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专题13 平衡中的临界和极值问题
1.
如图所示，在细绳的下端挂一物体，用力F拉物体，使细绳偏离竖直方向α角，且保
持α角不变，当拉力F与水平方向夹角β为多大时，拉力F的值最小( )
A．β＝0 B．β＝
C．β＝α D．β＝2α
2.
[2022·河南省联考]如图所示，垂直墙角处有一个横截面为半圆的光滑柱体，用细线
拉住的小球静止靠在接近半圆底端的M点，通过细线将小球从M点缓慢向上拉至半圆最高
点的过程中，细线始终保持在小球处与半圆相切．下列说法正确的是( )
A．细线对小球的拉力逐渐增大
B．小球对柱体的压力大小不变
C．柱体受到水平地面的支持力逐渐增大
D．柱体对竖直墙面的压力先减小后增大
3.
[2022·河北省测评](多选)如图所示，质量为m的小球固定在一轻杆的一端，轻杆另
一端通过铰链固定于O点．现给小球施加一拉力F，使小球与轻杆在竖直平面内绕O点缓慢
转动，转动过程中拉力F与轻杆的夹角始终为θ＝60°.则从小球刚好离开地面至轻杆转
过90°的过程中( )
A．拉力F有最大值，为mg
B．拉力F有最小值，为mg
C．轻杆对小球的弹力F先增大后减小
N
D．轻杆对小球的弹力F先减小后增大
N
4．[2022·重庆月考]如图所示，光滑圆环竖直固定，A为最高点，橡皮条上端固定在A点，下端连接一套在圆环上的
轻质小环，小环位于B点，AB与竖直方向的夹角为30°.用光滑钩拉橡皮条中点，将橡皮
条中点拉至C点时，钩的拉力始终垂直于连线AB且大小为F，此时B、C两点关于圆环的竖
直直径对称，为保持小环静止于B点，需给小环施加一作用力F′，下列说法中正确的是(
)
A．若F′沿水平方向，则F′＝F
B．若F′沿竖直方向，则F′＝F
C．F′的最小值为F
D．F′的最大值为F
5.
[2022·山东省济宁市邹城市期中]如图所示，光滑固定斜面上有一个质量为10 kg的
小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为 45°，斜面倾角为30°，
整个装置处于静止状态，取g＝10 m/s2，结果中可保留根号．求：
(1)绳中拉力的大小和斜面对小球支持力的大小；
(2)若另外用一个外力拉小球，能够把小球拉离斜面，其最小拉力的大小．
专题13 平衡中的临界和极值问题
1．C
2.C 以小球为对象，设小球所在位置切线方向与竖直方向夹角为θ，如图所示，因缓
慢向上，则沿切线方向有F＝mg cos θ，沿半径方向有F＝mg sin θ，小球向上至半圆
r N1
最高点的过程中θ增大，所以细线对小球的拉力减小，小球对柱体的压力增大，故A、B
错误；以柱体为对象，竖直方向柱体受到地面的支持力 F ＝Mg＋Fsin θ＝Mg＋mg
N2 N1
sin2θ，水平方向墙面的力F＝Fcosθ＝mg sin θcos θ＝mg sin 2θ，θ增大，地面
N1
的支持力逐渐增大；柱体对竖直墙面的压力先增大后减小，当θ＝45°时柱体对竖直墙面
的压力最大，故C正确，D错误．
3.
AC 选取小球运动过程某一状态，对其受力分析，作出支持力与拉力的合成图，如图
所示，由题意知，α＋β＝120°
在力的三角形中应用正弦定理得＝＝，从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程
中，β从90°减小到0，sin β逐渐减小，拉力F逐渐减小，因此当β＝90°时，F最
大，此时F＝mg，α从30°增加到120°，sin α先增大后减小，弹力F先增大后减小，
N
当α＝90°时，F最大．综上所述，A、C正确，B、D错误．
N
4.
C 设橡皮条的拉力大小为T，由几何关系可知2T cos 30°＝F，解得T＝F，若F′沿
水平方向，则小环只受橡皮条的拉力和F′，由平衡条件知F′＝T＝F，故A错误；若F′
沿竖直方向，则有F′＝T tan 30°＝F，故B错误；作出小环的受力图如答图所示，由三
角形定则知，当F′⊥N时，F′有最小值F′ ＝T·sin 30°＝F，故C正确；根据平行四
min
边形定则可知，F′的值可取无穷大，故D错误．
5．(1)51.8 N 73.2 N (2)70.7 N
解析：(1)如图，沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，对小球受力分析，把不在坐标轴上的力沿轴分解，则
水平方向上有Fsin 45°－Fsin 30°＝0
T N
竖直方向上有Fcos 45°＋Fcos 30°－mg＝0
T N
由以上两式得F＝100(－1) N≈73.2 N
N
F＝50(－) N≈51.8 N
T
(2)外力方向与绳子垂直时，拉力最小．
拉力的最小值为F ＝mg sin 45°
min
代入数据，解得F ＝50 N≈70.7 N
min
