文档内容
2024 年高考数学模拟考试卷（二）
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足 （ 为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．设命题 “函数 为递减函数”，命题 “ ”，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图所示的 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 的中点，则 （ ）
A． B．C． D．
5．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信
息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环
境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观
测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一
个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（
）
A． B． C． D．
6．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．椭圆 的右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若直线 与以A为圆心半径为
的圆相切，则椭圆离心率等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．6 B．1 C．5 D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了 人参与问卷调查，将他们的成绩进
行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在 的人数为10，则（ ）
A．
B．
C．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于70
D．问卷调查成绩的80%分位数的估计值为85
10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是 （单位：℃），环境温度
是 （单位：℃），其中 、则经过t分钟后物体的温度 将满足 （ 且
）．现有一杯 的热红茶置于 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的
是（ ）（参考数值 ）
A．若 ，则
B．若 ，则红茶下降到 所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是 ，k约为0.22
D．红茶温度从 下降到 所需的时间比从 下降到 所需的时间多
11．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
12．已知函数 为 上的奇函数， 为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A． 图象关于直线 对称
B．
C． 的最小正周期为2
D．对任意 都有
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.
13．甲、乙两位同学从 种课外读物中各自选读 种，则这两人选读的课外读物中恰有 种相同的选法共有
.
14．已知直线 ，请写出一个满足以下条件的圆 的方程 ．
①圆 与 轴相切；②圆 与直线 相切；③圆 的半径为2．
15．设抛物线 ： （ ）焦点为 ，准线为 ，过第一象限内的抛物线上一点 作 的垂线，
垂足为 ．设 ， 与 相交于 ．若 ，且 的面积为 ，则抛物线的方程为
.
16．在棱长为1的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，过 作该正方体外
接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.17．已知等差数列 与正项等比数列 ，满足 ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.
若______，求数列 的前 项和.（注：若多选，以选①评分）
18．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设 的面积为S， ．
(1)当 时，若 ，求角A；
(2)当 时，求 的最大值.
19．如图，在菱形 中， ， ，将 沿着 翻折，形成三棱锥 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当平面 平面 时，求直线 与平面 所成角的余弦值.20．某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐
都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”， ，已知推出
优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．
．
21．已知双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，双曲线 经过点 ．
(1)求双曲线 的标准方程．
(2)若过点 的直线 分别与双曲线 交于不同的两点 ，线段 的中点为 ，且直线 的
倾斜角互补，则双曲线上是否存在定点 ，使得 的面积为定值？若存在，求出定点 的坐标和
的面积；若不存在，请说明理由．22．已知函数 ．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同的零点 ，且 ，求实数 的取值范围．
