文档内容
一轮复习 83 练答案精析
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
§1.1 集 合
1．A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A
7．A
8．B [当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；
当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.]
9．AD
10．ABC [A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，
集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意；
当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，
综上可得a＝0或±1.]
11．4 12.－3 13.29
14．{x|－30}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于
B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一
个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时
满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足
戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．]
16．13
解析 集合M的非空子集共有(212－1)个，其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，
同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的
子集共有20个．
最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，
同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1
的子集共有20个．
所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，
最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，
所以x 的算术平均值为
A
＝
＝＝13.
§1.2 常用逻辑用语
1．C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C
7．C
8．C [方法一 甲：{a}为等差数列，设其首项为a，公差为d，
n 1
则S＝na＋d，＝a＋d＝n＋a－，－＝，
n 1 1 1
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
即－＝＝为常数，
设为t，即＝t，
则S＝na －t·n(n＋1)，有
n n＋1
S ＝(n－1)a－t·n(n－1)，n≥2，
n－1 n
两式相减得a＝na －(n－1)a－2tn，
n n＋1 n
即a －a＝2t，对n＝1也成立，
n＋1 n
因此{a}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
n
所以甲是乙的充要条件．
方法二 甲：{a}为等差数列，设数列{a}的首项为a，公差为d，
n n 1
即S＝na＋d，
n 1
则＝a＋d＝n＋a－，
1 1
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，
设数列的公差为D，
则－＝D，＝S＋(n－1)D，
1
即S＝nS＋n(n－1)D，
n 1
当n≥2时，S ＝(n－1)S＋(n－1)(n－2)D，
n－1 1
上边两式相减得S－S ＝S＋2(n－1)D，所以a＝a＋2(n－1)D，
n n－1 1 n 1
当n＝1时，上式成立，
又a －a＝a＋2nD－[a＋2(n－1)D]＝2D为常数，
n＋1 n 1 1
因此{a}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
n
所以甲是乙的充要条件．]
9．AC
10．BCD [对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立，
由B⊆A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A错
误；
对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x，x，
1 2
则解得m<0，满足必要性，
当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，xx ＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满
1 2
足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；
对于C，若幂函数y＝(m＋1)xm2＋m－1为反比例函数，则
解得m＝0，满足必要性，
当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，
所以“幂函数y＝(m＋1)xm2＋m－1为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；
对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则10，
1
所以a ＝aq2 020>0，
2 021 1
所以q3>1，所以q>1；
若a 0，
1
所以a ＝aq2 022>0，
2 023 1
所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.
所以“a 1，即>m>n，
由0.9p＝0.8，得p＝log 0.8>log 0.81＝2，
0.9 0.9
于是得p>m>n，
所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.]
7．BCD
8．ABD [因为－3b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0，
所以<0,1>>，2＋＋＝0，所以＝－－2，
所以有1>－2－>，
解不等式得－3<<－1，
故的取值范围是(－3，－1)．
13．(1)解 ∵a>b>0，
∴>0，>0，
∴＝＝1＋>1，
∴>.
(2)证明 ∵c－d>0，
又a>b>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
又e<0，
∴－＝＝＝>0，
∴>.
14．解 (1)a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，
即－2≤a≤3，
故实数a的取值范围为[－2,3]．
(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b的取值范围为[－4,11]．
15．ABD [对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为
a2＋ac＋c2＝2＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－
c>0，故<成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但
a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)·(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，
故D正确．]
16．乙
解析 设第一次和第二次购物时价格分别为p 元/千克，p 元/千克，
1 2
按甲策略，每次购n千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝＝(元/千克)，
按乙策略，第一次花m元钱，能购买千克物品，第二次仍花m元钱，能购买千克物品，
两次购物的平均价格
y＝＝(元/千克)，
比较两次购物的平均价格
x－y＝－＝－＝＝≥0，
则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济．
§1.4 均值不等式
1．B 2.D 3.D 4.D 5.C
6．B [由x>y>0得
2x－y>0，x＋2y>0，
令a＝2x－y，b＝x＋2y，
则a＋2b＝4x＋3y，
由4x＋3y＝1得a＋2b＝1，
故＋＝(a＋2b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，且a＋2b＝1，
即a＝b＝时取等号，
也即2x－y＝，x＋2y＝，
即x＝，y＝时，等号成立，
故＋的最小值为9.]
7．BCD8．BC [因为ab≤2≤(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x2＋y2)－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
因为x2＋y2－xy＝1可变形为
2＋y2＝1，
设x－＝cos θ，y＝sin θ，
所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋
sin θcos θ
＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，
所以D错误．]
9．－4 10. 11.
12．4
解析 因为a>0，b>0，
所以36＝(a＋5b)(2a＋b)
≤2
＝(a＋2b)2，所以a＋2b≥4，
当且仅当
即a＝，b＝时，等号成立，
所以a＋2b的最小值为4.
13．解 (1)因为x>0，y>0，
根据均值不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，
令＝t(t>0)，
则t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以00,0对任意的x∈[2,6]恒成立，
即>，
所以>a，
即a< ，
min
＝x＋1＋＋6
≥2＋6＝12，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
则的最小值为12，
即05，
所以a的取值范围是(5,12)．
15．C [由题得
＋＝＋，
设＝t(t>0)，
则f(t)＝t＋＝t＋2＋－2
≥2－2＝8－2＝6，
当且仅当t＋2＝，即t＝2，即y＝2x时取等号．
所以＋的最小值为6.]
16．4
解析 ∵a＞b＞0，
∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0，
a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋＝a(a－b)＋＋ab＋
≥2＋2＝4，
当且仅当
即a＝，b＝时，等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.
§1.5 均值不等式的综合应用
1．C 2.B 3.B 4.D 5.A
6．B [因为f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝2，
故函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，
又f(x)的定义域为R，f(x)＝ln(－x)＋1＝ln＋1＝－ln(＋x)＋1，
所以f(x)为减函数，
因为f(2a)＋f(b－2)＝2，
所以2a＋b－2＝0，即2a＋b＝2.
又a>0，b>0，
故＋＝＋＝＋≥2＝2.
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．]
7．ABC
8．ABD [由a>1，b＝>1，
得10，
所以＝
＝(a－b)＋，
又a>b，所以a－b>0，
则(a－b)＋≥2
＝2，
当且仅当a－b＝，且ab＝1，
即a＝，b＝时等号成立，
即的最小值为2.
12．2＋5
解析 由于A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(aa>0，Δ＝b2－4ac＝0，
所以b>a>0，b2＝4ac.
所以M＝＝
＝＝，
设t＝－1>0，所以＝t＋1，
所以M＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝2＋5.
当且仅当t＝时，等号成立．
所以M的最小值为2＋5.
13．解 (1)由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2，
解得a＝1，b＝0.
(2)由(1)知f(x)＝4x－2x，
所以f(x)2x＋3·2－x－1.
故原问题等价于∃x∈(－∞，3]，
使得m>2x＋3·2－x－1成立．
则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1) ，
min
设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]，令t＝2x，则t∈(0,8]，
设p(t)＝t＋－1，t∈(0,8]，
则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时取等号，所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1.
故m的取值范围是(2－1，＋∞)．
14．解 (1)调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元，
则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)，整理得0.02x2－9x≤0，
解得0≤x≤450，
又因为x∈N ，
＋
所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整
后的研发人员的人数最少为50.
(2)(500－x)(1＋2x%)a≥xa，两边同时除以ax得≥m－，
整理得m≤＋＋9；
由a≥a，解得m≥＋1，
故＋1≤m≤＋＋9(100≤x≤200，x∈N )恒成立，
＋
＋＋9≥2＋9＝19，
当且仅当＝，
即x＝100时等号成立，所以m≤19，
因为100≤x≤200，x∈N ，
＋
所以当x＝200时，＋1取得最大值15，
所以m≥15，所以15≤m≤19，
即实数m的取值范围为[15,19]．
§1.6 一元二次方程、不等式
1．A 2.B 3.A 4.B 5.A
6．B [不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a＝1时，不等式无解；
当a<1时，不等式的解为a1时，不等式的解为10，故C正确；
不等式cx2＋bx＋a>0可化为cx2－4cx＋3c>0，
即x2－4x＋3<0，解得10，
解得k>8或k<0.
设x2－kx＋2k＝0的两根为x，x，
1 2
令x8或k<0，
所以－1≤k<0或80在实数集R上恒成立．
①当m＝0时，3>0，成立；
②当m≠0时，要使原不等式恒成立，则解得0(3m－1)x＋5，
等价于mx2＋(1－2m)x－2>0，
即(x－2)(mx＋1)>0.
①当m>0时，解得x>2或x<－；
②当m＝0时，不等式整理为x－2>0，解得x>2；
③当m<0时，方程(x－2)(mx＋1)＝0的两根为x＝－，x＝2.
1 2
(ⅰ)当－>2，即－2}；
当m>0时，原不等式的解集为.
15．A [不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，
即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，即a≥ ，
max
当x＝0时，a≥0，
当x≠0时，a≥＝，
因为≤＝，
当且仅当|x|＝，即|x|＝，即x＝±时，等号成立，所以a≥，
综上所述，a∈.]
16．(－4,2－2)
解析 因为对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成
立，
设t(y)＝|y－1|＋|y－3|，
则x2＋(3－m)x－60，
解得a＝2，则f(a)＝.
13．解 (1)∵＞1，
∴f ＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，
∴f ＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)此分段函数的图象如图所示．
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．
图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
14．解 (1)已知函数f(x)＝，
∴f ＋f(3)＝＋＝＋＝1，
f ＋f(2)＝＋＝＋＝1.
(2)由f(x)＝，
得f ＝＝，
∴f(x)＋f ＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f ＝1，f(1)＝＝，
∴f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)＝2 022＋f(1)＝2 022×1＋＝.
15．AD [对于A，因为f(x)＝x－[x]，
所以f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故A选项正确；
对于B，因为f(0.5)＝0.5－[0.5]＝0.5－0＝0.5，f(－0.5)＝－0.5－[－0.5]＝－0.5－(－1)＝
0.5，
所以f(0.5)＋f(－0.5)＝1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B选项错误；
对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，解得m≥，
所以m的取值范围是.
当m＝0时，f(x)＝＝，值域是[0，＋∞)，满足条件；
令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0，
当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件；
当m＞0时，g(x)的图象开口向上，
只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0，
即(m－2)2－4m(m－1)≥0，
解得－≤m≤，
又m>0，所以0－1
⇔f(x)－f(x)<－(x－x)
1 2 1 2
⇔f(x)＋x1>0，xx－a>0，
1 2 1 2 1 2 1 2
则g(x)－g(x)<0，即g(x)0恒成立，
而函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上不单调，因此01时，函数y＝log u在(0，＋∞)上单调递增，
a
由复合函数的单调性，得函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上单调递减，
因此≥1，并且12－a×1＋3>0，解得2≤a<4，
所以实数a的取值范围是[2,4)．
13．解 (1)f(x)，g(x)的图象如图所示．
(2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上
单调递减，
所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减；
当02时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a]上单调递减．
14．解 (1)f(x)＝＝1－在R上是增函数．
证明：在R上任取x，x 且x0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4，
解得a＝4或a＝－4(舍去)，
又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，
所以20时，y＝2－x和y＝单调递减，所以f(x)＝2－|x|＋在(0，＋∞)上单调递减，
因为f(2m)0，
解得m∈∪(1，＋∞)．]
7．AC [对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，
又f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；
对于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误；
对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增，
所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确；
对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，
所以 f(x)为(－2,2)上的奇函数，
f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)＝ln ＝ln，
显然f(x)为减函数，故D错误．]
8．ABD [由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确；
对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
所以y＝f(x)为奇函数，故B正确；
对于C，任取x，x∈R，且x0，
1 2
即f(x)>f(x)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；
1 2
对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2，
解得－20的解集为{x|－20，b>0)，
则有2a＋b＝3，
所以＋＝(2a＋b)＝
≥＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．
13．解 (1)∵当x>0时，f(x)＝log x的图象过点(3，－1)，
a
∴log 3＝－1，解得a＝.
a
(2)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝ ，
又∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝ ．综上所述，f(x)＝
(3)∵f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
1＝ ＝f ，
∴f(x)<1⇒f(x)，
解得x<－或x>.
故不等式的解集为
.
14．解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，
则f(－x)＝－x，
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－x＝－f(x)，
即f(x)＝x，－1≤x≤0，
即当－1≤x≤1时，f(x)＝x；
若10时，因为f(x)是偶函数，
所以有f(x)＝f(－x)⇒21＋x－21－x＝m·2－x＋n·2x⇒(2x)2(2－n)＝m＋2，
要想x>0上式恒成立，
只需⇒m－n＝－4，
当x<0时，因为f(x)是偶函数，
所以有f(x)＝f(－x)
⇒21－x－21＋x＝m·2x＋n·2－x
⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2，
要想x<0上式恒成立，
只需⇒m－n＝－4，
综上所述，m－n＝－4.]
16．A [因为f(1)＝1，
所以在f(x＋y)＋f(x－y)
＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)．②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令x＝1，y＝0，得
f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1，得
f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，
得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知，∑f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.]
§2.4 函数的对称性
1．A 2.C 3.A 4.C 5.D
6．B [因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，
所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，且f(2)＝1，
所以f(0)＝f(2)＝1.]
7．ABD
8．AC [因为f(x－1)＝f(3－x)，
所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确；
因为f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，
又因为f(x)的对称轴为x＝1，所以f(x)的周期T＝4，故选项B错误；
直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1,2]上单调递减，
所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，
又f(x)的周期T＝4，
所以函数f(x)在[4,5]上单调递增，故选项C正确；
因为f(x)的周期T＝4，
f(4)＝f(0)＝0，
则f(5)>f(4)＝0，故选项D错误．]
9．cos πx(形如acos πx＋b或a＋b或a＋b或a＋b等)
10．2 11.
12．n
解析 ∵函数f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
则f(2－x)＋f(x)＝0，
∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，
∵函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位得到的，
∴函数y＝的图象关于点(1,0)对称，
∴函数f(x)与函数y＝的图象的交点也关于点(1,0)对称，
∴(x＋y)＝＋＝2×＋0×＝n.
i i i i
13．解 (1)f(x)的图象关于直线x＝2对称．证明：由|x－2|>0，得x≠2，
所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
因为f(2－x)＝log |x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log |x|＋x2－4，
2 2
f(2＋x)＝log |x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log |x|＋x2－4，
2 2
所以f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(2)设y＝log |x－2|，y＝x2－4x，
1 2 2
当x>2时，y＝log |x－2|＝log (x－2)单调递增，y＝x2－4x也单调递增，
1 2 2 2
故f(x)＝log |x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增．
2
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．
14．解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得
所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
15．D [因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4
＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝
－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函
数．]
16．BCD [∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，
将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位即可得到函数y＝f(x)的图象，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，
∵g(x)＝f(x)＋1，
∴g(0)＝f(0)＋1，
∴g(0)＝1，故B选项正确；
∵y＝f(x－2)为减函数，
∴f(x)为减函数，∴g(x)＝f(x)＋1为减函数，
又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误；
∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数，∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C选项正确；
g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2＝－f(1)＋f(2)＋2，
∵f(1)>f(2)，∴g(－1)＋g(2)<2，故D选项正确．]
§2.5 函数性质的综合应用
1．D 2.B 3.B 4.C
5．C [因为函数f(x)＝2x＋2－x的定义域为R，
且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
故函数f(x)＝2x＋2－x为偶函数，图象关于y轴对称，
函数f(x－1)的图象为函数f(x)的图象向右平移1个单位得到，
故函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，
又函数y＝sin x的图象关于直线x＝1对称，
因此函数f(x－1)＋sin x的图象关于直线x＝1对称．]
6．D [令g(x)＝xf(x)，
由题意知g(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的偶函数，
所以g(x)为R上的奇函数，
所以g(x)在R上单调递减，
①当t>0时，原不等式等价于
f >(2t－1)f(2t－1)，
即g>g(2t－1)，
所以<2t－1，所以1<2t2－t，
解得t>1；
②当t<0时，原不等式等价于
f <(2t－1)f(2t－1)，
即g2t－1，
所以1<2t2－t，解得t<－.
所以t<－或t>1.]
7．AB [因为f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，f(2)＝f(－2)，又函数f(x)是R上的奇函数，
故f(2)＝－f(－2)，
所以f(2)＝f(－2)＝0，故A正确；
因为点(0,0)是f(x)的对称中心，f(x)的周期为4，
所以点(4,0)也是函数f(x)的图象的一个对称中心，故B正确；
作出函数f(x)的部分图象如图所示，
易知函数f(x)在[－6，－2]上不具有单调性，故C不正确；
函数f(x)在[－6,6]上有7个零点，故D不正确．]
8．ACD [因为f(x＋1)为奇函数，
所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)，
所以f(1)＝0，A正确；
因为当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ，
所以f(0)＝－cos 0＝－1，
因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
所以f(2)＝－f(0)＝1，
故f(2)≠f(0)，
所以2不是f(x)的周期，故B错误；
因为f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称，
所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，C正确；
由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0，
可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)为周期函数，周期为4，
所以f ＝f ＝f ＝f ，
又当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ，
所以f ＝－cos ＝－，D正确．]
9．(0,1)
10．0
解析 令x＝y＝1，即f(2)＋f(0)＝2f2(1)，
∴f(2)＝－1，
令x＝2，y＝1，
即f(3)＋f(1)＝2f(2)f(1)，
∴f(3)＝0，
令x＝y＝2，
即f(4)＋f(0)＝2f2(2)，
∴f(4)＝1，
令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝0，
即f(x＋1)＝－f(x－1)，
可得f(x＋2)＝－f(x)，
f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，
∴4为函数f(x)的周期，
f(1)＝0，f(2)＝－1，f(3)＝0，f(4)＝1，∴当x为奇数时，f(x)＝0，
当n为奇数时，n2也为奇数，此时f(n2)＝0；当n为偶数时，n2为4的整数倍，此时f(n2)＝1.
∴f(12)＋f(22)＋…＋f(2 0232)＝0＋1＋0＋1＋…＋0＋1＋0＝1 011，
n2＋(n＋1)2＝2n2＋2n＋1
＝2n(n＋1)＋1，
由n∈Z，得n(n＋1)为偶数，
记n2＋(n＋1)2＝2n(n＋1)＋1＝4k＋1，k∈Z，
n n
12＋22＋…＋2 0232＝(12＋22)＋(32＋42)＋…＋(2 0212＋2 0222)＋2 0232
＝4(k＋k＋…＋k )＋1 011＋4 092 529
1 3 2 021
＝4(k＋k＋…＋k )＋4 093 540
1 3 2 021
＝4(k＋k＋…＋k ＋1 023 385)，
1 3 2 021
f(12＋22＋…＋2 0232)＝f(4(k＋k＋…＋k ＋1 023 385))＝f(0)＝1，
1 3 2 021
∴
＝.
§2.6 二次函数与幂函数
1．D 2.A 3.B 4.B 5.D
6．B [函数f(x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
f(m)＝m2－2m＋a<0，故m2－2m<－a<0，解得0f(2)＝a>0，B正确；
m－2∈(－2,0)，f(m－2)>f(0)＝a>0，D错误；
取a＝，m＝，f(m)＝－<0，满足条件，
f(m＋1)＝f ＝－<0，A错误；
f(m－1)＝f ＝>0，C错误．]
7．AB
8．CD [A选项，设f(x)＝xα，
将代入得α＝2，
即(2－3)α＝2，
解得α＝－，故解析式为y＝f(x)＝ ，A错误；
B选项，因为－<0，所以f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
又f(x)＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝ ＝f(x)，
故f(x)＝ 为偶函数，故f(x)＝ 在(－∞，0)上单调递增，B错误；
C选项，因为α>0，所以0α＝0,1α＝1，
故幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)，C正确；
D选项，由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1，
当m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y轴对称，
当m＝－1时，f(x)＝x－1为奇函数，不满足图象关于y轴对称，舍去，
其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立，
故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，
又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正确．]
9．211 10.y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
11．4
12．1
解析 因为A(1,0)，B(0,1)，BM＝MN＝NA，
所以M，N，
不妨设y＝xα，y＝xβ分别过M，N，
则＝α，＝β，
则＝α＝α＝αβ，所以αβ＝1.
13．解 (1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，
解得m＝－1或m＝－3.
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m＋2<0，即m<－2，
则m＝－3.
(2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数．
由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，
即(2a－1)3<(a＋3)3，
则2a－10)，
由已知可得二次函数图象的顶点坐标为，
代入得－＝a××，
解得a＝2，
所以二次函数的解析式为y＝2x(x－5)，即y＝2x2－10x.
(2)由(1)知y＝2x2－10x
＝22－，
其图象开口向上，
对称轴为直线x＝，
当t＋1≤，即t≤时，y＝2x2－10x在[t，t＋1]上单调递减，
所以当x＝t＋1时，y＝2x2－10x取得最小值，
所以2(t＋1)2－10(t＋1)＝－12，解得t＝1或t＝2(舍去)，所以t＝1；
当t<0时(如图1)，
1 2G(x)＝ax＋b的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点，
根据对称性可得|x|>x，即－x>x>0，此时x＋x<0，y＝>＝－y，∴y＋y>0，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
同理可得，当a<0时(如图2)，
x＋x>0，y＋y<0.]
1 2 1 2
16．AB [设t＝x2－2x，
方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*)
当k>1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；
当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1；
当k<1时，方程(*)有两个实根t，t(t－1.
1 2 1 2
因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以x2－2x＝t 无实根，x2－2x＝t 有两个不同的实根．
1 2
综上可知，A，B项正确，C，D项错误．]
§2.7 指数与指数函数
1．B 2.B 3.D 4.D 5.C
6．C [令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，
所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，
因为f(x)＝g(x)＋1，
f(a2)＋f(a－2)>2，
则g(a2)＋g(a－2)>0，
即g(a2)>－g(a－2)，
又因为g(x)是奇函数，
所以g(a2)>g(2－a)，
又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，
故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．]
7．CD
8．AC [因为函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝m－＝0，
解得m＝，
此时f(x)＝－，
则f(－x)＝－
＝－＝－
＝－1＋＝－
＝－f(x)，符合题意，故A正确；
又f(x)＝－＝－＝－，
因为ex>0，所以ex＋1>1，
则0<<1，
所以－0，
且y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)＝－是减函数，故C正确；
因为f(x)是减函数，所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点，
故f(x)－n＝0最多有一个实数根，
即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误．]
9．81 10.e－x(答案不唯一) 11.1
12.
解析 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x∈[－1,1]满足f(－x)＝－f(x)，
0 0 0
∴ ＋m－1＝ －m＋1，
∴2m＝ ＋2，
构造函数y＝ ＋2，x∈[－1,1]，
0
令t＝ ，t∈，
则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1,3]上单调递减，
∴当t＝1时，函数取得最大值0，当t＝或t＝3时，函数取得最小值－，∴y∈，
又∵m≠0，∴－≤2m<0，
∴－≤m<0.
13．解 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以y ＝(a＋1)2－2＝14，
max
解得a＝3或a＝－5(舍去)；
当00，则函数f(x)是减函数．
(3)因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以不等式可转化为f(k＋t2)2t2－4t，所以k>t2－4t，
令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4，由题意可知，问题等价转化为
k>g(t) ，
min
又因为g(t) ＝g(2)＝－4，所以k>－4，
min
即实数k的取值范围为(－4，＋∞)．
15．A [已知α∈，
则0(cos α)sin α＝a；
因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b，故b>c>a.]
16.
解析 由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)，
令f(x)＝ex＋x，
则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，
显然函数f(x)为增函数，
于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，
而m>0，n>0，
因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，
所以当m＝n＝时，＋取得最小值.
§2.8 对数与对数函数
1．C 2.B 3.C 4.D
5．D [因为a＝log 4，b＝log 4，
0.1 50
所以a<0，b>0，所以ab<0，
＋＝log 0.1＋log 50＝log 5∈(1,2)，即1<＋<2，
4 4 4
所以2ab0，
a
故(x－1)21，此时x∈(1,2]，log x>0，而(x－1)2>0，
a
令f(x)＝log x，g(x)＝(x－1)2，
a
画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，若不等式(x－1)21，解得a∈(1,2)．]
a
7．BC
8．AB [函数f(x)＝
的图象如图所示，
设f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)＝t，则00在[－2,2]上恒成立，
所以m－2>0，即m>2，
由局部奇函数的定义，存在x∈[－2,2]，
使得log (－x＋m)＝－log (x＋m)，
3 3
即log (－x＋m)＋log (x＋m)＝log (m2－x2)＝0，
3 3 3
所以存在x∈[－2,2]，
使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1，
又因为x∈[－2,2]，所以x2＋1∈[1,5]，所以m2∈[1,5]，
即m∈[－，－1]∪[1，]，
综上，m∈(2，]．
13．解 (1)当a＝2时，
f(x)＝ ，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤ ＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u＝x2－ax＋5a，
∵y＝log 为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
u
∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴解得－≤a≤2，
∴a的取值范围是.
14．解 (1)因为9x＋1>0，
所以f(x)的定义域为R，
又因为f(x)是偶函数，
所以∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即log (9－x＋1)＋kx＝log (9x＋1)－kx对∀x∈R恒成立，
9 9
则2kx＝log (9x＋1)－log (9－x＋1)＝log ＝log 9x＝x对∀x∈R恒成立，
9 9 9 9
即x(2k－1)＝0对∀x∈R恒成立，
因为x不恒为0，所以k＝.
(2)由(1)得f(x)＝log (9x＋1)－x＝log (9x＋1)－ ＝log ＝log ，
9 9 9 9
则方程f(x)＝log 有两个不相等的实数解等价于方程log ＝log 有两个不相等的实数解，
9 9 9
所以方程3x＋＝＋1有两个不相等的实数解，
令t＝3x，且t>0，
方程化为t＋＝＋1，
即方程m＝t2－t＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，
令g(t)＝t2－t＋1，
则y＝m与y＝g(t)在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，又g(t)在上单调递减，在上单调递增，
所以g(t)≥g＝，且g(0)＝1，
所以m∈.
