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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 北京门头沟初三（上）期末
数学
2024.1
考生须知
1.本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.
2.请将条形码粘贴在答题卡相应位置处.
3.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.请使用2B铅笔填涂，用黑色
字迹签字笔或钢笔作答.
4.结束后，请将试卷和草稿纸一并交回.
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 如果 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出 ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
故选：A．
2. 将抛物线 向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线 向上平移3个单位得到解析式： ，
再向左平移1个单位得到抛物线的解析式为： ．
故选：D
【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定
图形的变化是解题的关键．
3. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数的知识解答．根据题意
作出合适的辅助线，然后利用勾股定理可以求得 的长，从而可以求得 的值．
【详解】解：作 交 的延长线于点D，如图所示，
由图可知， ，
，
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，
故选：C．
4. 已知 的半径为4，如果 的长为3，则点P在（ ）
A. 内 B. 上 C. 外 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点到圆心的距离小于半径，则该点在圆内，若点到圆心的
距离等于半径，则该点在圆上，若点到圆心的距离大于半径，则该点在圆外，据此可得答案．
【详解】解：∵ 的半径为4，如果 的长为3，且 ，
∴点P在 内，
故选A．
5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）
×180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选B．
6. 若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， 的大小关系是（
）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的
解析式．
将点 分别代入反比例函数 ， 求得 ， 的值后， 再来比较一下
它们的大小．
【详解】∵点 都在反比例函数 的图象上，
故选：C．
7. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽 为 ，水的
最大深度 为 ，则此管件的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
关键．连接 ，先由垂径定理求出 的长，再根据勾股定理求出 的长，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
由题意知， ，则 ，
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
∴此管件的直径为 ，
故选：C．
8. 二次函数 的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
有如下结论：
①抛物线的开口向上
②抛物线的对称轴是直线
③抛物线与y轴的交点坐标为
④由抛物线可知 的解集是
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其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与不等式的关系，解答
本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个
选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线 ，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，故选项①②正确；
∵当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点坐标为 ，故选项③正确；
∵ 和 时， ，
∴当 ， ，
的解集是 ，故选项④正确，
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知二次函数 的顶点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式的特点求解即可．
【详解】解：二次函数 的顶点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答的关键是熟知二次函数 的顶点坐标为 ．
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10. 如图，在 中， ， ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据 ，得到 ，得到
，由 ， ， 即可求．
【详解】解： ，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ．
11. 如图，在 中， ， ，则 的度数是______．
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【答案】 ##40度
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆
心角的一半，即可求得 的度数．
【详解】解： ， ，
，
故答案为： ．
12. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经
平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端 C 处，已知 ， ，且测得 米，
米， 米，求该古城墙的高度．
【答案】该古城墙的高度为8米．
【解析】
【分析】利用入射与反射得到 ，则可得到 ，于是根据相似三角形
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的性质得 ，然后利用比例性质求出 即可．
【详解】解：根据题意得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
答：该古城墙的高度为8米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
13. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为 ，这个二次函数的表达式可以是
______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口向上可得
中 ，对称轴为 ，进而求解．
【详解】解：∵对称轴为 ，开口向上，
∴抛物线解析式为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
14. 如图，已知点P是反比例函数 上的一点，则矩形 的面积为______．
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【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，
所得矩形面积为 ．熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解： ∵点P是反比例函数 图象上的一点，
∴矩形 ．
故答案为：3．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是
_____．
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为
圆心．
【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
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故答案为：（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
16. 如图，已知 、 是正方形 的边 和 上的两点，且 ， ， 的面
积 与 的长 满足函数关系，写出该函数的表达式______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．证明 ，得出
，由 可得出答案．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
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所以 ，
，
．
故答案为： ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题
每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：|﹣ |+（﹣ ）﹣1﹣2sin45°+（ ﹣2015）0．
π
【答案】-2
【解析】
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三
角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】|﹣ |+(﹣ )﹣1﹣2sin45°+(π﹣2015)0
＝ ﹣3﹣2× +1
＝﹣2．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，熟练掌握各运算的
运算法则是解本题的关键．
18. 如图，在 中，点D为 边上一点，在 边上找到一点E，使得 与原三角形相似，请
画出所有满足条件的图形，并说明理由．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-相似变换，相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据
相似三角形的判定定理作出图形即可．
【详解】解：如图所示：
①过点D作 交 于点E，
，
；
②作 ，
，
．
19. 下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1， 及圆外一点P．
求作：过点P作 的一条切线．
作法：①连接 ；
②作 的垂直平分线，交 于点A；
③以A为圆心， 的长为半径作弧，交 于点B；
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④作直线 ．
即直线 为所求作的一条切线．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）该作图中，可以得到 ______ ；依据：____________．
【答案】（1）见详解，
（2）90，圆周角定理的推论．
【解析】
【分析】此题考查了作图、切线的判定定理、圆周角定理的推论，准确作图和熟练掌握切线的判定定理是
解题的关键．
（1）按照作图步骤补全图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：∵ 是直径，
∴ （直径所对的圆周角是直角），
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．
20. 已知二次函数 ．
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（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当 时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标
（2）与x轴的交点坐标为 、
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是
常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
（1）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标；
（2）解方程 可得到抛物线与x轴的交点坐标；
（3）画出二次函数图象，利用函数图象写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【小问1详解】
解： ，
∴抛物线的顶点坐标 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
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解得 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为 ；
【小问3详解】
解：二次函数 的函数图象如图所示：
结合函数图象得 或 时， ．
21. 如图，点 是反比例函数 的图象上的一点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）设直线 与双曲线 的两个交点分别为P和 ，当 时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数表达式为
（2） 或
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【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足
两个函数的解析式，数形结合是解题的关键．
（1）直接把P点坐标代入 ，可求出m的值．从而确定反比例函数的解析式；
（2）根据反比例函数以及正比例函数的对称性求得 的坐标，然后根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：∵点 是反比例函数图象上的一点，
∴ ，解得， ，
∴反比例函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵直线 与双曲线 的两个交点分别为P和 ， ，
∴ 的坐标为 ，
当 时，x的取值范围为 或 ．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
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【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出
（2）由 得 ， ，推出 ，由相似三角形的
性质得 ，即可求出CD的长．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．
的
23. 永定楼是门头沟 标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与
塔尖A的仰角是 ，水平向前走了 到达点E的位置，此时的仰角是 ，已知小亮的眼睛距离地面
，请计算永定楼的高度．（结果保留根号）
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【答案】永定楼的高度为
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
连接 ，作 于点H，根据 ， ，设 ，则 ，在
中，根据 列方程解答即可；
【详解】连接 ，作 于点H，
由题意可知点 共线，
∵ ， ，
∴ ，
∴设 ，
则 ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
即 ，
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解得， ，
∴
答：永定楼的高度为： ．
24. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看
成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面
的高度为h米．
d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 …
.
