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2024-2025学年度第一学期月考 答案
D
高三数学试题
5.已知等比数列{a}的前3项和为168,a-a=42,则a= ( )
n 2 5 6
A.14 B.12 C.3 D.4
分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项： 答案 C
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 2❑√2
6.若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3
第I卷（选择题）
π π 3π
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是 A. B. C. D.π
2 4 4
符合题目要求的.
1.＝( )
答案 B
A．－1 B． 1－i
C．1 D．1＋i 7.已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为( )
答案 B A．1 B．＋1
2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) C． D． －1
A.-1 B.0 C.-2 D.1 答案 D
答案 D 8.已知数列{a n }满足a n = n ,则a 1 +a 2+ a 3+…+ a 2 020 + a 2 021 = ( )
n+1 22 32 2 0202 2 0212
3.设等差数列{a }的前n项和为S ,若S =-2,S =0,S =3,则m=( )
n n m-1 m m+1
2 021 2 018 2 019 2 020
A. B. C. D.
A.3 B.4 C.2 D.5
2 022 2 019 2 020 2 021
答案 D
答案 A
解:∵数列{a }为等差数列,且前n项和为S,
n n 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
∴数列{S }也为等差数列.
n 9.已知等比数列{a }的公比为q,前4项的和为a +14,且a ,a +1,a 成等差数列,则q的值
n n 1 2 3 4
可能为 ( )
S S 2S -2 3
∴ m-1+ m+1= m,即 + =0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选D. 1
m-1 m+1 m m-1 m+1 A.1 B. C .3 D.2
2
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=❑√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
答案 BD
A.-2 B.-1 C.0 D.1
10.已知等差数列{a}是递减数列,S 为其前n项和,且S=S,则 ( )
n n 7 8
高三数学试卷 第 1 页 共 4 页
学科网（北京）股份有限公司A.d>0 B. S >0 所以当n=4时,S 取得最小值,最小值为-16.
15 n
C.a=0 D.S、S 均为S 的最大值
8 7 8 n
答案 CD
11.等差数列{a}的前n项和为S,已知S =0,S =25,则 ( ) 16．（15分）已知数列{a}的各项均为正数,记S 为{a}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条
n n 10 15 n n n
A.a=0 件,证明另外一个成立.
5
B.{a}的前n项和中S 最小 ①数列{a}是等差数列;②数列{ }是等差数列;③a=3a.
n 5 n ❑√S 2 1
n
S
C. n的最大值为0
n 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
D.nS 的最小值为-49 解题指导:先选两个作为条件,余下一个作为结论,然后进行证明.如果是证明③,利用等差中项法,即只
n
答案 BD
需2 ,通过化简即可得证;如果是证明①或②,可先求数列的通项公式,再利用等差数
❑√S =❑√S +❑√S
第II卷（非选择题） 2 1 3
列的定义证明即可.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在等差数列{a }中,若a +a +a +a +a =30,则a +a = .
n 3 4 5 6 7 2 8
解析
选①②作为条件,证明③.
答案 12
证明:设等差数列{a}的公差为 d,因为{ }是等差数列,所以 2 ,即 2
n ❑√S ❑√S =❑√S +❑√S
n 2 1 3
1
13.数列{a }满足a = ,a =2,则a = .
n n+1 1-a 8 2
n
,两边平方,得 4(2a+d)=a+3a+3d+2 ,整理得 4a+d=2
❑√2a +d=❑√a +❑√3a +3d 1 1 1 ❑√a (3a +3d) 1
答案 2 1 1 1 1 1
2 1
14.若数列{a }的前n项和S = a + ,则{a }的通项公式是a = .
n n 3 n 3 n n ❑√a (3a +3d) ,两边平方,得16 a2 +8a 1 d+d2=4(3 a2 +3a 1 d),化简得4 a2 -4a 1 d+d2=0,即 (2a -d) 2 =0,所以
1 1 1 1 1 1
答案 (-2)n-1
d=2a,则a=a+d=3a.
1 2 1 1
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
选①③作为条件,证明②.
15．（13分）记S 为等差数列{a}的前n项和,已知a=-7,S=-15.
n n 1 3
证明:设等差数列{a}的公差为d.
(1)求{a}的通项公式; n
n
因为a=3a,即a+d=3a,所以d=2a.
(2)求S,并求S 的最小值. 2 1 1 1 1
n n
n(n-1) n(n-1)
解析 (1)设{a}的公差为d,由题意得3a+3d=-15. 所以等差数列{a}的前n项和S=na+ d=na1+ ·2a=n2a.又a>0,所以❑√S =n❑√a .
n 1 n n 1 2 2 1 1 1 n 1
由a=-7得d=2.
1
则 =(n+1) ,所以数列{ }是公差为 的等差数列.
❑√S -❑√S ❑√a -n❑√a =❑√a ❑√S ❑√a
所以{a}的通项公式为a=2n-9. n+1 n 1 1 1 n 1
n n
(2)由(1)得S=n2-8n=(n-4)2-16.
n
第 2 页 共 4 页选②③作为条件,证明①. (n-2)[2+(3n-7)] 3 11
=5+ = n2- n+10.
