9.6导数的综合运用（精练）（基础版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）

9.6 导数的综合运用（精练）（基础版） 题组一 零点问题 1．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（理））已知函数 ． (1)若 ，求 的单调区间； (2)讨论 的零点情况． 【答案】(1)递增区间为 ，递减区间为 (2)答案见解析 【解析】（1）解：当 时，则 ，可得 ， 令 ，解得 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 在 单调递增， 在 单调递减． （2）解：当 时， ； 当 时， 等价于 ， 令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 当 时， ； 所以 在 单调递增；在 单调递减， 且当 时， ，当 时， ；当 时， ， 如图所示，可得 为 的极大值， 当 ，即 时， 与 只有1个交点，即 只有1个零点； 当 时， 与 有2个交点，即 有2个零点； 当 时， 与 有3个交点，即 有3个零点． 综上， 时， 只有1个零点；当 时， 有2个零点； 当 时， 有3个零点．2．（2020·陕西·榆林市第十中学高三期中（理））已知函数 ， . (1)讨论 的单调性； (2)设 ，函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】（1）解：函数 的定义域为 ，且 . 当 时，即当 时，对任意的 ， ，此时函数 的增区间为 ； 当 时，即当 时，由 可得 ，由 可得 ， 此时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 综上所述，当 时，函数 的增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2）解：由 ，可得 ，其中 ， 构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点， ，当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，所以，函数 单调递减， 所以，函数 的极大值为 ，且当 时， ，如下图所示： 由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点， 因此，实数 的取值范围是 . 3．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数 ，和 ， (1)若 与 有相同的最小值，求 的值； (2)设 有两个零点，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1） ， 当 时， 在R上单调递减，无最值，舍去 当 时，令 ，则∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ∵ ，则 的定义域为 ，令 ，则 ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 依题 （2） 由题意可知： 令 ，即 ，则 即 ，则 ∵ 在 上单调递增 则 ，即 在 上有两个零点 由（1）可得： ，解得： 此时 在 上有一个零点 当 时，下证 在 上有一个零点 取 ，则 令 ，则 ∴ 在 单调递减，则 ，即 ∵ ，令 ，则∴ 令 ，则 又∵ ，则 ∴ 在 上单调递增，则 即 ∴ 在 上有一个零点 则 的取值范围为 4．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知函数 ， 为 的导数． (1)判断并证明 在区间 上存在的极大值点个数； (2)判断 的零点个数． 【答案】(1) 在区间 上存在的极大值点个数为1，理由见解析； (2)2个零点，理由见解析. 【解析】（1） 在区间 上存在的极大值点个数为1，理由如下： ， ， ，令 ， ， 则 ，令 ， ， ，当 时， ，所以 ， 即 在 上单调递减， 又 ， ， 故存在 ，使得 ， 且当 时， ，当 时， ， 所以 在 处取得极大值， 故 在区间 上存在的极大值点个数为1； （2） 的定义域为 ， ①当 时，由（1）知， 在 上单调递增，而 ， 所以当 时， ， 故 在 上单调递减，又 ， 所以 是 在 上的唯一零点； ②当 时，由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减， 而 ， ， 所以存在 ，使得 ， 且当 时， ，当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减， 又 ，所以当 时， ， 所以 在 上没有零点； ③当 时， ，所以 在 上单调递减， 而 ， 所以 在 上有唯一零点； ④当 时， ，所以 ，从而 在 上无零点； 综上： 有且仅有两个零点. 题组二 不等式成立 1．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知函数 . (1)求 的单调区间； (2)当 时，若 在 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) . 【解析】（1）函数 定义域为 .. 令 ，则有 . i.当 时， 恒成立，有 ，所以 在 上单增，无减区间； ii. 当 时，令 解得： ， . 当 时， 的对称轴 ，所以 在 上单增. 又 ，所以 恒成立，所以有 ，所以 在 上单增， 无减区间； 当 时， 的对称轴 ，且 ， . 由二次函数的性质可得： 在 上 ；在 上 ；在 上 . 所以在 上，有 ， 单增；在 上有 ， 单减；在 上有 ， 单增. 即 在 上单增， 在 上单减， 在 上单增.综上所述：当 时， 的递增区间为 ， ， 递减区间为 ， 当 时， 的递增区间为 ，无减区间. （2） 当 时， . 在 恒成立，可化为 在 恒成立. 即 ， 即 在 恒成立. 令 ，因为 为增函数， 为增函数，所以 为增函数， 所以可化为 在 恒成立， 只需 在 恒成立. 记 ，只需 . 由（1）可知， 在 上单调递增，所以 ，即 ，解得： . 即实数 的取值范围为 .2．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 当 时， ， ， ， ， 所以切线方程为： ，即 . （2） 恒成立，即 在 上恒成立， 设 ， ， 令 ，得 ， 在 上， ， 所以函数 在 上单调递减， 所以 ， ， 故有 . 