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9.6 导数的综合运用（精练）（基础版）
题组一 零点问题
1．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（理））已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)讨论 的零点情况．
【答案】(1)递增区间为 ，递减区间为
(2)答案见解析
【解析】（1）解：当 时，则 ，可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 单调递增， 在 单调递减．
（2）解：当 时， ；
当 时， 等价于 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
所以 在 单调递增；在 单调递减，
且当 时， ，当 时， ；当 时， ，
如图所示，可得 为 的极大值，
当 ，即 时， 与 只有1个交点，即 只有1个零点；
当 时， 与 有2个交点，即 有2个零点；
当 时， 与 有3个交点，即 有3个零点．
综上， 时， 只有1个零点；当 时， 有2个零点；
当 时， 有3个零点．2．（2020·陕西·榆林市第十中学高三期中（理））已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ，且 .
当 时，即当 时，对任意的 ， ，此时函数 的增区间为 ；
当 时，即当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）解：由 ，可得 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点，
，当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，所以，函数 单调递减，
所以，函数 的极大值为 ，且当 时， ，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
3．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数 ，和 ，
(1)若 与 有相同的最小值，求 的值；
(2)设 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） ，
当 时， 在R上单调递减，无最值，舍去
当 时，令 ，则∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则
∵ ，则 的定义域为
，令 ，则
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则
依题
（2）
由题意可知：
令 ，即 ，则
即 ，则
∵ 在 上单调递增
则 ，即 在 上有两个零点
由（1）可得： ，解得：
此时 在 上有一个零点
当 时，下证 在 上有一个零点
取 ，则
令 ，则
∴ 在 单调递减，则 ，即
∵ ，令 ，则∴
令 ，则
又∵ ，则
∴ 在 上单调递增，则
即
∴ 在 上有一个零点
则 的取值范围为
4．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知函数 ， 为 的导数．
(1)判断并证明 在区间 上存在的极大值点个数；
(2)判断 的零点个数．
【答案】(1) 在区间 上存在的极大值点个数为1，理由见解析；
(2)2个零点，理由见解析.
【解析】（1） 在区间 上存在的极大值点个数为1，理由如下：
， ，
，令 ， ，
则 ，令 ， ，
，当 时， ，所以 ，
即 在 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使得 ，
且当 时， ，当 时， ，
所以 在 处取得极大值，
故 在区间 上存在的极大值点个数为1；
（2）
的定义域为 ，
①当 时，由（1）知， 在 上单调递增，而 ，
所以当 时， ，
故 在 上单调递减，又 ，
所以 是 在 上的唯一零点；
②当 时，由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ， ，
所以存在 ，使得 ，
且当 时， ，当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，所以当 时， ，
所以 在 上没有零点；
③当 时， ，所以 在 上单调递减，
而 ，
所以 在 上有唯一零点；
④当 时， ，所以 ，从而 在 上无零点；
综上： 有且仅有两个零点.
题组二 不等式成立
1．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知函数
.
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【解析】（1）函数 定义域为 ..
令 ，则有 .
i.当 时， 恒成立，有 ，所以 在 上单增，无减区间；
ii. 当 时，令 解得： ， .
当 时， 的对称轴 ，所以 在 上单增.
又 ，所以 恒成立，所以有 ，所以 在 上单增，
无减区间；
当 时， 的对称轴 ，且 ，
.
由二次函数的性质可得：
在 上 ；在 上 ；在 上 .
所以在 上，有 ， 单增；在 上有 ， 单减；在 上有
， 单增.
即 在 上单增，
在 上单减，
在 上单增.综上所述：当 时， 的递增区间为 ，
，
递减区间为 ，
当 时， 的递增区间为 ，无减区间.
（2）
当 时， .
在 恒成立，可化为 在 恒成立.
即 ，
即 在 恒成立.
令 ，因为 为增函数， 为增函数，所以 为增函数，
所以可化为 在 恒成立，
只需 在 恒成立.
记 ，只需 .
由（1）可知， 在 上单调递增，所以 ，即 ，解得：
.
即实数 的取值范围为 .2．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
当 时， ， ，
， ，
所以切线方程为： ，即 .
