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高考新动向 1 数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题
当两个物体之间或物体与挡板之间发生多次碰撞时，因碰撞次数较多，过程复杂，在求
解多次碰撞问题时，通常可用到以下两种方法：
先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺，分析透彻，根据前几次数据，利用
数学
数学归纳法，可写出以后碰撞过程中对应规律或结果，然后可以计算全程的
归纳法
路程等数据
通过分析前几次碰撞情况，画出物体对应的v－t图像，通过图像可使运动
图像法
过程清晰明了，并且可通过图像所围面积把物体的位移求出
例1 (2022·山东日照市一模)如图所示，质量m ＝1.9 kg的靶盒A静止在固定平台上的O点
1
(未画出)，轻弹簧的一端固定，另一端靠着靶盒(不连接)，此时弹簧处于自然长度，弹簧的
劲度系数k＝184 N/m.长度l＝2.25 m、质量m ＝1.0 kg的木板B静止在光滑的水平面上，木
2
板上表面与平台等高，且紧靠平台右端放置，距离平台右端 d＝4.25 m处有竖直墙壁．某射
击者根据需要瞄准靶盒，射出一颗水平速度v ＝100 m/s、质量m ＝0.1 kg的子弹，当子弹
0 0
从靶盒右端打入靶盒后，便留在盒内(在极短的时间内子弹与靶盒达到共同速度)，最终靶盒
恰好没有从木板的右端脱离木板．已知靶盒与平台、与木板上表面间的动摩擦因数μ均为
0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内，木板与墙壁碰撞没有能量损
失，靶盒与子弹均可视为质点，取g＝10 m/s2.(弹簧的弹性势能可表示为：E＝kx2，k为弹簧
p
的劲度系数，x为弹簧的形变量)求：
(1)子弹射入靶盒的过程中，系统损失的动能；
(2)靶盒刚离开弹簧时的动能；
(3)O点到平台右端的距离；
(4)木板运动的总路程．
答案 (1)475 J (2)21 J (3)3 m (4)3.125 m
解析 (1)子弹射入靶盒的过程中，由动量守恒定律有mv＝(m＋m)v，得v＝5 m/s
0 0 1 0
系统损失的动能
ΔE＝mv2－(m＋m)v2，
k 0 0 1 0
解得ΔE＝475 J；
k
(2)子弹进入靶盒后，设靶盒向左运动的最大距离为x，由能量守恒定律有
(m＋m)v2＝μ(m＋m)gx＋kx2，
1 0 1 0
解得x＝0.5 m，靶盒再次返回到O点时离开弹簧，设此时动能为E，
k
由动能定理有
－2μ(m＋m)gx＝E－(m＋m)v2，
1 0 k 1 0
解得E＝21 J；
k
(3)设O点到平台右端的距离为s，靶盒A离开O点后仅在摩擦力的作用下做匀减速直线运动，
滑上木板后，木板与墙壁多次碰撞，最终靶盒停在木板右端，
由能量守恒定律得E＝μ(m＋m)g(s＋l)，
k 1 0
解得s＝3 m；
(4)设靶盒滑上长木板时的速度大小为v，由动能定理有
1
－μ(m＋m)gs＝(m＋m)v2－E，
1 0 1 0 1 k
解得v＝3 m/s，
1
设之后靶盒与木板达到共同速度v′，(m＋m)v＝(m＋m＋m)v′，
1 1 0 1 1 0 2 1
解得v′＝2 m/s，该过程中木板的位移为s，
1 1
木板的加速度为a，μ(m＋m)g＝ma，
1 0 2
根据v′2＝2as，
1 1
解得s＝0.5 m
