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人教A版数学--概率专题五
知识点一决策中的概率思想,独立重复试验的概率问题,求离散型随机变量的均值,超几何
分布的分布列
典例1、某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个
白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依
次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．
（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）
摸球，求他能中奖的概率；
（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为 ，求
的分布列和数学期望；
（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．
随堂练习： 某公司生产某种食用菌，为了销往全国各地，把该食用菌分为一级、优级、
特级、珍品共四个等级，并以每件0.5kg的标准进行统一包装．某采购商订购了一批这
种食用菌，并从中随机抽取100件，按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表：
等级 一级 优级 特级 珍品
件数 20 10 30 40
（1）以样本估计总体，将频率视为概率，从这100件食用菌中有放回随机抽取3件，
求恰好抽到2件珍品的概率；
（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，再从抽取的10件中随机抽取3
件，设X表示抽取的是珍品等级的件数，求X的分布列及数学期望．典例2、为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住
宅单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用电范围（度）
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用电量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410
（1）若规定第一阶梯电价每度 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 元，第三
阶梯超出第二阶梯每度 元，式计算 居民用电户用电 度时应交电费多少元？
（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；
（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若
抽到 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 的值.
随堂练习：根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，
在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2
人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解
服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为 ，求 的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率 ，并根据 的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
典例3、 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林
匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会
的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式
滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了 所学校进行研究，得
到如下数据：
（1）“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过 人的学校可以作为“参与
冬奥运动积极学校”，现在从这 所学校中随机选出 所，记 为选出“参与冬奥
运动积极学校”的学校个数，求 的分布列和数学期望；
（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这 个动作技
巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这 个动作中至少有 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学
“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为 ，其余每个动作达到“优秀”的概率
都为 ，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想
获得“优秀”的次数的平均值达到 次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
随堂练习：北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风
着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.
半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、
实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首
次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某
校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行
作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 且每道题正确完成与否
互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；
（2）设随机变量 表示小宇正确完成题目的个数，求 的分布列及数学期望；
（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和
小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.
知识点二由频率分布直方图估计平均数,利用二项分布求分布列,二项分布的均值,总体百
分位数的估计
典例4、道德与法律的联系：法律､道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定
的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持；2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进
行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得
到的结果如下表所示：成绩/分
人数/个 4 4 10 22 10
（1）若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得
结果四舍五入保留整数）；
（2）假设处于 的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位
数；
（3）以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在 间的
数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望 .
随堂练习：某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市
的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）
分成以下7组： ， ， ， ， ， ， ，统计
得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．
（1）求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值 （结果保留整数）﹔
（2）若此次知识竞赛得分 ，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖
励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可
获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖
次数的数学期望．
参考数据： ， ，
．典例5、2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京
冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.
这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，诠释着新时
代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声.某学校统
计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本
数据绘制得到右下图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计样本数据的 分位数；
（2）采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在 的学生中抽取9
人.若从这9人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在
的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
随堂练习：我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生
活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得
87%的居民生活用水不超过这个标准.在本市居民中随机抽取了200户家庭某年的月均用
水量（单位：吨），通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图：（1）求a，m的值；
（2）在用水量位于区间[1，2.5）的三类家庭中按照分层抽样的方法抽取12人参加由
政府组织的一个听证会（每个家庭有1个代表参会），再从这12人中抽3个代表发言，
记月均用水量不少于2吨人数为X，求X的分布列和数学期望.
典例6、为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部
分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取
的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.
乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图
每天日间户外活
组别 人数
动时间（单位：h）
1 120
2 250
3 60
4 70
甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表
（1）根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；
（2）已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全
体学生中随机选抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求
X的分布列和数学期望；
（3）根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低
于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.随堂练习：某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m
（其中： ），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m 150≤m<350 100≤m<150或350≤m≤400
等级 A级 B级
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的 分位数；
（2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数
为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知
一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为
总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.人教A版数学--概率专题五答案
典例1、答案：（1） ；（2）分布列见解析， ；
（3）在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大，理由见解析.
解：（1）在有放回方式下，记“他能中奖”为事件 ，则 ．
（2）由题意，随机变量 的可能值为0，1，2，3；
， ， ，
；
所以 的分布列为
0 1 2 3
的数学期望 ．（3）由（2），在不放回方式下，该员工能中奖的概率为：
；
由 ，所以，在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能
性更大．
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）设“从这100件食用菌中随机抽取1件，抽到珍品”为事件A，
则 ，有放回随机抽取3件，设抽到珍品的个数为 ，则 ，
∴恰好抽到2件是珍品的概率 ．
（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6
件，
再从抽取的10件中随机抽取3件，则X的可能取值为0，1，2，3，且 服从超
几何分布．
，可得： ， ， ，
．
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
．典例2、答案：（1）227元（2） （3）
解：（1） 元
设取到第二阶梯电量的用户数为 ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则 可取
0,1,2,3
故 的分布列是
0 1 2 3
所以
（2）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足 ，
可知：
,解得 ，
所以当 时，概率最大，所以
随堂练习：答案：（1）分布列见解析， ；（2） ，答案见解析.