15．D [令log x＝log y＝log z＝t≠0，
2 3 5
则x＝2t，y＝3t，z＝5t，
令g(k)＝kt，
由幂函数图象的性质可知，
当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x3t>5t，即x>y>z，
故A，B不一定正确；
假设x，y，z成等比数列，
则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t，
则t＝0，与已知矛盾，故C错误；
因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，
即t＋t＝1，
令f(t)＝t＋t－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数，
注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即t＋t＝1只有一个解t＝1，所以x＋y＝z只有一组解
x＝2，y＝3，z＝5，故D正确．]
16．
解析 由题知，x>0，
f(x)＝log x－()x－log 2
a a
＝log － ，
a
令t＝，t>0，则y＝log t与y＝at的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
a
又y＝log t与y＝at互为反函数，所以交点在直线y＝t上，
a
设y＝log t，y＝at的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，
a
则解得m＝e，
又＝1，所以a＝ >1，所以当a＝ 时，y＝log t和y＝at只有一个交点，如图1；
a
当a> 时，y＝log t和y＝at无交点，如图2；
a
当1m>n；
由0.9p＝0.8，得p＝log 0.8>log 0.81＝2，于是p>m>n，
0.9 0.9
所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.]
7．D [令f(x)＝(18－x)ln x，x≥8，
则f′(x)＝－ln x＋－1，
f′(x)＝－ln x＋－1在[8，＋∞)上单调递减，且f′(8)＝－ln 8＋－1＝－ln 8<－ln e2＝－
2<0，
所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[8，＋∞)上恒成立，
故f(x)＝(18－x)ln x在[8，＋∞)上单调递减，
所以f(8)>f(9)>f(10)，
即10ln 8>9ln 9>8ln 10，即ln 810>ln 99>ln 108，
所以810>99>108，即a>b>c.]8．AD
9．BC [由log m＝，可得m＝ >1，
2
因为 ，所以 ，
则a＝log m－< －＝0，A错误，B正确；
3
又因为 ，
所以 ，b＝log m－> －＝0，C正确，D错误．]
5
10．ABC [方法一 ∵三个实数a，b，c都大于1，
∴lg a>0，lg b>0，lg c>0，
∵(lg a)2－2lg alg b＋lg blg c＝0，
即lg a(lg a－lg b)＋lg b(lg c－lg a)＝0，
∴lg alg ＋lg blg ＝0，
对于A选项，若a＝b＝c，则lg ＝0，lg ＝0，能满足题意；
对于B选项，若a>b>c，则>1,0<<1，∴lg >0，lg <0，能满足题意；
对于C选项，若b>c>a，则0<<1，>1，∴lg <0，lg >0，能满足题意；
对于D选项，若b>a>c，则0<<1,0<<1，∴lg <0，lg <0，∴lg alg ＋lg blg <0，不满足题意．
方法二 令f(x)＝x2－2xlg b＋lg b·lg c，x>0，
则lg a为f(x)的零点，且该函数图象的对称轴为直线x＝lg b，故对于方程x2－2xlg b＋lg
b·lg c＝0，
Δ＝4(lg b)2－4lg b·lg c≥0，
因为b>1，c>1，所以lg b>0，lg c>0，
所以lg b≥lg c，即b≥c，
f(lg b)＝lg b·lg c－(lg b)2
＝lg b(lg c－lg b)，
f(lg c)＝(lg c)2－lg b·lg c
＝lg c(lg c－lg b)．
当b＝c时，f(lg b)＝f(lg c)＝0，
故lg a＝lg b＝lg c，即a＝b＝c；
当b>c时，f(lg b)<0，f(lg c)<0，
所以lg ac>a或a>b>c.]§2.10 函数的图象
1．C 2.A 3.B 4.C 5.B
6．D [|x2－2x－3|－mx＋2<0可转化为|x2－2x－3|0时，要存在唯一的整数x，满足f(x)1，f(2－x)＝(2－x－2)2－4＝x2－4，
则f(x)＝f(2－x)＝x2－4，
所以f(x)＝
作出f(x)＝的图象，如图所示，
所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1,2)上单调递减，
f(x) ＝－4，f(x)不是奇函数，故A，B，D错误，C正确．]
min
9．y＝2(x＋1)2＋3 10.1 11.(－∞，2]12．4＋
解析 作出函数f(x)＝x(|x|－2)＝的图象，如图所示，
当x≥0时，令x(x－2)＝3，
得x＝－1(舍)，x＝3，
1 2
当x<0时，令x(－x－2)＝－1，
得x＝－1－，x＝－1＋(舍)，
3 4
结合图象可得(n－m) ＝x－x＝3－(－1－)＝4＋.
max 2 3
13．解 (1)当x≤0时，0<2x≤1，
则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)，
作出函数f(x)的图象，如图所示．
(2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x)，
则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f(x)图象的交点个数，如图所示．
当m≤0时，方程f(x)－m＝0无实根；
当00，即a<，
又a∈Z，所以a的最大值为4.
(2)当a＝3时，f(x)＝2x－3x＋1，
由f(x)＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1，作出函数y＝2x与y＝3x－1的图象，如图所示．
由图可知y＝2x与y＝3x－1的图象有两个交点，
即函数f(x)有两个零点，
又因为f(1)＝2－3＋1＝0，f(3)＝23－3×3＋1＝0，
故函数f(x)的零点为1,3.
(3)因为对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，
所以2x>ax－1在(－∞，1)上恒成立，
即当x∈(－∞，1)时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝ax－1的上方，
作出函数y＝2x，x∈(－∞，1)与y＝ax－1的大致图象，如图所示．
则a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3，
即a的取值范围为[0,3]．
15．BCD [由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆；
当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆；
当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示．
此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，
故A错误；
因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；
由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在
[－2,0]上的图象相同，即f(x)在[6,8]上单调递增，故D正确．]16．(－5，－4)
解析 由f(x)＝0，
得a＝
作出函数g(x)＝的图象，如图所示．
由图可知，当a∈(－5，－4]时，直线y＝a与函数g(x)的图象有3个交点，
从而f(x)有3个零点，
但x2－4x－a>0对x>0恒成立，
则a<－4，
故a∈(－5，－4)．
§2.11 函数的零点与方程的解
1．C 2.B 3.B 4.C 5.A
6．A [由题意得，方程＝|x－k|有三个不相等的实数根．
而y＝＝
分别作出函数y＝和y＝|x－k|的图象，
当k＝1时，y＝|x－1|；
当x≥1时，y＝＝ln x，对其求导得y′＝，
所以当x＝1时，y′＝1，所以曲线y＝ln x在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，
如图，直线y＝x－1与曲线y＝ln x在点(1,0)相切．
所以k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
7．BCD
8．AD [∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，
即当x∈[－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1，
又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，
则f(x)的图象关于直线x＝1对称，
且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数，
又由函数g(x)＝f(x)－log (x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，
a
得函数y＝f(x)与y＝log (x＋2)的图象在(－1,7)上有4个不同的交点，
a
又f(1)＝f(5)＝1，f(－1)＝f(3)＝f(7)＝－1，
当a>1时，由图可得log (5＋2)<1＝log a，解得a>7；
a a
当0－1＝log a－1，
a a
解得0c>a
11．6(答案不唯一)
12．(2,4]∪(5，＋∞)
解析 作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示，
依题意f(x)＝
有2个零点，
由图象可得实数λ的取值范围是(2,4]∪(5，＋∞)．
13．证明 (1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，
∴c＝－a－b.
∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.
若a＞0，则－3＜＜－；
若a＝0，则0＞－b,0＞b，不成立；
若a＜0，则＜－3，＞－，不成立．
综上，a＞0且－3＜＜－.
(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－，
Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0.
当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0，
∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点；
当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0，
∴f(x)在(0,2)内有一个零点；
当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，
∴f(x)在(0,2)内有一个零点．
综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
14．解 (1)f(x)为奇函数，理由如下：
由题意得解得－20，且x＝－x≠0，所以sin x＋2 023xx＝－2 023x<0.]
1 2 3 1 3 2 1 3
16．(2，＋∞)
解析 f(x)＝
＝
作出函数的图象如图所示，
则可得－2x－x＋恒成立，
1 2
所以λx>2x－，
3
所以λ>＝－＋＝－2＋2，
对任意x∈(0,1)恒成立，
3
即λ> ，
max
所以当x＝时，函数y＝－2
3
＋2取到最大值2，所以λ>2，
即λ的取值范围为(2，＋∞)．§2.12 函数与方程的综合应用
1．A 2.B 3.C 4.A
5．A [因为f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，且对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－
log x)＝3，故可设存在唯一的实数C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，则f(x)－log x＝C，所以f(x)
2 2
＝log x＋C，
2
所以f(C)＝log C＋C＝3，
2
则log C＝3－C，
2
由于函数y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝3－x在(0，＋∞)上单调递减，
2
又log 2＝1＝3－2，所以C＝2，
2
故f(x)＝log x＋2＝log (4x)，
2 2
再令2f(x)－＝0，x∈(0，＋∞)，
得4x－＝0，
解得x＝(负值舍去)．
则函数y＝2f(x)－的零点为.]
6．D [根据函数f(x＋4)＝f(x)可知，函数f(x)的周期T＝4，
由f(x)是定义在R上的偶函数，
当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1可得
当x∈(0,2]时，－x∈[－2,0)，
所以f(－x)＝－x－1
＝2x－1＝f(x)，
画出函数f(x)部分周期内的图象如图粗实线所示，
若在区间(－2,6]内方程f(x)－log (x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，即函数f(x)的图象与y
a
＝log (x＋2)(a>1)的图象在(－2,6]内有三个交点，
a
y＝log (x＋2)(a>1)的图象如图中细实线所示，
a
则需满足
即解得－，故B正确；对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位
得到，则x<2<30，h＝1－<0，
由函数零点存在定理可知，h(x)在上存在零点，所以方程有实数解，故C正确；
对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解，
所以方程有实数解，故D正确．]
9．(－∞，－－1]∪(0，－1]
10．4
解析 若x≤0，f(x)＝－x2－2x，
f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x2－2x(x≥0)，
在同一直角坐标系中画出g(x)＝x2－2x(x≥0)和f(x)＝x－(x>0)的图象，此时有两个“优美
点”(x，f(x))，满足f(x)＋f(－x)＝0，如图①.
0 0 0 0
若x>0，f(x)＝x－，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x－(x<0)，
在同一直角坐标系中画出g(x)＝x－(x<0)和f(x)＝－x2－2x(x≤0)的图象，此时有两个“优美
点”(x，f(x))，满足f(x)＋f(－x)＝0，如图②.
0 0 0 0
综上可知，满足题意的“优美点”有4个．
§2.13 函数模型的应用
1．C 2.C 3.A 4.B 5.C6．B [设甲城市投资a万元，则乙城市投资(120－a)万元，
由题意可知
解得40≤a≤80，
设投资这两座城市收益为y，
则有y＝3－6＋(120－a)＋2＝3－a＋26，
令＝t⇒t∈[2，4]，
则有f(t)＝－t2＋3t＋26，
该二次函数的图象开口向下，且对称轴t＝6∈[2，4]，
所以f(t) ＝f(6)＝－×(6)2＋3×6＋26＝44.]
max
7．ABD
8．ACD [由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，
因为100÷20＝5，
所以＝e－a＝5，
则a＝－ln 5，故A正确；
由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.
因为四等奖的面值是五等奖面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，
解得k＝5，故B错误；
则三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确；
由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确．]
9．11.1 10.48 800 11.②
12．8
解析 过滤第1次污染物的含量为1.2×(1－0.2)(mg/cm3)；
过滤第2次污染物的含量为1.2×(1－0.2)2(mg/cm3)；
过滤第3次污染物的含量为1.2×(1－0.2)3(mg/cm3)；
…
过滤第n次污染物的含量为1.2×(1－0.2)n(mg/cm3)．
要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，
则1.2(1－0.2)n≤0.2，即n≥6，
两边取以10为底的对数可得
lgn≥lg 6，
即nlg≥lg 2＋lg 3，
所以n≥，
因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，
所以≈＝7.77，所以n≥7.77，
又n∈N ，所以n ＝8，
＋ min
故排放前需要过滤的次数至少为8.
13．解 (1)当x∈[0,16]时，
设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)，
因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80，
所以b＝－，
所以f(x)＝－(x－12)2＋84；
当x∈[16,40]时，f(x)＝log (x＋a)＋80，
0.8
由f(16)＝log (16＋a)＋80＝80，解得a＝－15，
0.8
所以f(x)＝log (x－15)＋80，
0.8
综上，f(x)＝
(2)当x∈[0,16]时，
令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68，
即(x－12)2≥64，
解得x≤4或x≥20(舍去)，
所以x∈[0,4]；
当x∈[16,40]时，令f(x)＝log (x－15)＋80≤68，
0.8
得x≥15＋0.8－12≈29.6，
所以x∈[30,40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟)．
14．解 (1)由表格中的数据知，当时间x变长时，Q(x)先增后减，
①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．
所以选择函数模型②：
Q(x)＝a|x－m|＋b.
由Q(15)＝Q(25)，可得|15－m|＝|25－m|，解得m＝20，
由
解得
则日销售量Q(x)与时间x的关系式为Q(x)＝－|x－20|＋60(1≤x≤30，x∈N )．
＋
(2)因为第10天的日销售收入为505元，
则×50＝505，解得k＝1，
所以P(x)＝＋10.
由(1)知Q(x)＝－|x－20|＋60＝
则f(x)＝P(x)·Q(x)
＝
当1≤x≤20，x∈N 时，
＋
f(x)＝10x＋＋401
≥2＋401＝441，
当且仅当10x＝，即x＝2时，等号成立；
当20441，
综上可得，当x＝2时，函数f(x)取得最小值441.
第三章 导数及其应用
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
1．A 2.A 3.B 4.C 5.B
6．A [因为函数f(x)＝＋ln(x＋1)(x>－1)，
所以f′(x)＝x＋－a＝x＋1＋－a－1≥2－a－1＝1－a，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立，
因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线，
所以f′(x) ≥0，即1－a≥0，
min
解得a≤1.]
7．ACD
8．BCD [对于A，f′(x)＝cos x＋sin x，
f″(x)＝－sin x＋cos x
＝－sin，
当x∈时，sin<0，
f″(x)＝－sin>0，故A错误；
对于B，f′(x)＝－3，f″(x)＝－<0在上恒成立，故B正确；
对于C，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x<0在上恒成立，故C正确；
对于D，f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，f″(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x，
因为x∈，所以2－x>0，所以f″(x)＝－(2－x)e－x<0在上恒成立，故D正确．]
9．－2 10.y＝x3＋x(答案不唯一)
11.
12.
解析 由已知得，曲线的切线过点(0,0)，
当x>0时，曲线为y＝ax＋2ln x，
设x>0，直线y＝kx在曲线上的切点为(x，ax＋2ln x)，
1 1 1 1 1
k＝a＋，
1
∴切线方程为y－(ax＋2ln x)＝(x－x)，
1 1 1
又切线过点(0,0)，
∴－ax－2ln x＝(－x)，
1 1 1
∴x＝e，k＝a＋；
1 1
同理，当x<0时，曲线为
y＝ax＋2ln(－x)，
设x<0，直线y＝kx在曲线上的切点为(x，ax＋2ln(－x))，
2 2 2 2 2
k＝a＋，
2
∴切线方程为y－[ax＋2ln(－x)]＝(x－x)，
2 2 2
又切线过点(0,0)，
∴－ax－2ln(－x)＝(－x)，
2 2 2
∴x＝－e，k＝a－，
2 2
∴k－k＝.
1 2
13．解 (1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
f′(e)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，
∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－＋ln x，
f′(x)＝－＋，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，
f′(e2)＝－＋，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
14．解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝，又∵f′(x)＝a＋，
∴解得
∴f(x)＝x－.
(2)设P(x，y)为曲线y＝f(x)上任一点，
0 0
由y′＝1＋知曲线在点P(x，y)处的切线方程为
0 0
y－＝(x－x)．
0
令x＝0，得y＝－，
∴切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x，
0
∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x,2x)．
0 0
∴曲线y＝f(x)在点P(x，y)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积
0 0
S＝·|2x|＝6.
0
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值
为6.
15．B [f′(x)＝＋1，
切点为P(m，ln m＋m)，
则切线方程为
y＝(x－m)＋ln m＋m，
因为l过原点，
所以0＝(－m)＋ln m＋m，
解得m＝e，则P(e，e＋1)，
由ln x＋x＝0，可得x＝－ln x，
0 0 0 0
故 ＝ex· ＝ex·＝e.]
0 0
16．(0,1)
解析 由题意得，f(x)＝|ex－1|＝
则f′(x)＝
所以点A(x,1－ )和点B(x， －1)，k ＝ ，k ＝ ，
1 2 AM BN
所以 ＝－1，x＋x＝0，
1 2
所以AM：y－1＋ ＝
所以|AM|＝ ·|x|，
1
同理|BN|＝ ·|x|，
2所以＝ ∈(0,1)．
§3.2 导数与函数的单调性
1．A 2.D 3.C 4.C 5.D
6．B [设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，
则f′(x)＝ex－1，
当x<0时，f′(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，即ex≥1＋x，
当且仅当x＝0时取等号，
∵ex≥1＋x，
∴e－>1－＝，
∴b>a，
由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，
即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴ln <－1＝，
∴a>c，故b>a>c.]
7．BD
8．ACD [由f(x)＝ln x，
得f′(x)＝ln x＋，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因为c＝f ，0<<<<1，
所以f >f >f ，
故c>a>b.]
9.
10．(－∞，－)∪(，＋∞)
11．(－3，－1)∪(0,1)
12.
解析 f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上单调，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a>0，所以00，则0，
∴g(x)在上单调递增，在上单调递减，
g(x) ＝g＝＋a，
max
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即＋a≤0，
∴a≤－.
14．解 (1)f(x)≤x＋c等价于
ln x－x≤c－1.
令h(x)＝ln x－x，x>0，
则h′(x)＝－1＝.
当00，
所以h(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
故h(x) ＝h(1)＝－1，
max
所以c－1≥－1，即c≥0，
所以c的取值范围是[0，＋∞)．
(2)g(x)＝＝(x>0且 x≠a)，
因此g′(x)＝，
令 m(x)＝x－a－xln x＋xln a，
则m′(x)＝ln a－ln x，
当x>a时，ln x>ln a，所以m′(x)<0，m(x)在(a，＋∞)上单调递减，
当00，m(x)在(0，a)上单调递增，
因此有m(x)0且x≠a上恒成立，
所以函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减．
15．D [因为当00)，
则只需2a≤h(x) ，
min
而h′(x)＝ex·，
令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得00，
即h(m)在(ln 2，＋∞)上单调递增；
即h(m) ＝h(ln 2)＝2－2ln 2，
min
故(n－m) ＝(1－ln 2)．]
min
7．ABC
8．BCD [函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－－＝，
因为函数 f(x)既有极大值也有极小值，则函数 f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而
a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x，x，
1 2
于是
即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确．]
9．sin x(答案不唯一) 10.
11．4
12.
解析 f(x)＝ex－ax2－a，定义域为R，
所以f′(x)＝ex－2ax，
故 －2ax＝0， －2ax＝0；
1 2
又x＝2x，所以 －4ax＝0.
2 1 1
又 >0，故 ＝2，所以x＝ln 2，
1
所以a＝ ＝.
13．解 (1)f′(x)＝－＋2a2
＝
＝，x>0，
∵a>0，∴－<0<.
∴在上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)可知，f(x) ＝f
min
＝aln ＋3a＋2a－4a
＝aln ＋a＝a(1－ln a)，
∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，
∴1－ln a>0，∴00，当x∈(1，e]时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；
f(x)的极大值为f(1)＝－1，
也即f(x)的最大值为f(1)＝－1.
(2)∵f(x)＝ln x－ax，∴f′(x)＝，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)的最大值是f(e)＝1－ae＝－3，
解得a＝>0，舍去；
②当a>0时，由f′(x)＝＝0，得x＝，
当0<时，
∴x∈时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
又f(x)在(0，e]上的最大值为－3，
∴f(x) ＝f＝－1－ln a＝－3，
max
∴a＝e2， 符合题意；
当e≤，即0，舍去．
综上，存在a符合题意，此时a＝e2.
§3.4 函数中的构造问题
1．B 2.D 3.C
4．C [构造函数g(x)＝f(x)cos x，x∈，
则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，
则gg，
所以f cos >f cos ，
即f >f ，故B不正确；
则g(0)8可化为g(x)>g(ln 2)，所以x8的解集为(－∞，ln 2)．]
6．B [由00，函数f(x)单调递增，
当f(x)＝f(y)时，0sin x>0，
所以cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.]
7．ABD [构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
则g′(x)＝f′(x)－＝，
因为xf′(x)－1>0，所以g′(x)>0，
故g(x)是增函数，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C错误；
由g(e2)>g(e)得，
f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，
即f(e2)－f(e)>1，故D正确．]
8．BCD [设g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝＝＝′，可设g(x)＝＋c，
则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
故g(x)＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，则x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(2)0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得0g，∴x＞，
又00，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x) ＝f(0)＝2.
min
(2)由题意知，当x>0时，f(x)≥0恒成立等价于ex－ax2－x＋1≥0对任意x>0恒成立，
即a≤对任意x>0恒成立，令h(x)＝，x>0，
则h′(x)＝，
所以当02时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，
所以当x＝2时，函数h(x)有最小值h(2)＝，
所以a的取值范围为a≤.
2．解 (1)该函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－＝(x>0，a≠0)，
①当a<0时，f′(x)＝>0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
综上，当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
(2)对任意的x∈[1，＋∞)，都有f(x)≥成立，只需任意的x∈[1，＋∞)，f(x) ≥，
min
①当a<0时，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以只需f(1)≥，而f(1)＝，
所以a<0满足题意；
②当01时，>1，f(x)在[1，]上单调递减，
在[，＋∞)上单调递增，所以只需f()≥即可，而f()1不满足题意．
综上可得，实数a的取值范围为(－∞，0)∪(0,1]．
3．解 (1)若b＝0，函数f(x)＝x的图象与g(x)＝2aln x的图象相切，
设切点为(x,2aln x)，且g′(x)＝，
1 1
则切线方程为y－2aln x＝(x－x)，
1 1
即y＝x－2a＋2aln x，
1
∴解得
(2)当a>0，b＝－1时，F(x)＝xf(x)＋g(x)＝x2＋1＋2aln x，x∈(0,1]，
F′(x)＝2x＋>0，
∴F(x)在(0,1]上单调递增．
不妨设00，∴00，得x>－1；
令g′(x)<0，得x<－1；
所以g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
所以g(x) ＝g(－1)＝－e－1＋e2>0.
min
所以当x∈R时，xex＋e2>0恒成立，
又x2≥0，所以当a≥0时，对任意实数x∈R，x2＋axex＋ae2≥0恒成立．
综上所述，a的取值范围是[0，＋∞)．
§3.6 利用导数证明不等式
1．(1)解 因为f(x)＝x2ln x，x>0，
所以f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，
由f′(x)＝0，得x＝ .
当x∈ 时，f′(x)<0；当x∈ 时，f′(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)证明 f(x)≥x－1等价于
ln x－≥0.
令函数g(x)＝ln x－，x>0，
则g′(x)＝－＝.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
故g(x)≥g(1)＝0，即f(x)≥x－1.
2．(1)解 函数f(x)＝aln x＋x＋＋2a的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋1－＝.
由f′(1)＝a－1＝0，得a＝1，
经检验，a＝1满足题意．
(2)证明 要证明f(x)0，
则g′(x)＝，
当02时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递
增．
所以g(x) ＝g(2)＝.
min
令h(x)＝，
其中00，
则h′(x)＝－.
当00，此时函数h(x)单调递增；当x>时，h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减．
所以h(x) ＝h＝ae<，
max
则h(x) 0)．
当a＝3时，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，
当01时，f′(x)>0；
当1)，
1 1
设F(x)＝2ln x－x2＋＋ln 2(x>1)，则F′(x)＝－2x－＝－<0，
所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以F(x)0)，
得f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f′(x)与f(x)在区间(0，＋∞)上随x的变化情况如下表．
x (0，) (，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ ↗
所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．
(2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，
当k＝e时，f(x)在区间(1，]上单调递减且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点；
当k>e时，f(x)在区间(1，]上单调递减且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
2．解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝＋a.
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)无极值点；
当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝－，
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示．
x －
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值 单调递减所以f(x)有一个极大值点，无极小值点．
综上，当a≥0时，f(x)无极值点；
当a<0时，f(x)有一个极值点．
(2)当a＝2时，方程f(x)＋f′(x)＋m＝0，
即ln x＋2x＋＋2＋m＝0，
则－m＝ln x＋2x＋＋2.
令h(x)＝ln x＋2x＋＋2，x>0，
则h′(x)＝＋2－＝.
