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5.1 三角函数的定义（精练）（提升版）
题组一 扇形的弧长与面积
1．（2022.河南省）已知直线 将圆 分为 ， 两部分，且 部分
的面积小于 部分的面积，若在圆 内任取一点，则该点落在 部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线 与圆 交于 ， 两点，由圆 可知，圆心 的坐标为 ，半径
为 .圆面积为 ．
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，从而扇形 的面积为 ，
所以 部分的面积为 ，
故在圆 内任取一点，则该点落在 部分的概率 .
故选：B．
2．（2022浙江省金丽衢）如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形
（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次
回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，
此时点A走过的路径的长度为___________.【答案】 3
【解析】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为 ，
顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等分，
由4和6的最小公倍数： ，
所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.
这一轮中，点A路径 是圆心角为 ，半径分别为2， ，2的三段弧，故路径长
，∴点A与P重合时总路径长为 .故答案为：3， .
3．（2022湖南省）已知 为正方体 表面上的一动点，且满足 ，则动
点 运动轨迹的周长为__________.
【答案】
【解析】由 可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，
所以P点只可能在面 ，面 ，面 上运动，
当P在面 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，由 得： ，
即 ，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧，因为 ,故 ,
所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为
同理，P点在面 内情况亦为 ；
P点在面 上时，因为 ， ,
所以 ，
所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，
综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
故答案为： .
4．（四川省南充市2022届高考适应性考试（二诊）理科数学试题）已知正方体 的棱长为
为体对角线 的三等分点，动点 在三角形 内，且三角形 的面积 ，则点
的轨迹长度为___________.
【答案】【解析】因为正方体的棱长为 ，所以 ，所以 ，
设 到 的距离为 ，由 ，得 ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，
，同理可证 ，又 ， 面 ，
点在 所在平面的轨迹是以 为半径的圆，
内切圆的半径为 ， 该圆一部分位于三角形外，
如图有 ，解得 ， ， 圆在三角形内的圆弧为圆周长的一半，
，故答案为： .
5．（河北省张家口市2022届高三第一次模拟数学试题）(多选）已知正方体 的棱长为1，点P是线段 上（不含端点）的任意一点，点E是线段 的中点，点F是平面 内一点，则下面
结论中正确的有（ ）
A． 平面
B．以 为球心､ 为半径的球面与该正方体侧面 的交线长是
C． 的最小值是
D． 的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A选项：
因为平面 即为平面 ，又因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，故A正确；
对于B选项：
该球面与侧面 的交线为弧 ，是以 为圆心，圆心角为 的弧，所以弧长为 ，故B正
确；对于C，D选项：
将 沿 翻折到与 在同一平面且点 ，D在直线 的异侧，作 于点G，交
于P.由两点之间，直线最短.可得G、F重合时， 最小.此时，设 ，则
,
所以 .
在 中， ,所以 ，则 的最小值是 ，
故C不正确，D正确.故选:ABD.
题组二 三角函数的定义
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，且
为 终边上一点，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角函数定义可知 ， ，解得 或 (舍去)，则 .选：C.
2．（2022·全国·模拟预测）已知 是第二象限角， 终边与单位圆 交于点 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角函数定义知 ，由 得 ，
所以 ，所以 或 .
又 是第二象限角，所以 ，所以 ，即 ，故选C.
3．（2022·全国·模拟预测）若将角 的终边绕原点逆时针旋转90°后与单位圆的交点的纵坐标为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 ，从而有 .故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角
终边上有一点 ， 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为角 终边上有一点 ，所以 ，
又因为 为锐角，且 ，所以 ，
所以 ，故选：C
5（2022·四川省高县中学校）在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点为O，始边为 轴非负半轴，若点
是角 终边上的一点，则角 的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ，可得点 在第一象限，又 ，
所以 ， ．故选：B．
6．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知锐角 的终边上一点 的坐标为 ，
则 ＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【解析】因为锐角 的终边上一点 的坐标为 ，且
， ，从而有点 的坐标为 ，所以 ．故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知点 为角 终边上一点，且 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
，即 .又因为 ，解得 .故选：D
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，终边分别
是射线 和射线 ，且射线 和射线 关于 轴对称，射线 与单位圆的交点为 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由任意角的三角函数的定义可得， ， ，
因 ，且射线 和射线 关于 轴对称，则射线OB与单位圆的交点为 ，于是得， ，
因此， ，
所以 的值是 .故选：D
题组三 判断三角函数值的正负
1．（2022·全国·高三专题练习）若 为第一象限角，则 ， ， ， 中必定为正值的有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】因为 为第一象限角，所以 为第一或二象限角，可得： ，而 符号不确定，
又 为第一或三象限角， ， 可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定
综上所述，必定为正值的只有 一个故选： ．
2．（2022·湖南师大附中一模）已知 ， ，则角 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ；因为 ，所以 .
所以 ， ，
所以 是第三象限角.故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】：由 ，平方得： ，则 ，即，则 或 ， ，即有
或 ， ，
当 为偶数时， 位于第二象限， ， ， ，不成立，
当 为奇数时， 位于第四象限， ， ，成立.
∴角 的终边在第四象限.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知点 在第三象限，则 的取值范围是
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 在第三象限， ，
， ， ， ．
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，当角 终边在第二象限时，
当角 终边在第三象限时，
当角 终边在第四象限时， 因此函数的值域为 ，故选C.
6．（2022·山西吕梁）（多选）若 ，则角θ的取值范围可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】依题意， ，
则 ，即 ，由给定选项知，角 终边不在坐标轴上，
从而有 与 异号， 为第二象限角或第四象限角，
若 为第二象限角，则 ， ， ，
若 为第四象限角，则 ， ， .故选：BD
7．（2022·江苏·南京市第二十九中学）如果 ，那么角 所在的象限是______.
【答案】第二或第四象限
【解析】因为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ；
解得 ， 或 ， ；所以角 在第二或第四象限.
故答案为：第二或第四象限.8．（2022上海市）i为虚数单位， 对应的点在第二象限，则 是第_____象限的角.
【答案】一、三
【解析】 对应的点在第二象限，
， ，解得 ，
当 时， 为第一象限角，
当 时， 为第三象限角，综上可得：θ是第一、三象限的角．
故答案为：一、三
题组四 三角函数线
1．（2020·全国·高三专题练习）比较大小，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ．而 ， ，
由 ，所以， ．综上， ，故选B．
2．（2022·河北保定）（多选）下列说法正确的是（ ）
A． 的值与 的值相等
B． 的值比 的值大
C． 的值为正数
D．关于x的不等式 的解集为
【答案】ABC【解析】对于选项A，由 可知选项A正确；
对于选项B，由 及正弦函数的单调性可知B选项正确；
对于选项C，由 ， ， ，可知C选项正确；
对于选项D，由余弦函数的图象及 ，可知关于x的不等式 的解集为
，故D选项错误．故选：ABC.
3．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，对任意 ，总存在实数 ，使得 ，则 的
最小值是___
【答案】
【解析】在单位圆中分析，由题意， 的终边要落在图中阴影部分区域（其中 ），
必存在某个正整数 ，使得 终边在OB的下面，而再加上 ，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴
影区域内，∴ ，
∵对任意 要成立，所以必存在某个正整数 ，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有
无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的 ,次差的累积可以达到任意的整
度数，便不可能在空白区域中不存在了），故存在正整数 ,使得 ，即 ， ，同时 ，∴ 的最小值为 ,故答案为： .
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋ 的定义域为__________________.
【答案】
【解析】要使原函数有意义，必须有 即 ，
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，
解集为 ,取交集可得
原函数的定义域为
故答案为：
