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通州区 2021-2022 学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷
一、选择题
1. 已知二次函数 的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（ ）
A. a＞0，c＞0 B. a＞0，c＜0 C. a＜0，c＞0 D. a＜0，c＜0
2. 如图， 的顶点位于正方形网格的格点上，若 ，则满足条件的 是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在半径为6cm的圆中， 的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
4. 如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（ ）A. 22.5° B. 45° C. 90° D. 67.5°
5. 如图，在 中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 切 于点 ．若 ， ，
则 等于（ ）．
A. 6 B. 4 C. D. 3
7. 如图，某停车场入口的栏杆从水平位置 绕点 旋转到 的位置．已知 米，若栏杆的旋转
角 ，则栏杆端点 上升的垂直距离 为（ ）A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 某同学将如图所示的三条水平直线 ， ， 的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直
线 ， ， 的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数
的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题
9. 如图，在量角器的圆心 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点 处观测，当量角器
的0刻度线 对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是 ，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是__．10. 如图，在 ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常
数）．那么常数a的值等于________．
11. 在 ABC中， ， ， ，那么 的长为________．
12. 已知P( ， )，Q( ， )两点都在抛物线 上，那么 ________．
13. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在
镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝
2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝________m．
14. 如图，过点A(0，4)作平行于x轴 的直线AC分别交抛物线 与 于B、
C两点，那么线段BC的长是________．15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的
一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水
面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．
16. 如图， ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：① ；② ADE∽
ABC；③ ；④ ．其中结论正确的是：________（只填序号）．
三、解答题17. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图象经过点 ．求此二次函数的
表达式及顶点的坐标．
18. 如图，在 中， ， ， ．求 ， 和 ．
19. 如图， ，点B、C分别在AM、AN上，且 ．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证： ABC∽ ADB．
20. 已知关于x的二次函数 ．
（1）如果二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=2，求m
的值；
（2）若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．21. 已知：A，B是直线l上的两点．
求作： ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC， ．
作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC． ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴ OAB是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝ ∠AOB（ ）（填推理的依据）．
∴ ．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC（ ）（填推理的依据）．
∴ ABC就是所求作的三角形．
22. 如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF
BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
23. 已知一个二次函数的表达式为 ．
（1）当 时，若P( ， )，Q( ， )两点在该二次函数图象上，求 的值；
（2）已知点A( ，0)，B( ， )，二次函数 的图象与线段AB只有一个公共点，直接
写出 的取值范围．
24. 如图， ABC是⊙O的内接三角形， ， ，连接AO并延长交⊙O于点D，
过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝6，求线段AE的长．的
25. 二次函数 图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点
B，点B在二次函数 的图象上．
（1）求点B的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）二次函数的对称轴是直线 ；
的
（3）已知点( ， )，( ， )，( ， )在二次函数 图象上．
若 ，比较 ， ， 的大小，并说明理由．
26. 如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝ ．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝ ，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．27. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度
的
最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)
＝0．已知：如图，点A( ，0)，B(0， )．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝ ，d(B，⊙O)＝ ．
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；
的
（3）如果C(m，0)是x轴上 动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范
围．
