文档内容
2024 年高考数学模拟考试卷（二）
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解不等式可得 ，再由交集运算即可求得结果.
【详解】根据题意由 可得 ，
又 ，即可得 .
故选：D
2．已知复数z满足 （ 为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数四则运算计算可得 ，再由虚部定义可得结果.【详解】由 可得 ，
所以可得z的虚部为 .
故选：B
3．设命题 “函数 为递减函数”，命题 “ ”，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出 为真时， 的取值范围，与命题 中 的取值范围比较，即可得出答案.
【详解】由 为真，即函数 为递减函数，
则应有 ，所以 .
又 所表示的范围大于不等式 所表示的范围，
所以，P是Q的必要不充分条件.
故选：B.
4．如图所示的 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】.
故选：B
5．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信
息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环
境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观
测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一
个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据球的表面积公式，以及圆柱圆台的侧面积公式，即可求解.
【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两
底面半径分别为8米和1米，高为24米，
所以半球的表面积为 （平方米），
圆柱的侧面积为 （平方米），
圆台的侧面积为 （平方米），
故该组合体的表面积为 （平方米）．
故选：C
6．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A【分析】先由等比中项求出 ，再根据等比数列通项公式以及前 项和公式计算即可.
【详解】因为 是正项等比数列，所以 ，
则 可化为 ，解得 ，或 (舍）
设等比数列 的公比为 ，
则 ,
所以 ，
则 .
故选： .
7．椭圆 的右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若直线 与以A为圆心半径为
的圆相切，则椭圆离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线 的方程，依题意，直线与圆相切即用点到直线的距离等于半径列等式即可求解.
【详解】依题意， ，所以直线 的方程为： ，
又直线 与以A为圆心半径为 的圆相切，故 ，
化简得 ，即 或 ，又椭圆的离心率 ，所以 ，
故选：B.
8．已知实数 ， 满足 ， ，则 （ ）A．6 B．1 C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据 有 ，换元 得 ，即 ，构造函数 ，根
据函数的单调性，确定函数在定义域内只有一个零点，即 ，求
【详解】由 得 ，所以 ，令 ，则 ，易知 ，
（提示：由题可知 ，则 ， ）
所以 ，令函数 ，易知 在 上单调递增，
则 ，即 ，所以 ，所以 ；
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了 人参与问卷调查，将他们的成绩进
行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在 的人数
为10，则（ ）
A．
B．C．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于70
D．问卷调查成绩的80%分位数的估计值为85
【答案】ABD
【分析】根据所有小矩形面积之和为1，即可判断A；根据在 的频率为0.1，由 ，即可判
断B；利用小矩形面积乘以组区间的中点值计算即可判断C；利用百分位数的求法可判断D.
【详解】由图可知. ，解得 ，
则成绩在 的频率为0.1，由 ，得 ，A，B正确；
问卷调查成绩的平均数为 ，C不正确.
因为 ，
所以问卷调查成绩的 分位数在 内，设问卷调查成绩的 分位数为 ，
则 ，解得 ，D正确.
故选：ABD.
10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是 （单位：℃），环境温度
是 （单位：℃），其中 、则经过t分钟后物体的温度 将满足 （ 且
）．现有一杯 的热红茶置于 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的
是（ ）（参考数值 ）
A．若 ，则
B．若 ，则红茶下降到 所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是 ，k约为0.22
D．红茶温度从 下降到 所需的时间比从 下降到 所需的时间多
【答案】AC【分析】由题知 ，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．
【详解】解：由题知 ，
A选项：若 ，即 ，所以 ，则
，A正确；
B选项：若 ，则 ，则 ，两边同时取对数得 ，所以
，所以红茶下降到 所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是 ，即 ，则 ，得 ，所以
，故C正确；
D选项： 为指数型函数，如图，可得红茶温度从 下降到 所需的时间（ ）比从 下降
到 所需的时间（ ）少，故D错误．
故选：AC．
11．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【分析】根据 ，判断 的范围，再根据 ，求出 ，再由 ，求出
， ， ，从而得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，由 ，得 .
