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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
通州区 2023～2024 学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷
2024年1月
考生须知：
1．本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分．每题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个．）
1. 在 中， ， ， ，则 的值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记三角函数的定义是解题的关键，作出图形更形象直观．
利用勾股定理列式求出 ，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．
【详解】解：∵ ，
故选：D．
2. 已知 的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在 （ ）
A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定
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【答案】A
【解析】
【分析】根据点P到圆心O的距离小于圆的半径，可知点P在 内．
本题主要考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离小于圆的半径，点在圆内，是解题关键．
【详解】∵ 的半径为6，点P到圆心O的距离为4，且 ，
∴点P在 内．
故选：A．
3. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所
得到的抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象平移变换规则：左加右减，上加下减，据此解答即可．
【详解】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴所得到的抛物线的表达式为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换-平移，熟练掌握图象平移变换规则：左加右减，上加下减是
解答的关键．
4. 如图，点 ， ， 在 上， 是等边三角形，则 的大小为（ ）
A. 60° B. 40° C. 30° D. 20°
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【答案】C
【解析】
【分析】由 为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴ = ∠AOB = ×60°=30°．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
5. 如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（
）
A. P B. P C. P D. P
1 2 3 4
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠BAC=∠PED=90°， ，
∴当 时， ABC∽△EPD时．
△
∵DE=4，
∴EP=6．
∴点P落在P 处．
3
故选C．
6. 下列关于二次函数 的说法正确的是（ ）
A. 它的图象经过点（-1，-3） B. 它的图象的对称轴是直线x=3
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C. 当x=0时，y有最大值为0 D. 当x<0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝−1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，
即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断
D．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴当x＝−1时，y＝3，故选项A不符合题意；
它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意；
当x＝0时，y有最小值为0，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是
明确题意，利用二次函数的性质解答．
7. 在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若 DQE的面积为9，则 AQB的面积
为（ ） △ △
A. 18 B. 27 C. 36 D. 45
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质证明 再利用相似三角形的性质可得答
案．
【详解】解：如图，
为 的中点，
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故选C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
8. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数 的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图
象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数自变量的取值范围确定b的取值是解题的关键．
由图象可知，当 时， ，可知 ；由函数自变量的取值范围可得 ，结合函数图象可得
；从而可得答案.
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【详解】解：由图象可知，当 时， ，
∴ ；
由函数自变量的取值范围可得 ，结合函数图象可得 ；
故选：A．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 已知扇形的圆心角为 ，半径为2，则扇形的弧长为__（结果保留 ．
【答案】 ##
【解析】
的
【分析】已知扇形 圆心角为 ，半径为2，代入弧长公式计算．
【详解】解：依题意， ， ，
扇形的弧长 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长= ．
10. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____．
【答案】
【解析】
【详解】∵AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2，4，
∴AB= ．
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∴sin∠ABC= ．
11. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度 的山坡 上植树，要求相邻两树间的水平距离
为 米，则斜坡上相邻两树间 的坡面距离为______米．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查坡度问题，利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间 的坡面距离．
【详解】解： 坡比 ， ，
，即 ，
解得 ，
（米），
故答案为：4．
12. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮
船的轮子被水面截得的弦 长为8米，轮子的半径 为5米，则轮子的吃水深度 为______米．
【答案】2
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【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，发现隐含条件 是解题的关键．由题意可
得 ，由垂径定理可得 ，再根据勾股定理求得 ，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：由题意可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为2．
13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位： ）与电阻R（单位： ）是反比例函数
关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ，那么用电器的可变