令h′(x)＝0，解得x＝或x＝－1(舍去)．
当x∈时，h′(x)<0，h(x)在区间上单调递减；
当x∈时，h′(x)>0，h(x)在区间上单调递增，
所以h(x)≥h(x) ＝h＝5－ln 2，
min
又当x→0时，h(x)→＋∞；
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以－m>5－ln 2，即m0，得00，g(x)单调递增，g＝2＋4－4×sin －4cos >0，
∴g(x)在上有唯一零点；
当x≥时，g(x)>x2＋4－4x－4＝x2－4x≥2－4×>0，
故g(x)在上无零点．
又g(0)＝0，
∴g(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点．4．解 (1)当a＝0时，f(x)＝－－ln x(x>0)，
所以f′(x)＝－＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x) ＝f(1)＝－1.
max
(2)由f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(x>0)，
得f′(x)＝a＋－＝(x>0)．
当a＝0时，由(1)可知，f(x)不存在零点；
当a<0时，f′(x)＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x) ＝f(1)＝a－1<0，
max
所以f(x)不存在零点；
当a>0时，f′(x)＝，
当a＝1时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝a－1＝0，所以函数f(x)恰有一个零点；
当a>1时，0<<1，
故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
因为f(1)＝a－1>0，
所以f >f(1)>0，
当x→0＋时，f(x)→－∞，
由零点存在定理可知f(x)在上必有一个零点，
所以a>1满足条件，
当01，
故f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减．
因为f(1)＝a－1<0，
所以f 0时，r＝5a，
sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a<0时，r＝－5a，
sin θ＋cos θ＝－＋＝.
综上，sin θ＋cos θ＝±.
(2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin<0；当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin>0.
综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号
为正．
14．解 (1)由题意得，
30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，
∴θ＝(00，tan β>0，tan α＝2tan
β，
所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时，等号成立．]7．ABC
8．BD [当t＝时，sin θ＋cos θ＝，
两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝，
可得sin θcos θ＝－<0，故A错误；
所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝－＝－＝－，
可得sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)·(sin2θ＋cos θsin θ＋cos2θ)＝×＝－，故B正确；
因为sin θ＋cos θ＝t，t∈(－1，]，
两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝t2，
可得sin θcos θ＝，
所以sin θ＋cos θ－sin θcos θ
＝t－＝1－(t－1)2，
因为t∈(－1，]，
所以f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ∈(－1,1]，故C错误，D正确．]
9．－ 10.1
11．－
解析 cos＝cos
＝－cos＝－.
sin＝sin＝cos＝.
12.
解析 因为sin θ－2cos θ＝－，
则2＋cos2θ＝1，
所以5cos2θ－cos θ－＝0，
即＝0，
又因为θ为第一象限角，
所以cos θ＝，所以sin θ＝，
从而sin θ＋cos θ＝.
13．解 (1)∵cos＝－sin α＝－，∴sin α＝，
又α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
则tan α＝＝－.
(2)f(α)＝
＝＝cos α，
由(1)知，cos α＝－，则f(α)＝cos α＝－.
14．解 若选择条件①：
∵4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)，
∴4sin α＝－3cos α，
∴tan α＝－.
若选择条件②：
∵α是第四象限角，
∴sin α<0，cos α>0，
又sin α＋cos α＝，
∴2＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝－，
∴tan α＝－.
若选择条件③：
∵α是第四象限角，
∴sin α<0，cos α>0，
又∵α，β的终边关于x轴对称，
∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β.
又∵4sin β＝3cos β，
∴－4sin α＝3cos α，
即tan α＝－.
(1)＝
＝＝1.
(2)sin2α＋3sin αcos α＝
＝＝
＝－.
15．BD [由tan ＝sin C
⇒tan＝＝＝2sin cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以1＝2sin2⇒1－2sin2＝0
⇒cos C＝0⇒C＝，
所以tan B＝tan＝，＝tan2A不一定为1，A错误；
因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin，00，函数y＝sin x在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α
＝－.]
9．－ 10.1 11.
12．－4
解析 由已知得3cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0，
因此3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，
整理得8cos(α＋β)cos α＋2sin(α＋β)sin α＝0，
因此sin(α＋β)sin α＝－4cos(α＋β)cos α，
于是·＝－4，
即tan(α＋β)tan α＝－4.
13．解 (1)因为α，β∈，
所以cos α>0，cos β>0，
由
解得cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)因为α＋β＝，sin＝>sin α＝>sin β＝，且函数y＝sin x在上单调递增，
所以0<β<α<，
所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
14．解 (1)∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∵cos＝－，
sin＝，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos
＝cos
＝coscos＋
sinsin
＝－×＋×
＝－.(2)∵α∈，β∈，
∴α＋β∈，
则∈，
∵cos ＝－，
∴sin ＝＝，
∴tan ＝－.
∴tan(α＋β)＝
＝＝.
15．C [tan θ＝
＝－＝－
＝－tan＝tan
＝tan，
故θ＝－2＋kπ，k∈Z.
又cos 2－sin 2<0，
－cos 2－sin 2＝－sin<0，
故θ在第三象限，故k＝1，θ＝－2.]
16．－
解析 由题意可得
OA＝(sin α，cos α)，
OB＝，
所以|OA|＝＝1，
同理可得|OB|＝1，
则cos∠AOB＝cos〈OA，OB〉＝＝sin αcos＋cos αsin
＝sin＝cos ＝－，
所以2α＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2α＋＝＋2kπ(k∈Z)，
解得α＝－＋kπ(k∈Z)或α＝＋kπ(k∈Z)．
§4.4 简单的三角恒等变换
1．D 2.A 3.C 4.D 5.B
6．D [由<α<，
知<α＋<2π，因为sin＝－，
所以cos＝
＝，
所以sin α＝sin
＝sin－cos
＝×＝－，
而sin 2α＝－cos
＝－cos 2
＝－
＝－＝－，
所以sin 2α＋sin2α＝－＋2
＝.]
7．BD
8．CD [因为
f(x)＝sin xsin－
＝sin x－
＝sin2x＋sin xcos x－
＝×＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以－≤f(x)≤，f(x)的值不可能是－2和2.]
9. 10.1 1 11.
12.
解析 由题意得cos2＝＝＝，
即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，0<2θ<，
所以cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
13．解 (1)原式＝2cos 50°－
＝
＝＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝32.
14．解 (1)因为f(x)＝a·b
＝2cos2x－2sincos
＝1＋cos 2x－sin
＝1＋cos 2x－sin 2x－cos 2x
＝－sin 2x－cos 2x＋1
＝－sin＋1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f ＝－sin＋1＝，可得sin＝，
又因为x∈，
0
则x＋∈，
0
则cos＝－
＝－，
则sin 2＝2sin·cos＝－，
cos 2＝cos2－sin2＝，
可得cos 2x＝cos
0
＝cos 2cos ＋
sin 2sin
＝×＋×
＝，
所以cos 2x＝.
0
15．D [ f(x)＝＋
＋＝－[cos 2x·(1＋cos 2α＋cos 2β)－sin 2x(sin 2α＋sin 2β)]，
由题意得
两式平方相加可得cos(2α－2β)＝－，
所以2α－2β＝＋2kπ或2α－2β＝－＋2kπ，k∈Z.
当α＝，β＝时，2α－2β＝－，符合题意，故D正确，A，B，C错误．]
16．D [由tan(α＋15°)＝7tan(α－15°)⇒＝7·
⇒sin(α＋15°)cos(α－15°)
＝7sin(α－15°)cos(α＋15°)，
设A＝sin(α＋15°)cos(α－15°)，
B＝cos(α＋15°)sin(α－15°)，
则A＝7B，①
又A－B＝sin 30°＝，②
联立①②，解得A＝，B＝，
故sin(α－15°)cos(α＋15°)＝.]
§4.5 三角函数的图象与性质
1．A 2.D 3.A 4.D 5.B
6．C [由函数的最小正周期T满足0) 4
解析 因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为 rad/s，经过t秒时，叶片转过的圆心
角为t，此时离地面的高度为30＋30，
故S＝60－30cos t(t>0)．
由S＝60－30cos t≥45，
得cos t≤，
因为0≤t≤6，cos t≤，
所以≤t≤，解得1≤t≤5，
故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒．
13．解 (1)由图可知，A＝＝2，
函数f(x)的最小正周期为
T＝2×＝π，∴ω＝＝2，
∵f ＝2sin＝2，∴sin＝1，
则φ＋＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，
故f(x)＝2sin.
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的，
可得到函数y＝2sin的图象，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数y＝g(x)的
图象，
则g(x)＝2sin＝2sin，
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
则－≤sin≤1，－≤g(x)≤2，
所以g(x)在区间上的值域为[－，2]．
14．解 (1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)，
根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，
又0<φ<，所以φ＝，
则g(x)＝2sin，
则h(x)＝f(x)g(x)
＝4sin xsin
＝4sin x
＝2sin2x＋2sin xcos x
＝1－cos 2x＋sin 2x
＝2sin＋1，
则函数y＝h(x)的最小正周期
T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数y＝h(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)列表如下：
x － － －
2x－ － －π － 0
sin 0 －1 0 1
h(x) 2 1 －1 1 3 2
故y＝h(x)在区间上的大致图象如图所示．15．C [根据题意可知，点C是f(x)的一个对称中心，又直线BC交f(x)的图象于点D，利用
对称性可知B，D两点关于C点对称．不妨设B(x ，y )，C(x ，y )，D(x ，y )，
B B C C D D
由重心坐标公式可得＝0，
又x ＋x ＝2x ，即可得x ＝，
B D C C
由最小正周期公式可得
－(－π)＝＝，解得ω＝，
即f(x)＝2sin，
将A(－π，0)代入f(x)可得
2sin＝0，
又0<φ<π，所以φ＝，
即f(x)＝2sin，
所以|OB|＝y ＝f(0)＝
B
2sin＝.]
16．－
解析 将函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2
倍，得到函数g(x)＝f ＝asin x＋bcos x(a，b∈R)的图象，再将所得图象向左平移个单位后，
得到函数h(x)＝g＝asin
＋bcos(a，b∈R)的图象，因为h(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以有h(0)＝asin ＋bcos
＝a＋b＝0，解得＝－.
§4.7 三角函数中有关 ω 的范围问题
1．B 2.A 3.C
4．C [f(x)＝2sin
＝2sin cos －2sin2
＝sin ωx－(1－cos ωx)＝sin ωx＋cos ωx－
＝2sin－，
令g(x)＝f
＝2sin－
＝－2cos－，
因为ω>0，所以当x∈(0，π)时，ωx＋∈，
又因为g(x)在(0，π)上有3个极值点，则由余弦函数的性质可得3π<ωπ＋≤4π，解得<ω≤.]
5．D [由方程|f(x)|＝
＝1，可得sin＝±，
所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)，
因为ω>0，所以当x∈(0,2π)时，ωx＋∈，
所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根，所以<2ωπ＋≤，
解得<ω≤，
即ω的取值范围是.]
6．C [由题意，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f ＝±1，
即ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，①
1 1
又f ＝0，
所以－ω＋φ＝kπ，k∈Z，②
2 2
由①②，得ω＝2(k－k)＋1，k，k∈Z，
1 2 1 2
又f(x)在区间上有最小值无最大值，
所以T≥－＝，
即≥，解得ω≤16.
综上，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由①得×15＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
1 1 1 1
又|φ|≤，所以φ＝－，
此时f(x)＝sin，
当x∈时，15x－∈，
当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．
故ω的最大值是15.]
7．ABC [f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
则ω·≤，ω·≥－，
∴0<ω≤，∴选项ABC符合题意．]
8．CD [因为f(x)＝1－2cos2
＝－cos＝sin，
所以周期T＝＝.
对于A，由条件知，周期为2π，所以＝2π，解得ω＝，故A错误；
对于B，函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝sin的图象，
若其关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，
故对任意整数k，ω∉(0,2)，故B错误；
对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，解得≤ω<，故C正确；
对于D，由条件得
解得ω≤，又ω>0，
所以0<ω≤，故D正确．]
9．[2,3)
10.
解析 由题意得
k，k∈Z，
1 2
则
又f(x)在上单调，
则－＝≤＝，
解得0<ω≤5，
即0<＋≤5，k，k∈Z，
1 2
则－0，
在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28，即x2＋8＝12xcos B，①
又在△ACD中，由余弦定理，得
AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28，
即x2－24＝4xcos D，②
因为B＋D＝π，
则cos D＝cos(π－B)＝－cos B，
联立①②可得x＝4，cos B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.]
6．B [设△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，
∵cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1，
即sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A，
∴b2＋c2＋bc＝a2，
∴cos A＝＝－，
又A∈(0，π)，∴A＝，
又AB·AC＝－3，AB＝2，
∴AB·AC＝2bcos A＝2b×＝－3，即b＝3，
∴a2＝b2＋c2＋bc＝32＋22＋3×2＝19，
故a＝，
∴cos C＝＝＝，sin C＝，tan C＝，
又∠CAD＝3∠BAD，A＝，
∴∠CAD＝，
AD＝ACtan C＝3×＝.]
7．BD [根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B，
代入(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
可得2accos B·＝ac，
即sin B＝，
因为00，即00，
由余弦定理的推论，得
cos C＝，
所以＝＝tan C
＝tan[π－(A＋B)]
＝－tan(A＋B)
＝－·
＝－(tan A＋tan B)，
又tan A＋tan B≥2＝，
当且仅当tan A＝tan B＝时等号成立，
所以的最大值是－×＝－.]
5．BC [∵a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，
∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2，
即a2＋b2－c2＝ab，
对于A选项，由余弦定理的推论，可得cos C＝＝，
∵02，∴43，D错误．]
7.
8.－1
解析 设BD＝k(k>0)，
则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋
4.
在△ACD中，由余弦定理得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·
＝4k2－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.
9．解 (1)因为2bsin＝a＋c，
由正弦定理可得
2sin Bsin＝sin A＋sin C，
即2sin B
＝sin A＋sin(A＋B)，
整理得sin Bsin A＝sin A＋cos Bsin A，
又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B－cos B＝1，
即sin＝，
又B∈(0，π)，所以B－∈，
所以B－＝，即B＝.
(2)由(1)知B＝，又b＝2，
由正弦定理，得＝＝＝，所以a＝sin A，c＝sin C，
所以a＋c＝(sin A＋sin C)
＝
＝
＝4sin，
在锐角△ABC中，
⇒，所以∈(0，)，
所以a2＋b2＝1＋＋
＝2＋∈(1,7)．
§4.10 解三角形应用举例
1．A 2.B
3．B [依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，
又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为45°.]
4．B [如图，设飞机的初始位置为点 A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作
CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，
所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
由正弦定理得＝，
则BC＝
＝10 500(－)(m)，
因为CD⊥AB，所以CD＝BCsin 45°＝10 500(－)×
＝10 500(－1)≈7 350(m)，
所以山顶的海拔高度大约为
10 000－7 350＝2 650(m)．]
5．A [设建筑物的高度为x，如图所示，
由△HGF∽△DEF，
得＝⇒EF＝＝，
由△ABC∽△DEC，得
＝⇒＝，
所以ah＋xa＝xa，
1 2
即x(a－a)＝ah，
2 1
解得x＝(m)．]
6．C [由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，
所以在Rt△CBD中，
BC＝CD＝300(米)，
又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，
所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得
＝，
所以AC＝×＝200(米)，
在△ABC中，∠ACB＝∠DCA－∠DCB＝75°－30°＝45°，
由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(200)2＋(300)2－2×200×300×＝150 000，
所以AB＝100(米)．]
7．AC [如图，由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，
AB＝12 n mile，
AC＝8 n mile，
所以B＝180°－60°－75°＝45°，
在△ABD中，由正弦定理得
＝，
所以AD＝＝＝24(n mile)，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得CD＝
＝
＝8(n mile)，故B错误；
由B项解析知CD＝AC，
所以∠CDA＝∠CAD＝30°，
所以灯塔C在D处的南偏西30°方向，故C正确；
由∠ADB＝60°，得D处在灯塔B的北偏西60°方向，故D错误．]
8．ABD [对于A，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，由正弦定理
求得CB，从而求得AB，故A正确；
对于B，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠ACD，∠ADC，在△ACD中，由正弦定理求得AC，
从而求得AB，故B正确；
对于C，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠BCD，∠ACD四个条件，无法通过解三角形求得
AB，故C错误；
对于D，由∠ACB，∠BCD借助直角三角形和余弦定理，用AB表示出CB，BD，AC，AD，
然后结合∠ADC在△ADC中利用余弦定理列方程，解方程求得AB，故D正确．]9．15
10．－
解析 如图，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M，则DF＝
＝
＝(m)，
DE＝＝
＝100(m)，
EF＝＝＝130(m)，
在△DEF中，由余弦定理得
cos∠DEF＝
＝＝－.
11．1
解析 设A地东北方向上存在点P到城市B的距离为30千米，AP＝x，
在△ABP中，由余弦定理得PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，
即302＝x2＋402－2x·40·cos 45°，
化简得x2－40x＋700＝0，
设方程的两根为x，x，
1 2
则x＋x＝40，xx＝700，
1 2 1 2
所以|x－x|＝＝20，即图中CD＝20千米，
1 2
所以城市B处于危险区的时间为＝1(小时)．
12．85
解析 由余弦定理得BD2＝BE2＋DE2－2BE·DE·cos∠BED，
则BD＝
＝＝2＝2×12.04＝24.08(m)．
在△BCD中，由正弦定理得
＝，
则BC＝
≈≈45.270 4(m)．
在△ABC中，∠ACB＝62°，
所以AB＝BC·tan∠ACB
≈45.270 4×1.88≈85(m)．
第五章 平面向量与复数
§5.1 平面向量的概念及线性运算
1．A 2.D 3.B 4.B 5.D
6．B [因为GA＋GB＋GC＝0，
所以G为△ABC的重心，
所以AG＝(AB＋AC)＝tAD＋(1－t)AE＝txAB＋(1－t)yAC，
所以tx＝，(1－t)y＝，
所以＋＝3t＋3(1－t)＝3.]
7．ACD
8．ABC [∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝－AB＋AD，故A正确；
∵BC＝3EC，
∴BE＝BC＝－AB＋AD，
∴AE＝AB＋BE＝AB＋＝AB＋AD，
又F为AE的中点，∴AF＝AE＝AB＋AD，故B正确；
∴BF＝BA＋AF＝－AB＋AB＋AD＝－AB＋AD，故C正确；
∴CF＝CB＋BF＝BF－BC＝－AB＋AD－＝－AB－AD，故D错误．]
9．等腰梯形 10.2 024 0
11.
解析 如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC分别于点E，F，由于AP＝＋，
所以AE＝，AF＝，
则|AE|＝4，|AF|＝1，
所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，
故△ABC的面积S＝×5×5＝.
12．3
解析 因为BE＝EC，
所以AE＝AB＋BE＝AB＋AD，
又因为CD＝2CF，
所以AF＝AD＋DF＝AB＋AD，
所以|AE＋AF|＝|AB＋AD|＝|AC|，
又因为∠BAD＝120°，
所以∠ADC＝60°，
所以△ADC为等边三角形，
所以AC＝AD＝2，
所以|AE＋AF|＝|AC|
＝×2＝3.
13．解 (1)依题意，设EN＝tEF，
CN＝CE＋EN＝CE＋tEF
＝CE＋t(CF－CE)
＝(1－t)CE＋tCF
＝－AB－AD，
又CN＝λAB＋μAD，
所以解得λ＋μ＝－.
(2)因为AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，
所以AE＋AF＝(AB＋AD)＝AC，
所以AC＝a＋b.
14．(1)解 在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故AE＝AD＝a＋b，BE＝AE－AB＝a＋b－a＝b－a.
(2)证明 因为BE＝b－a＝(b－2a)，
BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)，
所以BE＝BF，所以BE∥BF，
又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．
15．C [如图，∵OA＋3OB＋4OC＝0，
∴－OA＝OB＋OC，
设－OA＝OD，
则OD＝OB＋OC，
即B，C，D三点共线，
∴＝＝，
∴S ＝4×＝.]
△BOC
16．(1，＋∞)
解析 因为CO与AB交于点D，
所以O，C，D三点共线，
所以OC与OD共线，
设OC＝mOD，则m>1，
因为OC＝λOA＋μOB，
所以mOD＝λOA＋μOB，
可得OD＝OA＋OB，
因为A，B，D三点共线，
所以＋＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1．B 2.A 3.C 4.C 5.C
6．A [以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,1)，C(1,0)，AC＝，
设D为AC的中点，则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D.
则以AC为直径的圆的方程为
2＋2＝，
设M(x，y)，
则BM＝(x，y)，BC＝(1,0)，BA＝(0,1)，
BM＝λBC＋λBA＝(λ，λ)，
所以
由点M在圆2＋2＝上，
可得2＋2＝，
即4λ2－(1＋)λ＝0，
解得λ＝或λ＝0(舍去)．]
7．ABD
8．ABC [建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，
设Q(x,0)，则根据题意可得A(0,2)，D(2,2)，C(2,0)，E，
F，B(0,0)，
则AF＝，AC＝(2，－2)，AQ＝(x，－2)，AE＝，AB＝(0，－2)，AD＝(2,0)，
由于AE∥AQ，
所以－x＝－2×，
解得x＝1，故Q(1,0)，
对于A，AE＋AF＝＋＝(2，－2)＝AC，故A正确；对于B，AB＋AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝
＝AE，故B正确；对于C，AB＋AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝＝AF，故C正确；对于D，AB＋
AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝，FQ＝，故D错误．]
9. 10.6 11.6
12．2解析 依题意设MN＝λBE，
则MN＝MA＋AN＝－mAB＋nAD＝λ(BC＋CE)＝λ，
即－mAB＋nAD＝－λAB＋λAD，
所以故＝2.
13．解 (1)在平面直角坐标系中，
由|OA|＝2，知A(2,0)，
设B(x ，y )，
B B
又∠OAB＝，|AB|＝1，
则x ＝2＋cos＝，
B
y ＝sin＝，
B
∴B.
又BC＝(－1，)，
∴OC＝OB＋BC＝＋(－1，)＝，
∴C.
(2)由(1)可得OC＝，
AB＝，
∴OC＝3AB.
∴OC∥AB，|OC|＝3|AB|＝3.
又|BC|＝＝2，|OA|＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
∵|OA|＝2，|AB|＝1，|BC|＝2，
|OC|＝3，
∴四边形OABC的周长为8.
14．解 (1)由于m∥n，
所以2sin(A＋C)×＝cos 2B，
即2sin Bcos B＝cos 2B，
即sin 2B＝cos 2B，tan 2B＝，
由于B是锐角，
所以00，
又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影的数量为＝，故B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，
当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，
即mn的最大值为2，故D正确．]
9．(1，－1)(答案不唯一) 10.10
11．6
解析 设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，
则cos θ＝＝＝－，
因为θ∈[0，π]，
可得sin θ＝＝，
故|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝6.
12．10
解析 如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，
则AO·BC＝(AD＋DO)·(AC－AB)＝(AC＋AB)·(AC－AB)＋DO·(AC－AB)＝(|AC|2－|AB|2)＝10.
13．解 (1)AC＝AD＋DC＝AD＋AB，
AE＝(AB＋AC)
＝
＝AB＋AD，
BC＝AC－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.
(2)由题意可知，
|AD|＝＝＝1，
DB＝AB－AD，
所以DB·AE＝(AB－AD)·＝|AB|2－|AD|2－AB·AD＝|AB|2－|AD|2－|AB||AD|·cos＝×4－×1－×2×1×
＝.
14．解 (1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，
则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
∴DE＝(3，－6)，AF＝(6,2)，
由于∠EMF就是DE，AF的夹角，
∴cos∠EMF＝cos〈DE，AF〉＝＝，
∴∠EMF的余弦值为.
(2)∵AM＝λAF，
则AM＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)，
又D，M，E三点共线，
则设DM＝tDE，00)，
运用均值不等式得f(x)≥6，
当且仅当x＝3时，等号成立．
因为a＝，n∈N ，
n ＋
所以≤，
所以当n＝9或n＝10时，a＝最大．]
n
7．BCD [假设第n项为{a}的最大项，则
n
即
所以
又n∈N ，所以n＝4或n＝5，
＋
故在数列{a}中a 与a 均为最大项，且a＝a＝，当n≥5时，数列{a}是递减数列．]
n 4 5 4 5 n
8．ABD [因为a －a ＝－a ＝>0，即a >a ，所以a≥a ＝1，故D正确；因为a
n＋1 n n n＋1 n n 1 n＋
>a ，所以数列{a}为递增数列，可得a >a ，故A正确；对于选项B，因为a ＝，则
1 n n 2 023 2 022 n＋12a －a ＝，两边平方整理得4a－1＝4a a ，故B正确；对于选项C，因为数列{a}为递
n＋1 n n＋1 n n
增数列且a≥1>0，则为递减数列，
n
所以为递减数列，不存在最小值，故C错误．]
9．7 10.n－1
11．a＝
n
解析 当n≥2时，有(n－1)a＝n·2na ，故＝·2n，
n n－1
则有＝·2n－1，＝·2n－2，…，＝×22.
上述n－1个式子累乘，得
＝···…·
＝n·2n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2
＝ .
因为a＝1，
1
所以a＝ ，
n
而当n＝1时，a＝1×20＝1，也满足上式，
1
故数列{a}的通项公式为
n
a＝ .
n
12．341
解析 由题意，a＝a ＋2n－1，
n n－2
故a－a＝22，
3 1
a－a＝24，
5 3
…
a －a ＝22n－2，
2n－1 2n－3
以上各式相加，可得
a －a＝22＋24＋…＋22n－2＝41＋42＋…＋4n－1，
2n－1 1
即a ＝1＋41＋42＋…＋4n－1＝＝，
2n－1
所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a＝＝341.
9
13．解 (1)∵a＝1，a ＝2＋1，
1 n＋1
∴a＝2＋1＝2＋1＝3.
2
(2)方法一 由a ＝2＋1，
n＋1
得S －S＝2＋1，
n＋1 n
故S ＝(＋1)2.
n＋1∵a>0，∴S>0，
n n
∴＝＋1，
即－＝1，
则－＝1(n≥2)，
由累加法可得＝1＋(n－1)＝n，
∴S＝n2(n≥2)，
n
又S＝a＝1，满足上式，∴S＝n2.
1 1 n
当n≥2时，a＝S－S ＝n2－(n－1)2＝2n－1，
n n n－1
又a＝1适合上式，∴a＝2n－1.
