3.2.2函数的性质（二）（精练）（提升版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）

3.2.2 函数的性质（二）（精练）（提升版） 题组一 函数的周期性 1．（2022·四川攀枝花）已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 的值为（ ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】∵定义在R上的奇函数 满足 ，∴ 的周期为4， ∴ ， ， ∴ .故选：A 2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知 为定义在R上的周期为4的奇函数，当 时， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 为定义在R上的周期为4的奇函数， 故 ， 故 ， 又 ，故 即 ，即 ，而当 时， ， 故 ，则当 时， ， 故 ， 故选：B 3．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数 是 上的奇函数，且 ，且当 时， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，因此函数的周期为 ， 所以 ， 又函数 是 上的奇函数，所以 ， 所以 ，即 ， 所以原式 ， 又当 时， ，可得 ，因此原式 . 故选：B． 4．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数 满足：对任意 ， ．当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为 ， 则 ，即 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 故选：C 5．（2022·天津市）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 __________. 【答案】 【解析】 是 上的奇函数， 又 ， ，所以 是周期函数，且周期为4 .故答案为：2 6．（2022·重庆·二模）已知定义域为R的函数 满足 且 ，则函数 的解析式可以是______. 【答案】 （答案不唯一）；【解析】由题意，函数 满足 且 ， 可得函数 是定义域 上的奇函数，且周期为2， 可令函数的解析式为 （答案不唯一）； 故答案为： （答案不唯一）； 7．（2022·陕西渭南·二模（文））已知 为R上的可导的偶函数，且满足 ，则 在 处的切线斜率为___________. 【答案】0 【解析】由题设， ，则 ，即 ， 所以 的周期为4，又 为R上的可导的偶函数，即 ， 而 ，故 ，即 ， 且 ，故 . 故答案为：0 8．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ， ， 当 时， ，则 ___________. 【答案】 【解析】由题意知 为定义在 上的奇函数， ，即 . 因为 ，所以 ，所以函数 的周期为4，则 . 因为 ， 为奇函数，所以 . 故答案为： 题组二 函数的对称性 1．（2022·内蒙古呼和浩特）函数 满足 ， ，函数 的图象关 于点 对称，则 （ ） A．-8 B．0 C．-4 D．-2 【答案】B 【解析】∵ 关于 对称， ∴ 关于 对称，即 是奇函数， 令 得， ，即 ，解得 ． ∴ ，即 ， ∴ ，即函数的周期是4． ∴ ．故选：B. 2．（2022·甘肃兰州）已知定义在R上的奇函数 满足 ．当 时， ， 则 （ ） A．7 B．10 C． D． 【答案】C 【解析】 在R上是奇函数， ，即，即函数 是周期为 的函数 故选：C 3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ，且 在 上单调 递减，则关于 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， ，所以函数 的图象关于直线 对称，又 在 上单调递减，所以 在 上单调递增， 结合草图可知：要使 ，则 到 的距离小于 到 的距离，故不等式等价于 ，两边同时平方后整理得 ，解得 或 . 故选：C． 4．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，函数 关于点 对称，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． 的周期为2 D． 【答案】B 【解析】因为函数 的图象关于直线 对称， 所以 ，即 . 用x代换上式中的2x，即可得到 ，所以 关于直线 对称. 函数 关于点 对称，所以 ，即 所以 关 于点 对称. 对于 ，令x取x+1，可得： . 对于 ，令x取x+2，可得： . 所以 ，令x取-x，可得： ， 所以 ，令x取x+2，可得： ，即 的最小正周期为4.所以C、D错误； 对于B：对于 ，令x取x-3，可得： . 因为 的最小正周期为4，所以 ，所以 ，即 .故B正确. 对于A：由 ，可得 为对称轴，所以不能确定 是否成立.故A错误. 故选：B 5．（2022·江西·二模（理））已知函数 则（ ） A． 在R上单调递增，且图象关于 中心对称 B． 在R上单调递减，且图象关于 中心对称 C． 在R上单调递减，且图象关于 中心对称 D． 在R上单调递增，且图象关于 中心对称 【答案】D 【解析】当 时， ， 当 时， ， 时， ， 即对任意实数x恒有， ，故 图象关于 中心对称； 当 时， 单调递增；当 时， 单调递增，且 图像连续， 故 在R上单调递增， 故选：D. 6．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知函数 ，则 （ ） A．10130 B．10132 C．12136 D．12138【答案】D 【解析】 ， 所以 的图象关于点 对称，所以当 时， ， 所以 . 故选：D． 7．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 满足 ，则下列函数中为奇函数 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 关于 对称，所以将 向左平移一个单位，再向上 平移一个单位得到函数 ，该函数的对称中心为 ，故 为奇函数， 故选：D 8．