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2023年高考押题预测卷01【上海卷】
数学·全解全析
1． /-0.5
【分析】 复数的乘法计算和复数的虚部和实部的意义即可求解.
【详解】 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
2．
【分析】首先根据展开式中存在 一项可知 ，然后根据二项式展开式的通式结合已知条件列出关于
的方程，解方程即可求出参数 的值.
【详解】根据已知条件 是二项式展开式的某一项，故得 .
由 ，令 ，得 .
得 ，根据已知可得 ，解得 ，即 .
故答案为： .
3．
【分析】设函数 在 上的零点为 ，则由 ，则 在直线
上，则 可看作是 到直线 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案
【详解】解：设函数 在 上的零点为 ，则 ，
所以点 在直线 上，
设 为坐标原点，则 ，其最小值就是 到直线 的距离的平方，
所以 ， ，
设 ，设 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 即 ，所以 的最小值为 ，
故答案为：
4．
【分析】计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ，
.
故 .
故答案为：
5．
【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意在一副不含大小王的 张扑克牌中不放回的抽取三次，抽到两张 ，一张 ，再不放回的抽取两次，共有 种抽法，
抽到一张 、一张 的方法有 种抽法，抽到两张 的方法有 种抽法，
故接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型的方法有 种，
故接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型的概率 .
故答案为：
6．
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，则 ， ，解得
，得到 ， ，得到答案.
【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
，则 ，四边形 为矩形， .
故 ， ，则 ，
，故 ， .
双曲线 的方程为 .
故答案为：7．
【分析】不妨设 、 、 相交于点 ，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得 与 所成角的最小值与
最大值，可得答案.
【详解】不妨设 、 、 相交于点 ．如图，根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为 ，轴 所在直
线为 ，小圆锥的母线所在直线为 ，轴截面 ；大圆锥的母线所在直线为 ，轴截面 ，且
在一条直线上．
由题意 ，又 ，可知 ,
由图可知，当 移动到 ， 移动到 时，可得 与 所成角的最小，最小值为 ；
当 移动到 ， 移动到 时，可得 与 所成角的最大，最大值为 ，
所以， 与 所成角的取值范围为 .
故答案为： .
8．
【分析】确定 ， ， ，再根据和差公式计算得到答案.
【详解】 ， 是第二象限的角，则 ，
则 ，.
故答案为：
9． （答案不唯一）
【分析】由奇函数的性质及对称轴得函数的周期，再结合已知解析式作出函数图象，由于 ，由
的定义及函数的单调性得出 ， ， ，求出 与 图象交点的横坐标（在
上求出，由周期性易得其他值），然后分析推理得出 时的 值．
【详解】因为 是奇函数，且图象关于直线 对称，则
，
于是 ，即函数 是周期函数，4是它的一个周期，作出函数的部分图象，如图，
当 时， ，最大值为1，因此 的最大值为1，且 ， ，
由于 ，因此 ，否则 ，矛盾，
在 上递增，若 ，则 ，即 ，矛盾，于是 ，
即有 ， ，并且有 ，否则 ，从而 ，
由 得 或 ，所以图中 ， ，当 时， ，满足题意，当 时， ，满足题意，
综上， 的值为 或 ．
故答案为：
10．[1,13]
【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简 后利用不等式即可求出其
范围.
【详解】二次函数f(x)对称轴为 ，
∵f(x)值域为 ，
∴ 且 ，n＞0.
，
∵
= = = =
∴ ， ，
∴ ∈[1,13].
故答案为：[1,13].
11．
【分析】设 ， ，根据向量线性运算可得 ，设 ，则 ，由向量
垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得 ，由 可求得最小值.【详解】设 在直线 上，又 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点， ，
；
设 ， ，则 ， ，
，
不妨设 在 的左侧， ，则 ，
与 垂直， ，
即 有解， ，
，即 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够将问题转化为求解与变量
有关的函数最值的求解问题，从而根据向量的线性运算和向量垂直的坐标表示求得 的范围，结合函数最
值求法可求得结果.
12．
【分析】当 时可得 ，再根据数列的单调性求得
， 取得最小值，而 ，分别求出 、 ，比较可得 时 的最小值；然后当 、 时，根据数列的单调性，分别求出可能取得最小值时的值，比较即可得答案.
【详解】当 时可得 ，
因为数列 是单调递减数列，数列 为单调递增数列，
所以当 时， 取得最小值，此时 ，
因为 ，而 ，
，
又 ，所以当 时， 的最小值为 ；
当 时， ，
因为数列 为单调递减数列，数列 为单调递增数列，
所以当 时， 取得最小值，此时 ，
因为 ，而 ，
，
此时 的最小值为 ，而 ；
当 时， ， ，
所以 ，
令 ，
因为数列 为单调递减数列，数列 为单调递增数列，
所以 时， 取得最小值，此时 ，因为 ， ，
，
又因为 ，此时 的最小值为 .
综上所述， 的最小值为 .
故答案为： .
13．B
【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心 到点 的
距离.
【详解】
如上图正四棱锥 ， 为底面中心， 为球心， 为球体与 的切点，
又 ，故 各侧面均为等边三角形，
若侧面三角形边长为 ，则 ， ， ，
显然 △ △ ，故 ，则 .
故选：B.