1 n
方法二 由a ＝2＋1，
n＋1
得(a －1)2＝4S，
n＋1 n
当n≥2时，(a－1)2＝4S ，
n n－1
∴(a －1)2－(a－1)2
n＋1 n
＝4(S－S )＝4a.
n n－1 n
∴a－a－2a －2a＝0，
n＋1 n
即(a ＋a)(a －a－2)＝0.
n＋1 n n＋1 n
∵a>0，∴a －a＝2(n≥2)．
n n＋1 n
a－a＝2，
2 1
∴{a}为等差数列，且公差为2，
n
∴a＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
n
14．解 (1)∵2S＝(n＋1)a，
n n
∴2S ＝(n＋2)a ，
n＋1 n＋1
∴2a ＝(n＋2)a －(n＋1)a，
n＋1 n＋1 n
即na ＝(n＋1)a，
n＋1 n
∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴a＝n(n∈N )．
n ＋
(2)∵b＝3n－λn2，
n
∴b －b＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．
n＋1 n
∵数列{b}为递增数列，
n
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<.
令c＝，
n则＝·＝>1，
∴{c}为递增数列，∴λ0，
n n－1
所以a－a ＝1(n≥2)，
n n－1
所以a＝1＋n－1＝n.
n
又a＝1适合上式，所以a＝n.
1 n
§6.2 等差数列
1．C 2.B 3.A 4.C 5.C
6．C [∵b＝a ＋a ，
n 2n＋1 2n－1
∴b ＝a ＋a ，
2 024 4 049 4 047
b ＝a ＋a ，
2 023 4 047 4 045
∴b －b ＝(a ＋a )－(a ＋a )＝a －a .
2 024 2 023 4 049 4 047 4 047 4 045 4 049 4 045
又a＋m＝a ＋n，
n m
∴a－a ＝n－m，
n m
∴b －b ＝a －a ＝4 049－4 045＝4.]
2 024 2 023 4 049 4 0457．AC
8．AD [由题意可知，两马日行里数分别成等差数列，记数列{a}为良马的日行里数，其
n
中首项a＝103，公差d＝13，所以数列{a}的通项公式为a＝13n＋90，n∈N ，
1 1 n n ＋
记数列{b}为驽马的日行里数，其中首项b ＝97，公差d ＝－0.5，所以数列{b}的通项公式
n 1 2 n
为b＝－0.5n＋97.5，n∈N ，
n ＋
因此，驽马第七日行里数为b＝－0.5×7＋97.5＝94，即驽马第七日行九十四里，故A正确；
7
第七日良马行走总里程为S ＝103×7＋×13＝994，而齐去长安一千一百二十五里，因为
7
994<1 125，所以第七日良马未至齐，故B错误；
设第m日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，即 103m＋×13
＋97m－×0.5＝2×1 125，解得m＝9或m＝－40(舍)，即第九日二马相逢，故C错误；
由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了S ＝103×9＋×13＝1 395，所以二马相逢
9
时良马行一千三百九十五里，故D正确．]
9．2n＋1(答案不唯一) 10.24
11．－
解析 依题意，B，C，P三点共线，
∴＋λ＝1，∴λ＝1－2×，
依题意，＝＝＝＝＝＝，
∴λ＝1－2×＝－.
12．10
解析 因为等差数列{a}共有2n＋1项，所有奇数项之和为
n
S ＝a＋a＋…＋a ＝＝(n＋1)a ＝132，
奇 1 3 2n＋1 n＋1
所有偶数项之和为S ＝a＋a＋…＋a ＝＝na ＝120，
偶 2 4 2n n＋1
所以＝＝＝＝，解得n＝10.
13．解 (1)因为a ＝(n2＋n－λ)a(n＝1,2，…)，且a＝1，
n＋1 n 1
所以当a＝－1时，－1＝2－λ，
2
解得λ＝3，
所以a＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
3
(2)数列{a}不可能为等差数列．理由如下：
n
由a＝1，a ＝(n2＋n－λ)a，
1 n＋1 n
得a＝2－λ，a＝(6－λ)(2－λ)，a＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)，
2 3 4
若存在常数λ，使{a}为等差数列，
n
则a－a＝a－a，
3 2 2 1
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3，于是a－a＝1－λ＝－2，
2 1
a－a＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，
4 3
这与{a}为等差数列矛盾，
n
所以对于任意常数λ，{a}都不可能是等差数列．
n
14．解 (1)∵3a＝3a＋a，
2 1 3
∴3d＝a＋2d，解得a＝d，
1 1
∴S＝3a＝3(a＋d)＝6d，
3 2 1
a＝a＋(n－1)d＝nd，
n 1
又T＝b＋b＋b＝＋＋＝，∴S＋T＝6d＋＝21，
3 1 2 3 3 3
即2d2－7d＋3＝0，
解得d＝3或d＝(舍去)，
∴a＝nd＝3n.
n
(2)∵{b}为等差数列，
n
∴2b＝b＋b，
2 1 3
即＝＋，
∴6＝＝，
即a－3ad＋2d2＝0，
1
解得a＝d或a＝2d，
1 1
∵d>1，∴a>0，
n
又S －T ＝99，
99 99
由等差数列的性质知，
99a －99b ＝99，
50 50
即a －b ＝1，
50 50
∴a －＝1，
50
即a－a －2 550＝0，
50
解得a ＝51或a ＝－50(舍去)．
50 50
当a＝2d时，a ＝a＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，无解；
1 50 1
当a＝d时，a ＝a＋49d＝50d＝51，解得d＝.综上，d＝.
1 50 1
15．B [方法一 由题意得
a＝a＋(n－1)，
n 1
cos a ＝cos
n＋3
＝cos
＝cos＝cos
＝cos a，
n
所以数列{cos a}是以3为周期的周期数列，
n
又cos a＝cos
2
＝－cos a－sin a，
1 1
cos a＝cos
3
＝－cos a＋sin a，
1 1
因为集合S中只有两个元素，
所以有三种情况：
cos a＝cos a≠cos a，
1 2 3
cos a＝cos a≠cos a，
1 3 2
cos a＝cos a≠cos a.
2 3 1
下面逐一讨论：
①当cos a＝cos a≠cos a 时，
1 2 3
有cos a＝－cos a－sin a，
1 1 1
得tan a＝－，
1
所以ab＝cos a
1
＝－cos2a＋sin acos a
1 1 1
＝
＝
＝＝－.
②当cos a＝cos a≠cos a 时，
1 3 2
有cos a＝－cos a＋sin a，
1 1 1
得tan a＝，
1
所以ab＝cos a
1
＝－cos2a－sin acos a
1 1 1
＝
＝
＝＝－.
③当cos a＝cos a≠cos a 时，
2 3 1
有－cos a－sin a＝－cos a＋sin a，得sin a＝0，
1 1 1 1 1
所以ab＝cos a
1
＝－cos2a
1＝－(1－sin2a)＝－.
1
综上，ab＝－.
方法二 取a＝－，
1
则cos a＝，
1
cos a＝cos＝，
2
cos a＝cos＝－1，
3
所以S＝，ab＝－.]
16．B [由a＝1，a ≤a(n＝2，3，…，k)，
1 n－1 n
得1＋(n－2)d≤4[1＋(n－1)d]，
即3＋(3n－2)d≥0，
当n＝2,3，…，k时，
恒有3＋(3n－2)d≥0，
即d≥－，所以d≥－，
由a＋a＋…＋a＝8，得8＝＝，
1 2 k
所以16＝2k＋k(k－1)d≥2k＋k(k－1)·，
因为k∈N ，k≥2，
＋
整理得3k2－49k＋32≤0，
所以k≤15.
所以k的最大值是15.]
§6.3 等比数列
1．C 2.B 3.B 4.A 5.D
6．C [方法一 设等比数列{a}的公比为q，首项为a，
n 1
若q＝1，则S＝6a＝3×2a＝3S，不符合题意，
6 1 1 2
所以q≠1.
由S＝－5，S＝21S，
4 6 2
可得＝－5，
＝21×，①
由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，
所以S＝＝·(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.
8
方法二 设等比数列{a}的公比为q，
n
因为S＝－5，S＝21S，
4 6 2
所以q≠－1，否则S＝0，
4从而S，S－S，S－S，S－S 成等比数列，
2 4 2 6 4 8 6
所以(－5－S)2＝S(21S＋5)，
2 2 2
解得S＝－1或S＝，
2 2
当S＝－1时，S，S－S，S－S，S－S，
2 2 4 2 6 4 8 6
即为－1，－4，－16，S＋21，
8
易知S＋21＝－64，即S＝－85；
8 8
当S＝时，
2
S＝a＋a＋a＋a＝(a＋a)(1＋q2)＝(1＋q2)S>0，
4 1 2 3 4 1 2 2
与S＝－5矛盾，舍去．
4
综上，S＝－85.]
8
7．ACD [令等比数列{a}的公比为q，则a＝aqn－1，
n n 1
对于A，＝2＝q2，且a≠0，则{a}是等比数列，故A正确；
对于B，由a＝2，a＝32，得q4＝16，即q2＝4，所以a＝aq2＝2×4＝8，故B错误；
3 7 5 3
对于C，由a0，
n＋1 n 1
即∀n∈N ，a >a，所以数列{a}是递增数列，故C正确；
＋ n＋1 n n
对于D，显然q≠1，则S＝＝·qn－，而S＝3n＋r，
n n
因此q＝3，＝1，r＝－＝－1，故D正确．]
8．AC [设数列{a}的公比为q.
n
∵a>1，a <1，
1 2 023
∴01，∴0S ，故B错误；
2 022 2 023
∵01，
1
∴数列{a}是递减数列，
n
∵a >1，a <1，
2 022 2 023
∴T 是数列{T}中的最大项，故C正确；
2 022 n
T ＝aaa·…·a
4 045 1 2 3 4 045
＝a(aq)(aq2)·…·(aq4 044)
1 1 1 1＝aq1＋2＋3＋…＋4 044
＝aq2 022×4 045
＝(aq2 022)4 045＝a，
1
∵00，所以a＝3a，
n 9 3
又a＝1，设{a}的公差为d (d>0)，
1 n
所以1＋8d＝3(1＋2d)，解得d＝1，
所以a＝a＋(n－1)d＝n.
n 1
若选择③：设{a}的公差为d，
n
因为S－na＝，
n n
所以na＋d－n[a＋(n－1)d]＝，
1 1
又a＝1，即n＋d－n－n(n－1)d＝d＝，
1
解得d＝1，
所以a＝a＋(n－1)d＝n.
n 1
(2)由(1)知b＝ ＋2a＝3n＋2n.
n n
所以T＝(3＋2)＋(32＋4)＋…＋(3n＋2n)，
n
所以T＝3＋32＋…＋3n＋2＋4＋…＋2n，
n
所以T＝＋＝＋n2＋n，
n
所以T＝.
n2．(1)证明 由a ＋2a＝2n＋2可得
n＋1 n
a －2n＋1＝2n＋1－2a＝－2(a－2n)．
n＋1 n n
又a－21＝1≠0，
1
所以数列{a－2n}是以1为首项，－2为公比的等比数列．
n
(2)解 由(1)可得a－2n＝(－2)n－1，
n
即a＝2n＋(－2)n－1.
n
当n为奇数时，
b＝a＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1；
n n
当n为偶数时，b＝log a＝log [2n＋(－2)n－1]＝log 2n－1＝n－1.
n 2 n 2 2
所以T ＝(b＋b＋b＋b＋b)＋(b＋b＋b＋b＋b )
10 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10
＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9)
＝＋＝1 048.
3．解 (1)由已知得2S＝3a－1，①
n n
当n＝1时，2S＝3a－1，
1 1
即2a＝3a－1，
1 1
解得a＝1，
1
当n≥2时，2S ＝3a －1，②
n－1 n－1
①－②得2a＝3a－3a ，
n n n－1
即a＝3a ，
n n－1
所以数列{a}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a＝3n－1.
n n
(2)因为b＝
n
＝
＝×，
所以T＝×
n
＝×
＝－.
4．解 (1)当n＝1时，a＝S＝22－2＝2，
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n，
n n n－1
当n＝1时，上式也成立，
所以a＝2n.
n
由题意得b＝a＋2＝22＋2＝6，b＝2＋4＋3＝9，
2 2 3
设等差数列{b}的公差为d，
n
则d＝b－b＝3，b＝b－d＝3，
3 2 1 2故b＝b＋(n－1)d＝3n.
n 1
综上，a＝2n，b＝3n.
n n
(2)由(1)知ab＝3n·2n，
n n
所以T＝ab＋ab＋ab＋…＋a b ＋ab
n 1 1 2 2 3 3 n－1 n－1 n n
＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n，①
2T＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1，②
n
所以①－②得，－T＝3×(21＋22＋23＋…＋2n－1＋2n)－3n·2n＋1＝3×－3n·2n＋1
n
＝(3－3n)·2n＋1－6，
所以T＝(3n－3)·2n＋1＋6.
n
5．(1)解 因为＋＋＋…＋＝n2＋n，①
则当n＝1时，＝2，即a＝4，
1
当n≥2时，＋＋＋…＋＝n2－n，②
①－②得＝2n，
所以a＝2n(n＋1)，n≥2，
n
a＝4也满足a＝2n(n＋1)，
1 n
故a＝2n(n＋1)(n∈N )．
n ＋
(2)证明 因为＝＝·＝·
＝，
所以＋＋…＋
＝
＝<.
6．解 (1)设{a －a}的公比为q.
n＋1 n
∵a ＝λa －2a，
n＋2 n＋1 n
∴a －a ＝λa －2a－a
n＋2 n＋1 n＋1 n n＋1
＝(λ－1)a －2a
n＋1 n
＝(λ－1)
＝q(a －a)．
n＋1 n
∴＝1，解得λ＝3，
∴q＝2.
又a－a＝1，
2 1
∴a －a＝2n－1.
n＋1 n
∴a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )
n 1 2 1 3 2 n n－1
＝1＋20＋21＋…＋2n－2＝1＋
＝2n－1(n≥2)，
当n＝1时，符合上式，
∴{a}的通项公式为a＝2n－1.
n n
(2)当b ＝k＝1时，m∈[1,2)，共2－1＝1项，
m
当b ＝k＝2时，m∈[2,4)，共4－2＝2项，
m
当b ＝k＝3时，m∈[4,8)，共8－4＝4项，
m
…
当b ＝k＝n时，m∈[2n－1,2n)，共2n－2n－1＝2n－1项，
m
又 ＝n＋1，
∴{b}的前2n项和为1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1＋n＋1.
n
记S＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，
n
则2S＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
n
作差可得－S＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
n
∴S＝(n－1)·2n＋1.
n
因此，数列{b}的前2n项和为S＋n＋1＝(n－1)·2n＋n＋2.
n n
§6.6 数列中的综合问题
1．D [由题意知a ＝2a，
n＋1
所以log a ＝1＋2log a，
2 n＋1 2 n
所以log a ＋1＝2(log a＋1)，n∈N ，
2 n＋1 2 n ＋
所以{log a＋1}是等比数列，
2 n
又log a＋1＝2，
2 1
所以log a＋1＝2n，
2 n
所以log a＝2n－1，故A，B，C错误，D正确．]
2 n
2．B [记10个班级的平均成绩形成的等差数列为{a}，
n
则a＝70＋2(n－1)＝2n＋68，
n
又10×40%＝4，所以这10个班级的平均成绩的40%分位数为＝＝77.]
3．A [设等比数列{a}的公比为q，
n
则q3＝＝－，数列{a }是首项为a，公比为q3＝－的等比数列，
3n 3
则S＝＝a∈.]
5 3
4．B [设从最底层开始的第n层的正方体棱长为a ，则由题意得数列{a}为以8为首项，
n n
为公比的等比数列，其通项公式为a＝8×n－1＝23× .
n
令a＝1，得n＝7，
n
故该塔形几何体中正方体的个数为7.]
5．C [因为当n>7时，a＝n＋2，而要满足a>a ，故{a}要单调递减，
n n n＋1 n
所以－a<0，解得a>，
当n≤7时，a＝an－6，
n
而要满足a>a ，
n n＋1
故{a}要单调递减，所以0×8＋2，解得a>，
所以实数a的取值范围是.]
6．B [因为{a}是各项均为正数的等差数列，其公差d≠0，
n
则S ＝＝2 023a ，
2 023 1 012
且a ＝a＋1 011d≠a，
1 012 1 1
则b ≠b，
1 012 1
设等比数列{b}的公比为q，
n
则q1 011＝>0，
且q1 011≠1，即q>0且q≠1，
又因为b>0，
1
所以等比数列{b}为正项单调数列，
n
由均值不等式可得b＋b >2＝2b ，b＋b >2＝2b ，…，
1 2 023 1 012 2 2 022 1 012
b ＋b >2＝2b ，
1 011 1 013 1 012
所以T ＝b＋b＋…＋b >2 023b ＝2 023a ＝S .]
2 023 1 2 2 023 1 012 1 012 2 023
7．BC [因为a ＝ln( －a)，
n＋1 n
所以 ＝ －a，
n
即a＝ － ，
n
所以S＝a＋a＋a＋…＋a＝( － )＋( － )＋…＋( － )＝ － ＝
n 1 2 3 n
e－ .
因为a＝1，所以a>0，所以S>1.
1 n n
因为 >a＋1，
n
所以 －a>1，
n
所以a >0，所以S0，解得m＝2，故A正确；
a ＝a ＋6×2＝15，a ＝a ·27＝15×27≠15×28，故B错误；
71 11 78 71
a ＝a ＋(i－1)×2＝2i＋1，a ＝a ·2j－1＝(2i＋1)·2j－1，故C正确；
i1 11 ij i1
S＝a ·＋a ·＋a ·＋…＋a ·＝(3＋5＋7＋…＋2n＋1)＝(2n－1)·＝n(n＋2)(2n－1)，故D正
11 21 31 n1
确．]
9．8
解析 因为OA＝AA＝AA＝AA＝…＝1，
1 1 2 2 3 3 4
所以当n≥2时，OA＝，
n
OA＝，所以a＝，
n n
b＝＝＝－，
n
S＝b＋b＋…＋b＝－1＋－＋…＋－＝－1，
n 1 2 n
所以S ＝－1＝8.
80
10.
解析 由aaa＝64，得a＝64，
2 3 4
解得a＝4，
3
设{a}的公比为q，则q3＝＝8，
n
解得q＝2，a＝1，
1
所以a＝2n－1，b＝log a ＝n，
n n 2 n＋1
则原不等式等价于4λ≥n[1－(n＋4)λ]，
即λ≥，
又＝≤＝，
当且仅当n＝2时等号成立，故λ≥.
11．(1)证明 设等差数列{a}的公差为d，
n
由a－b＝a－b，
2 2 3 3
得a＋d－2b＝a＋2d－4b，
1 1 1 1
即d＝2b；
1
由a－b＝b－a，
2 2 4 4
得a＋d－2b＝8b－(a＋3d)，
1 1 1 1
即a＝5b－2d，将d＝2b 代入，
1 1 1
得a＝5b－2×2b＝b，即a＝b.
1 1 1 1 1 1(2)解 由(1)知a＝a＋(n－1)d＝a＋(n－1)×2b＝(2n－1)a，b＝b·2n－1，
n 1 1 1 1 n 1
由b＝a ＋a，得b·2k－1＝(2m－1)a＋a，
k m 1 1 1 1
由a＝b≠0得2k－1＝2m，
1 1
由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|b＝
k
a ＋a,1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9.
m 1
12．(1)证明 因为是公差为的等差数列，
所以a－＝a－＋(n－1)×＝，
n 1
于是当n≥2时，
S－S －＝，
n n－1
所以－＝，
可见数列是首项为S＝a，公差为的等差数列，
1 1
于是＝a＋，S＝na＋，
1 n 1
又当n＝1时，S＝a，
1 1
所以对n∈N ，S＝na＋，
＋ n 1
当n≥2时，a＝S－S ＝a＋n－1，当n＝1时也成立，
n n n－1 1
因此a－a ＝1，
n n－1
则{a}是首项为a，公差为1的等差数列．
n 1
(2)解 因为a＝1，
1
且{a}的公差为1，所以a＝n，
n n
所以b＝max{2n，n2}＝
n
①当n≥4时，T＝1×21＋2×22＋3×32＋4×24＋…＋n·2n
n
＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n＋3，
令F＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
n
则2F＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，
n
所以－F＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
n
所以F＝(n－1)·2n＋1＋2，
n
所以当n≥4时，T＝(n－1)·2n＋1＋5，
n
②当n≤2时，T＝F＝(n－1)·2n＋1＋2，
n n
③当n＝3时，T＝T＝37(或直接分别求T＝2，T＝10，T＝37)．
n 3 1 2 3
综上，T＝
n
§6.7 子数列问题
1．解 (1)依题意，数列{a}满足a＝1，
n 1a ＝k∈N ，
n＋1 ＋
所以a＝a＋1＝，
2 1
a＝a－4＝－4＝－.
3 2
b＝a －2，a ＝b＋2，
n 2n 2n n
b ＝a －2＝a －2
n＋1 2n＋2 2n＋1＋1
＝a ＋2n＋1－2
2n＋1
＝a ＋2n－1
2n＋1
＝(a －4n)＋2n－1
2n
＝a －1＝(b＋2)－1
2n n
＝b.
n
所以数列{b}是首项为b＝a－2＝－2＝－，公比为的等比数列，
n 1 2
所以b＝－.
n
(2)a ＝2－，
2n
a ＝a －4n＝2－－4n，
2n＋1 2n
所以a＝2－－8，a＝2－－12，
5 7
a＝2－－16，
9
所以a＋a＋a＋a＋a＝1＋＋＋＋＝－.
1 3 5 7 9
2．解 (1)由题意，可得6a＝8a＋a，
3 1 5
所以6q2＝8＋q4，
解得q2＝4或q2＝2，
又q为正整数，所以q＝2，
又a＝2，所以a＝2n.
1 n
由2n2－(3＋b)n＋b＝0，
n n
得b＝2n.
n
(2)因为b＝2，所以a 与a 之间插入2个2，
1 1 2
b＝4，所以a 与a 之间插入4个2，
2 2 3
b＝6，所以a 与a 之间插入6个2，
3 3 4
…
则{c}的前100项，由90个2及a，a，a，…，a，a 构成，所以T ＝(a＋a＋…＋a )＋
n 1 2 3 9 10 100 1 2 10
2×90
＝＋180＝2 226.
3．(1)证明 由2S－na＝n，得2S －(n＋1)a ＝n＋1，
n n n＋1 n＋1
将上述两式相减，得2a －(n＋1)·a ＋na＝1，
n＋1 n＋1 n
即na－(n－1)a ＝1.
n n＋1∴ a ＝(n≥2)，
n＋1
∵－＝－ ＝－＝0(n≥2)，
∴数列(n≥2)是常数列．
(2)解 由(1)可知，当n≥2时，＝＝2，
∴a＝2n－1(n≥2)，
n
经检验，当n＝1时，a＝2n－1也适用，∴ a＝2n－1(n∈N )，
n n ＋
∴数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，
n
又数列{b}是以1为首项，3为公差的等差数列，
n
∴这两个数列的公共项所构成的新数列{c}是以1为首项，6为公差的等差数列，
n
∴{c}的前n项和为n×1＋×6＝3n2－2n.
n
4．解 (1)由S＝(n－1)2n＋1＋2，得a＝2，S ＝(n－2)2n＋2(n≥2)，
n 1 n－1
两式相减得a＝n·2n(n≥2)，
n
当n＝1时，代入上式，求得a＝2，
1
所以a＝n·2n(n∈N )．
n ＋
(2)由题知，b＝＝2n，所以数列{c}为22,23,25,26,28,29，…，
n n
它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列；
偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列，
所以T ＝(c＋c＋c＋…＋c )＋(c＋c＋c＋…＋c )＝＋
2 023 1 3 5 2 023 2 4 6 2 022
＝＋
＝.
第七章 立体几何与空间向量
§7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．B 2.A 3.A 4.B 5.D 6.B
7．AC [如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，
则SH⊥AB，
设底面边长为2a 米．
因为∠SHO＝30°，所以OH＝AH＝a米，OS＝a 米，SH＝a 米．
在Rt△SAH中，a2＋2＝21，
解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为×6×2×4＝24(平方米)．]
8．AC [依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝.
A项，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，故A正确；
B项，圆锥的侧面积为π××2＝2π，故B错误；
C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示，
则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，
则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，
故AD＝CD＝＝，
则AC＝2，故C正确；
D项，PD＝＝，
所以S ＝×2×＝2，故D错误．]
△PAC
9．72
10．12＋4
解析 如图，该棱长为的“半正多面体”的所有顶点恰为正方体各棱的中点，容易得到正方
体的棱长为2.
设该“半正多面体”的表面积为S，体积为V，则该“半正多面体”的表面由6个正方形和
8个等边三角形组成，所以其表面积S＝6×()2＋8××××＝12＋4，
则该“半正多面体”可以看作是棱长为2的正方体，在8个顶点处截去侧棱长为1的8个正
三棱锥得到的，所以其体积V＝23－8×××1×1×1＝.
11．282＋54
解析 由题意，该几何体侧面4个面的面积和为4×4×6＝96(cm2)，
底面积为6×6＝36(cm2)，
正方形EFGH的面积为3×3＝9(cm2)．
考虑梯形ABFE，
高为＝(cm)，故正四棱台的侧面积为4××(3＋6)×＝27(cm2)，
故该模型的表面积为96＋36＋9＋27＝(141＋27)cm2，
故所需金属膜的质量为
2×(141＋27)＝(282＋54)mg.
