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北京市第五十七中学 2022～2023 学年度第二学期期中练习卷
初二数学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1—10题均有4个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 在 中，若 ，则（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断 为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断．
【详解】解： ，
，
为直角三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据三角形的三边满足勾股定理，得出三角形是
直角三角形．
2. 以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】A、∵ ，∴ ，
∴不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵ ，∴ ，
∴不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵ ，
∴不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵ ，∴ ，
∴能构成直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3. 当x=－3时， 的值是( )
A. ±3 B. 3 C. －3 D. 9
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：当 时，
原式
故选B.
4. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. ＝﹣2 B. + ＝ C. × ＝4 D. 2﹣
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根
式的乘法法则对C进行判断．
【详解】解：A、 ＝2，故原题计算错误；
B、 + ＝ +2 ＝3 ，故原题计算错误；
C、 ＝ ＝4，故原题计算正确；
D、2和 不能合并，故原题计算错误；
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的性质及加减法运算法则是解题关键．5. 如图，在四边形 中，对角线 和 相交于点O，下列条件不能判断四边形 是平行四
边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法依次进行判断即可求解．
【详解】A.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”可判定四边形 为平行四边形，故此
选项不符合题意；
B. 根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形 为平行四边形，故此选项不符
合题意；
C. “一组对边平行，另一组对边相等 ”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D. 根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形 为平行四边形，故此选项不符合
题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6. 如图，在菱形 中，对角线 相交于点 为 中点， ．则线段
的长为：（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 ， ， ，又因为
H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴ ， ，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的
性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键．
7. 如图，一根木棍斜靠在与地面 垂直的墙 上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B
端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）
A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断
【答案】B
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP= AB=a，即可得出答案．
【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP= AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选：B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1
，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5 ，由此可计算出
学校旗杆的高度是（ ）
A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，在Rt ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，
解得：△x=12，
∴旗杆的高度为12m．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
9. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．
若AB=3，AD=4，则ED的长为
A. B. 3 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用勾股定理计算出 AC的长，再根据折叠可得 DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，
AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4△﹣x）2，再解方程即可
【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得： DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，D△E=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
△
解得：x=
故选A.
10. 如图，正方形 和正方形 中，点 在 上， ， ， 是 的中点，则的长是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】连接 、 ，如图，根据正方形的性质得 ， ， ，
，则 ，再利用勾股定理计算出 ，然后根据直角三角形斜边上的中线的
性质，求 的长．
【详解】解：如图，连接 、 ，
正方形 和正方形 中， ， ，
， ，
，
，
由勾股定理得， ，
是 的中点，．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，掌握正方形的性质是解
题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次根式有意义，熟练掌握二次根号下非负是二次根式有意义的条件是解题的关键．
的
12. 已知直角三角形 两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为： ；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为： ；的
∴第三边 长为： 或5，
故答案为： 或5．
13. 在 中，若 ，则 ________°
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出 的度数．
【详解】∵在 中 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互
补的性质．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，若点 的坐标为 ，则 的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点A做AP⊥x轴，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：过点A作AP⊥x轴于P，∵点 的坐标为 ，
∴OP=1，AP= ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】平面直角坐标系中，求线段的长一般作x轴或y轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
15. 如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行
_____cm．
【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得
出结果．
解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：
∵底面⊙O的周长为6cm，
∴AC=3cm，
∵BC=4cm，
∴AB= =5cm．
故答案为5．考点：平面展开-最短路径问题及勾股定理．
16. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是12，
小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么 ______．
【答案】22
【解析】
【分析】结合题意，根据小三角形的面积可以得出 ，再根据勾股定理即可得出 ，即可
得出答案．
【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：22．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，数形结合思想是本题的关键．
17. 如图， 中， ， ， ．点 是 边上的动点，过点 作边 ，
的垂线，垂足分别为 ， ．连接 ，则 的最小值为____________．【答案】 ##2.4
【解析】
【分析】连接 ，由勾股定理求出 ，再证四边形 是矩形，得 ，然后由垂线段
最短得 时，线段 的值最小，进而由三角形的面积求出 的长即可．
【详解】解∶如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由垂线段最短可知，当 时，线段 最小，则线段 的值最小，此时， ，即 ，
解得∶ ，
∴ 的最小值为 ,
故答案为∶
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的
判定与性质是解题的关键．
18. 我们用 表示不大于m的最大整数，如： .
（1） ________；
（2）若 ，则x的取值范围是______________ ．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】(1)由 ，及题中所给信息，可得答案；
(2)先解出 的取值范围后得出x的取值范围.
【详解】解：（1）∵ ，由题中所给信息，
可得 ；
（2）由题意得: ，
∴ ，
∴ .
