意正数t，P(X £t)³P(Y £t)
D．对任意正数t，P(X ³t)³P(Y ³t)
5．设a,a , ,a ÎR，n³3. 若p：a,a , ,a 成等比数列；
1 2 L n 1 2 L n
q：(a2 +a2 + +a2 )(a2 +a2 + +a2)=(aa +a a + +a a )2，则（ ）.
1 2 L n-1 2 3 L n 1 2 2 3 L n-1 n
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
ì1, x>0,
ï
6．已知符号函数sgnx=í0, x=0, f(x)是R上的增函数，g(x)= f(x)- f(ax) (a>1)，则
ï
î-1, x<0.
A．sgn[g(x)]=sgnx B．sgn[g(x)]=-sgnx
第1页 | 共6页C．sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]
1 1
7．在区间[0, 1]上随机取两个数x,y，记 p 为事件“x+ y³ ”的概率，p 为事件“|x- y|£ ”的概率，
1 2 2 2
1
p 为事件“xy£ ”的概率，则 （ ）.
3 2 [来源:学科网ZXXK]
A． p < p < p B． p < p < p
1 2 3 2 3 1
C． p < p < p D． p < p < p
3 1 2 3 2 1
8. 将离心率为e 的双曲线C 的实半轴长a和虚半轴长b (a¹b)同时增加m (m>0)个单位 长度，得到离
1 1
心率为e 的双曲线C ，则（ ）.
2 2
A．对任意的a, b，e >e B．当a>b时，e >e ；当ab时，e e
1 2 1 2 1 2
9．已知集合A={(x,y) x2 + y2 £1, x,yÎZ}，B={(x,y) |x|£2,| y|£2, x,yÎZ}，定义集合
AÅB={(x +x ,y + y )(x,y )ÎA, (x ,y )ÎB}，则AÅB中元素的个数为（ ）.
1 2 1 2 1 1 2 2
A．77 B．49 C．45 D．30
10. 设xÎR，[x]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n 同时成立，
则正整数n的最大值是（ ）.
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请将答案填在答
题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（11—14题）
uuur uuur uuur uuur uuur
11．已知向量OA^ AB，|OA|=3，则OA×OB= ．
x π
12．函数 f(x)=4cos2 cos( -x)-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为 ．
2 2
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30o的方向
上，行驶 600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75o的方向上，仰角为30o，则此山的高度CD=
m.
第2页 | 共6页14．如图，圆C与x轴相切于点T(1, 0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方），且 AB =2．
（Ⅰ）圆C的标准方程为 ；
（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O:x2 + y2 =1相交于M,N 两点，下列三个结论：
NA MA NB MA NB MA
① = ； ② - =2； ③ + =2 2．
NB MB NA MB NA MB
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的
方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，
AB
且BC =3PB，则 = .
AC
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
[来源:学科网ZXXK]
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为
第3页 | 共6页ì 1
x=t- ,
ï
ï t
r(sinq-3cosq)=0，曲线C的参数方程为í ( t为参数) ，l与C相交于A,B两点，则
1
ïy=t+
ïî t
|AB|= .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分11分）
π
某同学用“五点法”画函数 f(x)= Asin(wx+j) (w>0, |j|< )在某一个周期内的图象
2
时，列表并填入了部分数据，如下表：
π 3π
wx+j 0 π 2π
2 2
π 5π
x
[来源:学科网] 3 6
Asin(wx+j) 0 5 -5 0
[来源:Z§xx§k.Com]
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式；
（Ⅱ）将y= f(x)图象上所有点向左平行移动q(q>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象. 若y=g(x)图
5π
象的一个对称中心为( , 0)，求q的最小值.
12
18．（本小题满分12分）
设等差数列{a }的公差为d，前n项和为S ，等比数列{b }的公比为q．已知b =a ，b =2，q=d，
n n n 1 1 2
S =100．
10
（Ⅰ）求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
a
（Ⅱ）当d >1时，记c = n ，求数列{c }的前n项和T ．
n b n n
n
19．（本小题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD^底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF ^PB交
PB
于点F ，连接DE, DF, BD, BE.
（Ⅰ）证明：PB^平面DEF．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
第4页 | 共6页π DC
（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD所成二面角的大小为 ，求 的值．
3 BC
20．（本小题满分12分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品．生产1吨 A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，
获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品
的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获
取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一
个随机变量．
（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
21．（本小题满分14分）
一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连
接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN =ON =1，MN =3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，
带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的
直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与两定直线l :x-2y=0和l :x+2y=0分别交于P, Q两点．若直线l
1 2
总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若
存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
第5页 | 共6页y
N
D O x
M
图1 图2
22．（本小题满分14分）
1
已知数列{a }的各项均为正数，b =n(1+ )na (nÎN )，e为自然对数的底数．
n n n n +
1
（Ⅰ）求函数 f(x)=1+x-ex的单调区间，并比较(1+ )n与e的大小；
n
b bb bbb bb b
（Ⅱ）计算 1 ， 1 2 ， 1 2 3 ，由此推测计算 1 2L n 的公式，并给出证明；
a aa aa a aa a
1 1 2 1 2 3 1 2L n
1
（Ⅲ）令c =(aa a )n，数列{a }，{c }的前n项和分别记为S ,T , 证明：T