12．120＋24π 144＋18π
解析 魔方表面共有30个边长为2 cm的正方形，
故面积为30×22＝120(cm2)，
魔方表面共有6个半径为2 cm的扇形，
故面积为6×π·22×＝6π(cm2)，
魔方表面共有个圆柱的侧面9个，
故面积为9×2π·2×2×＝18π(cm2)，
故该魔方的表面积为120＋6π＋18π＝(120＋24π)cm2；
18个棱长为2 cm的正方体小块的体积为18×23＝144(cm3)，
9个底面半径为2 cm，高为2 cm的个圆柱小块的体积为π·22××2×9＝18π(cm3)，
故魔方体积为(144＋18π)cm3.
13．解 (1)因为S ＝2S ，
原图形 直观图
所以S ＝2S ＝6.
四边形OABC 直观图
(2)平面四边形OABC如图所示，在Rt△ODC中，有OC2＝OD2＋CD2＝(2)2＋12＝9，
所以OC＝3，所以AB＝3.
如图，分别过点B，C作OA及其延长线的垂线，垂足为E，F.
矩形FEBC绕OA及其延长线旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l＝BC＝3的圆柱；
1
Rt△BEA绕OA旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l ＝AB＝3，高h ＝AE＝1的圆
2 1
锥；
Rt△CFO绕OA及其延长线旋转一周得到一个底面半径 r＝OD＝2，母线l ＝OC＝3，高h
3 2
＝OF＝CD＝1的圆锥．
所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体．
则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体
积，
所以旋转形成的几何体的体积V＝πr2l －πr2l ＋πr2l ＝π×(2)2×3－π×(2)2×1＋π×(2)2×1＝
1 2 3
24π.
旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，所以S＝2πrl ＋πrl ＋πrl ＝2π×2×3＋π×2×3＋π×2×3＝24π.
1 2 3
14．(1)证明 作AE⊥DC，
E为垂足，
在等腰梯形ABCD中，设AD＝AB＝BC＝CD＝a(a>0)，
∴DE＝(CD－AB)＝a，∠ADE＝60°，
∴AC＝＝a，
∴AC2＋AD2＝DC2，∴AC⊥AD.
又PC⊥PD，平面ADP⊥平面PCD，平面ADP∩平面PCD＝PD，PC⊂平面PCD，∴PC⊥
平面ADP，
又AD⊂平面ADP，∴PC⊥AD，
∵AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面ACP，∴AD⊥平面ACP，
∵AP⊂平面ACP，∴AD⊥AP，
∴∠DAP＝90°，
即△ADP为直角三角形．
(2)解 由(1)知在等腰梯形ABCD中，AE＝.
S ＝×1×＝，
△ADC
S ＝×＝.
梯形ABCD
∴＝.∴＝.
又PC⊥平面ADP，△ADP为直角三角形，PD⊥PC，
∴DP＝＝，AP＝＝，
∴V ＝V ＝××1××1＝.
P－ADC C－ADP
∴V ＝V
P－ABCD P－ADC
＝×＝.
15．C [方法一 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2，
可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.
不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，
1 2 1
h，
2
则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，
所以2πr＝4π，2πr＝2π，得r＝2，r＝1.
1 2 1 2
由勾股定理得，h＝＝，
1
h＝＝2，
2
所以＝＝＝.
方法二 设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，h ，
1 2 1 2
侧面展开图的圆心角分别为n，n，
1 2
则由＝＝＝2，
得＝＝2.
由题意知n＋n＝2π，
1 2
所以n＝，n＝，
1 2
所以2πr＝l,2πr＝l，
1 2
得r＝l，r＝l.
1 2
由勾股定理得，h＝＝l，
1
h＝＝l，
2
所以＝＝＝.]
16．BD [因为PA⊥平面ABCD，BE∥PA，则BE⊥平面ABCD，
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥BE，
因为四边形ABCD为矩形，则BC⊥AB，
因为AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABEP，所以BC⊥平面ABEP，
同理可证CD⊥平面PAD，
故该几何体的体积为V＝V ＋V ＝××(1＋2)×1×2＋××1×2×2＝，故A错误；
C－ABEP P－ACD
取PA的中点F，连接EF，DF，
因为BE∥PA，PA＝2BE，F为PA的中点，
则AF∥BE且AF＝BE，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以EF∥AB，
又因为AB∥CD，则EF∥CD，
因为EF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD，
所以点E，F到平面PCD的距离相等，
所以V＝V ＝V ＝V ＝×1××1×2＝，
1 E－PCD F－PCD C－PDF
V＝V ＝V ＝××1×1×2＝，
2 E－PBC C－PBE因为BE∥PA，BE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，
所以BE∥平面PAC，所以点B，E到平面PAC的距离相等，
故V＝V ＝V ＝V ＝××2×1×2＝，
3 E－PAC B－PAC P－ABC
所以3V≠2V，V＝2V，V＋V＝V，故B，D正确，C错误．]
1 2 3 2 1 2 3
§7.2 球的切、接问题
1．C 2.A 3.C 4.C
5．A [将该多面体放入正方体中，如图所示．
由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，
因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，
所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线
长，即2R＝，所以R＝1，
所以该多面体外接球的体积V＝πR3＝.]
6．C [该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．
设圆锥的高为h(00，解得y＝2.
因为F为PC的中点，故V ＝V ＝V ，
三棱锥P－EFG 三棱锥C－EFG 三棱锥F－ECG
因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC，
所以△PAC为等腰直角三角形，
则在等腰直角三角形PAC中，易求得点P到AC的距离即点P到底面的距离为＝，
故点F到平面CEG的距离为，
S ＝S －S －S －S ＝2×2－×1×1－×2×1－×1×2＝4－－1－1＝，
△ECG ▱ABCD △AEG △CDG △CEB
故所求三棱锥的体积为××＝.]
7．AB [∵O∈AC，AC⊂平面ACC A，
1 1
∴O∈平面ACC A.
1 1
∵O∈BD，BD⊂平面C BD，∴O∈平面C BD，∴O是平面ACC A 和平面C BD的公共点，
1 1 1 1 1
同理可得，点M和点C 都是平面ACC A 和平面C BD的公共点，∴点C ，M，O在平面
1 1 1 1 1
C BD与平面ACC A 的交线上，即C ，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判
1 1 1 1
定定理可得BB 与C O为异面直线，故C ，O，B ，B四点不共面，故C不正确；根据异面
1 1 1 1
直线的判定定理可得DD 与MO为异面直线，故D ，D，O，M四点不共面，故D不正
1 1
确．]
8．ABD [将三棱锥补形为长方体，如图所示．
其中BE＝BN＝1，BF＝2，
所以AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，
连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，所以四边形AMFB为平行四边形，
所以AB∥MF，
又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正确；
长方体的体积V＝1×1×2＝2，
1
三棱锥E－ABC的体积V＝V ＝××1×2×1＝，
2 三棱锥A－BEC
同理，三棱锥N－ABD，三棱锥F－BCD，三棱锥M－ACD的体积也为，
所以三棱锥A－BCD的体积V＝2－4×＝，故B正确；
长方体的外接球的直径为＝，
所以长方体的外接球的半径为，
长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，
所以三棱锥A－BCD外接球的半径为，故C错误；
连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成
的角，
由已知OA＝AD＝，
OM＝MN＝，AM＝2，
所以cos∠AOM＝＝－，
所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故D正确．]
9．P∈l 10.3
11．60°
解析 在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
∵＝，
∴＝，
又＝，∴＝，
则GF∥CD，
∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角，
在△EGF中，EG＝AB＝2，GF＝CD＝1，EF＝，
∴cos∠EGF＝＝－，
∴∠EGF＝120°，
∴AB与CD所成角的大小为60°.
12．①②③
解析 如图所示，连接BD ，BD，DB ，EF，DE，DH，DF，DG，因为E，F分别为棱
1 1 1CC ，BB 的中点，所以EF∥BC，
1 1
又底面ABCD为正方形，
所以BC∥AD，所以EF∥AD，
所以四边形EFAD为梯形，所以DH与AE相交，DF与AE相交，故②③不可视；
因为BD∥DB，所以四边形BDDB是梯形，
1 1 1 1
所以BD与BD 相交，故①不可视；
1 1
因为EFAD为梯形，G为CF的中点，
即G∉EF，则D，E，G，A四点不共面，所以DG与AE不相交，
若DG与BD 相交，则D，B，G，D 四点共面，
1 1
显然D，B，B，D 四点共面，G∉平面DBB D，
1 1 1 1
所以D，B，G，D 四点不共面，即假设不成立，
1
所以DG与BD 不相交，即点G与点D可视，故④可视．
1
13．(1)证明 因为M∈AB，N∈AD，
AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，
所以MN⊂平面ABD，
因为E∈CB，F∈CD，CB⊂平面CBD，CD⊂平面CBD，
所以EF⊂平面CBD，
由于直线MN与直线EF相交于点O，即O∈MN，O∈平面ABD，
O∈EF，O∈平面CBD，
又平面ABD∩平面CBD＝BD，则O∈BD，所以B，D，O三点共线．
(2)解 连接BD，作BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示，
在△ABD中，点N，G分别是AD和BD的中点，且AB＝6，
所以GN∥AB，且GN＝AB＝3，在△CBD中，点E，G分别是BC和BD的中点，且DC＝4，
所以GE∥CD，且GE＝DC＝2，
则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的补角，
又NE＝2，由余弦定理得
cos∠EGN＝＝＝>0，
故异面直线AB与DC所成角的余弦值为.
14．解 (1)存在．当G为PA的中点时满足条件．
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，所以GE∥AB.
又AB∥DC，所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四点共面．
(2)因为E是PB的中点，
所以V ＝V ＝V .
三棱锥P－ACE 三棱锥B－ACE 三棱锥P－ACB
又S ＝AB·AD＝×2×1＝1，
△ABC
V ＝PC·S ＝，
三棱锥P－ACB △ABC
所以V ＝.
三棱锥P－ACE
15．ABC [对于A，连接DB，C D，AB，DB，
1 1 1 1
因为BC ∥AD，BC ⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以BC ∥平面ABD，
1 1 1
因为DB∥DB，DB⊄平面ABD，DB⊂平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以DB∥平面ABD，
1 1
又 DB∩BC ＝B，DB，BC ⊂平面 BDC ，所以平面 ABD∥平面 BDC ，又 DP⊂平面
1 1 1 1 1 1
BDC ，所以DP∥平面ABD，故A正确；
1 1 1
对于B，由点P在线段BC 上运动知平面ADP即平面ADC B，故点C到平面ADP的距离
1 1 1 1 1
不变，且△ADP的面积不变，所以三棱锥C－ADP的体积不变，故B正确；
1 1对于C，因为四边形DCC D 为正方形，则CD⊥C D，而AD⊥平面DCC D ，CD⊂平面
1 1 1 1 1 1 1
DCC D，所以CD⊥AD，
1 1 1
又AD∩C D＝D，AD，C D⊂平面ABC D，则CD⊥平面ABC D，
1 1 1 1 1 1 1
而DB⊂平面ABC D，因此DB⊥CD，同理DB⊥CA，
1 1 1 1 1 1
又CD∩CA＝C，CD，CA⊂平面ACD ，所以DB⊥平面ACD ，
1 1 1 1 1
又DB⊂平面PBD，则平面PBD⊥平面ACD ，故C正确；
1 1 1 1
对于D，由AD∥BC ，异面直线DP与AD 所成角即为DP与BC 所成角，
1 1 1 1
又△DBC 为等边三角形，当P与线段BC 的两端点重合时，DP与AD 所成角取最小值，
1 1 1
当P与线段BC 的中点重合时，DP与AD 所成角取最大值，故DP与AD 所成角的范围为，
1 1 1
故D错误．]
16．2
解析 设正方体ABCD－ABC D 的棱长为a，球O的半径为R，
1 1 1 1
则由正方体体对角线L＝a＝2R得R＝，
所以V ＝πR3＝π3＝4π，故a＝2，
球O
因为CC ∥AA，
1 1
所以AA 与AP所成角的正弦值也是，即sin∠AAP＝，
1 1
又因为AA⊥平面ABC D，AP⊂平面ABC D，所以AA⊥AP，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故sin∠AAP＝＝，
1
即＝，解得AP＝，
1
所以点P的轨迹是以A 为圆心，为半径的圆与四边形ABC D 内的一段弧，如图所示，
1 1 1 1 1
设正方形ABC D 的中心为O，连接OP，OO ，
1 1 1 1 1 1 1因为OA＝AC ＝×＝，
1 1 1 1
所以(OP) ＝OA－AP＝，
1 min 1 1 1
所以(OP) ＝＝＝，即(OP) ＝.
min min
§7.4 空间直线、平面的平行
1．C 2.B 3.C 4.D 5.D
6．B [如图，取 BC 的中点 M，BB 的中点 N，连接 AM，AN，MN，可以证明平面
1 1 1 1 1
AMN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．因为AM＝AN＝＝，MN＝＝，
1 1 1
所以当点P位于M，N点时，AP最大，当点P位于MN的中点O时，AP最小，此时AO
1 1 1
＝＝，所以≤|AP|≤，所以线段AP长度的取值范围是.]
1 1
7．AC [对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，
故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点
H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
图1
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，
图2
又D为BC的中点，∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．]
8．ACD [由题图，显然A正确，B错误；对于 C，因为 AD∥BC，BC∥FG，所以 AD∥FG 且 FG⊂平面 EFGH，AD⊄平面
1 1 1 1 1 1
EFGH，所以AD∥平面EFGH(水面)，故C正确；
1 1
因为水是定量的(定体积V)，
所以S ·BC＝V，
△BEF
即BE·BF·BC＝V，
所以BE·BF＝(定值)，故D正确．]
9. 10.矩形
11．A，B，C (答案不唯一)
1
12．①③
解析 对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正确；
对于②，取DF的中点G，连接EG，CG，
∵E是AD的中点，AF∥BC，AF＝BC，∴EG＝BC，EG∥BC，
∴四边形BCGE为梯形，
∴直线BE与直线CG相交，
∴BE与平面CDF相交，故②错误；
对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∴OE∥CD，
∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，
∴CD∥平面BEF，故③正确．
13．(1)证明 设AF＝tAC，
则BF＝BA＋AF＝(1－t)BA＋tBC，AO＝－BA＋BC，
因为BF⊥AO，所以BF·AO＝[(1－t)BA＋tBC]·
＝(t－1)BA2＋tBC2＝4(t－1)＋4t＝0，
解得t＝，则F为AC的中点，
又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，于是EF∥PC，DO∥PC，
所以EF∥DO，
又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
(2)解 如图，连接DE，OF，过P作PM垂直于OF，交FO的延长线于点M，
因为PB＝PC，O是BC中点，
所以PO⊥BC，
在Rt△PBO中，PB＝，
BO＝BC＝，
所以PO＝＝＝2，
因为AB⊥BC，OF∥AB，
所以OF⊥BC，
又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF，
又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，
又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，
即三棱锥P－ABC的高为PM，
因为∠POF＝120°，
所以∠POM＝60°，
所以PM＝POsin 60°＝2×＝，
又S ＝AB·BC
△ABC
＝×2×2＝2，
所以V ＝S ·PM＝×2×＝.
三棱锥P－ABC △ABC
14．(1)证明 连接BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，由题意可得，G是线段BD的中点，则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF.
(2)解 存在，P是线段CD的中点，理由如下：
由(1)可知，GH∥BF，
GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP，
∴BF∥平面GHP，连接PG，PH，
∵P，H分别是线段CD，DF的中点，则HP∥CF，
HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，
∴CF∥平面GHP，
BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，
故平面GHP∥平面BCF.
15．AB [对于A，因为点 B在平面 AECD外，点 D在平面 AECD内，直线EC在平面
AECD内，直线EC不过点D，所以直线BD与EC是异面直线，即直线BF与EC是异面直
线，所以B，E，C，F四点不共面，故A正确；
对于B，如图，当点F为线段BD的中点，EC＝AD时，直线CF∥平面BAE，证明如下：
取AB的中点G，连接GE，GF，
则EC∥FG且EC＝FG，
所以四边形ECFG为平行四边形，
所以FC∥EG，又因为EG⊂平面BAE，则直线CF与平面BAE平行，故B正确；
对于C，在三棱锥B－ADC中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化，
所以三棱锥B－ADC的体积不是定值，故C不正确；
对于D，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，
所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，
若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，
且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，
所以BE⊥AE，
与△ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D
不正确．]
16．(1)2 (2)
解析 如图，分别取BC，BC 的中点F，G，连接EF，FG，EG，
1 1则四边形BFGB 为平行四边形，所以BB∥FG，
1 1
因为E为CD的中点，所以EF∥BD，
因为EF，FG⊄平面BDD B ，BD，BB⊂平面BDD B ，所以EF∥平面BDD B ，FG∥平面
1 1 1 1 1 1 1
BDD B，
1 1
因为EF∩FG＝F，
所以平面EFG∥平面BDD B，
1 1
(1)因为平面EFG∩平面BCC B ＝FG，且点P在四边形BCC B 内部及其边界上运动，EP∥
1 1 1 1
平面BDD B，所以点P的轨迹是FG，
1 1
因为FG＝BB＝2，所以动点P的轨迹长度为2.
1
(2)因为AB⊥平面BCC B，BP⊂平面BCC B，
1 1 1 1
所以AB⊥BP，
在Rt△ABP中，AB＝2，∠BAP＝30°，
则tan∠BAP＝＝，
所以BP＝AB＝，
所以点P的轨迹是以B为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为，
所以动点P的轨迹长度为×＝.
§7.5 空间直线、平面的垂直
1．B 2.D 3.A 4.C
5．C [设正方体的棱长为a，
则由题意知，AC ＝AC＝a，AB＝a，AC＝a，当点P为AA的中点时，因为PA⊥平面
1 1 1 1 1
ABC，则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.
由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，
则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，即此时四面体P－ABC是鳖臑；
当点P为AB的中点时，
1
因为BC⊥平面ABBA，
1 1
所以BC⊥PB，BC⊥AB，
所以△PBC，△ABC为直角三角形．因为四边形ABBA 是正方形，所以AP⊥BP，则△PAB是直角三角形，
1 1
又AP⊥BC，BP∩BC＝B，
所以AP⊥平面PBC，
又PC⊂平面PBC，所以AP⊥PC，
所以△PAC是直角三角形，
则此时四面体P－ABC是鳖臑；
当点P为AC的中点时，
1
此时PA＝PC＝AC＝，
1
又AC＝a，由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，
则此时四面体P－ABC不是鳖臑．]
6．C [取BC的中点为E，△BCD的中心为G，连接AE，DE，CG，AG，
因为AB＝AC，BD＝CD，则AE⊥BC，DE⊥BC，
可得二面角A－BC－D的平面角为∠AED，即∠AED＝60°，
因为三棱锥 A－BCD 为正三棱锥，则 AG⊥平面 BCD，且 DE，CG⊂平面 BCD，则
AG⊥DE，AG⊥CG，
可得AG＝EG，CG＝DG＝2EG，
由AG⊥平面BCD，可知AC与平面BCD所成的角为∠ACG，
所以tan∠ACG＝＝＝.]
7．AD [如图所示，因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为底面ABCD是矩形，
所以CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确；
因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又PC∩平面PAD＝P，
所以AB与PC不垂直，故B错误；因为底面ABCD是矩形，
所以BD与AC不一定垂直，
则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；
因为点E，F分别是棱PA，PB的中点，所以EF∥AB，
又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D四点共面，故D正确．]
8．ABC [对于A，∵E为AB的中点，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形EBCD为平行四边形，
又AB⊥BC，∴四边形EBCD为矩形，∴CD⊥DE.
∵PD＝AD＝＝2，CD＝2，PC＝2，
∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，
又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面EDP，∴CD⊥平面EDP，A正确；
对于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，
∴AE⊥DE，即PE⊥DE，
∵CD⊥平面EDP，PE⊂平面EDP，∴CD⊥PE，
又CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面EBCD，
∴PE⊥平面EBCD，
∵矩形EBCD的外接圆半径r＝×＝，
∴四棱锥P－EBCD的外接球半径R＝＝＝，
∴四棱锥P－EBCD外接球的体积V＝πR3＝4π，B正确；
对于C，∵CD⊥平面EDP，PD⊂平面EDP，∴PD⊥CD；
又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角为∠PDE，
∵PE⊥DE，PE＝DE＝2，
∴∠PDE＝，∴二面角P－CD－B的大小为，C正确；
对于D，∵CD⊥平面EDP，
∴∠CPD即为直线PC与平面EDP所成的角，
∵CD⊥PD，PD＝2，CD＝2，
∴tan∠CPD＝＝＝，
即直线PC与平面EDP所成角的正切值为，D错误．]
9．2 10.
11．DM⊥PC(或MB⊥PC)
解析 连接AC，因为底面ABCD各边都相等，
所以AC⊥BD，
因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
所以PA⊥BD，
又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有 PC⊥平面
MBD，
而PC⊂平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
12．(0,1]
解析 因为C C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C C⊥ED，
1 1
由EC ⊥ED，EC ∩C C＝C ，EC ，C C⊂平面ECC ，
1 1 1 1 1 1 1
可得ED⊥平面ECC ，
1
所以ED⊥EC，
在矩形ABCD中，设AE＝a,0≤a≤2，则BE＝2－a，
由∠DEA＋∠CEB＝90°，
可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1，
即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，
当a＝1时，t2取得最大值1，
即t的最大值为1；
当a＝0或2时，t2取得最小值0，
但由于t>0，所以t的取值范围是(0,1]．
13．证明 (1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°.又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，
即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面
PBD.
(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.
又BP⊥PD，PD∩CD＝D，
所以BP⊥平面PCD.
又BP⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD.
14．(1)证明 连接PC，交DE于点N，连接MN，
∵四边形PDCE为矩形，
∴N为PC的中点，
在△PAC中，M，N分别为PA，PC的中点，∴MN∥AC，
∵MN⊂平面MDE，AC⊄平面MDE，
∴AC∥平面MDE.
(2)解 ∵∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠PBA是直线PB与直线CD所成的角．
∵四边形PDCE为矩形，
∴PD⊥CD，
∵平面PDCE⊥平面ABCD，
又PD⊂平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵AD，AB⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥AB，
在Rt△PDA中，∵AD＝1，PD＝，∴PA＝，
∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，
又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
∵PA⊂平面PAD，∴AB⊥PA，在Rt△PAB中，∵AB＝1，
∴tan∠PBA＝＝，
∴∠PBA＝，
从而直线PB与直线CD所成的角为.
(3)解 l与平面ABCD垂直．证明如下：
∵四边形PDCE为矩形，∴EC∥PD，
∵PD⊂平面PAD，EC⊄平面PAD，
∴EC∥平面PAD，EC⊂平面EBC，
∵平面PAD∩平面EBC＝l，
∴EC∥l，则l∥PD，
由(2)可知PD⊥平面ABCD，
∴l⊥平面ABCD.
15．ABD [A项，如图，连接BD，
1 1
由正方体可得AC ⊥BD，
1 1 1 1
且BB⊥平面ABC D，
1 1 1 1 1
又AC ⊂平面ABC D，则BB⊥AC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为BD∩BB＝B，BD，BB⊂平面BDB，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AC ⊥平面BDB，
1 1 1 1
又BD⊂平面BDB，
1 1 1
所以AC ⊥BD.
1 1 1
同理，连接AD，易证得AD⊥BD，
1 1 1
因为AD∩AC ＝A，AD，AC ⊂平面AC D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BD⊥平面AC D，故A正确；
1 1 1
B项， ＝ ，
因为点P在线段BC上运动，
1
所以 ＝AD·AB为定值，
1
且C 到平面APD的距离即为C 到平面ABCD的距离，也为定值，
1 1 1 1 1
故三棱锥P－AC D的体积为定值，故B正确；
1 1
C项，当点P与线段BC的端点重合时，AP与AD所成角取得最小值，最小值为，故 C错
1 1误；
D项，因为直线BD⊥平面AC D，
1 1 1
所以若直线C P与平面AC D所成角的正弦值最大，则直线C P与直线BD 所成角的余弦值
1 1 1 1 1
最大，
即点P运动到BC中点处，直线C P与直线BD 所成角为∠C BD，
1 1 1 1 1
设正方体棱长为1，在Rt△DC B中，cos∠C BD＝＝＝，故D正确．]
1 1 1 1
16．2 3
解析 如图所示，
延长CG交AD 于点F，连接BF，则F为AD 的中点，如图所示，
1 1
因为GE∥平面DAB，GE⊂平面CBF，平面CBF∩平面DAB＝BF，所以GE∥BF，
1 1
因为点G为△DAC的重心，
1
所以CG＝2GF，
所以CE＝2EB，λ＝2.
取CA的中点O，连接OB，GB，GO，OD ，
1
则OB⊥AC，
设正方形ABCD的边长为2，
因为GE∥BF，GE⊥DA，
1
所以BF⊥DA，
1
又F为AD 的中点，
1
所以AB＝DB＝2，
1
在Rt△ABC中，AC＝2，OB＝AC＝，
同理可得，DO＝，
1
因为DO2＋OB2＝DB2，
1 1所以OB⊥DO，
1
又AC∩DO＝O，
1
所以OB⊥平面DAC，
1
则GO为GB在平面DAC上的射影，
1
所以∠OGB或其补角为直线GB与平面DAC所成的角，
1
在Rt△OGB中，GO＝DO＝，
1
tan∠OGB＝＝3.
§7.6 空间向量的概念与运算
1．D 2.A 3.B 4.B 5.A
6．C [由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直
角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4，0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0，0,0)，B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，00)，则C(a,0,0)，P(0,0，)，A(－a,0,0), B(a，2，0)，
AB＝(2a,2，0)，AP＝(a,0，)，
易得平面PAC的一个法向量为 n＝(0,1,0)，
1
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
2
由
取x＝，得y＝－a，z＝－a，
故n＝(，－a，－a)，
2
由|cos〈n，n〉|＝＝＝，得a＝，
1 2
则PC＝(，0，－1)，AB＝(2，2,0)，
设异面直线PC与AB所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈PC，AB〉|＝＝＝，
所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为.
