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2024～2025 学年度上学期高三 10 月月考试卷
数学
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量及应
用、复数、数列、立体几何初步.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数 （ ）对应的点在直线 上，则 （ ）
A.1 B. C. D.
3.在 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线 与 所成的角为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.90° B.60° C.45° D.30°
6.在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 是 ， 的等差中项， ，
，则该三角形外接圆的半径 为（ ）
A. B. C. D.
7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三
项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知
数列 为“斐波那契数列”，则 （ ）
A.2023 B.2024 C.1 D.2
8.已知函数 满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知平行四边形 中， ，将 沿着 翻折使点 到达点 且 不在平面
内，则下列结论正确的是（ ）
A.直线 可能与直线 垂直 B.直线 可能与直线 垂直
C.直线 可能与直线 垂直 D.直线 不可能与直线 垂直
10.已知等比数列 首项 ，公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，函数
，若 ，则（ ）
A. 为单调递增的等差数列 B.
学科网（北京）股份有限公司C. 为单调递增的等比数列 D.使得 成立的 的最大值为6
11.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A.函数 存在两个不同的零点
B.函数 既存在极大值又存在极小值
C.当 时，方程 有且只有两个实根
D.若 时， ，则 的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出“ ”的一个充分不必要条件______.
13.已知函数 （ ）在 上有最小值没有最大值，则 的取值
范围是______.
14.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.
如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，
则该截角四面体的外接球表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，且 ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为平行四边形， ， 分别为 ，
的中点.
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求点 到平面 的距离.
17.（本小题满分15分）
已知函数 的图象如图所示.
（1）写出函数 的关系式；
（2）已知 ， ， .若 ， ，
恒成立，求实数 的取值范围.
18.（本小题满分17分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，均有
恒成立，求实数 的取值范围.
19.（本小题满分17分）
学科网（北京）股份有限公司设函数 在区间 上可导， 为 的导函数.若 是 上的减函数，则称 为 上的
“上凸函数”；反之，若 为 上的“上凸函数”，则 是 上的减函数.
（1）判断函数 在 上是否为“上凸函数”，并说明理由；
（2）若函数 是其定义域上的“上凸函数”，求 的范围；
（3）已知函数 是定义在 上的“上凸函数”， 为曲线 上的任意一点.求证：除点 外，
曲线 上每一点都在点 处切线的下方.
学科网（北京）股份有限公司2024～2025 学年度上学期高三 10 月月考试卷・数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A C B A C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 AB BCD ABC
1. D 因为 ， ，且 ，
所以 ，故选D.
2. B 在复平面内复数 （ ）对应的点为 ，
所以 ， ，故选B.
3. A .
4. C ∵ ，∴ ，得 ，
∴ ，故选C.
5. B 把展开图还原成正方体如图所示，由于 且相等，
故异面直线 与 所成的角就是 和 所成的角，
故 （或其补角）为所求，再由 是等边三角形，可得 .故选B.
学科网（北京）股份有限公司6. A 因为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
故 ，
解得 ， ，
因为 ，所以 .
7. C 由题意得 ， ，
， ，…，
，
所以 ，所以
.故选C.
8. A 令 得 ；令 ， 得 ，所以 ；
令 ， 得 ，所以 ；
令 ， 得 ，所以 ；
令 ， 得 .综上只有A正确.
学科网（北京）股份有限公司9. AB 当平面 与平面 垂直时，由 可得 平面 ，此时 ，
，A正确，D错误；当 时，在翻折过程中， 可以取从0°到
的范围，而 ，即直线 与直线 所成角为 ，所以存在点 ，使得 ，B正确；
由 可得 ，所以 为锐角， 为锐角，所以C错误，故选AB.
10. BCD 令 ，则 ，
∴ ，∴ ，
因为 是等比数列，所以 ，即 ，
∵ ，∴ ，B正确；
∵ ，∴ 是公差为 的递减等差数列，A错误；
∵ ，
∴是首项为 ，公比为 的递增等比数列，C正确；
∵ ， ， ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 时， ，
∵ ，∴ 时， ，
又 ， ，所以使得 成立的 的最大值为6，D正确.故选BCD.
学科网（北京）股份有限公司11. ABC A项， ，则 ，解得 ，所以A正确；
B项， ，
当 时， ，当 时， 或 ，
所以函数 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是 .
所以 是函数的极小值， 是函数的极大值，所以B正确.
C项，当 时， ，根据B可知，函数的最小值是 ，
故当 时，方程 有且只有两个实根，所以C正确；
D项， ， 也符合要求，所以D不正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. （答案不唯一） ，
∵ 的一个充分不必要条件只需是 的真子集.
13. ，
当 时， ，若 在 上有最小值没有最大值，
则 ，所以 .
14. 因为棱长为 的正四面体的高为 ，
所以截角四面体上下底面距离为 ，
设其外接球的半径为 ，等边三角形 的中心为 ，正六边形 的中心为 ，
易知外接球球心 在线段 上，且 垂直于平面 与平面 ，则
学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，解得 ，
所以该截角四面体的外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.解：（1）在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .
（2）若 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
解得 ，
所以 的面积为 .
16.（1）证明：取 的中点 ，连接 ， .
学科网（北京）股份有限公司因为 为 的中点，所以 ，且 .
又 为 的中点，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 .
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 .
（2）解：在 中， ， ，
由正弦定理得 ，则 .
因为 平面 ，所以 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
在等腰 中， 上的高为 ，
所以 .
设点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，
解得 ，即点 到平面 的距离为 .
学科网（北京）股份有限公司17.解：（1）由图可得， ， ， ，
设函数 ，将点 代入得 ，结合图象解得 ，
所以 .
（2） ， ，
则
.
由题意知函数 在 内的最小值大于等于函数 的最大值.
∵ ，∴ ，∴ ，在 上，函数 .
∵ ， ，∴ ，
，∴ ，∴ .
18.解：（1）因为 ，
当 时，有 ，
两式相减得 ，
化简得 .
因为 ，所以 ，
在 中，当 得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，故 .
（2）由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
由题意，对任意的 ，均有 恒成立，
∴ ，即 恒成立.
设 ，
所以 .
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 的最大值为 ，
所以 ，故 的取值范围是 .
19.（1）解： 在 上是“上凸函数”，理由如下：
学科网（北京）股份有限公司，
令 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 在区间 上为“上凸函数”.
（2）解： 的定义域为 ，
，令 ，
由题意 （ ）.
因为函数 是定义在 上的“上凸函数”，所以函数 在 上单调递减，
所以 （ ）恒成立，即 （ ）恒成立.
设 （ ），
①当 时，函数 在 上单调递增，只需 ，无解；
②当 时，只需 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .9分
（3）证明：已知函数 是定义在 上的“上凸函数”，所以 是 上的减函数，
设 ，则在 上 .
设 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ，
设 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
所以 在 上单调递减.
又 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ， ，所以 ，
所以除点 外，曲线 上每一点都在点 处切线的下方.
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