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3.2.2 函数的性质（二）（精练）（提升版）
题组一 函数的周期性
1．（2022·四川攀枝花）已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则 的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】∵定义在R上的奇函数 满足 ，∴ 的周期为4，
∴ ， ，
∴ .故选：A
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知 为定义在R上的周期为4的奇函数，当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得， 为定义在R上的周期为4的奇函数，
故 ，
故 ，
又 ，故 即 ，即 ，而当 时， ，
故 ，则当 时， ，
故 ，
故选：B
3．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数 是 上的奇函数，且 ，且当 时，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，因此函数的周期为 ，
所以 ，
又函数 是 上的奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以原式 ，
又当 时， ，可得 ，因此原式 .
故选：B．
4．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数 满足：对任意 ，
．当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
5．（2022·天津市）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则 __________.
【答案】
【解析】 是 上的奇函数，
又 ，
，所以 是周期函数，且周期为4
.故答案为：2
6．（2022·重庆·二模）已知定义域为R的函数 满足 且 ，则函数
的解析式可以是______.
【答案】 （答案不唯一）；【解析】由题意，函数 满足 且 ，
可得函数 是定义域 上的奇函数，且周期为2，
可令函数的解析式为 （答案不唯一）；
故答案为： （答案不唯一）；
7．（2022·陕西渭南·二模（文））已知 为R上的可导的偶函数，且满足 ，则
在 处的切线斜率为___________.
【答案】0
【解析】由题设， ，则 ，即 ，
所以 的周期为4，又 为R上的可导的偶函数，即 ，
而 ，故 ，即 ，
且 ，故 .
故答案为：0
8．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ， ，
当 时， ，则 ___________.
【答案】
【解析】由题意知 为定义在 上的奇函数， ，即 .
因为 ，所以 ，所以函数 的周期为4，则
.
因为 ， 为奇函数，所以 .
故答案为：
题组二 函数的对称性
1．（2022·内蒙古呼和浩特）函数 满足 ， ，函数 的图象关
于点 对称，则 （ ）
A．-8 B．0 C．-4 D．-2
【答案】B
【解析】∵ 关于 对称，
∴ 关于 对称，即 是奇函数，
令 得， ，即 ，解得 ．
∴ ，即 ，
∴ ，即函数的周期是4．
∴ ．故选：B.
2．（2022·甘肃兰州）已知定义在R上的奇函数 满足 ．当 时， ，
则 （ ）
A．7 B．10 C． D．
【答案】C
【解析】 在R上是奇函数，
，即，即函数 是周期为 的函数
故选：C
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ，且 在 上单调
递减，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以函数 的图象关于直线
对称，又 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
结合草图可知：要使 ，则 到 的距离小于 到 的距离，故不等式等价于 ，两边同时平方后整理得 ，解得 或 .
故选：C．
4．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，函数
关于点 对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 的周期为2 D．
【答案】B
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 .
用x代换上式中的2x，即可得到 ，所以 关于直线 对称.
函数 关于点 对称，所以 ，即 所以 关
于点 对称.
对于 ，令x取x+1，可得： .
对于 ，令x取x+2，可得： .
所以 ，令x取-x，可得： ，
所以 ，令x取x+2，可得： ，即 的最小正周期为4.所以C、D错误；
对于B：对于 ，令x取x-3，可得： .
因为 的最小正周期为4，所以 ，所以 ，即 .故B正确.
对于A：由 ，可得 为对称轴，所以不能确定 是否成立.故A错误.
故选：B
5．（2022·江西·二模（理））已知函数 则（ ）
A． 在R上单调递增，且图象关于 中心对称
B． 在R上单调递减，且图象关于 中心对称
C． 在R上单调递减，且图象关于 中心对称
D． 在R上单调递增，且图象关于 中心对称
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时， ，
时， ，
即对任意实数x恒有， ，故 图象关于 中心对称；
当 时， 单调递增；当 时， 单调递增，且 图像连续，
故 在R上单调递增，
故选：D.
6．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知函数 ，则
（ ）
A．10130 B．10132 C．12136 D．12138【答案】D
【解析】 ，
所以 的图象关于点 对称，所以当 时， ，
所以
.