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2， ，
∴X的分布列如下：
X 0 1 2
P
．
（2）新药无效的情况有： 中 人痊愈、 中 人痊愈，∴
故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.
典例3、答案：（1）分布列见解析，期望为 （2） 轮
解：（1）“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过 人的学校共 所，
的所有可能取值为 、 、 、 ，
所以 ， ， ，
，
所以 的分布列如下表：所以 ．
（2）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件 ，
，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布 ，
由题意可得 ，得到 ，因为 ，所以 的最小值为 ，
故至少要进行27轮测试．
随堂练习：答案： （1） ； （2）分布列见解析；期望为 3； （3）小宇；
理由见解析.
解：（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则
.
（2） 的可能取值为2，3，4. ，
， ，
的分布列为：
2 3 4
数学期望 .（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为 ；
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则 ；
因为 ，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.
典例4、答案： （1） ， （2） （3）分布列见解析，
解：（1）估计这次测试的平均分为： （分）；
设这次测试的中位数为 ，显然 ，
则 ，解得 （分）. 即估计这次测试的中位数为
.
（2）由于 ， 所以表中成绩的10%分位数为 .
（3）X所有可能取值为0，1，2，3.
由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在 间的概率为 .
所以 ， ，
， ，
故X的分布列为
X 0 1 2 3P
故X的数学期望 .
随堂练习：答案： （1）第75百分位数约为76分，平均值为65分 （2）数学期望
为1.1814次．
解：（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为x，
则所以 ，解得 （分），
（分）．
所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分；
（2）设随机变量Y表示任意一名幸运者的抽奖次数，则Y的可能取值为1，2，3，
由已知及（1）得， ，
，
，
，
其分布列为
Y 1 2 3
P 0.84135 0.1359 0.02275
所以 ．
所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次．
典例5、答案：（1） 分位数为 （2）分布列答案见解析，
解：（1）由题意， ，解得 .由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为：
.
观看时长在240分钟以下占比为 .
所以90%分位数位于 内， 分位数为 .
（2）由题意，观看时长[200，240）､[240，280]对应的频率分别为 和 ，
所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取6人和3人.
于是抽取的3人中观看时长在 中的人数X的所有可能取值为 .
所以，
的分布列为
0 1 2 3
P
所以， .
随堂练习：答案： （1） ， ； （2）分布列见解析， .
解：（1）由频率分布直方图得 ， 解得
；
前5个矩形的面积为0.83，第6个矩形的面积为0.08， 从而
.
（2）用水量位于区间[1，2.5）的三类家庭的频率比为3:4:5，总共抽取12人，因此这三类家庭被抽取的人数分别为3人、4人、5人，
这里面不少于2吨总人数为5人，少于2吨总人数为7人，故 ，
， ， ，
.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为： .
典例6、答案： （1）第2组 （2）分布列答案见解析，数学期望： （3）不能，
理由见解析
解：（1）根据表中数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间25%分位数在第2组.
（2）由频率分布直方图可知，
乙校参与调查的学生每天日间户外活动时间不低于 的频率为 .
由此估计乙校全体学生每天日间户外活动时间不低于 的概率约为0.3.
X的所有可能取值为0，1，2. ，
， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.49 0.42 0.09
.（3）不能.
若甲校参与调查的学生每组中的数据恰好都取区间中点值，则甲校参与调查的
学生每天的日间户外活动时间的平均值
.
若乙校参与调查的学生每组中的数据恰好都取相应区间的左端点值，
则乙校参与调查的学生每天的日间户外活动时间的平均值
.
此时， .
随堂练习：答案：（1）287.5 （2）分布列为：
0 1 2 3
数学期望为 （3）每箱零件的利润是4750元
解：（1）前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6
前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6
设 分位数为 ， ，解得 287.5
∴产品的质量指标值的 分位数为287.5
（2） ，所以样本的B级零件个数为10个，
质量指标值在[350，400]的零件为5个，故 可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为： ， ，
，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
所以期望 .
（3）设每箱零件中A级零件有 个，每箱零件的利润为 元，则 级零件有 个，
由题意知： ，
由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为 ，
A级零件的概率为1-0.1=0.9
所以 ， 所以 ，
所以 (元).
所以每箱零件的利润是4750元