14．B
【分析】解出不等式的解集，判断“ ”和“ ”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】解 ，当 时，即 ，则 ，此时解集为 ，
当 时，即 ，则 ，此时解集为 ，
当 时，即 ，则 ，此时解集为 ，故“ ”成立时，等价于 ；
当“ ”成立时，等价于 ，
故 成立时，不一定推出 成立，反之成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
15．B
【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，函数 为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；
对于B选项，函数 为奇函数，当 时， 为减函数，故函数 在定义域内
为减函数，故B正确；
对于C，由于函数 均为增函数，故 在定义域内为单调递增函数，故C错误；
对于D选项，函数 为非奇非偶函数，故错误.
故选：B
16．C
【分析】对①，分析当 时点 的轨迹总落在某个椭圆上即可；
对②，设 ， ， ，则 ，利用点差法，化简可得
，故若存在 ，使得点 的轨迹总落在某条直线上则 为常数，再化简分析
推出无解即可
【详解】设 ， ， ，则 .
对①，当 时， ， ，易得 ，故两式相减有 ，易得此时 ，故 ，所以 ，即 .代入 可得
，所以 ，故存在 ，使得点 的轨迹总落在椭圆
上.故①正确；
对②， ， .由题意，若存在 ，使得点 的轨迹总落在某条直线上，则
， ，
两式相减有 ，即 ，又 ，故
，即 ，又 ，故若存在 ，使得点 的轨迹总落在某条
直线上，则 为常数.即
为定值，因为分子分母 次数不同，故若为定值则 恒成立，即 ，无解.即不存在 ，使得点 的轨迹总落
在某条直线上
故选：C
17．(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）由 ， 结合面面垂直的判定证明即可；
（2）以点 为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角 的余弦值.
【详解】（1）在 中， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）因为 平面 ，所以 ，又 ，
所以以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系：
则 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，得 ，
取平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，由图形知， 为锐角，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
18．(1)存在，理由见解析.
(2)证明见解析.
【分析】（1）运用函数的奇偶性的定义，即可求出a的值，进而说明存在.（2）求出函数的导数，
在 上大于0恒成立，结合二次函数判断函数的单调性即可证明本题.
【详解】（1）若 为奇函数，则 恒成立，
即 ，∴ ，∴ ，
则当 时， 为奇函数．
（2）∵ ，
∴ ，
设 ，∴ ，
开口向下，对称轴为 ，∵ ，∴ ，
则 ，则当 时，函数 在区间 上是严格增函数．
19．(1)
(2)
【分析】（1）在 中，求得 ，在 中，求得 ，根据三角形的面
积公式即可求解.
（2）令 ，利用降次化一得到 ，根据正弦
函数的性质可求得 的取值范围，最终求得 的范围，从而可解.
【详解】（1）依题意得：点A到 的距离分别为2，6即
在 中， ，
，即 ， ，
， ，
在 中， ，
即 ，
即 .（2）由（1）知 ，
设
， ，
，
∴当 ，即 时，函数 的最小值 .
20．(1){bn}与{an}不成“4级关联”，理由见解析
(2)2022
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“4级关联”的定义判断；
（2）根据“4级关联”的可得 ，根据累加法即数列的周期性可求 ；
（3）根据定义可得 ，再分别证明结论的充分性和必要性即可．
【详解】（1））由 ，可得 ，
显然，等式不恒成立，举反例： 时，有：左 右．
∴ 与 不成“4级关联”．（2）由 可得： ，
利用累加法： ，
整理得： ，
由 可知： 且第一周期内有 ，
所以 ，
而又因为 ，故 ；
（3）证明：由已知可得 ，
所以 ，
所以 ，
（a）先说明必要性．
由 为递增数列可知： ，
当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
由（*）式可知： ，故 ，（必要性得证）
（b）再说明充分性．
考虑反证法．假设数列 中存在两项满足 ，得到 ，
由于 结合 ，能够得到： ，可知 对于全体正整数 都成立，这与存在一项 矛盾！假设不成立，（充分性得证）
由（a）、（b），命题得证．
21．(1) ；
(2)1；
(3)是 ，
【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得 代入方程即可求解；
（2）设点 ，利用斜率方程求得k,结合双曲线方程，即可求得k；
（3）法一：分两种情况讨论，当直线l的斜率为0，则 ，当直线l的斜率不为0，设直线方程并与
椭圆方程联立，结合韦达定理，然后根据 ，联立方程即可出.
法二：直接设直线 ，联立椭圆方程得到韦达定理式，根据向量关系求出 的表达式，设
，整理得 ，再整体代入即可.
【详解】（1）设椭圆 的右焦点为（c,0）（c>0），则 ,
由题知，双曲线 ： ,所以 ，即 ，
因为 的周长为 ，即 ，
联立①②③得， ，
所以椭圆 的方程为 ，
双曲线 的标准方程为
（2）设双曲线 上的点 ， ，则 ．
又
（3）是；由题知直线l的斜率存在，
法一：
①当直线l的斜率为0时， ，
，
②当直线l的斜率不为0时，设其方程为 ，
④
解得 ，其中 ，且 ，
，
，
由，
所以点R在一条定直线 上．
法二：
依题可知:直线的斜率存在,设其方程为 ，
，
所以 ,消元整理得,
所以
，
由 得, ，所以 ，
设 ，由 得,
所以 ，
所以 在定直线 上.
