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专练 48 高考大题专练(五) 圆锥曲线的综合运用
1.
已知m>1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：＋y2＝1，F ，F 分别为椭圆C的左、右焦
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点．
(1)当直线l过右焦点F 时，求直线l的方程．
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(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AFF ，△BFF 的重心分别为G，H.若坐标原
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点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
2．[2021·全国新高考Ⅰ卷]在平面直角坐标系xOy中，已知点F(－，0)，F(，0)，点
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M满足|MF |－|MF |＝2.记M 的轨迹为C.
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(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|
TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
3.[2020·全国卷Ⅰ]已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶
点，AG·GB＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为
D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．4．[2022·全国甲卷(理)，20]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F
的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为
α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
5.[2020·全国卷Ⅱ]已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C
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的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，
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且|CD|＝|AB|.
(1)求C 的离心率；
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(2)设M是C 与C 的公共点．若|MF|＝5，求C 与C 的标准方程．
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6．[2022·新高考Ⅱ卷，21]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近
线方程为y＝±x.
(1)求C的方程．
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ，y)，Q(x ，y)在C上，
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且x>x>0，y>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中
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选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
7.[2022·全国乙卷(理)，20]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
A(0，－2)，B(，－1)两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交
于点T，点H满足MT＝TH.证明：直线HN过定点．8．[2022·新高考Ⅰ卷，21]已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于
P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