2 2 2
证明:设等差数列{ }的公差为 d,因为 ,所以 d=
❑√S ❑√S =❑√a ,❑√S =❑√a +a =❑√a +3a =2❑√a
n 1 1 2 1 2 1 1 1 当n=2时,满足此式,
,则等差数列{ }的通项公式为 +(n-1) ,所以 { 4,n=1,
❑√S -❑√S =2❑√a -❑√a =❑√a ❑√S ❑√S =❑√a ❑√a =n❑√a 综上,S =
2 1 1 1 1 n n 1 1 1 n 3 11
n2- n+10,n>1.
2 2
S=n2a,当n≥2时,a=S-S =n2a-(n-1)2a=(2n-1)a,且当n=1时,上式也成立,所以数列{a}的通项公式
n 1 n n n-1 1 1 1 n
为a=(2n-1)a,则a -a=(2n+1)a-(2n-1)a=2a,所以数列{a}是公差为2a 的等差数列. 18．（17分）已知数列{a n }的前n项和S n 满足S n =2a n -1.
n 1 n+1 n 1 1 1 n 1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
2n-1
(2)记b= ,求数列{b}的前n项和T.
n a n n
n
解析 (1)当n=1时,S=2a-1,解得a=1.
1 1 1
当n≥2时,S =2a -1,则S-S =a=2a-2a ,即a=2a .所以{a}是以1为首项,2为公比的等比数列,所
17．（15分）已知等差数列{a }前三项的和为-3,前三项的积为8. n-1 n-1 n n-1 n n n-1 n n-1 n
n
以a=2n-1(n∈N*).
(1)求等差数列{a }的通项公式; n
n
2n-1 2n-1 3 5 2n-1
(2)若a,a,a 成等比数列,求数列{|a |}的前n项和. (2)b= = ,∴T=1+ + +…+ ,
2 3 1 n n a 2n-1 n 21 22 2n-1
n
解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,则a 2 =a 1 +d,a 3 =a 1 +2d,由题意得{ 3a 1 +3d=-3, ∴ 1 Tn= 1 + 3 + 5 +…+ 2n-3 + 2n-1 ,
a (a +d)(a +2d)=8, 2 21 22 23 2n-1 2n
1 1 1
1 2 2 2 2 2n-1 2n+3 2n+3
两式相减得 Tn=1+ + + +…+ - =3- ,∴T=6- (n∈N*).
解得{a =2,或{a =-4, 2 21 22 23 2n-1 2n 2n n 2n-1
1 1
d=-3 d=3.
{S } 1
19．（17分）记S 为数列{a}的前n项和,已知a=1, n 是公差为 的等差数列.
所以由等差数列通项公式可得a=2-3(n-1)=-3n+5或a=-4+3(n-1)=3n-7. n n 1 a 3
n n n
故a=-3n+5或a=3n-7.
n n
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)当a=-3n+5时,a,a,a 分别为-1,-4,2,不成等比数列;
n 2 3 1 1 1 1
(2)证明: + +…+ <2.
当a=3n-7时,a,a,a 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. a a a
n 2 3 1 1 2 n
{-3n+7,n=1,2, 解析 (1)解法一:依题意得,S=a=1.
故|a|=|3n-7|= 1 1
n 3n-7,n≥3.
∴S 1+(n-1)×1 n+2.
记数列{|a |}的前n项和为S. n= =
n n
a 1 3 3
n
当n=1时,S =|a|=4;当n=2时,S =|a|+|a|=5;
1 1 2 1 2
∴3S=(n+2)a,则3S =(n+1+2)a =(n+3)a ,
当n≥3时,S =S +|a|+|a|+…+|a|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) n n n+1 n+1 n+1
n 2 3 4 n
高三数学试卷 第 3 页 共 4 页
学科网（北京）股份有限公司∴3S -3S=(n+3)a -(n+2)a,
n+1 n n+1 n
即3a =(n+3)a -(n+2)a,
n+1 n+1 n
∴na
n+1
=(n+2)a
n
,即a
n+1=
n+2,
a n
n
由累乘法得a (n+1)(n+2),
n+1=
a 1×2
1
(n+1)(n+2)
又a=1,∴a = ,
1 n+1
2
n(n+1)
∴a= (n≥2),又a=1满足上式,
n 1
2
n(n+1)
∴a= (n∈N*).
n
2
解法二:同解法一求得na =(n+2)a,
n+1 n
∴a a ,即 a a ,
n+1 = n n+1 = n
n+2 n (n+1)(n+2) n(n+1)
∴数列{ a
n
}是常数列,首项为1,
n(n+1) 2
∴ a 1,∴a=n(n+1).
n = n
n(n+1) 2 2
(2)证明:由(1)知 1 2 (1 1 ),
= =2 -
a n(n+1) n n+1
n
∴ 1 1 1 (1 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 ) 2 <2.
+ +…+ =2 - +2 - +…+2 - =2 1- =2-
a a a 1 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
1 2 n
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