§7.8 空间距离及立体几何中的探索性问题
1．(1)证明 ∵三棱柱ABC－ABC 的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，
1 1 1
∴以A为坐标原点，以AB，AC，AA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空
1
间直角坐标系，
∵AB＝AC＝AA＝1，E，F分别是棱C C，BC的中点，∴A(0,0,0)，B(1,0,1)，E，F，
1 1 1
B1F＝，AE＝，
AF＝，
∵B1F·AE＝0，B1F·AF＝0，
∴B1F⊥AE，B1F⊥AF，
∴BF⊥AE，BF⊥AF，
1 1
∵AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴BF⊥平面AEF.
1
(2)解 方法一 ∵A(0,0,1)，
1
∴AB＝(1,0,0)，
1 1又BE＝，
1
∴点A 到直线BE的距离
1 1
d＝
＝＝.
方法二 ∵A(0,0,1)，
1
∴A1B1＝(1,0,0)，
B1E＝，
∴cos〈A1B1，B1E〉＝＝－，
∴sin〈A1B1，B1E〉＝，
故点A 到直线BE的距离为
1 1
d＝|A1B1|·sin〈A1B1，B1E〉＝.
2．(1)证明 连接AB，∵AA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
1 1
∴AA⊥AB，AA⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，
1 1
设AM＝a，a∈[0,1]，
1
则A(0,0,0)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,0,1)，M(0，a,1)，
1 1
BM＝(－1，a,1)，AB1＝(1,0,1)，
∵BM·AB1＝0，∴BM⊥AB1，
∴BM⊥AB.
1
(2)解 设平面BCM的法向量n＝(x，y，z)，
由(1)知BM＝(－1，a,1)，
BC＝(－1,1,0)，AB1＝(1,0,1)，
∴
取x＝1，得n＝(1,1,1－a)，
∵直线AB 与平面BCM所成的角为，
1
∴sin ＝|cos〈AB1，n〉|＝＝＝，
解得a＝，∴n＝，
∵A1B＝(1,0，－1),
∴点A 到平面BCM的距离
1d＝＝＝.
3．解 (1)在菱形 ABCD 中，∠B＝60°，BE＝EC＝1，由余弦定理得 AE2＝AB2＋BE2－
2AB·BE·cos 60°＝3，所以AE＝，
所以BE2＋AE2＝AB2，即AE⊥BC，
又AD∥BC，所以AE⊥AD，
在题图2中，∠DAB′＝90°，
即AD⊥AB′，
又AB′∩AE＝A，AB′，AE⊂平面AB′E，所以AD⊥平面AB′E，
即EC⊥平面AB′E，
又B′E⊂平面AB′E，所以B′E⊥EC，
如图，以E为原点，以EC，EA，EB′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，C(1,0,0)，D(2，，0)，B′(0,0,1)，A(0，，0)，
所以AB′＝(0，－，1)，CD＝(1，，0)，
故|cos〈AB′，CD〉|＝＝＝，
则异面直线AB′与CD所成角的余弦值为.
(2)由(1)得AC＝(1，－，0)，
设m＝(x，y，z)是异面直线AB′与CD公垂线的方向向量，
所以⇒
⇒
令y＝1，则m＝(－，1，)，
所以异面直线AB′与CD之间的距离为＝＝.
4．(1)证明 ∵△ABC是正三角形，E为AC的中点，
∴BE⊥AC.
又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.
∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BE⊥平面PAC.
∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAC.
(2)解 存在．
由(1)及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，
∵点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.
又BE⊥AC，
∴EB，EC，EF两两垂直．
以E为坐标原点，以EB，EC，EF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，BP＝(－2，－2，2)，AB＝(2，2,0)．
设BG＝λBP＝(－2λ，－2λ，2λ)，λ∈[0,1]，
∴AG＝AB＋BG＝(2(1－λ)，2(1－λ)，2λ)，
BC＝(－2，2,0)，PC＝(0,4，－2)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝，z＝2，
∴n＝(1，，2)．
由已知得＝|cos〈AG，n〉|＝，
即＝，
解得λ＝或λ＝(舍去)，
故λ＝，
∴存在满足条件的点G，点G为PB的中点．
5．解 建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意设点
P(0，t,2)，0≤t≤2，则E(1,1,0)，F(2,2,1)，
C(0,2,0)，
(1)PE＝(1,1－t，－2)，EF＝(1,1,1)，
CF＝(2,0,1)，
设平面EFC的法向量为m＝(x，y，z)，则
令x＝1，得z＝－2，y＝1，
∴m＝(1,1，－2)，
若存在满足题意的点P，则PE∥m，
∴＝1，∴t＝0，满足0≤t≤2，即P与D 重合时，PE⊥平面EFC，此时C P＝2.
1 1
(2)易知平面BCC B 的一个法向量为n＝(0,1,0)，
1 1
设平面PEF的法向量为r＝(x，y，z)，
0 0 0
又PF＝(2,2－t，－1)，EF＝(1,1,1)，
∴
令y＝1，则x＝－1，z＝－，
0 0 0
∴r＝，
设平面BCC B 与平面PEF的夹角为θ，
1 1
则cos θ＝|cos〈n，r〉|
＝
＝，0≤t≤2，
∴当t＝时，(cos θ) ＝，
max
(sin θ) ＝.
min
此时C P＝2－＝.
1
6．(1)证明 ∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PDC.
(2)解 ∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3，
∴BC＝＝2，
又PB＝PC＝3，
∴点P到直线BC的距离为＝2，
∵平面PBC⊥平面ABCD，
∴点P到平面ABCD的距离为2.
以D为原点，以DA，DC及平面ABCD过D的垂线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系(图略)．
∴A(4,0,0)，B(4,5,0)，C(0,3,0)，P(2,4,2)，
∴PB＝(2,1，－2)，AB＝(0,5,0)，CB＝(4,2,0)，
设平面APB的法向量为m＝(x，y，z)，
1 1 1
则
令x＝1，则y＝0，z＝1，
1 1 1则m＝(1,0,1)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2 2
则
令x＝1，则y＝－2，z＝0，
2 2 2
则n＝(1，－2,0)，
设平面APB与平面PBC的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝.
∴平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.
(3)解 假设棱BC上存在点Q到平面APB的距离为，
设CQ＝λCB＝λ(4,2,0)＝(4λ，2λ，0)，λ∈[0,1]，
∴Q(4λ，2λ＋3,0)，
∴AQ＝(4λ－4,2λ＋3,0)，
由(2)知平面APB的一个法向量为m＝(1,0,1)，
∴点Q到平面APB的距离
d＝＝＝，
∴|4λ－4|＝，∴λ＝1－，
∴棱BC上存在点Q到平面APB的距离为，＝1－.
§7.9 立体几何中的截面、交线问题
1．D 2.D
3．B [如图所示，在三棱锥P－ABC中，过E分别作EF∥AB，EH∥PC，
再分别过点H，F作HG∥AB，FG∥PC，可得E，F，G，H四点共面，
因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，
同理可证，PC∥平面EFGH，
所以截面即为平行四边形EFGH，
又由E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB＋2PC＝9，
所以EF＝AB，EH＝PC，
所以平行四边形EFGH的周长为2(EF＋EH)＝(AB＋2PC)＝6.]
4．D [如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯形MNCA，其中MN＝，AC＝2，AM＝
CN＝，
高为h＝＝，故面积为×(＋2)×＝.]
5．C [截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，
设正四棱锥的底面正方形边长为a，则2a2＝16，所以a＝2，
正四棱锥的底面正方形的面积为(2)2＝8，
由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似，
设圆面中挖去一个正方形的面积为S′，正四棱锥的底面正方形的面积为S，则＝＝，从而
S′＝2，
所以截面图形的面积为4π－2.]
6．B [如图，在AB上取点Q，且BQ＝3AQ，取CD的中点P，连接QM，BP，NP，BQ.
1
在DD 上取点R，且DR＝3DR，连接NR，MR.
1 1
因为＝＝，∠QAM＝∠PCB，
所以△QAM∽△PCB，
所以∠AQM＝∠BPC.
又AB∥CD，所以∠ABP＝∠BPC，
所以∠ABP＝∠AQM，所以QM∥BP.
因为N，P分别为C D，CD的中点，
1 1
所以PN∥CC ，且PN＝CC .
1 1根据正方体的性质，可知BB∥CC ，且BB＝CC ，
1 1 1 1
所以PN∥BB，且PN＝BB，
1 1
所以四边形BPNB 是平行四边形，
1
所以BN∥BP，所以BN∥QM.
1 1
同理可得NR∥BQ.
1
所以五边形QMRNB 即为所求正方体的截面．]
1
7．BC [对于A，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝
角三角形．如图所示的截面为△ABC.设DA＝a，DB＝b，DC＝c，所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2
＋b2，BC2＝b2＋c2.
所以由余弦定理得，cos∠CAB＝＝>0，
所以∠CAB为锐角．同理可求，∠ACB为锐角，∠CBA为锐角．所以△ABC为锐角三角形，
故A不符合题意；
对于B，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，
不可能是直角梯形，故B符合题意；
对于C，如图，当截面为五边形时，不可能出现正五边形，故C符合题意；
对于D，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形，故D不符合题意．]
8．ACD [如图所示，建立空间直角坐标系，设CE＝DF＝AH＝m，m∈[0,2]，
1则D(0,0,0)，E(m，2,0)，F(0，m，2)，H(2,0，m)，B(2,2,2)，
1
DB1·EF＝(2,2,2)·(－m，m－2,2)＝－2m＋2m－4＋4＝0，
故DB1⊥EF，即DB⊥EF，
1
同理可得DB⊥EH，EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFH，故DB⊥平面EFH，故A正确；
1 1
平面EFH的一个法向量为DB1＝(2,2,2)，
点D到平面EFH的距离为|DH|·|cos〈DH，DB1〉|＝＝＝1，解得m＝－2，不满足题意，故B
错误；
设平面 EFH 分别与 AD ，AB，CC 交于 P，Q，R，设 P(p,0,2)，则PF·DB1＝(－p，
1 1 1
m,0)·(2,2,2)＝－2p＋2m＝0，p＝m，即P(m,0,2)，
同理可得，Q(2，m,0)，R(0,2，m)，
故|HR|＝|PE|＝|FQ|＝2，PF∥HR∥QE，
如图，过点P作PM⊥HR于M，EN⊥HR于N，
则|PM|＝(2－m)，|EN|＝m，
截面面积为S＝(m＋2)×(2－m)＋×(2＋2－m)×m＝－(m－1)2＋3，当m＝1时有最大值为
3，故C正确；
截面的周长为m＋(2－m)＋m＋(2－m)＋m＋(2－m)＝6，为定值，故D正确．]
9．130
10．3＋
解析 由题意可知过A，M，C 三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC 的周长，
1 1
因为直三棱柱ABC－ABC 的各侧面均为矩形，所以AC ＝＝，
1 1 1 1
直三棱柱ABC－ABC 的侧面部分展开图如图所示，则在矩形ACC A 中，AM＋MC ≥AC
1 1 1 1 1 1 1
＝＝3，
所以过A，M，C 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3＋.
1§7.10 立体几何中的动态、轨迹问题
1．B 2.B
3．B [如图，取BC 的中点D，BB 的中点E，
1 1 1
连接MD，DE，ME，
由MD∥AB∥AB，DE∥BC ，
1 1 1
又MD⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
1 1
所以MD∥平面ABC，
1
同理可得DE∥平面ABC，又MD∩DE＝D，MD，DE⊂平面MDE，
1
所以平面MDE∥平面ABC，
1
又MN∥平面ABC，
1
故点N的轨迹为线段DE，
又由DE＝BC ＝2，可得BC ＝4.]
1 1
4．D [如图，在侧棱AA 上取一点R，使得AR＝2RA，连接PR，BR，
1 1
过点A作AN⊥BR交BR于点M，交BB 于点N，连接AC，CN，BD，
1
由PR∥AD，可知PR⊥AN，BR，PR⊂平面BPR，BR∩PR＝R，
从而AN⊥平面BPR，BP⊂平面BPR，
所以BP⊥AN，
又由BP在平面ABCD内的射影BD⊥AC，所以BP⊥AC，AN，AC⊂平面ACN，AN∩AC＝
A，
知BP⊥平面ACN，CN⊂平面ACN，
所以BP⊥CN，
所以动点Q的轨迹为线段CN，
在Rt△ABN，Rt△RAB中，∠BAN＝∠ARB，
所以Rt△ABN∽Rt△RAB，则＝，得BN＝，
易得CN＝＝＝.]
5．C [取AD 的中点M，连接AM，BM，AB ，EM，FM，如图所示，在正方体ABCD－
1 1 1 1
ABC D 中，AD∥BC 且AD＝BC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为E，F分别是棱AD，BC 的中点，则AE∥BF且AE＝BF，
1 1 1 1
所以四边形ABFE为平行四边形，则AB∥EF，
1 1
因为AB⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，
1
所以AB∥平面BEF，
1
同理可证AM∥平面BEF，
因为AB∩AM＝A，AB，AM⊂平面ABM，
1 1 1
所以平面ABM∥平面BEF，
1
因为AM⊂平面AADD，
1 1
若P∈AM，则BP⊂平面ABM，
1 1
所以BP∥平面BEF，
1
所以点P在侧面AADD内的轨迹为线段AM，
1 1
由勾股定理可得AM＝＝.]
6．D [连接AC，BD交于点O，连接OB′，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC，△ACD，△AB′C均为正三角形，
所以∠B′OD为二面角B′－AC－D的平面角，于是∠B′OD＝60°，
又因为OB′＝OD，
所以△B′OD为正三角形，
所以B′D＝OB′＝OD＝2×＝，
取OC的中点P，取CD的中点Q，连接EP，EQ，PQ，所以PQ∥OD，EP∥OB′，所以
AC⊥EP，AC⊥PQ，EP∩PQ＝P，所以AC⊥平面EPQ，
所以在三棱锥B′－ACD表面上，满足AC⊥EF的点F轨迹为△EPQ，因为EP＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′D，
所以△EPQ的周长为3×＝，
所以点F轨迹的长度为.]
7．ACD [因为该球的表面积为4πr2＝12π，
故半径r＝，
且正方体的棱长满足(2r)2＝3a2＝12，故棱长a＝2，
选项 A，由题意可知平面 ABCD∥平面 ABC D ，且 PA∥平面 ABC D ，故 PA⊂平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ABCD，则P的轨迹为正方形ABCD的外接圆，故有无数个点P满足，故A正确；
选项B，易知AC ⊥平面CB D ，且平面PAA⊥平面CB D ，PA⊂平面PAA ，故P的轨迹为
1 1 1 1 1 1 1
矩形AAC C的外接圆，其周长为2πr＝2π，故B错误；
1 1
选项C，因为PA∥平面ABCD，设过PA且与平面ABCD平行的平面为α，则P的轨迹为
1 1 1 1
α与外接球的交线，其半径为＝1，周长为2π，故C正确；
选项D，若平面PAD⊥平面PBC，则点P在以四边形ABCD为轴截面的某个圆柱面上，该
圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点P满足，故D正确．]
8．BCD [如图，建立空间直角坐标系，则D(0,1,0)，C (1,1,1)，
1
∵直线AM与AB的夹角为，当点M在侧面AADD上时，AB⊥AM，不合题意；
1 1
当点M在底面ABC D 和侧面CC DD(不包含边界)上时，点M到直线AB的距离大于AB的
1 1 1 1 1 1
长度，此时，AM与AB的夹角大于；
当点M在侧面AABB和底面ABCD上时，可知线段AB，AC满足题意；
1 1 1
当点M在侧面BCC B 上时，由AB⊥BM，可知BM＝AB，此时弧BC为所求．
1 1 1
∴M点的轨迹为线段AC，AB，弧BC，显然线段AC，AB，弧BC不共面，∴A错误；
1 1 1 1
对于B，点M的轨迹长度为＋2，∴B正确；
对于C，若M在线段AC上，则C M的最小值为1，同理，若M在线段AB 上，则C M的最
1 1 1
小值也为1，若M在弧BC上，则C M的最小值为C B－1＝－1，∴C正确；
1 1 1
对于D，M(1，y，z)(0≤y≤1,0≤z≤1)，且y2＋z2＝1，由题意设N(λ，λ，λ)，λ∈[0,1]，则AN＋MN＝λ＋≥λ＋＝λ＋(1－λ)＝1，
当且仅当y＝z＝λ，且y2＋z2＝1，即y＝z＝λ＝时，等号成立，∴D正确．]
9.
解析 如图所示，取 BC 中点 G，连接 MG，NG，由正方体的特征可知，MG⊥底面
ABCD，
故MN与底面ABCD的夹角即为∠MNG，所以∠MNG＝，
则＝tan ⇒NG＝，
故点N在以G为圆心，为半径的圆上，又N在底面正方形ABCD上，即点N的轨迹为图示
中的圆弧EF，易知＝＝⇒∠EGB＝⇒∠EGF＝π－－＝，
所以动点N的轨迹长度为×＝.
10.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，C(0,8,0)，E(6,0,0)，B(6,4,0)，设
P(x,0，z)，
则PD＝(－x,0，－z)，PC＝(－x,8，－z)，PE＝(6－x,0，－z)，PB＝(6－x,4，－z)，
∴cos∠EPB＝cos〈PE，PB〉＝＝，
cos∠DPC＝cos〈PD，PC〉＝
＝，
∵∠EPB＝∠DPC，
∴cos∠EPB＝cos∠DPC，
∴
＝，
整理化简得x2＋z2－16x＋48＝0，
即(x－8)2＋z2＝16，∴点P的轨迹为圆弧，所在圆交A′E于P(6,0,2)，交DE于P(4,0,0)，
1 2
则|P1P2|＝＝4，
∴P1P2所对应的圆心角α＝，
∴弧长l＝αr＝×4＝，即点P的轨迹长度为.第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.1 直线的方程
1．A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D
7．ABD [若ab>0，则直线l的斜率－<0，故A正确；
若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确；
将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；
若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正确．]
8．CD [对于A，如倾斜角为的直线的斜率为－，而倾斜角为的直线的斜率为，故A错误；
对于B，当两直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故B错误；
对于C，当x ＝x 时，经过P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程为x＝x ，此时适合(y－y)(x －
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2
x)＝(x－x)(y－y)；
1 1 2 1
当y ＝y 时，经过P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程为y＝y ，此时适合(y－y)(x －x)＝(x－
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1
x)(y－y)；
1 2 1
当x≠x ，y≠y 时，经过P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程为＝，也即(y－y)·(x －x)＝(x－
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1
x)(y－y)，
1 2 1
故经过任意两个不同的点P(x，y)，P(x，y)的直线方程可以表示为(y－y)(x－x)＝(x－x)
1 1 1 2 2 2 1 2 1 1
(y－y)，故C正确；
2 1
对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝
b，即k＝－，故D正确．]
9.
10．y＝－x或x－y＋8＝0
11．(0，－2) [1,3]
12．16
解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，
又因为C(－2，－2)在该直线上，
故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a<0，b<0.
根据均值不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4
时取等号，即ab的最小值为16.
13．解 (1)因为sin α＝，
所以k＝tan α＝±，则所求直线方程为y－2＝±(x－1)，
即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.
(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，
可设直线方程为＋＝1，
代入点A(1,3)，可得＋＝1，
解得m＝2或m＝4，
所以所求直线方程为＋＝1或＋＝1，
即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.
(3)直线斜率k＝＝－1，
则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.
14．解 (1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；
当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝x＋＋1，
要使直线不经过第一象限，
则解得－2≤k<0.
综上，k的取值范围为[－2,0]．
(2)由题意可得k>0，
由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，令x＝0得y＝，
所以S＝|OA||OB|
＝··(2＋k)
＝≥＝4，
当且仅当k＝，即k＝2时取等号，
此时S ＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.
min
15．3x－y－5＝0(答案不唯一)
解析 当过A(2,1)的直线将圆1与圆2平分，过B(3,4)的直线将圆3与圆4平分时，L划分为
面积相等的两个区域且k ＝＝3，
AB
∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，
即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．
16．6
解析 由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为≥2，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，
当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号，即|PA|＋|PB|的最大值为6.
§8.2 两条直线的位置关系
1．C 2.D 3.D 4.B 5.C
6．B [要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，
则＝，解得m＝4；
若mx＋y＝0,2x－3my－4＝0平行，
则＝，无解；
若4x＋y－4＝0,2x－3my－4＝0平行，则＝，解得m＝－；
若三条直线交于一点，
可得m＝或m＝－1，
经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．]
7．AC
8．ABD [如图，取AB的中点为P(x，y)，
因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，
则k ＝＝－1，且x－y＝1，
CP
解得则AB的中点P的坐标为(3,2)，故A正确；
|CP|＝＝，
|AB|＝2|CP|＝2，故B正确；
所以S ＝|AB||CP|＝×2×＝2，故C错误；
△ABC
设点C关于直线AB的对称点为点C ，则CC 的中点为点P，
1 1即x ＝ ＝3，所以 ＝4，
P
所以 ＝－1，解得 ＝1，
即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)，故D正确．]
9．－2 10.
11．[0,2]
解析 直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，
由解得
所以直线过定点P(9，－4)，
当AP与直线垂直时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为
d＝＝2，
当点A在直线上时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最小值为0，
故点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是[0,2]．
12．x－2y＋4＝0
解析 如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点
A′(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点D′(－4,4)，所以BC所在直线的方程为
y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0，
令x＝0，则y＝2，
所以C点坐标为(0,2)，
所以CD所在直线的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.
13．解 (1)由题意，得＝4，|3a－26|＝20，
解得a＝2或a＝.
(2)设点P(－3b，b)，
由题意，得|OP|＝＝.
点P到直线x＋3y－2＝0的距离为＝，
所以＝，解得b＝±.
即点P的坐标为或.
14．解 (1)设点B(x，y)，由AB中点在2x－y－5＝0上，
0 0
可得2×－－5＝0，即2x－y－1＝0，
0 0
又x－2y－5＝0，
0 0
联立
解得即点B(－1，－3)．
(2)设点A关于x－2y－5＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则有
解得即A′，
∴BC边所在的直线方程为y＋3＝(x＋1)，即6x－17y－45＝0.
15.
解析 以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，因为△ABC
为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则l ：x＋y－2＝0，点P(1,0)，所以点P
BC
关于y轴的对称点为P(－1,0)，设点P关于直线l ：x＋y－2＝0的对称点为P(x ，y)，则
1 BC 2 0 0
＝1且＋－2＝0，解得x ＝2，y ＝1，即P(2,1)，则|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|
0 0 2 2 1
PP|＝.
1 2
16．13
解析 依题意，AC⊥BE，
设直线AC的方程为2x－5y＋m＝0，
于是2×5－5×6＋m＝0，
解得m＝20，
即直线AC：2x－5y＋20＝0，
由
解得
即点A(0,4)，
设点B(a，b)，
则线段BC的中点D，
于是
解得即点B(3,0)，
因此点B(3,0)到直线AC的距离d＝＝，
|AC|＝＝，所以△ABC的面积为|AC|·d＝××＝13.
§8.3 圆的方程
1．A 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D
7．BC [设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|.
又点A(1,0)，B(2,1)在圆上，
所以有|MA|＝|MB|，
即＝，
整理可得a＋b＝2.
又|MA|＝r＝|a|，
即＝|a|，
整理可得b2－2a＋1＝0.
联立
解得或
所以圆心坐标为(1,1)或(5，－3)．
当圆心坐标为(1,1)时，r＝1，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；
当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25.
综上所述，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.]
8．ACD [对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－
1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，
整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，
由
得或
故圆C过定点和，所以选项A正确；
对于选项B，因为圆心为(3k,4k－1)，r＝，
点(0,0)到圆心的距离d＝＝，
又因为k∈R，当k>0时，d3＝r＋r，
1 2
所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l有4条．13．解 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为2×＝2.
14．解 (1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，若直线l与圆相切，
则d＝＝2，解得k＝－，
∴l：－x－y＋4＝0，
即l：3x＋4y－16＝0，
综上，当直线l与圆C相切时，
所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0.
(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，
设圆心到直线l的距离为d，
则d＝，
由垂径定理可得，d2＋2＝4，
即＋3＝4，
整理得，3k2－4k＝0，
解得k＝0或k＝，
则直线l的方程为y＝1或4x－3y－13＝0.
15．BD [圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒过定点O(0,0)，直线l：y＝kx也恒过定点
O(0,0)，
所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；圆心M(－cos θ，sin θ)，
圆心到直线l的距离
d＝
＝
＝|sin(θ＋α)|≤1，其中tan α＝k，
则对任意实数k，存在θ，使得直线l和圆M的关系是相交或者相切，故D正确，A错误；
当θ＝0时，圆M为(x＋1)2＋y2＝1，此时不存在实数k，使得直线l和圆M相切，故C错
误．]
16．2 [依题意，在△ABC中，|AC|＝|BC|＝，如图，显然0<|AB|≤2，∠ACB是锐角，sin ＝
＝，又函数y＝sin x在上单调递增，因此当且仅当公共弦AB的长度最大时，∠ACB最大，
此时弦AB为圆C′的直径，
在Rt△ACC′中，∠AC′C＝90°，
|AC′|＝1，
所以|CC′|＝＝2.]
§8.5 椭 圆
1．A 2.D 3.B 4.C
5．A [如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，
由“牟合方盖”产生的过程可知，图中的曲线PBQD所对应的椭圆的长轴长2a＝|BD|＝2，
短轴长2b＝|PQ|＝2，
于是可得此椭圆的半焦距c＝＝1，
因此离心率e＝＝.]