对于A选项，若 ，则 ，又 ，所以 ，
而 矛盾，所以 .故A错误；
对于B选项，根据A选项知， ，则 ，又 ，
所以 ，而 ，所以 ，
这样 ，故B正确；
对于C选项，根据A选项知， ，
再根据B选项中 ， ，
知 ，从而 ，
则 ，
又 ， ， ，
所以 ，故C正确；
对于D选项，根据C选项知 ，所以 ，
又 ，
解得 ，故D错误，
故选:BC.
12．已知函数 为 上的奇函数， 为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A． 图象关于直线 对称
B．
C． 的最小正周期为2
D．对任意 都有
【答案】ABD
【分析】由奇偶性知 的对称中心为(0,0)，对称轴为 ，进而推得 ，
，即可判断各选项的正误.
【详解】因为函数 为 上的奇函数，所以函数 的对称中心为 ，
因为 为偶函数，所以 ，即函数 关于 轴对称，
所以 ，即 ，所以函数 关于 对称，故A正确；
由 ，用 替换 可得 ，故D正确；
由 可得 ，所以 ，即函数周期为4，故C错误；
因为 的周期为4，所以 ，故B正确.故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．甲、乙两位同学从 种课外读物中各自选读 种，则这两人选读的课外读物中恰有 种相同的选法共有
.
【答案】120
【分析】两人先选相同的读物，再选不同的读物，结合分步计数原理可得答案.
【详解】两人先从 种课外读物中选1种作为两人共同的课外读物，有 种方法；
甲从剩余的5种课外读物中选1种，有 种方法；
乙从剩余的4种课外读物中选1种，有 种方法；共有 种.
故答案为：120
14．已知直线 ，请写出一个满足以下条件的圆 的方程 ．
①圆 与 轴相切；②圆 与直线 相切；③圆 的半径为2．
【答案】 （ 或 或 或
中的一个即可）
【分析】根据①③可设圆心 或 ，进而根据切线关系运算求解.
【详解】由①③可设圆心 或 ，由②可得：
若 ，则 ，解得 或 ，
圆 的方程为 或 ；
若 ，则 ，解得 或 ，圆 的方程为 或 ；
故答案为： .（ 或 或 或
中的一个即可）
15．设抛物线 ： （ ）焦点为 ，准线为 ，过第一象限内的抛物线上一点 作 的垂线，
垂足为 ．设 ， 与 相交于 ．若 ，且 的面积为 ，则抛物线的方程为
.
【答案】
【分析】由抛物线定义可得四边形 为平行四边形，故 可得点 即得抛物线方程.
【详解】如图所示， ， ．
所以 ．
轴， ， ，
所以四边形 为平行四边形，
， ．
，解得 ，代入 可取 ，
，
解得 ． .
故答案为： .
16．在棱长为1的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，过 作该正方体外
接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段 的
中点．
【详解】如图，正方体外接球的球心在其中心点 处，球的半径
要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段 的中点 ,
连接 ，则
所以
此时截面圆的半径 ，截面面积的最小值 .
故答案为： .四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知等差数列 与正项等比数列 ，满足 ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.
若______，求数列 的前 项和.（注：若多选，以选①评分）
【答案】(1) ，
(2)见解析
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的定义，由题意，建立方程组，可得答案；
（2）若选①③，利用裂项相消法求和，若选②，利用错位相减法求和.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，正项等比数列 的公比为 ，
由已知得 ，则 ，解得 ，
所以 ， ；
（2）选①，则有
即 .
选②，则有 ，设数列 的前 项和为 ，
， ，两式相减， ，
解得 .
选③，则由 ，
即 .
18．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设 的面积为S， ．
(1)当 时，若 ，求角A；
(2)当 时，求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再利用已知角将其转化成角 的三角方程，求解即得；
（2）由余弦定理和基本不等式求得 的范围，利用面积公式将所求式转化成角 的三角函数式，从而
求出其范围，得最大值.