故答案为：（1） ；（2） ．【点睛】本题主要考查新定义及不等式的性质，找出规律是解题的关键
三、解答题（共46分，第19-20题，每题4分，第21-23题，每题5分，第24题4分，第25
题6分，第26题5分，第27题8分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20. 若 ， ，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再将 ， 代入求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
21. 已知： 为锐角三角形， ．
求作：菱形 ．
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交 于点M，交 于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点E，作射线 与
交于点O；
③以点O为圆心，以 长为半径作弧，与射线 交于点D，连接 ， ；
四边形 就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：
（2）完成下面的证明：
证明：∵ 平分 ，
∴ __________．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵ ，
∴四边形 是菱形（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析（2）OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】（1）根据所给几何语言画出对应的图形即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到CO=OB，再根据平行四边形和菱形的判定解答即可.
【小问1详解】
解：如图，菱形ABDC即为所求作；
【小问2详解】
证明：∵ ， 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵ ，
∴四边形 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
故答案为：OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形.
【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练
掌握基本尺规作图的方法步骤，熟知平行四边形的判定和菱形的判定是解答的关键.
22. 如图，点E、F在菱形 的对角线 上，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用 证明 ，即可得证．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意证得
是解题的关键．
23. 如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知 米， 米， 米， 米，
，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地
需花费多少元？
【答案】铺满这块空地共需花费 元
【解析】
【分析】连接 ，在 中利用勾股定理计算出 长，再利用勾股定理逆定理证明 ，
再利用 可得草坪面积，然后再计算花费即可．
【详解】连接 ，在 中， 米， 米， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
该区域面积 （平方米），
铺满这块空地共需花费 元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长 满足
，那么这个三角形就是直角三角形．
24. 阅读材料：
学习了无理数后，小航用这样的方法估算 的近似值：
由于 ，不妨设 （ ），
所以 ，可得 ．
由 可知 ，所以 ，解得 , 则 ．
依照小航的方法解决下列问题：
（1）估算 的值.
（2）已知非负整数 、 、 ，若 ，且 ，则 ．（用含 、 的
代数式表示）
【答案】（1） （2）a+
【解析】
【分析】（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出 =3+k（0＜k＜1），再根据题
目信息近似求解即可；
（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
【详解】（1）由于 ，不妨设 ，
所以 ，可得 ．
由 可知 ，所以 ，
解得 ,
则 ．
（2）设 =a+k（0＜k＜1），
∴m=a2+2ak+k2≈a2+2ak，
∵m=a2+b，
∴a2+2ak=a2+b，
解得k= ，∴ ≈a+ ．或
【点睛】本题考查了无理数的估算，读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可．
25. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作
AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AECD为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE＝EC，进而由菱形的
判定定理得结论；
（2）连接DE，证明△ABE是等边三角形，进而求得AC，再证明四边形ABED是平行四边形，便可求得
DE，最后根据菱形的面积公式得结果．
【详解】解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2EC．
∴E为BC的中点
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝2AE
∴AE＝EC，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形；
（2）解：连接DE，∵AB＝AE＝2，AE＝BE，
∴AB＝AE＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B＝60°．
∵AD＝BE，AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形．
∴DE＝AB＝2，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，
∴BC＝4．
∴ ．
∴S ＝ ．
AECD
【点睛】本题主要考查了菱形 的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，关键是
熟悉这些性质和定理．
26. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD
的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其
面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D
作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形
（如图2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于_____．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】根据平移可知， ADC≌△ECD，且由梯形的性质知 ADB与 ADC的面积相等，即 BDE的面
积等于梯形ABCD的面积△． △ △ △
（1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的 CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的
一个三角形． △
（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长
的三角形的面积等于 ABC的面积的 ．
△
【详解】解： BDE的面积等于1．
（1）如图．以△AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是 CFP．
（2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF=PE， △
∴四边形AFEP为平行四边形，
∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点，
又∵AP∥FN，F为AB的中点，
∴N为PC的中点，
∴E为 PFC各边中线的交点，
△
∴△PEC的面积为 PFC面积的
△
连接DE，可知DE与PE在一条直线上
∴△EDC的面积是 ABC面积的
△
所以 PFC的面积是1× ×3=
△∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于 ．
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平
行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
27. 已知正方形 和等腰 ， 且 ，连接 ．
（1）如图1，当点 在正方形 的内部时，若 平分 ， ，则 ________ ，
四边形 的面积为________；
（2）当点 在正方形 的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求 的度数；
②作 的平分线 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ．用等式表示线段 ， ，
之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）135，（2）①作图见解析；② ，理由见解析．
【解析】
的
【分析】（1）过点 作 于点 ，由正方形 性质及角平分线的定义可得
，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出
， ，继而可证明 ，便可求解；
（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质可得 ，再根据三角形内角和定理及等腰三角
形的性质即可求解；
②过点 作 垂足为 ，由等腰三角形的性质得到 ，再证明
即可得到 ， ， ，再推出 为等腰直角三
角形，即可得到三者之间的关系．
【小问1详解】
解：过点 作 于点
是
四边形 正方形
平分 ， 且 ，， ，
∴ ，
，四边形 的面积为
故答案为： ，
【小问2详解】
解：①作图如下
四边形 是正方形
∴，
② ，理由如下：
如图，过点 作 垂足为
， 的平分线 交 于点 ，交 的延长线于点 ，
，
， ，
， ，，
∴ ，
为等腰直角三角形，
即
【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰
三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述
知识点是解题的关键．