h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 460 4.15 …
请你解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
（3）求起跳点A距离地面的高度；
（4）在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成
功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？
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【答案】（1）见解析 （2）4.75米
（3） 米
（4）不成功；应调节人梯到起跳点 的水平距离为 米或 米才能成功．
【解析】
【分析】（1）建立直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接；
（2）根据表格中的数据或函数图象分析 的最大值即可；
（3）利用待定系数法求出函数的解析式，令 ，求 ；
的
（4）对比表格中 数据可知 时 ，故不成功，只需计算当 时 的大小，由此可知调节
人梯的方案．
【小问1详解】
解：如图所示.
【小问2详解】
解：由图可知，演员身体距离地面的最大高度为 米.
【小问3详解】
解：设抛物线的表达式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ．
该抛物线为 ．
当 时， ．
起跳点 离地面的高度为 米．
【小问4详解】
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解：由表格可知，当 时， ，故不成功．
令 ，即 ，
解得 或 ．
应调节人梯到起跳点 的水平距离为 米或 米才能成功．
【点睛】本题考查了二次函数 的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的作图，解决本题的关键
是掌握二次函数的图象与性质．
25. 如图， 内接于 ， 为直径，点 在 上，过点 作 切线与 的延长线交于点 ，
，连接 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由 为 的切线，根据切线的性质得到 ，由 为 的直径，
得到 ，根据平行线的判定和性质得到角之间的关系，又因为 ，得到
，推出结论 ；
（2）连接 ，得到 ，由勾股定理得到 ，根据三角函数的定义
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得到 ，由 ．
【小问1详解】
解：连接 ，
为 的切线，
，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
连接 ，
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，
， ，
，
，
，
在 中，
．
【点睛】本题考查了切线 的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是正确的
作出辅助线．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 为抛物线 上任意两点，
其中 ．
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（1）若抛物线的对称轴为 ，当 为何值时， ；
（2）设抛物线的对称轴为 ，若对于 ，都有 ，求t的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关
键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点 连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于2，利用二次函数的性质判断即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：由题意可得：
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， ，
， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
27. 如图， 中， ， ，过点C在 外作射线 ，且 ，点
A关于 的对称点为点D，连接 ，其中 分别交射线 于点M，N．
（1）依题意补全图形；
（2）当 时，直接写出 的度数；
（3）当 时，用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
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（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）依据题意即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）证明 为等腰直角三角形，得到 ，证明 ，即可求解．
【小问1详解】
解：补图如下：
【小问2详解】
解：∵点A关于 的对称点为点D，
则 ，
即 ，
，
则 ；
【小问3详解】
结论： ，
证明：作 交 的延长线于点H，
∵点A与点D关于 对称，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是图形的几何变换，涉及到三角形全等、几何作图、点的对称性、等腰三角形的性质，
有一定的综合性，难度适中．
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28. 对于平面直角坐标系 中的任意点 ，如果满足 ，那么我们称这样的
点叫做“关联点”．
（1）如果点 是“关联点”，则 ______；
（2）如图1，当 时，在点 ， ， 中，满足此条件的“关联点”为______；
图1
（3）如图2， 的圆心为 ，半径为1，如 上存在“关联点”，请画出示意图，并求出“关
联点”的最小值．
图2
【答案】（1）5 （2） ，
（3）图见解析，最小值为
【解析】
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【分析】（1）根据“关联点”的定义判断即可；
（2）根据“关联点”的定义判断即可；
（3）当 与直线 相切时，设切点 ，过点 W 作 x 轴，y 轴的垂线，交直线
于点C，A，求出 ，推出 ，点B为 中点，根据 ，
利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解： 点 是“关联点”，
，
故答案为：5；
【小问2详解】
解： ，
又∵ ，
∴A，C是“关联点”．
故答案为： ， ；
【小问3详解】
解：如图所示：
当 与直线 相切时，
设切点 ，
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过点W作x轴，y轴的垂线，交直线 于点C，A，
，则 ，
，
，
点B为 中点，
，
的半径为1，
，
，即 ，
则 ，
或 ，
“关联点”的最小值为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，直线与圆的位置关系，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是理解
题意，图象法解决问题，属于中考压轴题．
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