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7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）（提升版）
题组一 平行问题
1（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证： 平面
ABC
【答案】证明见解析；
【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，
则 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
2．（2022·辽宁抚顺）在正方体 中， 分别是 和 的中点.求证：(1) 平面 .
(2)平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接 ，因为四边形 为正方形， 为 中点，所以 为 中点，又因为
为 中点，所以 .因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
（2）连接 ，因为四边形 为正方形， 为 中点，所以 为 中点.又因为 为 中
点，所以 .因为 平面 平面 所以 平面 .由（1）知
平面 ，又 ， 平面 ，所以平面 平面 .
3．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， ， ，且
，过M作 于H，求证：
(1)平面 平面BCE；(2) 平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）在正方形ABCD中， ， ，则 ，又 平面 ， 平面
，因此 平面 ，由 ，得 ，而 ， ，则有 ，即
，于是得 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因 ， 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知：平面 平面 ，而 平面 ，所以 平面 .
4．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，且
，点M在棱 上，若直线 平面 ，求 的值
【答案】（1）1∶2；
【解析】连接 与 交于点N，连接 ，
， ， ， ，
又 平面 ， 平面 ，且平面 平面
．5．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为
的中点，在 上任取一点 ，过 和 作平面 交平面 于 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求证： .
【答案】证明见解析
【解析】(1)证明：因为四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
(2)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形， ，则 为 的中点，
又因为 为 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 .(3)证明： 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
.
6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 与 相交
于点O，F点是 的中点，E点在线段 上，且 ．求证：直线 ∥平面
【答案】证明见解析；
【解析】取 的中点 ，连接CG、GF、EO．
∵ ，
则 ，
∵ 点是 的中点，故 ，且 平面 ，
故 平面 ．
又 ，故 是 的中点， 是 的中点，
则 ，且 平面 ，
故 平面 ，且 ，
故平面 平面 ．
又 平面 ，故 平面 ．
7（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 中， 且 ，线段 上有一点E，满足
， ，现将 分别沿 折起，使 ，得到如图（2）所示的几何体．求证：
【答案】证明见解析；
【解析】图（1）中， ，则 ，而 ，即 ，
在 中， ，有 ，
同理可得 ，则 ，
图（2）中， ，则 ，而 ， 平面 ，则有 平面
，
在 中， ，则 ，又 ， ， 平面 ，因
此 平面 ，
所以 .
8．（2022·江西）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ，E是 的中点.
(1)求证： //平面
(2)求证： //平面 .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】(1)因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
(2)
取 中点 ，连接 ，易得 ，且 ，由（1）知 且 ，
则 且 ，则四边形 为平行四边形，则 ，又 平面 ， 平面
，则 平面 .
9．（2022·全国·高一）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面
ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以 .
因为 面 , 面 ,所以AF//平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为 面 , 面 ,所以AB//平面 .
因为 面 ,面 面 =EF.
所以AB//EF.
题组二 空间几何中的垂直
1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中 过 点作 的垂线交 的延长线
于点 ， .连接 交 于点 ，如图1，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置.如图
2.证明：直线 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：图1中，在 中， 所以 .所以
也是直角三角形，
，
在图2中， 所以 平面 .
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点，
为 的中点，且 ， ， ．证明： 平面【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，
连接AF，
由题意知 为等腰三角形，
而 为 的中点，所以 ．
又因为平面 平面 ，且 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
而 平面 ，所以 ．
而 ， 平面 ，所以 平面 ．
连接 ，则 ， ，
而 ， ，所以 且 ，
所以 是平行四边形，
因此 ，故 平面 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中， 底面
．证明：【答案】证明见解析；
【解析】证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，， ， 是 的中点，点 在棱 上．
(1)求四棱锥 的全面积；
(2)求证： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴ ,
同理可得 ,
∴
.
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥A⊂D，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF 平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝⊂AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE 平面PDC，∴PE⊥AF．
⊂
5．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱 中， 为 中点．(1)求证： 平面 ；
(2)若三棱柱 上下底面为正三角形， ， ，求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)连接 ，与 相交于点F，连接MF，则 为 的中点，
因为 为 中点，所以MF是 的中位线，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面
(2)因为直三棱柱 上下底面为正三角形， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
由三线合一可得： ，
又因为 平面ABC， 平面ABC，
所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以
因为
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面
6．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 分别为
， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)若平面 平面 ，求 的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】(1)因为 平面 ， 平面 ，所以 .
又因为底面 为菱形，所以 .
又因为 ，所以 平面 .
(2)取 为 的中点，联结 .
在 中， 分别为 的中点，
所以 .
因为底面 为菱形，且 为 的中点，
所以 .
所以 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 .
因为 平面 平面 .
所以 平面 .
(3)因为 平面 ， 平面 ，所以 .
因为平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，所以 平面 .
所以 .
因为底面 为菱形，且 为 的中点，所以 .所以
则 是等边三角形.所以 .
题组三 空间几何中的定理辨析
1．（2022·上海虹口·二模）已知 ， 是平面 内的两条直线， 是空间的一条直线，则“ ”是“且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， ，所以 且 ；
当 且 ， ，但 ， 是否相交无法判断，所以 可能成立，也可能不成立．综上，
“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体 中，E，F分别为 的中点，则
（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【解析】解：在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故D错误，
故选：A.选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，
据此可得 ，即 ，据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；
对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
3．（2022·安徽省舒城中学三模（理））设 ， 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下面说法
正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】C【解析】A：由 ， ，则 或 相交，错误；
B：由 ， ，则 或 或 相交，错误；
C：由 ，则存在直线 且 ，而 则 ，根据面面垂直的判定易知 ，正确；
D：由 ， ，则 或 ，错误.
故选：C
A B C D
4（2022·全国·高三专题练习（理））已知 是正方体 的中心O关于平面 1 1 1 1的对称
点，则下列说法中正确的是（ ）
A． 与 是异面直线 B． 平面
C． D． 平面
【答案】B【解析】
连接 、 ，交于点 ，连接 、 ，交于点 .
连接 、 、 、 、 .
由题可知， 在平面 上，所以 与 共面，故A错误；
在四边形 中， 且 ，所以四边形 为平行四边形.
.
平面 ， 平面 ， 平面 ，故B正确；
由正方体的性质可得 ，因为 ，所以 ，又 ， 平面
， ，又 ，
，而 与 所成角为 ，所以显然 与 不垂直，故C错误；
显然 与 不垂直，而 平面 ，所以 与平面 不垂直，故D错误.
故选：B.
5．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设a，b是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 ，则
②若 ，则
③若 ，则④若 ，则
其中为真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】①中， ，则平面 与平面 可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误；
②中， ，直线 与直线 可能平行，异面或者垂直，故②错误；
③中， ，则 ，故 ，故③正确；
④中， ，则 ，故④正确.
故选：C.
6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体 中， 是 的中点，则下列
说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面
【答案】A
【解析】连接 ；由正方体的性质可知 ， 是 的中点，所以直线 与直线 垂直；
由正方体的性质可知 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以直线 平面 ，故A正确；
以 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线 与直线 不平行，故B不正确；
直线 与直线 异面正确， ， ，所以直线 与平面 不垂直，故C不
正确；
直线 与直线 异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分
别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF 平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF AD，所以EF BC，
直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；
②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；
③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF AD，所以EF BC，因为EF 平面PBC，BC 平面PBC，
所以直线EF 平面PBC，故③正确；
④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.
所以正确结论的个数是2.
故选：B