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ． (1)当 时，求 的单调区间； (2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．【答案】(1) 的递增区间为 ，无递减区间； (2) 【解析】（1）解：当 时， ， 求导 ， 设 ， 则 ， 令 ，解得： ； ， ， ∴ 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 则 ， ∴ 在（0，+∞）上恒成立， ∴ 的递增区间为（0，+∞），无递减区间； （2）解： ， 由（1）知： ＝ ， 又因为 在（1，+∞）单调递增， 则g（x）≥g（1）＝2， ①当a≤2时， ， 在[1，+∞）单调递增， ∴ ，满足题意． ②当a＞2时，设 ，则 ， 当 时， ，∴ 在[1，+∞）递增， ， ， ∴ ，使 ， ∃ ∵ 在[1，+∞）单调递增， ∴当 时， ＜0，即 ＜0，所以 在 上单调递减， 又 ， ∴当 时， ，不满足题意． ∴ 的取值范围为 ， 综上可知：实数 的取值范围（﹣ ，2]． 4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（理））已知函数 . (1)若函数 有一个零点，求k的取值范围； (2)已知函数 ，若 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 定义域为 ，由于 有一个零点，可得方程 有且仅有一个实 根， 令 ， ，由 得 ；由 得 ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ 最大值 ，又 ，∴ 时， ； 时， . 画出 大致图像如图所示，若直线y＝k与 的图像有一个交点，则 或 . ∴k的取值范围是 . （2） 方法一：若 恒成立，即 恒成立. ∵ ，∴ 恒成立，只需 ， 令 ， ， 令 ， ，所以 在 上单调递减， 而 ，∴ ， ； ， ， 即 时， ， ， . ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减. 故 .所以 的取值范围是 . 方法二：由 得 ，现证明在 前提下，原式恒成立. ∵ ，∴ （*）， 现证明， ， ，构造 ， ， 令 解得 ，令 解得 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ 成立； 构造 ， ， 令 解得 ，令 解得 ， 即 在 上单调递减，在 上单调递增， 成立， ∴（*）式 成立，原式得证. 5．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高三开学考试）已知函数 ， （ ） (1)求 在点 处的切线方程 (2)若对于任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) (2)a 4 【解析】（1）解：因为 ，所以 ， 所以切线的斜率 ， ． 所以 在 处的切线方程为 ，即 ； （2） 解：若 对任意的 恒成立，则 对任意的 恒成立， 即 对任意的 恒成立， 令 ， ，只需满足 ， ，又 ， 因为 ，所以由 得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以当 时函数 取得极小值即为最小值，即 ，所以a 4. 6．（2022·北京·高三开学考试）已知函数 . (1)当 时，求函数 的单调区间和极值； (2)若曲线 不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围； (3)当 时， 恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论） 【答案】(1)单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ；极大值 ，极小值 (2)a的取值范围为 ； (3)a的取值范围为 . 【解析】（1）由 ， 得 . 当 时， 令 ，得 此时 ， 随 的变化如下：0 0 极小 ↗ 极大值 ↘ ↗ 值 所以 的单调递增区间为 和 的单调递减区间为 函数 在 时，取得极大值 ， 在 时，取得极小值 . （2） 因为 不存在斜率为 的切线， 所以 即方程 无解，所以 解得 ， 所以a的取值范围为 ； （3） 不等式 可化为 ， 设 ， ， 设 ，则 当 时， ， ，又 所以 ， 函数 在 上单调递增，所以当 时， ，此时 ， 所以函数 在 上单调递增，又 ， 所以当 时， ， 所以 时， 在 上恒成立， 当 时，方程 的判别式 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以方程 有两个不相等的实数根， 设其根为 ，且 ，则 ， 所以 ， 所以当 时， ， 此时 ，所以函数 在 上单调递减，又 ， 所以当 时， ， 所以 时， 在 上不可能恒成立， 综上可得a的取值范围为 . 题组三 双变量 1．（2022·黑龙江·高三开学考试）已知函数 存在两个极值点 . (1)求 的取值范围； (2)求 的最小值. 【答案】(1) (2)【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ； 令 ，则 有两个不等正根 ， ，解得： ， 实数 的取值范围为 . （2）由（1）知： ， 是 的两根，则 ； ； 令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在 上单调递增； ， 即 的最小值为 . 2．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知函数 . (1)求 的单调区间； (2)若 有两个不同的零点 ，证明： . 