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辽宁省七校名校协作体 2024-2025 学年高三上学期 11 月期中联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
命题校：瓦房店市高级中学、葫芦岛一高中
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.若 ，则复数 的共轭复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.由一组样本数据 得到回归直线方程 ，那么下列说法正确的是（
）
A.若相关系数 越小，则两组变量的相关性越弱
B.若 越大，则两组变量的相关性越强
C.回归直线方程 至少经过样本数据 中的一个
D.在回归直线方程 中，当变量 每增加1个单位时，相应的观测值 约增加 个单位
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.数列 中，已知对任意自然数 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数 ，若关于 的方程 有实数解，则 的取值范围
学科网（北京）股份有限公司为（ ）
A. B. C.[0，1] D.
7.已知 为 的外心， ，则 的面积为（ ）
A.5 B. C. D.6
8.已知函数 的表达式为 ，若函数 恰有4个不同的
零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 不共线，且 ，则 .
B.若向量 ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
C.已知 ，则 在 上的投影的坐标为
D.已知点 为 的垂心，则
10.为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次
由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率
均为 ，乙每次投篮的命中率均为 ，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投
篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
A.第一次投篮的人是甲的概率为
学科网（北京）股份有限公司B.已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
C.第二次投篮的人是甲的概率为
D.设第 次投篮的人是甲的概率为 ，则
11.已知 ，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最大值是-1 D. 的最小值是-2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：90，88，87，83，81，80，78，
72，则这组数据的 分位数是_____________.
13.已知 ，且 ，则 _____________.
14.设 ，若 时均有 ，则 _____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数 .
（1）化简: ；
（2）求函数 的最小正周期和 图象的对称中心;
（3）求函数 在 上的单调递增区间.
16.（15分）
在 中，内角 所对的边分别是 已知向量 ，
，满足 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求 ;
（2）若 ，求 周长的取值范围;
（3）若角 的平分线交边BC于点 ，求 面积的最小值.
17.（15分）
中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国
式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文
化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，
激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生
中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
男 女 合计
了解 20
不了解 20 40
合计
（1）将列联表补充完整；
（2）是否有 的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关;
（3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取
的3人中女生人数为 ，求随机变量 的分布列、数学期望、方差.
附: ，其中
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18.（17分）
已知函数 ，数列 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求 ;
（3）对于（2）中的 ，若存在 ，使得 成立，求实数 的最大值.
19.（17分）
法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数
学科网（北京）股份有限公司满足如下条件：①在闭区间[a，b]上的图象是连续的；②在开区间（a，b）上可导.则在开区间 上至
少存在一个实数 ，使得 成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.
（1）已知 且 ，
（i）若 恒成立，求实数 的取值范围;
（ii）当 时，求证： .
（2）已知函数 有两个零点，记作 ，若 ，证明：
学科网（北京）股份有限公司2024-2025 学年度（上）七校协作体 11 月高三联考
数学参考答案
一、单选：ABDA CBCB
二、多选：9.BD 10.BCD 11.AD
三、填空：12.87.5 13.2或64 14.
四、解答：
15.（1）
.……………………（4分）
，
所以 的最小正周期 ；…………………………（7分）
令 ，得 ，即 图象的对称中心为 .
………………………………………………………………………………（9分）
（3）令 ，得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上的单调递增区间为 .
16.解：（1）由 得：
，
再由正弦定理角化边得: ，
学科网（北京）股份有限公司再由余弦定理得: ，
又因为 ，所以 ;……………………………………………………………………（3分）
（2）由正弦定理及（1）得 ，
.
因此， 周长的取值范围是 .…………………………………………（9分）
（3）由
，又因为 ，角 的平分线交边BC于点 ，
所以有: ，整理得: ，
由基本不等式得: ，所以有: ，且 时取等号，
即 ，
即 面积的最小值为 .………………………………………………（15分）
17.解：（1）由题得列联表如下：
男 女 合计
了解 40 20 60
不了解 20 20 40
合计 60 40 100
………………………………………………………………………………………（3分）
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可得 ，
所以没有 的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关.………………（8分）
（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，所以从了解该
活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为 ，……（9分）
则由题意可知 ，且 ，
所以 ，
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
……………………………………………………………………………………………………（13分）
所以随机变量 的数学期望为 .………………………………………（14分）
随机变量 的方差为 ……………………………………（15分）
18.解:（1）因为函数 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则有 ；……………………………………（4分）
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可知: ，
所以 ;……（8分）
（3）由（2）可知: ，
所以由 ，
因为 ，
所以由 ，……………………………………………………（11分）
设 ，由 ，
由二次函数性质可知：当 时，函数 是减函数，………………（14分）
，
于是有 时， ，
所以 ，因此 ，
存在 ，使得 成立，则有 ，
因此实数 的最大值为 .……………………………………………………………………（17分）
19.（1）（i）解:法一:由 ，且 化简得 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，可知 在 上单调递增，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，显然 在 上单调递减，
所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 .……………………………（4分）
法二：由拉格朗日中值定理可知， ，使得 ，
故问题转化为 恒成立.
又 ，则 恒成立，即 恒成立，
因为 ，
故令 ，显然 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，故实数 的取值范围为 ……（4分）
（ii）证明：要证 ，即证 ，
即证 ，
又 ，
由拉格朗日中值定理可知，存在 ，
，
学科网（北京）股份有限公司.
由题意知 ，当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
即 ，所以命题得证.…………………………（8分）
（2）函数 有两个零点，即方程 有两个根，即方程
有2个根.
令 ，
所以 在 上单调递增，且 ，即方程 有2个根，且这两根即为方程
的根，…………………………………………（11分）
所以 ，则 ，则由 ，得 ，
所以 ，则 ，
要证 ，即证 ，…………………………………………（12分）
又 ，令 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，
又 ，所以 ，故 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，故 在 上单调递减，所以 ，
即 ，
即 ，所以不等式得证.………………………………………………（17分）
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