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数 ，则下列函数图象关于直线 对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数 ，定义域为 ，则 ， 故函数 为偶函数，则关于 轴对称， 因此函数 为函数 向右平移一个单位得到，故函数 关于 对称，且函数 关于直线 对称，因此函数 关于点 对称， 故选：C． 9（2022·山东临沂·一模）已知函数 ，则不等式 的解集是 ______. 【答案】 ， 【解析】构造函数 ，那么 是单调递增函数， 且向左移动一个单位得到 ， 的定义域为 ，且 ， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称． 不等式 等价于 ， 等价于 结合 单调递增可知 ， 所以不等式 的解集是 ， ．故答案为： ， ． 题组三 Mm函数求值 1．（2022宁波）已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 A． B．0 C．1 D．2 【答案】B ， 【解析】 令 ，则 ，即 为奇函数，图象关于原点对称， ， ， ，且 ，，则 ．故选： ． 2．（2022 •合肥）已知 ，设函数 ， ， ， ，若 的最大 值为 ，最小值为 ，那么 和 的值可能为 A．4与3 B．3与1 C．5和2 D．7与4 【答案】B 【解析】令 ， ， ，由 ，得 为奇函数， 设 的最大值为 ，则最小值为 ， ， ，可得 ， ， 为偶数，即 为偶数，综合选项可知， 和 的值可能为3和1．故选： ． 3．（2021•温州）已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ， 那么 A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【解析】 ， 在定义域内单调递增， ， ， 即 （a） ， ， 故选： ． 4．（2021•郫都）已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ，那么 A．2020 B．2019 C．4040 D．4039 【答案】D 【解析】函数 ．令 ， ． 由于 在 ， 时单调递减函数； （a） 函数 的最大值为 ； 最小值为 （a） ；那么 ；故选： ． 5．（2022•湖南）已知函数 在 ， 上的最大值为 ，最小值 为 ，则 A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】 令 ， 而 ， ， 则 关于 中心对称，则 在 ， 上关于 中心对称． ．故选： ． 6．（2022•广西）已知函数 ， ， ， 的最大值为 ，最小值 为 ，则 A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 ， ， ，所以 ，令 ， ， ， ，或 ，或 ，或 ，， ， ， 和 ， ， ， 单调递增， ， 和 ， ， ， 单调递减， 所以 ， ， 的最大值为 ，最小值为 ， ， ， ， ， ， 中最大 值及最小值，所以 ， ，所以 ，故选： ． 7．（2022•吉安）已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ， 那么 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】易知函数 在 ， 上单调，且 ， ． 故选： ． 8．（2022•云南）设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】 ，且 ， 所以 关于点 中心对称．所以最大值 和最小值 的和 ．故选： ．9．（2022•广州）已知函数 在 ， 上的最大值和最小值分别为 、 ，则 A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解析】设 ，因 为奇函数， 所以 ，所以 ，所以 ． 故选： ． 10．（2022•上海）设函数 ， ， 的最大值为 ，最小值为 ，那么 404 0 ． 【答案】4040 【解析】令 ，则 ， 故函数 为定义域上的奇函数， ，即 ， ．故答案为：4040． 题组四 函数性质的综合运用 1．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，且 是奇函数， 则（ ） A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称 C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称 【答案】C【解析】由 可得2是函数 的周期， 因为 是奇函数，所以函数 的图象关于点 对称， 所以 ， ，所以 是奇函数，故选：C. 2．（2022·云南德宏）已知定义在R上的可导函数 的导函数为 ，满足 且 为偶函数， 为奇函数，若 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 为偶函数， 为奇函数， 所以 ， . 所以 ， ，所以 . 令 ，则 . 令上式中t取t-4，则 ，所以 . 令t取t+4，则 ，所以 . 所以 为周期为8的周期函数. 因为 为奇函数，所以 ， 令 ，得： ，所以 ，所以 ，即为 ，所以 . 记 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以 在R上单调递减. 不等式 可化为 ，即为 .所以 .故选：C3．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是 （ ） A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称 C． 有2个零点 D． 是偶函数 【答案】B 【解析】显然， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且 ， 记 ，则有 ， 故 是奇函数，选项D错误. 