【答案】(1)详见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）∵ ， ∴ ， 当 时， 令 ， 解得 ，令 ， 解得 ，所以 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 ； 当 ， 即 时， 在 上恒成立， 所以 的单调递减区间为 ， 当 ， 即 时， 令 ， 解得 ， 令 ， 解得 或 ， 所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ， ； 当 ， 即 时， 令 ， 解得 ， 令 ， 解得 或 ， 所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ， ； 综上，当 时， 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 ； 当 时， 的单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ， ； 当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ， ； （2） 令 ， 即 ， 即 ， 所以 ， 令 ， 所以 ， 所以 ，令 ， 解得 ，令 ， 解得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 又当 时， ， 当 时， ， 不妨设 ， 则 ， 要证 ， 即证 ， 又 在 上单调递增， 所以只需证 ，即证 ， 即证 ， 即证 ， 令 ， 所以 ， 令 ， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减， 即 在 上单调递减， 所以 ， 所以 在 上单调递减， 又 ， 所以 ， 所以 . 3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知 ， 为自然对数的 底数. (1)若 是 上的单调函数，求实数 的取值范围； (2)当 时，若 有两个正极值点 ， ，证明： .【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1） 若 是 上的单调函数, 则 或 在 上恒成立, 若 时, 即 , 当 时, 显然不成立, 故 在 上恒成立, 即 , 时, 成立, 时, ,问题转化为 在 恒成立,且 在 恒成立 令 , 则 , 令 , 解得: 或 , 令 , 解得: , 故 在 递增, 在 递减, 在 递增, 趋向于 时, 趋向于 ； 趋向于 时, 趋向于 ； 时, ； 趋向于 时, 趋向于 画出函数 的大致图象, 如图示：故 的取值范围是 ; （2） 证明: 结合（1）由 , 得: , 若 有两个正极值点 , 不妨设 ,则 , 则 ① ② ① ②整理得: , 要证 , 只需证明: 即可， 只需证明 , 即只需证明 即可, 而 , 故原命题成立. 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ． (1)若 时， ，求 的取值范围；(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）∵ ， ，∴ ，设 ， ， 当 时，令 得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单 调递增，∴ ，与已知矛盾．当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴ ，满足条件；综上， 取值范围是 ． （2）证明：当 时， ，当 ， ，当 ， ，则 在区间 上 单调递增，在区间 上单调递减，不妨设 ，则 ，要证 ，只需证 ，∵ 在区间 上单调递增，∴只需证 ，∵ ，∴只需证 ．设 ，则 ，∴ 在区间 上单调递增，∴ ，∴ ，即 成立，∴ ． 5．（2022·四川凉山 ）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)证明：若 ， ，则 ．【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时， 在 上单调递减，在 上单调 递增 (2)证明见解析 【解析】（1）由题意知： ． 当 时，当 时， ， 在 上单调递增； 当 时，当 时， ，当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增 综上， 时， 在 上单调递增； 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）证明：∵ ，即 ， 又 ，∴要证 ，只需证 ， 即证 ① 设 ， ，则 ， ∴ 在 上单调递增， ∵ ，∴ ，不等式①成立，即 成立． 6．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知函数 ，(1)讨论 的极值点个数； (2)若 在 内有两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】（1） ，令 ， ， 当 时， ，即 ，则 在 上单调递减，无极值点； 当 时， 有两个零点 ， ， 当 ， ，即 ， 单调递减； 当 时， ，即 ， 单调递增， 所以 在 处取极小值，在 取极大值，有2个极值点， 综上，当 时，无极值点，当 时，有2个极值点； （2） 由题意可得 在 有两个零点 ，故 且 ，所以 ， 由 得 ，故 ，同理 ， 又 ，所以 ， 结合 知 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递增，又 ，所以 即 ，所以 ，则 ， 因为 ，所以 . 7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ， ）. (1)求函数 的极值； (2)若函数 的最小值为0， ， （ ）为函数 的两个零点，证明： . 【答案】(1)极小值为 ，无极大值 (2)证明见解析 【解析】(1) （ ）， ， 若 时，则 恒成立， 在 上单调递增，故 没有极值； 若 ，则当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 有极小值，极小值为 ，无极大值. (2)证明：由（1）可知，当 时， 有最小值， ， 由函数 的最小值为0，得 ， 由题知 ， ， ， ，， ， ， （ ）， 令 ，则 ， 令 ，则 在 上单调递增， 又 ， 在 上， ， ， 单调递减， 在 上， ， ， 单调递增， ， 得证. 8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)讨论函数 的单调性； (2)若 有两个极值点 ，证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】(1)解： 当 时， 当 时， ，则 令 ，则 ，或 ， ，则 ，综上：当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递 减. (2) 有两个极值 是方程 的两个不等实根，则 要证： ，即证： 不妨设 ，即证： 即证： 对任意的 恒成立 令 ， ，则 从而 在 上单调递减，故 ，所以