（2）
恒成立，即 在 上恒成立，
设 ， ，
令 ，得 ，
在 上， ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ， ，
故有 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．【答案】(1) 的递增区间为 ，无递减区间；
(2)
【解析】（1）解：当 时， ，
求导 ，
设 ，
则 ，
令 ，解得： ； ， ，
∴ 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
则 ，
∴ 在（0，+∞）上恒成立，
∴ 的递增区间为（0，+∞），无递减区间；
（2）解： ，
由（1）知： ＝ ，
又因为 在（1，+∞）单调递增，
则g（x）≥g（1）＝2，
①当a≤2时， ， 在[1，+∞）单调递增，
∴ ，满足题意．
②当a＞2时，设 ，则 ，
当 时， ，∴ 在[1，+∞）递增， ， ，
∴ ，使 ，
∃
∵ 在[1，+∞）单调递增，
∴当 时， ＜0，即 ＜0，所以 在 上单调递减，
又 ，
∴当 时， ，不满足题意．
∴ 的取值范围为 ，
综上可知：实数 的取值范围（﹣ ，2]．
4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（理））已知函数 .
(1)若函数 有一个零点，求k的取值范围；
(2)已知函数 ，若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） 定义域为 ，由于 有一个零点，可得方程 有且仅有一个实
根，
令 ， ，由 得 ；由 得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 最大值 ，又 ，∴ 时， ； 时， .
画出 大致图像如图所示，若直线y＝k与 的图像有一个交点，则 或 .
∴k的取值范围是 .
（2）
方法一：若 恒成立，即 恒成立.
∵ ，∴ 恒成立，只需 ，
令 ， ，
令 ， ，所以 在 上单调递减，
而 ，∴ ， ； ， ，
即 时， ， ， .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
故 .所以 的取值范围是 .
方法二：由 得 ，现证明在 前提下，原式恒成立.
∵ ，∴ （*），
现证明， ， ，构造 ， ，
令 解得 ，令 解得 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 成立；
构造 ， ，
令 解得 ，令 解得 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增， 成立，
∴（*）式 成立，原式得证.
5．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高三开学考试）已知函数 ，
（ ）
(1)求 在点 处的切线方程
(2)若对于任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)a 4
【解析】（1）解：因为 ，所以 ，
所以切线的斜率 ， ．
所以 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2）
解：若 对任意的 恒成立，则 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
令 ， ，只需满足 ， ，又 ，
因为 ，所以由 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时函数 取得极小值即为最小值，即 ，所以a 4.
6．（2022·北京·高三开学考试）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间和极值；
(2)若曲线 不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；
(3)当 时， 恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）
【答案】(1)单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ；极大值 ，极小值
(2)a的取值范围为 ；
(3)a的取值范围为 .
【解析】（1）由 ， 得 .
当 时，
令 ，得
此时 ， 随 的变化如下：0 0
极小
↗ 极大值 ↘ ↗
值
所以 的单调递增区间为 和
的单调递减区间为
函数 在 时，取得极大值 ，
在 时，取得极小值 .
（2）
因为 不存在斜率为 的切线， 所以
即方程 无解，所以
解得 ，
所以a的取值范围为 ；
（3）
不等式 可化为 ，
设 ，
，
设 ，则
当 时， ， ，又
所以 ，
函数 在 上单调递增，所以当 时， ，此时 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，
所以 时， 在 上恒成立，
当 时，方程 的判别式 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以方程 有两个不相等的实数根，
设其根为 ，且 ，则 ，
所以 ，
所以当 时， ，
此时 ，所以函数 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，
所以 时， 在 上不可能恒成立，
综上可得a的取值范围为 .
题组三 双变量
1．（2022·黑龙江·高三开学考试）已知函数 存在两个极值点 .
(1)求 的取值范围；
(2)求 的最小值.
【答案】(1) (2)【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ；
令 ，则 有两个不等正根 ，
，解得： ， 实数 的取值范围为 .
（2）由（1）知： ， 是 的两根，则 ；
；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
，
即 的最小值为 .
2．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： .