故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 满足 ，则下列函数中为奇函数
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 关于 对称，所以将 向左平移一个单位，再向上
平移一个单位得到函数 ，该函数的对称中心为 ，故 为奇函数，
故选：D
8．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数 ，则下列函数图象关于直线
对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 ，定义域为 ，则 ，
故函数 为偶函数，则关于 轴对称，
因此函数 为函数 向右平移一个单位得到，故函数 关于 对称，且函数 关于直线 对称，因此函数 关于点 对称，
故选：C．
9（2022·山东临沂·一模）已知函数 ，则不等式 的解集是
______.
【答案】 ，
【解析】构造函数 ，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到 ，
的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称．
不等式 等价于 ，
等价于
结合 单调递增可知 ，
所以不等式 的解集是 ， ．故答案为： ， ．
题组三 Mm函数求值
1．（2022宁波）已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
，
【解析】
令 ，则 ，即 为奇函数，图象关于原点对称，
， ， ，且 ，，则 ．故选： ．
2．（2022 •合肥）已知 ，设函数 ， ， ， ，若 的最大
值为 ，最小值为 ，那么 和 的值可能为
A．4与3 B．3与1 C．5和2 D．7与4
【答案】B
【解析】令 ， ， ，由 ，得 为奇函数，
设 的最大值为 ，则最小值为 ， ， ，可得 ，
， 为偶数，即 为偶数，综合选项可知， 和 的值可能为3和1．故选： ．
3．（2021•温州）已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ，
那么
A．2025 B．2022 C．2020 D．2019
【答案】B
【解析】 ， 在定义域内单调递增，
， ，
即 （a） ， ，
故选： ．
4．（2021•郫都）已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为
，那么
A．2020 B．2019 C．4040 D．4039
【答案】D
【解析】函数 ．令 ， ．
由于 在 ， 时单调递减函数； （a）
函数 的最大值为 ；
最小值为 （a） ；那么 ；故选： ．
5．（2022•湖南）已知函数 在 ， 上的最大值为 ，最小值
为 ，则
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】
令 ，
而 ， ，
则 关于 中心对称，则 在 ， 上关于 中心对称． ．故选： ．
6．（2022•广西）已知函数 ， ， ， 的最大值为 ，最小值
为 ，则
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 ， ， ，所以 ，令 ， ，
， ，或 ，或 ，或 ，， ， ， 和 ， ， ， 单调递增，
， 和 ， ， ， 单调递减，
所以 ， ， 的最大值为 ，最小值为 ，
， ， ，
， ， 中最大
值及最小值，所以 ， ，所以 ，故选： ．
7．（2022•吉安）已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ，
那么
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】易知函数 在 ， 上单调，且
，
．
故选： ．
8．（2022•云南）设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】 ，且 ，
所以 关于点 中心对称．所以最大值 和最小值 的和 ．故选： ．9．（2022•广州）已知函数 在 ， 上的最大值和最小值分别为
、 ，则
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】设 ，因 为奇函数，
所以 ，所以 ，所以 ．
故选： ．
10．（2022•上海）设函数 ， ， 的最大值为
，最小值为 ，那么 404 0 ．
【答案】4040
【解析】令 ，则
，
故函数 为定义域上的奇函数， ，即 ，
．故答案为：4040．
题组四 函数性质的综合运用
1．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，且 是奇函数，
则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
【答案】C【解析】由 可得2是函数 的周期，
因为 是奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，
所以 ， ，所以 是奇函数，故选：C.
2．（2022·云南德宏）已知定义在R上的可导函数 的导函数为 ，满足 且
为偶函数， 为奇函数，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 为偶函数， 为奇函数，
所以 ， .
所以 ， ，所以 .
令 ，则 .
令上式中t取t-4，则 ，所以 .
令t取t+4，则 ，所以 .
所以 为周期为8的周期函数.
因为 为奇函数，所以 ，
令 ，得： ，所以 ，所以 ，即为 ，所以 .
记 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 在R上单调递减.
不等式 可化为 ，即为 .所以 .故选：C3．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 有2个零点 D． 是偶函数
【答案】B
【解析】显然， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且
，
记 ，则有 ，
故 是奇函数，选项D错误.
又
故 的图象关于点 对称，选项B正确，选项A错误；
令 ，则有 ，即 或 ，
解得 或 ，即 ， 或 ，
故 有3个零点，选项C错误.故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 满足 ， ，当
时， ，则关于x的方程 在 上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】B
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 关于点 对称，
因为 ，即 ，所以函数 关于直线 对称，因为当 时， ，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数 为周期函数，周期为 ，
由于函数 一个周期内， 与 有2个交点，
在 上， 与 有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当 时， 与 有 个交点.
所以关于x的方程 在 上的解的个数是 个.