6．B [如图，∵|FM|＝1，
∴|FM|＝1，
又∵PM·FM＝0，
∴PM⊥FM，
即PM⊥FM，
∴|PM|＝|PM|＝＝，
∴当点P为椭圆的右顶点时，|PF|取最小值，|PF| ＝a－c＝a－3，
min
此时|PM| ＝＝2，
min
解得a＝0(舍)或a＝6，
∴b2＝a2－c2＝36－9＝27，
∴椭圆C的方程为＋＝1.]
7．ACD [根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度
最小，B不正确；
＝＝－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度慢，根据面积守恒定律，则运行时间长，D正
确．]
8．AD [由椭圆的方程可得，a＝2，b＝，c＝，
△PFF 的周长为|PF|＋|PF|＋|FF|＝2a＋2c＝4＋2，故A正确；
1 2 1 2 1 2
当∠PFF＝90°时，PF⊥x轴，令x＝－，可得y＝±1，
1 2 1
所以|PF|＝1，故B不正确；
1
当∠FPF＝60°时，△PFF 的面积为b2·tan 30°＝2×＝，故C不正确；
1 2 1 2
当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF|＝|PF|＝a＝2，而|FF|＝2c＝2，此时∠FPF＝90°，
1 2 1 2 1 2
有2个直角三角形，
当PF⊥FF 时，∠PFF＝90°，
1 1 2 1 2
此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，
同理可得PF⊥FF 时，∠PFF＝90°，
2 1 2 2 1
此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故D正确．]
9.＋＝1
解析 由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则a2－b2＝c2＝4，因为|AB|＝6，得＝3，所以b2＝3a，
所以a2－3a－4＝0，解得a＝4或a＝－1(舍去)，所以b2＝12，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
10.
11.
解析 因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以a＝2，c＝1，
在△PFF 中，由余弦定理得
1 2
|FF|2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|cos 60°＝(|PF|＋|PF|)2－3|PF||PF|，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
解得|PF||PF|＝4，
1 2
所以 ＝|PF||PF|sin 60°＝r(|PF|＋|PF|＋|FF|)，
1 2 1 2 1 2
即×4×＝r×(4＋2)，
解得r＝.
12．3
解析 连接BD，PB，BH(图略)，
因为四边形ABCD为菱形，则AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|，
所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>2＝|BH|，
故点P的轨迹是以B，H为焦点且长轴长为4的椭圆，
可得2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，
所以|PB|的最大值为a＋c＝3.
13．解 (1)由题意，
令x＝c，可得y2＝b2，
解得y＝±，可得＝c，
又由c2＝a2－b2，
整理得6a2－6c2＝ac，
即6－6e2＝e，
即6e2＋e－6＝0，解得e＝，
即椭圆C的离心率为.
(2)由椭圆C的方程，可得M(0，b)，N(0，－b)，
设P(x，y)，所以b2x＋a2y＝a2b2，
0 0
则直线MP的方程为y＝x＋b，
令y＝0，可得x ＝，
R
同理直线NP的方程为y＝x－b，令y＝0，可得x ＝，
Q
因为|OR||OQ|＝＝a2＝4，解得a＝2，
又因为e＝，所以c＝，
则b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
14．解 (1)因为点B与点A
关于原点对称，
所以点B的坐标为，
设点P的坐标为(x，y)，
由题意得·＝－，
化简得＋＝1(x≠±1)，
故动点P的轨迹方程为＋＝1(x≠±1)．
(2)若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x，y)，
0 0
则|PA|·|PB|·sin∠APB
＝|PM|·|PN|·sin∠MPN，
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以＝，
所以＝，
即(3－x)2＝|x－1|，
0
解得x＝，
0
因为＋＝1(x≠±1)，
所以y＝±，
0
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，
此时点P的坐标为.
15．D [如图所示，设|FF|＝2c，
1 2
因为4|FN|＝3|FM|，
2 2
设|FN|＝3t，
2
则|FM|＝4t，
2
在Rt△FMN中，|MN|＝＝5t，
2
由椭圆定义可知|FN|＝2a－3t，
1|FM|＝2a－4t，
1
|FN|＋|FM|＝|MN|＝4a－7t＝5t，
1 1
解得a＝3t，
所以|FN|＝2a－3t＝3t＝|FN|，
1 2
|FM|＝2a－4t＝2t，
1
在△FNF 中，可得cos∠NF F＝，
1 2 1 2
在△FMF 中，由余弦定理可得
1 2
cos∠MF F＝，
1 2
因为∠NF F＋∠MF F＝π，
1 2 1 2
所以cos∠NF F＋cos∠MF F＝0，
1 2 1 2
即＋＝0，解得c＝，
所以椭圆的离心率e＝＝.]
16．(0,4)
解析 如图，延长PF，FM相交于点N，连接OM，
2 1
因为F1M·MP＝0，则F1M⊥MP，即FM⊥MP，
1
因为PM为∠FPF 的平分线，
1 2
所以|PN|＝|PF|，则点M为FN的中点，
1 1
因为O为FF 的中点，
1 2
所以|OM|＝|FN|
2
＝||PN|－|PF||
2
＝||PF|－|PF||，
1 2
设点P(x，y)，由已知可得a＝8，b＝4，c＝＝4，
0 0
则－80，
可得cos α<0，则<α<π，故B对；
若曲线C表示椭圆，则
解得0<α<且α≠，故C错；
若0<α<，则0>0，
曲线C的方程可化为＋＝1，
此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对．]8．BD [如图所示，
若△ABF 为直角三角形，由双曲线的对称性可知，
1
AF⊥BF，
1 1
且|AF|＝|BF|.
1 1
设|AF|＝m，则由双曲线的定义得
2
|AF|＝|BF|＝|AF|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.
1 1 2
所以在Rt△ABF 中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.
1
解得m＝2＋2，
所以|AF|＝|BF|＝4＋2，
1 1
所以△ABF 的面积为|AF|·|BF|＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确；
1 1 1
|AF|·|BF|＝|AB|·|FF|，
1 1 1 2
所以|FF|＝2＋2，故C不正确；
1 2
由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋，所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确；
e＝＝1＋，故B正确．]
9．2 10.－＝1或－＝1
11．x2－＝1
解析 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图，因为AB＝BC＝CD＝2，
易知a＝1，
又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，
得到－＝1，整理得b2＝，
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
12.＋1
解析 因为F(－c,0)，F(c,0)，B(0，b)，
1 2
所以直线FB的方程为y＝x＋b，
1
又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，由解得
所以A，
又因为|FA|＝|FF|，
2 1 2
所以2＋2＝4c2，
整理得2c2－4ac＋a2＝0，
即2e2－4e＋1＝0，
解得e＝＋1或e＝1－(舍去)．
13．解 (1)在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝，
则渐近线方程为y＝±x＝±x，
∵双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴＝，
∴方程可化为－＝1，
又双曲线C经过点M(，－)，代入方程得－＝1，
解得a＝1，故b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1，
∵a＝1，b＝，c＝，
∴实轴长2a＝2，离心率为e＝＝，
设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，
∴焦点到渐近线的距离
d＝＝.
14．解 (1)在Rt△MF F 中，
1 2
因为∠MF F＝30°，所以tan∠MF F＝＝＝，
1 2 1 2
又a＝1，a2＋b2＝c2，
联立解得c＝，b＝，
所以双曲线C的方程是x2－＝1.
(2)设P(x，y)是双曲线C上任意一点，故有2x－y＝2，
0 0
两条渐近线方程为l：x－y＝0，l：x＋y＝0，设l：x－y＝0的倾斜角为α，故tan α＝，
1 2 1
设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
所以cos θ＝cos 2α＝＝－，
于是有cos〈PP1，PP2〉＝－cos θ＝.
因为P到双曲线两条渐近线的距离为|PP|＝，
1
|PP|＝，
2
所以PP1·PP2＝··cos〈PP1，PP2〉＝·＝.
15．2
解析 由－＝1得y2＝b2
＝，即y＝±，
不妨设A，
而D(a,0)，
所以直线AD的方程为y－0＝(x－a)，
y＝(x－a)，
令x＝0得y＝，
则M，
同理可求得N，
所以以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，
将P(－3a,0)代入上式得
9a2＝2＝＝
＝＝(c＋a)2，
即c2＋2ac－8a2＝0，
即(c－2a)(c＋4a)＝0，
则c＝2a，即离心率为＝2.
16．y＝±x
解析 如图所示，
由双曲线的定义知|MF |＝2a＋|MF |，|NF |＝2a＋|NF |，
2 1 2 1
所以|MF |＋|NF |＝4a＋|MF |＋|NF |＝4a＋|MN|.
2 2 1 1
因为|MF |，|MN|，|NF |成等差数列，
2 2
所以|MF |＋|NF |＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.
2 2
令|MF |＝x，
1
在△MNF 中，MF ⊥MN，
2 2所以|MF |2＋|MN|2＝|NF |2，
2 2
即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，
解得x＝a，即|MF |＝a，|MF |＝3a，
1 2
又在Rt△FMF 中，a2＋(3a)2＝(2c)2,2c2＝5a2，
1 2
又c2＝a2＋b2，
所以2b2＝3a2，即＝，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
§8.7 离心率的范围问题
1．D 2.B
3．C [如图所示，△POA≌△POB，
|OB|＝|OA|＝b，∠APB＝，
∴∠OPB＝，
又OB⊥BP，∴|OP|＝2b，
又|OP|≥a，故2b≥a，
即4(c2－a2)≥a2，
即4c2≥5a2，∴e≥.]
4．B [要满足题意，点P(1,2)必须在渐近线y＝x与y轴围成的区域内，且不能在渐近线及y
轴上．所以必须满足<2，所以e＝＝＝<，
又e>1，所以12，
所以d＝＝，
1
d＝＝，
2
所以d＋d＝＋＝≥c，
1 2
所以5·a≥2c2，
即25(c2－a2)·a2≥4c4，
即4e4－25e2＋25≤0，
解得≤e2≤5，
又e>1，所以e∈.]6．C [如图所示，根据题意可得F(－c,0)，F(c,0)，A(a,0)，
1 2
设P(x，y)，则直线PF 的方程为y＝(x＋c)，
1 1 1
所以直线PF 与y轴的交点Q，
1
由AQ∥PF 可得k ＝ ，
2 AQ
即＝，
整理得(a＋c)x＝c2－ac，
1
即x＝，
1
又因为P为双曲线右支上一点，
所以x≥a，
1
当x＝a时，AQ，PF 共线，与题意不符，即x>a，可得x＝>a，
1 2 1 1
整理得c2－a2－2ac>0，
即e2－2e－1>0，
解得e>＋1或e<1－(舍去)，
即双曲线E的离心率的取值范围为(＋1，＋∞)．]
7．AD [由题意，A关于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，设左焦点为F，如图所示，
1
∵AF⊥BF，
∴四边形AFBF为矩形，
1
∴|AB|＝|FF|＝2c.
1
∵∠ABF＝α，
∴|AF|＝2csin α，
|BF|＝|AF|＝2ccos α，
1
由椭圆的定义得2a＝2csin α＋2ccos α，
∴e＝＝＝.
∵α∈，
∴α＋∈，
∴sin∈，
∴e∈.]8．ACD [对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F
相切的直线与双曲线C没有公共点(如图)，故选项A正确；
对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知|FD|＝b，因为圆F与直线l相交，所以b1，所以双曲线C的离心率的取值范围是(1，)，故选
项B错误；
对于C，若FA·FB>0，则0<∠AFB<，故0<∠AFD<，
故0，b>0)的右顶点为A(a,0)，渐近线方程为y＝±x，即
bx±ay＝0，
PA·PB＝0，即PA⊥PB，
∴点P为以AB为直径的圆与双曲线渐近线的交点，圆心为AB中点(2a,0)，半径为r＝a，
依题意，渐近线与该圆有公共点，
故≤a，即3b2≤a2，
即3(c2－a2)≤a2，即3c2≤4a2，
∴10，
即b40)，由已知可得F(1,0)，
则M，
所以直线OM的方程为y＝x，
设k＝，则k＝≤1，当且仅当t＝1时取等号，
所以点F到直线OM的距离为＝≤，
即圆F的半径最大值为，面积最大值为.]
7．BD [点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，
则解得
则抛物线C：y2＝x，
A，B(，)，
抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确；
OA·OB＝×＋1×＝1＋，故C错误；
抛物线C的焦点F，
则|AF|＝＝，
|BF|＝＝，
则＋＝＋＝，故D正确．]
8．AD [对于A，x2＝8y，则p＝4，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2，
∴|MF|＝y＋2，
1
∵y≥0，∴|MF|≥2，当且仅当y＝0时等号成立，故A正确；
1 1
对于B，∵|MF|＋|NF|＝12，
根据抛物线定义得y＋2＋y＋2＝12，则y＋y＝8，
1 2 1 2
而由中点坐标公式得点P的纵坐标y ＝＝4，
P
即点P到x轴的距离为4，故B错误；
对于C，由题意可知直线MN斜率存在，∵直线MN过点F，设直线MN的方程为y＝kx＋
2，
代入抛物线方程整理得x2－8kx－16＝0，∴x＋x＝8k，xx＝－16，故C错误；
1 2 1 2
对于D，若MF＝λNF，则M，F，N三点共线，由题得|MF|＋|NF|＝y ＋2＋y ＋2＝y ＋y ＋4＝
1 2 1 2
＋4＝＋4
＝＋4，
当k＝0时，|MN|的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确．]
9．4 10.7 cm
11．60°
解析 如图，
∵|OA|＝|OB|，
∴A，B两点关于y轴对称，
设A，
B，
∴S ＝×2a×＝12，
△AOB
解得a＝2，
∴B(2，6)，∴tan θ＝＝，∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.
12．1或3
解析 分别过点A，B作准线l：x＝－的垂线，垂足分别为C，D，
设AB的中点M在准线上的射影为点N，连接MN，
设A(x，y)，B(x，y)，M(x，y)，
1 1 2 2 0 0
根据抛物线的定义，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝4，
所以在梯形ACDB中，中位线|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝2，
可得x＝2－，
0
因为线段AB的中点到直线x＝的距离为1，所以＝1，
所以|2－p|＝1，解得p＝1或p＝3.
13．解 (1)由题意知动点M到F(2,0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的
轨迹为以F(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
(2)设M，
由两点间的距离公式得|MA|＝＝＝，
当m2＝16，即m＝±4时，
|MA| ＝4，
min
即当M(2,4)或M(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
14．解 (1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，
化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP|，到y轴的距离为|PP|，
1 2
点F到直线y＝x＋4的距离为|FF|，
1由抛物线的定义，
可知|PP|＝|PF|－2，
2
所以|PP|＋|PP|＝|PP|＋|PF|－2，
1 2 1
由图可知|PP|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
1
所以(|PP|＋|PF|) ＝|FF|＝＝3，所以|PP|＋|PP|的最小值为3－2.
1 min 1 1 2
15．B [作杯子的截面得一抛物线，如图，
建立平面直角坐标系，则点(1,1)在抛物线上，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则1＝2p，p＝，抛物线方程为x2＝y，
设球心为A(0，a)(a>0)，球半径为r，P(x，y)是抛物线上任一点，|AP|＝＝，
则r＝|AP| ，小球与杯底接触，则上式在y＝0时取得最小值，
min
|AP|＝，
此时≤0，即0b>0)，
由题意知其左、右焦点分别是F(－1,0)，F(1,0)，可得c＝1，
1 2
联立
得(a2＋b2)x2＋4a2x＋4a2－a2b2＝0，
Δ＝16a4－4(a2＋b2)(4a2－a2b2)≥0，
可得4a2－(2a2－1)(5－a2)≥0，
解得a≥，e＝≤＝.]
5．D [因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
所以b＝a，
则双曲线方程为－＝1(a>0)，F(－a,0)，F(a,0)，
1 2
所以直线l为y＝(x－a)，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由得x2－6ax＋11a2＝0，
则x＋x＝6a，xx＝11a2，
1 2 1 2
所以|MN|＝·
＝2＝16a，
因为|MF |＝|MF |＋2a，|NF |＝|NF |＋2a，
1 2 1 2
所以|MF |＋|NF |＝|MF |＋|NF |＋4a＝|MN|＋4a＝20a，
1 1 2 2
因为△MNF 的周长为36，
1
所以|MF |＋|NF |＋|MN|＝36，
1 1
所以20a＋16a＝36，解得a＝1，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.]
6．B [由题设，＝，
即＝1－＝1－＝，
可得a2＝6>2，
过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，
且满足|PA|＝|PB|，则P为线段AB的中点，
所以x ＋x ＝3，y ＋y ＝1，
A B A B
又＋＝1，＋＝1，
则＋＝0，
即＝－，
所以＝－＝－1，
故直线AB的方程为y－＝－，
即x＋y－2＝0，
所以|OM|的最小值为＝.]
7．ACD [双曲线C：－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，双曲线－＝1的渐近线方程可表
示为－＝0，整理后都是y＝±x，故A正确；
由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长
的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于
x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；
由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，
所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，故C正确；
由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，
故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲
线相切，故D正确．]
8．BCD [如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线
为y＝－，所以A错误；
因为x2＝y，所以y′＝2x，所以当x＝1时，y′＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝
2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设P(x，y)，Q(x，y)，直线PQ的方程为y＝kx－1，
1 1 2 2
由得x2－kx＋1＝0，
所以x＋x＝k，xx＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，
1 2 1 2
所以|OP|·|OQ|＝·＝＝·xx
1 2
＝＝>2＝|OA|2，所以C正确；
|BP|·|BQ|＝·
＝·
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝k2＋1>5＝|BA|2，所以D正确．]
9．2 10.＋＝1
11．5
解析 设直线x－y＋m＝0与椭圆＋＝1相切，
联立消去y得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0，解得m＝5或m＝－5，
∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0，
且两平行直线间的距离为d＝＝＝5，
∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5.
12.
解析 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则
得－＝0，
即－＝0，
因为点P(2,1)是线段AB的中点，
所以－＝0，
得－＝0，
又因为直线l的斜率为2，
所以－2×＝0，
得a2＝b2，即a2＝c2－a2，
所以C的离心率e＝＝.13．解 (1)因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
当k≠0时，有k ＝＝－，
AB
设AB中点的坐标为(x，y)，
0 0
又
两式相减得3(x＋x)(x－x)＝－4(y＋y)(y－y)，即3kx＝4y，
1 2 1 2 1 2 1 2 0 0
又y＝k，
0
解得x＝1，y＝，
0 0
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以＋<1，即＋<1，
解得－20.
0 0 0 0
因为e＝2，所以c＝2a，b＝a，
则渐近线方程为y＝±x，
所以∠PAF∈，∠PFA∈.
2 1 1 2
又tan∠PFA＝＝，
1 2tan∠PAF＝－，
2 1
所以tan 2∠PAF＝
2 1
＝
＝
＝
＝
＝＝tan∠PFA，
1 2
因为2∠PAF∈，
2 1
所以∠PFA＝2∠PAF，故D正确．]
1 2 2 1
9．y2＝4x或y2＝16x
10．1
解析 连接OA，OB，如图所示．设B(x，y)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为＋yy＝
0 0 0
1，即xx＋4yy－4＝0，
0 0
又R2＝|OA|2＝，
R为圆的半径，R∈(1,2)，
|AB|2＝|OB|2－R2＝x＋y－，
又＋y＝1，所以x＝4－4y，
所以|AB|2＝4－3y－
＝5－(3y＋1)－≤5－2＝1，
当且仅当3y＋1＝，
即y＝，x＝时，等号成立，
所以|AB| ＝1，
max
此时R2＝＝2，
即R＝∈(1,2)，
故当R＝时，|AB| ＝1.
max
§8.11 圆锥曲线中求值与证明问题
1．解 (1)由题设，y＝2x＋1，联立直线与双曲线方程并整理得x2＋4x＋2＝0，所以Δ＝16
－4×2＝8>0，则x ＋x ＝－4，x x ＝2，
A B A B
所以|AB|＝·＝×＝2.
(2)联立直线与双曲线方程得3x2－(ax＋1)2＝1，
整理有(3－a2)x2－2ax－2＝0，
由题意Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，且3－a2≠0，即－0，
解得－0，所以3－k2<0，
1 2 1 2
所以x－x＝
1 2
＝.
设点M的坐标为(x ，y )，
M M
则
两式相减，得y－y＝2x －(x＋x)，
1 2 M 1 2
又y－y＝(kx＋t)－(kx＋t)＝k(x－x)，
1 2 1 2 1 2所以2x ＝k(x－x)＋(x＋x)，
M 1 2 1 2
解得x ＝；
M
两式相加，得2y －(y＋y)＝(x－x)，
M 1 2 1 2
又y＋y＝(kx＋t)＋(kx＋t)
1 2 1 2
＝k(x＋x)＋2t，
1 2
所以2y ＝k(x＋x)＋(x－x)＋2t，
M 1 2 1 2
解得y ＝＝x .
M M
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－，
B B
所以x ＋x ＝，y ＋y ＝.
A B A B
点M的坐标满足
得x ＝＝，
M
y ＝＝，
M
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
所以x ＝＝，y ＝＝，
M M
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B
设AB的中点为C(x ，y )，
C C
则x ＝＝，
C
y ＝＝.
C
因为|MA|＝|MB|，
所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线y－y ＝－(x－x )，
C C
即y－＝－上，
与y＝x联立，得x ＝＝x ，
M C
y ＝＝y ，
M C
即点M恰为AB的中点，故点M在AB上．
§8.12 圆锥曲线中范围与最值问题
1．解 (1)由题意及抛物线的定义得a＋＝6，
又因为点M(a,2)在抛物线C上，所以20＝2pa，
由可得或
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝20x.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立消去y可得x2－2(p＋t)x＋t2＝0，
则x＋x＝2p＋2t，xx＝t2，
1 2 1 2
因为NA⊥NB，
所以NA·NB＝(x－1)(x－1)＋yy
1 2 1 2
＝(x－1)(x－1)＋(t－x)(t－x)
1 2 1 2
＝2xx－(t＋1)(x＋x)＋t2＋1＝0，
1 2 1 2
所以2t2－(t＋1)(2p＋2t)＋t2＋1＝0，可得2p＝，
由原点O到直线AB的距离不小于，可得≥，
解得t≥2或t≤－2，
因为p>0，所以t≤－2不成立，
所以t≥2，
因为2p＝＝t＋1＋－4，且函数y＝t＋1＋－4在[2，＋∞)上单调递增，
所以2p≥＝，
所以p≥，
即p的取值范围为.
2．解 (1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点坐标为(－，0)，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4，
即2a＝4，所以a＝2，
又因为c＝，可得b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k ＋k ＝0，不符合题意．
OA OB
故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立方程组
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以k ＋k ＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，
OA OB
因为k ＋k ＝－，
OA OB
可得m2＝4k＋1，所以k≥－，
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，
所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1，
综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．
3．解 (1)由双曲线E的离心率为2，得＝2.①
因为双曲线E过点P(2,3)，
所以－＝1.②
又c2＝a2＋b2，③
联立①②③式，解得a＝1，b＝.
故双曲线E的标准方程为x2－＝1.
(2)由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，
所以S ＝4S .
四边形ABCD △OAD由题意知直线AD的斜率不为零且过右焦点F(2,0)，
设直线AD的方程为
x＝my＋2.
联立消去x，
得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0.
Δ＝36(m2＋1)>0，
设A(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
因为A，D均在双曲线右支上，
所以
所以
解得0≤m2<.
所以S ＝×|OF|×|y－y|
△OAD 1 2
＝
＝
＝.
令＝t，
则m2＝t2－1.
所以S ＝＝.
△OAD
令函数f(t)＝－3t，
易得f(t)在区间上单调递减，所以当t＝1时，(S ) ＝6.
△OAD min
所以四边形ABCD面积的最小值为24.
4．(1)证明 由题知a＝1，b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1，
显然直线l的斜率存在，
设直线l：y＝kx＋m，
P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0，
且x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
设直线AP，AQ的斜率分别为k，k，
1 2则k＝，k＝，
1 2
故k＋k＝＋＝，
1 2
又xy＋xy＝x(kx＋m)＋x(kx＋m)＝2kxx＋m(x＋x)＝，
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
y＋y＝k(x＋x)＋2m＝＋2m＝，
1 2 1 2
∴k＋k＝
1 2
＝
＝＝－2，
∴(m－k)(m－k－2)＝0，
∵PQ不过点A，∴m－k≠0，
∴m＝k＋2，
∴y＝k(x＋1)＋2，
∴直线l过定点(－1,2)．
(2)解 由题意可设直线PR：y＝t(x＋1)＋r(r≠0)，直线AP的斜率为k ，直线AQ的斜率为
1
k.
2
由得P.
由得P.
故|AP|2＝，
同理|AQ|·|AR|＝.
由∠APQ＝∠ARP可知，
|AP|2＝|AQ|·|AR|，
即＝.
∵k≠k，k＋k＝－2，
1 2 1 2
化简得t＝－≤－.
当时取等号，
∴直线PR的斜率的最大值为－.
§8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
1．(1)解 将直线方程y＝kx＋3代入双曲线方程－＝1，
化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0，
Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，
则应满足
解得－0，b>0)的渐近线为y＝±x，
又因为双曲线C的右焦点F(c,0)到其渐近线的距离为，
所以＝b＝，
又e＝＝，a2＋b2＝c2，
联立解得a＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明 由已知得，双曲线C的右焦点为F(3,0)，直线x＝3过双曲线C的右焦点．
则＝
＝＝，
所以sin∠AFQ＝sin∠BFQ，
所以直线AF与直线BF的倾斜角互补，k ＋k ＝0.
AF BF
显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(00)的焦点为F(2,0)，
∴＝2，解得p＝4，
故抛物线C的标准方程为y2＝8x.