又 故 的图象关于点 对称，选项B正确，选项A错误； 令 ，则有 ，即 或 ， 解得 或 ，即 ， 或 ， 故 有3个零点，选项C错误.故选：B 4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 满足 ， ，当 时， ，则关于x的方程 在 上的解的个数是（ ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】B 【解析】因为函数 满足 ，所以函数 关于点 对称， 因为 ，即 ，所以函数 关于直线 对称，因为当 时， ， 所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示： 由图可知，函数 为周期函数，周期为 ， 由于函数 一个周期内， 与 有2个交点， 在 上， 与 有1个交点， 所以根据函数周期性可知，当 时， 与 有 个交点. 所以关于x的方程 在 上的解的个数是 个. 故选：B 5．（2022·宁夏·银川一中一模（理））已知函数 ，下列说法中正确的个数是 （ ） ①函数 的图象关于点 对称； ②函数 有三个零点； ③ 是函数 的极值点； ④不等式 的解集是 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B【解析】 ， 令 ，则 ， 所以函数 是奇函数，所以 的图象关于原点对称， 所以 的图象关于点 对称，故①正确： 又因为 ， 所以 在R上单调递减，所以 在R上单调递减， 所以 只有一个零点且无极值点，故②③错误； 由 得 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故④正确：综上所述，正 确的个数是2个. 故选：B 6．（2022·天津南开·高三期末）函数 的所有零点之和为 （ ）. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解析】记 ， ，而 ， ，于是这两个函数都关于 对称，在同一坐标系下画出它 们图像如下，可知它们有8个交点，这8个交点可以分成4组，每一组的两个点都关于 对称，这样的两个点横坐标之和是3，于是这些交点的横坐标之和为 . 故选：C. 7．（2022·江苏）（多选）已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有 ， 当 时， ，则（ ） A． 是以2为周期的周期函数 B．点 是函数 的一个对称中心 C． D．函数 有3个零点 【答案】BD 【解析】依题意， 为偶函数， 且 ，有 ，即 关于 对称， 则 ， 所以 是周期为4的周期函数，故A错误； 因为 的周期为4， 关于 对称，所以 是函数 的一个对称中心，故B正确； 因为 的周期为4，则 ， ， 所以 ，故C错误； 作函数 和 的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点， 所以函数 有3个零点，故D正确. 故选：BD. 8．（2022·辽宁沈阳·二模）（多选）已知奇函数 在R上可导，其导函数为 ，且 恒成立，若 在 单调递增，则（ ） A． 在 上单调递减 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】方法一： 对于A，若 ，符合题意，故错误， 对于B，因已知奇函数 在R上可导，所以 ，故正确，对于C和D，设 ，则 为R上可导的奇函数， ， 由题意 ，得 ， 关于直线 对称， 易得奇函数 的一个周期为4， ，故C正确， 由对称性可知， 关于直线 对称，进而可得 ，（其证明过程见备注） 且 的一个周期为4，所以 ，故D正确． 备注： ，即 ，所以 ， 等式两边对x求导得， ， 令 ，得 ，所以 ． 方法二： 对于A，若 ，符合题意，故错误， 对于B，因已知奇函数 在R上可导，所以 ，故正确， 对于C，将 中的x代换为 ， 得 ，所以 ， 可得 ，两式相减得， ， 则 ， ，…， ， 叠加得 ， 又由 ，得 ， 所以 ，故正确， 对于D，将 的两边对x求导，得 ，令 得， ， 将 的两边对x求导，得 ，所以 ， 将 的两边对x求导，得 ， 所以 ，故正确． 故选：BCD 9．（2022·海南·模拟预测）（多选）下面关于函数 的性质，说法正确的是 （ ） A． 的定义域为 B． 的值域为 C． 在定义域上单调递减 D．点 是 图象的对称中心 【答案】AD 【解析】 由 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ， 因为 关于 对称，所以 关于 对称，故D正确； 函数 的定义域为 ，值域为 ，故A正确，B错误； 函数 在 和 上单调递减，故C错误； 故选：AD 10．（2022·河北）（多选）若函数 （ ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是 （ ） A．函数 的图象关于点 对称 B．2是函数 的一个周期C． D． 【答案】AC 【解析】 函数 是奇函数， ，函数 图象关于点 对称，故A正确； 函数 是周期为2，所以 的周期为4，故B错误； 函数 是周期为2的奇函数， ，故C正确； ，无法判断 的值，故D错误. 故选：AC. 11．（2022·河北沧州·模拟预测）（多选）已知三次函数 ，若函数 的图象关于点（1，0）对称，且 ，则（ ） A． B． 有3个零点 C． 的对称中心是 D． 【答案】ABD 【解析】由题设， ，且 ， 所以 ，整理得 ， 故 ，可得 ，故 ， 又 ，即 ，A正确； 有3个零点，B正确； 由 ，则 ，所以 关于 对称，C错误；，D正确. 故选：ABD 12．（2021·四川省泸县）（多选）已知定义在 上的函数 满足： 关于 中心对称， 是偶函数，且 ．则下列选项中说法不正确的有（ ） A． 为奇函数 B． 周期为2 C． D． 是奇函数 【答案】BC 【解析】由于 关于 中心对称，又将函数 向左平移1个单位后为 ，所以 关于 中心对称，即 是奇函数；又 是偶函数，又将函数 向右平移1个单位后为 ，所 以 关于直线 对称，即 ； 所以 ， 所以函数 的周期 ，所以选项A正确、B错误； ，故选项C错误； 对选项D： 所以 是奇函数，D正确. 故选：BC.