【答案】(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
当 时， 令 ， 解得 ，令 ， 解得 ，所以 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 ；
当 ， 即 时， 在 上恒成立，
所以 的单调递减区间为 ，
当 ， 即 时， 令 ， 解得 ，
令 ， 解得 或 ，
所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ， ；
当 ， 即 时， 令 ， 解得 ， 令 ， 解得 或
，
所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ， ；
综上，当 时， 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ， ；
当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ， ；
（2）
令 ， 即 ， 即 ，
所以 ，
令 ， 所以 ，
所以 ，令 ， 解得 ，令 ， 解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又当 时， ， 当 时， ，
不妨设 ， 则 ，
要证 ， 即证 ，
又 在 上单调递增，
所以只需证 ，即证 ，
即证 ， 即证 ，
令 ， 所以 ，
令 ， 所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减， 即 在 上单调递减，
所以 ， 所以 在 上单调递减，
又 ，
所以 ，
所以 .
3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知 ， 为自然对数的
底数.
(1)若 是 上的单调函数，求实数 的取值范围；
(2)当 时，若 有两个正极值点 ， ，证明： .【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
若 是 上的单调函数, 则 或 在 上恒成立,
若 时, 即 ,
当 时, 显然不成立,
故 在 上恒成立, 即 ,
时, 成立,
时, ,问题转化为 在 恒成立,且 在 恒成立
令 , 则 ,
令 , 解得: 或 , 令 , 解得: ,
故 在 递增, 在 递减, 在 递增,
趋向于 时, 趋向于 ； 趋向于 时, 趋向于 ；
时, ； 趋向于 时, 趋向于
画出函数 的大致图象, 如图示：故 的取值范围是 ;
（2）
证明: 结合（1）由 , 得: ,
若 有两个正极值点 , 不妨设 ,则 ,
则 ① ②
① ②整理得: ,
要证 , 只需证明: 即可，
只需证明 , 即只需证明 即可, 而 ,
故原命题成立.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 时， ，求 的取值范围；(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）∵ ， ，∴ ，设 ， ，
当 时，令 得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单
调递增，∴ ，与已知矛盾．当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴
，满足条件；综上， 取值范围是 ．
（2）证明：当 时， ，当 ， ，当 ， ，则 在区间 上
单调递增，在区间 上单调递减，不妨设 ，则 ，要证 ，只需证 ，∵
在区间 上单调递增，∴只需证 ，∵ ，∴只需证 ．设
，则 ，∴ 在区间 上单调递增，∴
，∴ ，即 成立，∴ ．
5．（2022·四川凉山 ）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：若 ， ，则 ．【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时， 在 上单调递减，在 上单调
递增
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知： ．
当 时，当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增
综上， 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）证明：∵ ，即 ，
又 ，∴要证 ，只需证 ，
即证 ①
设 ， ，则 ，
∴ 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，不等式①成立，即 成立．
6．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知函数 ，(1)讨论 的极值点个数；
(2)若 在 内有两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1） ，令 ， ，
当 时， ，即 ，则 在 上单调递减，无极值点；
当 时， 有两个零点 ， ，
当 ， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 在 处取极小值，在 取极大值，有2个极值点，
综上，当 时，无极值点，当 时，有2个极值点；
（2）
由题意可得 在 有两个零点 ，故 且 ，所以 ，
由 得 ，故 ，同理 ，
又 ，所以 ，
结合 知 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，又 ，所以 即 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 .
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ， ）.
(1)求函数 的极值；
(2)若函数 的最小值为0， ， （ ）为函数 的两个零点，证明： .
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)证明见解析
【解析】(1) （ ）， ，
若 时，则 恒成立，
在 上单调递增，故 没有极值；
若 ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
有极小值，极小值为 ，无极大值.
(2)证明：由（1）可知，当 时， 有最小值， ，
由函数 的最小值为0，得 ，
由题知 ，
， ，
，， ，
， （ ），
令 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
又 ， 在 上， ， ， 单调递减，
在 上， ， ， 单调递增，
，
得证.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ，证明
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】(1)解：
当 时，
当 时， ，则
令 ，则 ，或 ， ，则 ，综上：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递
减.
(2) 有两个极值
是方程 的两个不等实根，则
要证： ，即证：
不妨设 ，即证：
即证： 对任意的 恒成立
令 ， ，则
从而 在 上单调递减，故 ，所以