故选：B
5．（2022·宁夏·银川一中一模（理））已知函数 ，下列说法中正确的个数是
（ ）
①函数 的图象关于点 对称；
②函数 有三个零点；
③ 是函数 的极值点；
④不等式 的解集是 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【解析】 ，
令 ，则 ，
所以函数 是奇函数，所以 的图象关于原点对称，
所以 的图象关于点 对称，故①正确：
又因为 ，
所以 在R上单调递减，所以 在R上单调递减，
所以 只有一个零点且无极值点，故②③错误；
由 得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故④正确：综上所述，正
确的个数是2个.
故选：B
6．（2022·天津南开·高三期末）函数 的所有零点之和为
（ ）.
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】记 ， ，而
，
，于是这两个函数都关于 对称，在同一坐标系下画出它
们图像如下，可知它们有8个交点，这8个交点可以分成4组，每一组的两个点都关于 对称，这样的两个点横坐标之和是3，于是这些交点的横坐标之和为 .
故选：C.
7．（2022·江苏）（多选）已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有 ，
当 时， ，则（ ）
A． 是以2为周期的周期函数
B．点 是函数 的一个对称中心
C．
D．函数 有3个零点
【答案】BD
【解析】依题意， 为偶函数，
且 ，有 ，即 关于 对称，
则
，
所以 是周期为4的周期函数，故A错误；
因为 的周期为4， 关于 对称，所以 是函数 的一个对称中心，故B正确；
因为 的周期为4，则 ， ，
所以 ，故C错误；
作函数 和 的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数 有3个零点，故D正确.
故选：BD.
8．（2022·辽宁沈阳·二模）（多选）已知奇函数 在R上可导，其导函数为 ，且
恒成立，若 在 单调递增，则（ ）
A． 在 上单调递减 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】方法一：
对于A，若 ，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数 在R上可导，所以 ，故正确，对于C和D，设 ，则 为R上可导的奇函数， ，
由题意 ，得 ， 关于直线 对称，
易得奇函数 的一个周期为4， ，故C正确，
由对称性可知， 关于直线 对称，进而可得 ，（其证明过程见备注）
且 的一个周期为4，所以 ，故D正确．
备注： ，即 ，所以 ，
等式两边对x求导得， ，
令 ，得 ，所以 ．
方法二：
对于A，若 ，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数 在R上可导，所以 ，故正确，
对于C，将 中的x代换为 ，
得 ，所以 ，
可得 ，两式相减得， ，
则 ， ，…， ，
叠加得 ，
又由 ，得 ，
所以 ，故正确，
对于D，将 的两边对x求导，得 ，令 得， ，
将 的两边对x求导，得 ，所以 ，
将 的两边对x求导，得 ，
所以 ，故正确．
故选：BCD
9．（2022·海南·模拟预测）（多选）下面关于函数 的性质，说法正确的是
（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 在定义域上单调递减 D．点 是 图象的对称中心
【答案】AD
【解析】
由 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ，
因为 关于 对称，所以 关于 对称，故D正确；
函数 的定义域为 ，值域为 ，故A正确，B错误；
函数 在 和 上单调递减，故C错误；
故选：AD
10．（2022·河北）（多选）若函数 （ ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是
（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．2是函数 的一个周期C．
D．
【答案】AC
【解析】 函数 是奇函数， ，函数
图象关于点 对称，故A正确；
函数 是周期为2，所以 的周期为4，故B错误；
函数 是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断 的值，故D错误.
故选：AC.
11．（2022·河北沧州·模拟预测）（多选）已知三次函数 ，若函数
的图象关于点（1，0）对称，且 ，则（ ）
A． B． 有3个零点
C． 的对称中心是 D．
【答案】ABD
【解析】由题设， ，且 ，
所以 ，整理得 ，
故 ，可得 ，故 ，
又 ，即 ，A正确； 有3个零点，B正确；
由 ，则 ，所以 关于 对称，C错误；，D正确.
故选：ABD
12．（2021·四川省泸县）（多选）已知定义在 上的函数 满足： 关于 中心对称，
是偶函数，且 ．则下列选项中说法不正确的有（ ）
A． 为奇函数 B． 周期为2 C． D． 是奇函数
【答案】BC
【解析】由于 关于 中心对称，又将函数 向左平移1个单位后为 ，所以 关于
中心对称，即 是奇函数；又 是偶函数，又将函数 向右平移1个单位后为 ，所
以 关于直线 对称，即 ；
所以 ，
所以函数 的周期 ，所以选项A正确、B错误；
，故选项C错误；
对选项D：
所以 是奇函数，D正确.
故选：BC.