电阻R应控制在______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数
形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过 列不等式，结合图象求出结论．
【详解】解：设反比例函数关系式为： ，
把 代入得： ，
∴反比例函数关系式为： ，
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当 时，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若
∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．
【答案】50
【解析】
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，
根据圆周角定理即可求得到∠CAD．
【详解】解：连接OC、OD，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，OD⊥DP，
∵OP=OP，OC=OD，
∴ POC≌ POD(HL)，
∴△∠CPO=∠△DPO，
∵∠CPA=40°，
∴∠CPD=80°，
∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，
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∵∠CAD= ∠COD=50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的
半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
15. 如图，A，B两点在反比例函数 的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形
面积为1，则阴影部分的面积之和为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数 图像中任取一点，过这一个点向x轴
和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂
线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．根据反比例函数解析式中k
的几何意义可知 ，因为 ，则 ，然后求和即
可解答．
【详解】解：∵A，B两点在反比例函数 的图像上，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
的
∴阴影部分 面积之和为 ．
故答案为6．
16. 在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ．P是第一象限内任意一点，连接 ， ．若
， ，则我们把 叫做点P的“角坐标”．
（1）点 的“角坐标”为______；
（2）若点P到x轴的距离为2，则 的最小值为______．
【答案】 ①. ②. 90
【解析】
【分析】(1)设点 P 的坐标为 ，过点 P 作 轴于点 B，根据点 A 的坐标为 ，推出
，根据新定义即得．
(2) 根据点P运动的路径是直线 ，与以 为直径的 相切，推出点P在切点时， 最
大，得到 最小．
本题主要考查了新定义，等腰直角三角形，圆切线与圆周角．熟练掌握新定义，等腰直角三角形的性质，
圆切线判定，圆周角定理推论，是解决问题的关键．
【详解】（1）设点P的坐标为 ，过点P作 轴于点B，
∵点A的坐标为 ，
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∴
∴ ，
∴点P的“角坐标”为 ，
故答案为： ；
（2）∵点P到x轴的距离为2，
∴点P在直线l： 上运动，直线l与以 为直径的 相切，
设P在切点，在直线l上另取一点R，连接 ， ， ， ，设 与 交于点S，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为最大值，
∵ ，
∴ 的最小值是90．
故答案为：90．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每题5分；第23～26题每题6分；第27～28题每题
7分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
17. 计算： ．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握结果特殊角的三角函数值，注意运算的符号．
将特殊角的三角函数值代入，先平方，再作加法运算；
【详解】解：原式 ．
18. 如图，在 中， ， ， ．求 的长和 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础
题型；
根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19. 已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
x … 1 3 4 …
y … 12 5 0 0 5 …
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（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、运用待定系数法求函数解析式等知识点，掌握待定系数法
是解题的关键．
（1）直接运用二次函数图像的对称性解答即可；
（2）由题意可得二次函数图像的顶点坐标为 ，然后设设该二次函数表达式为：
，再将 代入求得a即可解答．
【小问1详解】
解：∵二次函数图像经过点 和 ，
∴该二次函数图像的对称轴为直线 ．
【小问2详解】
解：由题意可知：二次函数图像的顶点坐标为 ，
∴设该二次函数表达式为： ，
将 点代入得： ，
∴ ，
∴ ．
20. 如图，在 中， ， 平分 ，交 于点D， ， ，求
的长．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正切函数、特殊角的三角函数值、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，
根据题意求得 是解答本题的关键．
先 根 据 正 切 的 定 义 以 及 特 殊 角 的 函 数 值 可 得 ， 由 角 平 分 线 的 定 义 可 得
，进而得到 ，最后根据直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：在 中， ， ，
∴
∴
∵ 平分 ，
∴
∴
在 中， ，
∴ ．
21. 无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据
传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C
的俯角分别是 和 ，此时无人机距直线 的垂直距离是200米，求小山两端B，C之间的距离．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是读懂题意，构造直角三角形求解．先作
于D，分别求出 和 ，再相加即可．
【详解】解：过点A作 于点D
∴测得小山两端B，C的俯角分别是 和 ，
∴ ， ，
在 中，
在 中，
∴ ．
答：小山两端B，C之间的距离为 米
22. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图， ．
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求作：直线BD，使得 ．
作法：如图，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ______．
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∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
【答案】（1）作图见解析；（2） 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得 ，证明 ，利用圆周角定理可得 ，从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，直线BD就是所求作的直线
（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ．
∴ （在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴ ．
故答案为： 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握
“圆周角定理”是理解作图的关键.
