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专练 45 空间向量的应用
命题范围：利用向量解决角和距离问题．
[基础强化]
一、选择题
1．若两不重合直线l 和l 的方向向量分别为V ＝(1，0，－1)，V ＝(－3，0，3)，则l
1 2 1 2 1
和l 的位置关系是( )
2
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为( )
A． B．
C．－ D．0
3．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1，1，－1)，
则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．A，C都有可能
4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|
⊂
＝|PB|，则P点坐标为( )
A．(3，0，0) B．(0，3，0)
C．(0，0，3) D．(0，0，－3)
5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3，5)，n＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交，但不垂直 D．以上均不正确
6.
如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝( )
A．6 B．6
C．12 D．144
7.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－ABC ，CA＝CC ＝2CB，则直线BC 与
1 1 1 1 1
AB 夹角的余弦值为( )
1
A． B． C． D．
8．[2022·宁夏石嘴山三模]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
9．[2022·浙江温州二模]如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过
EF的平面α分别交棱DA、BC于G、H(不同于A、B、C、D)，P、Q分别是棱BC、CD上
的动点，则下列命题错误的是( )
A．存在平面α和点P，使得AP∥平面α
B．存在平面α和点Q，使得AQ∥平面 α
C．对任意的平面α，线段EF平分线段GH
D．对任意的平面α，线段GH平分线段EF
二、填空题
10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－
5)，则顶点D的坐标为________．
11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以AB，AC为邻边的
平行四边形的面积为________．
12．设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则D 点到平面ABD的距离为________．
1 1 1 1 1 1
[能力提升]
13．[2022·湖北鄂南模拟预测]已知正方体ABCDABC D 的棱长为2.以D为坐标原点，
1 1 1 1
以DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD 为z轴正半轴建立空间直角坐标系，动点
1
M(a，b，0)满足直线MD 与AA 所成夹角为，ab的最大值为( )
1 1
A． B． C．1 D．2
14．[2022·浙江嘉兴模拟预测]如图，在矩形ABCD中，AB＝BC，E，F，G，H分别为
边AB，BC，CD，DA的中点，将△EBF，△GDH分别沿直线EF，HG翻折形成四棱锥B′-
AEFC，D′ACGH，下列说法正确的是( )
A.异面直线EB′，GD′所成角的取值范围是(0，]
B．异面直线EB′，GD′所成角的取值范围是(0，]
C．异面直线FB′，HD′所成角的取值范围是(0，]
D．异面直线FB′，HD′所成角的取值范围是(0，]
15．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则
α与l所成角的正弦值为________．16.
如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，
已知∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝2，SA＝SB＝.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为
________.