【详解】（1）当 时， ，即 ，由正弦定理得， ，
因 ，故 ，化简得 ，从而 ，
由于 ，所以 ．
（2）当 时， ，
由余弦定理得， ，所以 （*），
即 ，当且仅当 时取等号，
即 ，又由（*）可得： ．
因为 ，所以 ，
由于 , ，故 ,此时正切函数为增函数，
且 时， ，所以 ，
所以当 时， 的最大值为 ．
19．如图，在菱形 中， ， ，将 沿着 翻折，形成三棱锥 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当平面 平面 时，求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）翻折后为正四面体，若证明线线垂直，可以先利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，然
后证明线面垂直即可.
（2）根据平面 平面 ，可以建立空间直角坐标系，根据直线与平面的夹角的正弦是直线与平面
法向量夹角的余弦的绝对值，求出线面角的正弦，然后求线面角的余弦即可.【详解】（1）证明：当 时，此三棱锥 为正四面体，
如图，取 的中点 ，连接 ， .
在正四面体 中， ， 且 ，
且 平面
所以 平面 ，因为 平面
所以
（2）解：当平面 平面 时，
取 的中点 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
设平面 的法向量 ， ， ，
所以 ，即： ，
令 ，得：
∴设直线 与平面 所成角为 ，且 ，则 ，
∴ ，
∴直线 与平面 所成角的余弦值为 .
20．某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐
都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”， ，已知推出
优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．
．
【答案】(1)0.6
(2)分布列见解析，1.9
(3)证明见解析
【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；
（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；
（3）用条件概率公式进行推理证明.
【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为 ，
所以 ．（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，
则X的所有可能取值为1和2，
所以 ，
，
所以X的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望 ．
（3）由题知 ，所以
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即
21．已知双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，双曲线 经过点 ．
(1)求双曲线 的标准方程．
(2)若过点 的直线 分别与双曲线 交于不同的两点 ，线段 的中点为 ，且直线 的
倾斜角互补，则双曲线上是否存在定点 ，使得 的面积为定值？若存在，求出定点 的坐标和
的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点 ，使得 的面积为定值336．【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可；
（2）设直线 方程，利用其斜率表示A、B、M坐标，得出点 在直线 上，从而判定 与
平行，求出N的坐标，再求出面积即可.
【详解】（1）由题意不妨设一焦点为 ，
易知双曲线的一条渐近线为 ，即 ，
则点 到 的距离 ，
点 在双曲线 上，
，结合 ，得 ，
双曲线 的标准方程为 ．
（2）显然直线 的斜率均存在且不为0，设直线 的斜率为 ，
则直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线方程，得 ，
化简得 （ ，且 ）．
设 ，则 ，
得 ，
将 代入直线 的方程，得 ，则 ．同理可得 ．
的中点 的坐标为 ，
记 为坐标原点，连接 ，
，
点 在直线 上，
又 ，
故经过点 且与直线 平行的直线与双曲线有两个不同交点，
则除点 外的另一个交点即为定点 ，且满足 的面积为定值，
易知直线 的方程为 ，代入双曲线 的方程，化简得 ，即
， ，
把 代入 ，得 ，即定点 ，
此时 ，
，
点 到直线 的距离 等于点 到直线 的距离 ，
则 ，
，
故存在定点 ，使得 的面积为定值336．22．已知函数 ．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同的零点 ，且 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 分离变量得 ，通过构造函数 ，结合导数求得 的取值范围；
（2）由 ，两式相减得 ，利用换元法表示 ，通过构造函数法，
利用导数证得 ，结合（1）求得 的取值范围.
【详解】（1） 的定义域为 ，令 ，得 ，
令 ，则 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ．
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．所以 ，
所以 ．
（2） ，两式相减，得 ．
令 ，则 ，故 ，
记 ，则 ，
构造函数 ， ，
所以 在 上 递减，
由于 ，
所以当 时， ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
故 ，
即 ，而 ， 在区间 上单调递减，
故 ，即 ．
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路：
（1）用最值或极值研究；（2）用数形结合思想研究；（3）构造辅助函数研究．