23. 如图， 中， ，以 为直径的半圆与 交于点D，与 交于点E．
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（1）求证：点D为 的中点；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质：
（1）连接 ，利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论；
（2）方法一：根据圆内接四边形 的性质及等腰三角形的判定即可求证结论；
方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论；
熟练掌握相关知识是解题的关键．
【小问1详解】
证明：连结 ，如图：
为半圆的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点D为AB的中点．
【小问2详解】
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方法一：证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
方法二：证明：连结 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
24. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 的一个交点是 ．
（1）求 和 的值；
（2）设点 是双曲线 上一点，直线 与 轴交于点 ．若 ，结合图象，直接写出点
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的坐标．
【答案】（1） ， ．（2）满足条件的点 坐标为 或 ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，由AE∥PF，得到
，推出BF=1，②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得
，推出BF=1，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）把点 的再把代入 得到 ，
再把 的再把代入 ， ，解得 ，
所以 ， ．
（2）①当点 在第三象限时，如图1，作 轴于 ， 轴于 ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当点 在第一象限时，如图2，作 轴于 ， 轴于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．
25. 如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点 ，交 于点 ，过点 作
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交 的延长线于点 ．
的
（1）求证： DF是 切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，圆的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握切线的判定，特殊角的三角函
数值是解题的关键．
（1）连接 ，证明 即可．
（2）在 中，根据 ， ，得出 ， ，利用平行线性质得到
，在 ，利用三角函数计算即可．
【小问1详解】
证明：连结
∵ 为 的直径，
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∴
∵ 平分 ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴直线 是 的切线．
【小问2详解】
解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
又∵ ，
∴
在 中， ，
∴ ．
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若 ， ，则 ______ ；（用“ ”，“ ”，或“ ”填空）
（3）若对于 ， ，都有 ，求m的取值范围．
【答案】（1）
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（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上的点的特征解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系；
（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分别将 代入解析式求解．
（3）求出点 关于对称轴对称点为 ，根据抛物线开口向上及 求解；
【小问1详解】
解：∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ．
【小问2详解】
将 代入 得
将 代入 得 ，
∴ ．
【小问3详解】
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴对称点为
∵抛物线开口向上， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
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27. 如图， 中， ， ，点D在 的延长线上，取 的中点F，连结
，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连结 ．
（1）依题意，请补全图形；
（2）判断 的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） ， ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意描述画图即可；
（2）取 中点M，连结 ，结合F为 中点，得出 ， ，根据旋转性质可
得 ，结合 可得， ，证出 ，即可得出 ，
，再根据 ，得出 ，即可证明；
【小问1详解】
如图：
【小问2详解】
， ，
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证明：取 中点M，连结 ，
∵F为 中点，
∴ ， ，
∵线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，解
题的关键是正确作出辅助线和对应图形．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 ．给出如下定义：过 外一点 做直线与 交于点
、 ，若 为线段 的中点，则称线段 是 的“外倍线”．
（1）如图 ，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．在线段 ， ， 中，
的“外倍线”是______；
（2） 的“外倍线” 与直线 交于点 ，求点 纵坐标 的取值范围；
（3）如图 ，若 的“外倍线” ， 的坐标为 ，直线 与线段 有公共点，直
接写出 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
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【分析】（ ）根据新定义即可求解；
（ ）由题意确定点 的位置，再用勾股定理即可求解；
（ ）利用，则可知通过相切确定 的最大和最小值，再根据切线的性质和勾股定理即可求解；
此题考查了圆的切线和勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【小问1详解】
如图，点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
根据“外倍线”定义可知：
∴ ， 是 的“外倍线”，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
如图，由（ ）得：
则在第一象限的交点 的纵坐标为： ，
根据对称性可知第四象限的交点 的纵坐标为： ，
∴ ；
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【小问3详解】
如图，点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
∴ ， ，
∴ 的最小值为 ，最大值为 ，
∴ 的取值范围 ．
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