(2)证明 ∵点A的横坐标为2，
即y2＝8×2，解得y＝±4，
故A点的坐标为(2,4)，
设B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2
由已知设AB：m(y－4)＝x－2，
即x＝my－4m＋2，
代入抛物线C的方程得y2＝8(my－4m＋2)，即y2－8my＋32m－16＝0，
则y＋4＝8m，故y＝8m－4，
1 1
∴x＝my－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2，
1 1
即B(8m2－8m＋2,8m－4)，
设AC：－m(y－4)＝x－2，
即x＝－my＋4m＋2，
同理可得y＝－8m－4，
2
则x＝－my＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2，
2 2
即C(8m2＋8m＋2，－8m－4)，
直线BC的斜率
k ＝＝＝－1，
BC
∴直线BC的斜率为定值．
4．(1)证明 设P(x，y)，
0 0
则＋＝1，可得y＝9－，
又k ＝，k ＝，
PA PB
则k ·k ＝＝＝－，
PA PB
因为BG∥PA，
所以k ·k ＝k ·k ＝－.
BF BG PA PB
(2)解 当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
联立消去y得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0.
则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，
设G(x，y)，F(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
由k ·k ＝·
BF BG＝＝－，
得＝－，
约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点
(1,0)；
当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为x＝m，其中m≠2，
联立
解得y＝±，
则F，
G，
所以k ·k ＝－＝－，解得m＝1.
BF BG
综上，直线GF过定点(1,0)．
(3)证明 设PA的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，
1 1
联立解得E点的坐标为.
由(1)知P(x，y)，y＝9－，
0 0
由k＝，则E点的坐标为.
1
同理，记PB的斜率为k，则F点的坐标为，
2
由k＝，则F点的坐标为，
2
则EF的斜率k ＝＝，
EF
所以直线EF的方程为y＋＝·.
令y＝0，得x ＝，
Q
又x ＝x，故x x ＝x·＝4.
P 0 P Q 0
§8.14 圆锥曲线中的探索性与综合性问题
1．解 (1)由题意得，c＝2，
所以所以a2＝1，b2＝3，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)假设存在P(n,0)，设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由题意知，直线 AB 的斜率不为 0，当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB：x＝my＋
2(m≠0)，
联立消去x，得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，
且y＋y＝－，yy＝，
1 2 1 2
因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB的平分线，
则k ＋k ＝0，即＋＝0，
PA PB
则y(my＋2－n)＋y(my＋2－n)＝0，
1 2 2 1
整理得2myy＋(2－n)(y＋y)＝0，
1 2 1 2
故－＝0，
即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，
所以n＝，此时P；
当直线AB的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得点 P也能让点F到直线PA，PB的
距离相等．
综上所述，故存在P满足题意．
2．解 (1)由题意可知
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(，0)，得k ＝，
EF
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，所以k ＝－，
AB
设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－0，所以直线l的方程为y＝－x＋.
3．解 (1)设过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋＝
0，
若M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝3p，
1 2
所以|MN|＝x＋x＋p＝4p＝8，
1 2
则p＝2，
即抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)设A(x，y)，则过A作抛物线E的切线为y－y＝k(x－x)，
0 0 0 0
即x＝＋x，
0
代入y2＝4x，整理得ky2－4y＋4y－ky＝0，
0
因为此直线与抛物线相切，
所以Δ＝4(4－4ky＋k2y)＝0，
0
即(ky－2)2＝0，解得k＝，
0
所以过A的切线为y－y＝(x－x)，
0 0
令y＝0得x＝－x，即B(－x,0)，
0 0
所以|BF|＝|AF|＝|AC|，
又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形 ACBF
为菱形．
4．解 (1)由题意得，c＝2，A(－a,0)，A(a,0)，P(x，y)，
1 2
＝·＝－⇒2y2＝a2－x2，①
∵点P在C上，∴y2＝b2－x2，
代入①式，得2b2－x2＝a2－x2，
∴a2＝2b2，
∵a2＝b2＋4，∴a2＝8，b2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1，
设B(x，y)，B(x，y)， ⊥l，设 ：y＝－x＋t，
1 1 1 2 2 2
联立得3x2－4tx＋2t2－8＝0，
Δ＝(－4t)2－12(2t2－8)>0⇒t2<12⇒t∈(－2，2)，
x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
∴BB 的中点M在l上，即＝＋m，
1 2
∴m＝－∈.
(2)设l ：x＝sy＋2，联立
MN得(s2＋2)y2＋4sy－4＝0，
y ＋y ＝，y y ＝，
M N M N
|MN|＝|y －y |＝，
M N
l ：y＝－sx，
OQ
联立
得x＝，y＝，
|OQ|2＝，
∴＋＝＋＝，
∵＋为定值，设为λ，
∴(k＋2)s2＋(2k＋1)＝8λs2＋8λ，
∴k＋2＝2k＋1，解得k＝，
∴存在k＝，使得＋为定值.
第九章 统 计
§9.1 随机抽样、统计图表
1．C 2.A 3.B 4.D 5.A
6．D [设《毛诗》有x册，《春秋》有y册，《周易》有z册，学生人数为m，
则解得
因此，用分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为47×＝20.]
7．ABD
8．AD [设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则
招商引资前工资净收入为M×60%＝0.6M，而招商引资后工资净收入为2M×37%＝0.74M，
所以工资净收入增加了，故A正确；
招商引资前转移净收入为M×4%＝0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%＝0.1M，所以
招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；
招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为0.1M＋0.56M＝0.66M<×2M＝0.8M，所以
招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
招商引资前经营净收入为M×30%＝0.3M，招商引资后经营净收入为2M×30%＝0.6M，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确．]
9．分层抽样 10.23 11.2
12．(1)830 (2)18 65
解析 (1)因为该地社会固定资产总投资约为3 730亿元，
所以地(市)属项目投资额为3 730－(200＋530＋670＋1 500)＝830(亿元)．
(2)由条形图可以看出县(市)属项目部分总投资为670亿元，
所以县(市)属项目部分所占百分比为m%＝×100%≈18%，
即m＝18，对应的圆心角β≈360×0.18≈65(度)．
13．解 (1)由已知及图1得，3月份手机销售额为290－(85＋80＋65)＝60(万元)．
(2)由图1及图2得，1月份音乐手机销售额为85×23%＝19.55(万元)．
(3)不同意．由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为60×18%＝10.8(万元)，
4月份音乐手机销售额为65×17%＝11.05(万元)，
11．05>10.8，所以4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了，所以不同意小
刚的看法．
14．解 (1)依题可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0.002
＝0.01＝1%>0.5%，
所以950.02，
故f(c)＝
所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02.
§9.2 用样本估计总体
1．B 2.B 3.D 4.A 5.C
6．A [A选项，若5次结果中有 6，因为平均数为 2，则方差s2>×(2－6)2＝3.2，因为
3.2>2.4，则当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故A正确；
B选项，若5个点数为3,3,3,5,6，则此时满足中位数为3，平均数为4，则方差s2＝×[(3－4)2×3＋(5－4)2＋(6－4)2]＝1.6，故B错误；
C选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位数为3，众数为2，故C错误；
D选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位数为2，平均数为3，故D错误．]
7．BD
8．AC [选项A，根据极差的定义，原数据的极差为x －x ，去掉x 后的极差为x －x ，即
9 1 5 9 1
极差不变，故A正确；
选项B，原数据的25%分位数为x ，去掉x 后的25%分位数为(x ＋x)0，a>0，a>0，a>0，a>0，a >0，
3 5 7 9 0 2 4 6 8 10
所以|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a |＝a－a＋a－…＋a ，
0 1 2 10 0 1 2 10
所以令x＝－1，有(－2－1)10＝a－a＋a－…＋a ＝310，
0 1 2 10
因此|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a |＝310，故C正确；
0 1 2 10
对于D,2C＋C＋2C＋C＋…＋C＋2C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝22n＋22n－1＝
3·22n－1，故D正确．]
16．0
解析 因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(D＋Dx＋Dx2＋…＋Dxk＋…＋Dx4 048－1＋Dx4 048)·(Cx2 024
－Cx2 023＋Cx2 022－Cx2 021＋…＋Cx－C)，
其中x2 024的系数为DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC＋…－DC，
因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(x3－1)2 024，
而二项式(x3－1)2 024的通项公式T ＝(－1)kC·(x3)2 024－k，
k＋1
因为2 024不是3的倍数，
所以(x3－1)2 024的展开式中没有x2 024项，由代数式恒成立可得DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC
＋…－DC＝0.
§10.3 随机事件与概率
1．A 2.C 3.C 4.D 5.A
6．A [根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，
则共有63＝216(种)情况，
它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：
①若落地时向上的点数不同，则为1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6，共有6种可能，
每种可能的点数顺序可以颠倒，即有A＝6(种)情况，共有6×6＝36(种)情况；
②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，
所以共有36＋6＝42(种)情况，则落地时向上的点数能组成等差数列的概率为＝.]
7．BC
8．BD [“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A
错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所
需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时
间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间
不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，
则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为 0.2×0.1＋
0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确．]
9．0.4 10. 11.
12.
解析 将6人排成一圈，共有A＝120(种)排法，选1人放在甲、乙中间，有A种排法，然后
将3人看成一个整体进行全排列有AA种排法，由分步乘法计数原理可得甲、乙之间恰好有
1个人共有A·AA＝48(种)排法，所以甲、乙之间恰好有1个人的概率为＝.
13．解 (1)一次取出2个月饼，共有C＝21(种)方法，其中两个都是五仁的有C＝6(种)方法，
两个都是枣泥的有C＝3(种)方法，则两个月饼为同一种口味的概率为＝.
(2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有A＝42(种)方法，其中第1次、第2次取到的都
是五仁月饼有4×3＝12(种)方法，所以第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率是＝.
(3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有A＝42(种)方法，第1次取到五仁、第2次取到
枣泥月饼的方法有4×3＝12(种)，第1次取到枣泥、第2次也取到枣泥月饼的方法有3×2＝
6(种)，所以第2次取到枣泥月饼的概率为＝.
14．解 (1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生
产的产品中优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品中
优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试
验结果知，质量指标值t≥94的频率为＝0.96，
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.
用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．
15．C [由题意可得一共有C种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨
论：①220和284在2个数这一组中，有C种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有C种分组方法．故所求概率P＝＝.]
16.
解析 记“恰好参加2个小组”为事件A，“恰好参加3个小组”为事件B，随机选取一名
成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝＋＋＝，恰好参加3个小组的概率P(B)＝＝，则至少
参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－＝.
§10.4 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
1．C 2.C 3.B 4.C
5．D [从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事
件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A包含两种情况：“取出的
袜子恰好有两只是同一双”“取出的袜子恰好四只是两双”，则
P(A)＝＝，
又P(AB)＝＝，
则P(B|A)＝＝.]
6．A [设A 表示“该汽车是货车”，A 表示“该汽车是客车”，
1 2
则P(A)＝，P(A)＝，
1 2
设B 表示“货车中途停车修理”，B 表示“客车中途停车修理”，则P(B)＝0.02，P(B)＝
1 2 1 2
0.01，
B表示“一辆汽车中途停车修理”，
则P(B)＝P(AB)＋P(AB)，
1 1 2 2
今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为P(A|B)＝＝＝＝0.8.]
1
7．BD
8．BC [记事件A：车床加工的零件为次品，记事件B：第i台车床加工的零件，
i
则P(A|B)＝8%，P(A|B)＝3%，P(A|B)＝2%，P(B)＝10%，
1 2 3 1
P(B)＝40%，P(B)＝50%，
2 3
任取一个零件是第 1 台车床加工出来的次品概率为 P(AB)＝P(A|B)P(B)＝8%×10%＝
1 1 1
0.008，故A错误；
任取一个零件是次品的概率为P(A)＝(B)P(A|B)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03，
i i
故B正确；
如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为 P(|B )＝1－P(A|B)＝1－2%
3 3
＝0.98，故C正确；
如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
1－P(B|A)＝1－＝1－＝1－＝，故D错误．]
39. 10.
11.
解析 设事件M为“A灯亮”，事件N为“B灯亮”，事件X为“开关甲闭合”，事件Y为
“开关乙闭合”，事件Z为“开关丙闭合”，则所求概率为
P(N|M)＝.
其中P(NM)＝P(X)＋P()P(Y)P(Z)
＝＋××＝，
P(M)＝P(X＋Z)＝P(X)＋P(Z)－P(X)P(Z)＝＋－×＝，
所以P(N|M)＝＝.
12．0.053
解析 设任取一件产品来自甲厂为事件 A ，来自乙厂为事件A ，来自丙厂为事件A ，则
1 2 3
A，A，A 彼此互斥，且A＋A＋A＝Ω，
1 2 3 1 2 3
P(A)＝＝，
1
P(A)＝＝，
2
P(A)＝＝，
3
设任取一件产品，取到的是次品为事件B，
则P(B)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)
1 2 3
＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)
1 1 2 2 3 3
＝×6%＋×5%＋×5%＝＝0.053.
若取得产品是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为
P(A|B)＝＝
1
＝＝.
13．解 (1)由于A队踢完三场比赛后积分不少于6分，
所以A队三场比赛中至少胜两场，
则P＝(0.4)3＋C×(0.4)2×(0.4＋0.2)＝0.352.
(2)四支球队共需进行六场比赛，
六场比赛比完后四支球队积分总和最少12分，最多18分，
因此，四支球队积分相同，可能同积3分或同积4分，
①若同积3分，则六局皆平P＝(0.2)6＝0.000 064；
1
②若同积4分，则每支球队均一胜一平一负，
若A胜B，A平C，A负D，则B胜C，B平D，C胜D，
所以P＝6×(0.4)4×(0.2)2＝0.006 144，
2
综上所述，四支球队比完后积分相同的概率为
P＝P＋P＝0.006 208.
1 214．解 设试验一次，“取到甲袋”为事件A ，“取到乙袋”为事件A ，“试验结果为红
1 2
球”为事件B，“试验结果为白球”为事件B.
1 2
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×＋×＝.
1 1 1 1 2 1 2
所以试验一次结果为红球的概率为，
即首次试验结束的概率为.
(2)①因为B，B 是对立事件，
1 2
P(B)＝1－P(B)＝，
2 1
所以P(A|B)＝＝＝＝，
1 2
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得P(A|B)＝1－P(A|B)＝1－＝，
2 2 1 2
所以方案一中取到红球的概率为
P＝P(A|B)P(B|A)＋P(A|B)·P(B|A)＝×＋×＝，
1 1 2 1 1 2 2 1 2
方案二中取到红球的概率为
P＝P(A|B)P(B|A)＋P(A|B)·P(B|A)＝×＋×＝，
2 2 2 1 1 1 2 1 2
因为>，所以方案二中取到红球的概率更大，即选择方案二第二次试验结束的概率更大．
15．D [设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为 P ，在第二盘与乙比赛连胜两盘的
甲
概率为P ，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P ，
乙 丙
方法一 由题意可知，P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]
甲 1 2 3 3 2
＝2pp＋2pp－4ppp，
1 2 1 3 1 2 3
P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝2pp＋2pp－4ppp，
乙 2 1 3 3 1 1 2 2 3 1 2 3
P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝2pp＋2pp－4ppp.
丙 3 1 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3
所以P －P ＝2p(p－p)>0，
丙 甲 2 3 1
P －P ＝2p(p－p)>0，
丙 乙 1 3 2
所以P 最大．
丙
方法二 (特殊值法)
不妨设p＝0.4，p＝0.5，p＝0.6，
1 2 3
则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.4；
甲 1 2 3 3 2
在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.52；
乙 2 1 3 3 1
在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.6.
丙 3 1 2 2 1
所以P 最大．]
丙
16.
解析 依题意得P＝＝，
1
第n次取出的球是红球的概率为P，则第n次取出的球是白球的概率为(1－P)，
n n
对于第n＋1次，取出红球有两种情况：①从红箱取出的概率为P×，②从白箱取出的概率
n为(1－P)×，
n
所以P ＝＋P，
n＋1 n
所以P －＝，
n＋1
令a＝P－，则数列{a}为等比数列，且公比为，
n n n
因为P＝，所以a＝，
1 1
故a＝2－(2n＋1)即对应P＝＋2－(2n＋1)，
n n
所以S＝＋
n
＝＋
＝.
§10.5 离散型随机变量及其分布列、数字特征
1．A 2.A 3.B 4.B
5．C [∵P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，
∴＋＋＝1，
解得c＝，
∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝，
∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，
∴D(9ξ－3)＝92D(ξ)＝81D(ξ)＝38.]
6．D [E(X)＝0×＋a×＋1×＝，
∴当a在(0,1)上增大时，E(X)增大，
D(X)＝2×＋2
×＋2×
＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(2－a)2]
＝(a2－a＋1)＝2＋，
∴当a在(0,1)上增大时，D(X)先减小后增大．]
7．BCD [根据分布列可知m＋n＝1－－＝，①
因为Y＝12X＋7，
所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，
解得E(X)＝，
又由分布列可得E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，
整理得2m＋3n＝，②
联立①②解得m＝，n＝.]8．ABD [所有可能的情况有C＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有CC＋
CC＝30(种)，
故P(A)＝＝，故A正确；
P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝，故B正确；
X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，故C错误；
由C知，D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝，
因为Y＝3－X，所以D(Y)＝D(X)＝，故D正确．]
9．11 10.3
11．01.75，
解得p>或p<，
又p∈(0,1)，所以p∈.
12.
解析 若从甲盒中随机取到的为红球且概率为，
则X的可能取值为1,2，
则P(X＝1)＝＝，
1
P(X＝2)＝＝，
1
若从甲盒中随机取到的为白球且概率为，
则X的可能取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝＝，
2
P(X＝1)＝＝，
2
P(X＝2)＝＝，
2
综上，P(X＝0)＝×P(X＝0)＝，
2
P(X＝1)＝×P(X＝1)＋×P(X＝1)＝，
1 2P(X＝2)＝×P(X＝2)＋×P(X＝2)＝，
1 2
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
13．解 (1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.
(2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X表示所选3人中女生的
人数，
所以X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
14．解 (1)设员工所获得的奖励金额为X，
①P(X＝1 000)＝＝，
∴员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为.
②X所有可能的取值为400,1 000，
P(X＝400)＝＝，
∴X的分布列为
X 400 1 000
P
∴员工所获得的奖励金额的均值为E(X)＝400×＋1 000×＝700(元)．
(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000元，
∴先寻找均值为1 000元的可能方案，
对于面值由800元和200元组成的情况，
如果选择(200,200,200,800)的方案，
∵1 000元是面值之和的最大值，
∴均值不可能为1 000元，
如果选择(800,800,800,200)的方案，
∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1 000元，
因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1；
同理，对于面值由600元和400元组成的情况，
排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，
∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.
对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X，X 可取400,1 000,1600，
1 1
P(X＝400)＝＝，
1
P(X＝1 000)＝＝，
1
P(X＝1 600)＝＝，
1
∴E(X)＝400×＋1 000×＋1 600×＝1 000，
1
D(X)＝(400－1 000)2×＋(1 000－1 000)2×＋(1 600－1 000)2×＝120 000；
1
对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X，X 可取800,1 000,1 200，
2 2
P(X＝800)＝＝，
2
P(X＝1 000)＝＝，
2
P(X＝1 200)＝＝，
2
∴E(X)＝800×＋1 000×＋1 200×＝1 000，
2
D(X)＝×(800－1 000)2＋×(1 000－1 000)2＋×(1 200－1 000)2＝，
2
由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，
∴应选择方案2.
15．CD [因为f(x)＝p＋px＋px2＋px3＋…＋pxi＋…＋pxn，
0 1 2 3 i n
则g(x)＝f′(x)＝p＋2px1＋3px2＋…＋ipxi－1＋…＋npxn－1，
1 2 3 i n
E(X)＝p＋2p＋3p＋…＋ip＋…＋np，
1 2 3 i n
当x＝1时，E(X)＝g(1)，故A错误，C正确；
连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为
X 2 3 4 5 6 7 8
P
f(x)＝x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8，
1
f(2)＝×22＋×23＋×24＋×25＋×26＋×27＋×28＝，故B错误，D正确．]
1
16．ABC [由题意可知x＋＋＝1，即x＋y＝1，故A正确；
E(ξ)＝0×x＋1×＋2×＝，故B正确；
D(ξ)＝x2＋2＋2＝(1－y)2＋2＋2＝－y2＋3y，
因为xy≠0，x＋y＝1，易得00.9，故D正确．]
8．AC [从中随机地有放回摸出3个球，
则每次摸到红球的概率为＝，
则X～B，
1
故E(X)＝3×＝，
1D(X)＝3××＝；
1
从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X，则X 的可能取值是0,1,2,3，
2 2
则P(X＝0)＝＝，
2
P(X＝1)＝＝，
2
P(X＝2)＝＝，
2
P(X＝3)＝＝，
2
所以随机变量X 的概率分布为
2
X 0 1 2 3
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
2
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
2
故E(X)＝E(X)，D(X)>D(X)．]
1 2 1 2
9. 10.
11. 6
解析 令A为第i(i＝1,2,3)次取得一等品，
i
所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率为P(A)＝××＝，
3
若抽取后再放回，则设X为抽取一等品的次数，抽取一等品的概率为，
则X～B，E(X)＝10×＝6，
所以平均取得一等品6次．
12．97.7%
解析 因为100个数据x，x，x，…，x 的平均数＝＝72，
1 2 3 100 i
方差s2＝(x－)2＝(－1002)＝×[100×(722＋36)－100×722]＝36，
i
所以μ的估计值为μ＝72，σ的估计值为σ＝6.
设该市高中生的身体素质指标值为X，
由P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，
得P(72－12≤X≤72＋12)＝P(60≤X≤84)≈0.954，
P(X>84)＝P(X>μ＋2σ)＝P(X<μ－2σ)＝≈，
所以P(X≥60)＝P(60≤X≤84)＋P(X>84)≈0.954＋×(1－0.954)＝0.977＝97.7%.
13．解 (1)选择方案一，
若享受到7折优惠，
则需要摸出2个红球和1个黑球，
设顾客享受到7折优惠为事件A，则P(A)＝＝.
(2)若选择方案一，
设付款金额为X元，
则X可能的取值为5 000,7 000，9 000，10 000，
P(X＝5 000)＝＝，
P(X＝7 000)＝，
P(X＝9 000)＝＝，
P(X＝10 000)＝1－－－＝.
故X的分布列为
X 5 000 7 000 9 000 10 000
P
所以E(X)＝5 000×＋7 000×＋9 000×＋10 000×＝≈9 608.3(元)．
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，
则Z＝10 000－2 000Y，
由已知可得Y～B，
故E(Y)＝3×＝，
所以E(Z)＝E(10 000－2 000Y)＝10 000－2 000E(Y)＝8 800(元)，
因为E(X)>E(Z)，
所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
14．解 (1)由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值 μ＝35×0.006×10＋
45×0.012×10 ＋ 55×0.018×10 ＋ 65×0.034×10 ＋ 75×0.016×10 ＋ 85×0.008×10 ＋
95×0.006×10＝64，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64，152)，
因为μ＋σ＝79，所以P(X>79)≈＝0.158 5，
故参赛学生中成绩超过79分的学生人数约为0.158 5×10 000＝1 585.
(2)由μ＝64，得P(X>64)＝，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，
所以随机变量ξ～B，
所以P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3P
所以期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
§10.7 概率与统计的综合问题
1．解 (1)2×2列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 总计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
总计 90 110 200
由表中数据得
χ2＝≈18.182，
故有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．
(2)3人进球总次数ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝2×＝，
P(ξ＝1)＝C×××＋×2＝，
P(ξ＝2)＝C×××＋2×＝，
P(ξ＝3)＝2×＝，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．解 (1)由已知
＝＝4.5，
所以(x－)2＝(－3.5)2＋(－2.5)2＋(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＋2.52＋3.52＝42，
i
又(x－)(y－)＝228.9，
i i
所以b＝＝5.45，
因为＝119.05，
所以a＝－b＝94.525，
所以y＝5.45x＋94.525.(2)由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个，
X的所有可能取值为3,4,5，
所以P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以X的分布列为
X 3 4 5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
3．解 (1)记这天浪级是“微浪”为事件A，浪级是“小浪”为事件A，浪级是“中浪”为
1 2
事件A，浪级是“大浪”为事件A.该渔船当天出海作业为事件B，
3 4
则由题意可知，
P(A)＝50×0.004＝0.2，
1
P(A)＝50×0.006＝0.3，
2
P(A)＝50×0.004＋50×0.002＝0.3，
3
P(A)＝50×0.002＋50×0.002＝0.2，
4
∴P(B)＝P(BA)＋P(BA)＋P(BA)
1 2 3
＝P(B|A)P(A)＋P(B|A)P(A)＋P(B|A)P(A)
1 1 2 2 3 3
＝0.9×0.2＋0.8×0.3＋0.6×0.3＝0.18＋0.24＋0.18＝0.6.
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，
∴P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4．解 (1)设感染诺如病毒的患者为x人，则感染甲流的患者为2x人，
感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为x，由题意必有χ2≥7.879，
即≥7.879，所以x≥26.26，又因为x为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人．
(2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为p，每次试验花费为m，则奥司他韦治疗有效的概率为2p<1，
故0100得i>7，
显然数列是递增数列，
而4＝<7，5＝>7，
则有正整数i ＝5，
min
所以i的最小值是5.
2．解 (1)设样本平均数的估计值为，
则＝10×(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62，
所以样本平均数的估计值为62.
(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，
其中μ＝62，σ≈14.
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，
所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈×(1－0.954)＝0.023.
所以估计能参加复试的人数为
0．023×8 000＝184.
(3)由该学生获一等奖的概率为可知，a2b＝，
则P＝a2(1－b)＋Ca(1－a)b＝a2＋2ab－＝a2＋－.
令P＝f(a)＝a2＋－，00，
所以f(a)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以f(a) ＝f ＝＋－＝，
min
所以P的最小值为.
