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第08课 指数函数（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理
著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并
建立了如下指数函数公式： ，其中 ，则 的近似值为（精
确到 ）（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·福建莆田·高二校考期中）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 则 等于（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2022秋·山东临沂·高一校考阶段练习）已知函数 （其中 ）的图象如图所示，
则函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．5．（2020·高一课时练习） 且 ）是增函数，那么函数 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2020秋·江西吉安·高一校联考期中）函数 ，且 的图象过一个定点，则这个
定点坐标是
A． B． C． D．
7．（2022秋·天津北辰·高三校考阶段练习）函数 的部分图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，则函数 为奇函数的一个充分不必要条件
是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河北·高三学业考试）若 满足不等式 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)11．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知 ，c＝sin1，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
12．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）若关于 的不等式 （ ）恒
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的
放射性 ．动植物死亡后，停止了新陈代谢， 不再产生，且原来的 会自动衰变．经过5730年，它
的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中 含量占原来的 ，推算该古物约是 年前
的遗物（参考数据： ），则实数 的值为（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
二、多选题
14．（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知函数 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 为奇函数 B． 为减函数
C． 有且只有一个零点 D． 的值域为
15．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
，其中 为预测期人口数， 为初期人口数， 为预测期内人口年增长率， 为预测
期间隔年数，则（ ）
A．当 ，则这期间人口数呈下降趋势
B．当 ，则这期间人口数呈摆动变化C．当 时， 的最小值为3
D．当 时， 的最小值为3
三、填空题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
.
17．（2022·全国·高三专题练习）下列函数是奇函数，且在 上单调递增的是 .
① ② ③ ④
18．（2023春·北京石景山·高二统考期末）设函数 ，则使得 成立的 的取值范
围是 .
19．（2014·甘肃天水·统考一模）下列5个判断：
①若 在 上增函数，则 ；
②函数 只有两个零点；
③函数 的值域是 ；
④函数 的最小值是1；
⑤在同一坐标系中函数 与 的图像关于 轴对称．
其中正确命题的序号【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin
级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：
，试根据此公式估计下面代数式
的近似值为（ ）（可能用到数值
）
A．2.322 B．4.785 C．4.755 D．1.005
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于点 对称，当时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2020·安徽安庆·安庆市第七中学校考模拟预测）已知函数 ，若 ，则
A． B． C． D．
4．（2022秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若函数 是定义在 上的周期为2的奇函数，当
时， ，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．-2
5．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数且满足
为偶函数，当 时， （ 且 ）.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021秋·高一课时练习）已知正实数 满足 ， ，则
A． B． C． D．8．（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考期中）函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点 在
椭圆 （ ， ）上，则 的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
9．（2007·天津·高考真题）设 均为正数，且 ， ， ．则
（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数 ，则“ ”是
“函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2023·陕西西安·统考三模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 上的大致图象，则该函数
是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023春·高二课时练习）某微生物科研团队为了研究某种细菌的繁殖情况，工作人员配制了一种适
合该细菌繁殖的营养基质用以培养该细菌，通过相关设备以及分析计算后得到：该细菌在前3个小时的细
菌数 与时间 （单位：小时，且 ）满足回归方程 （其中 为常数），若 ，且前3个
小时 与 的部分数据如下表：1 2 3
3个小时后，向该营养基质中加入某种细菌抑制剂，分析计算后得到细菌数 与时间 （单位：小时，且
）满足关系式： ，在 时刻，该细菌数达到最大，随后细菌个数逐渐减
少，则 的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
13．（2023春·山西大同·高二校考期中）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流
的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们
美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为 ，则下列关于 的
说法正确的是（ ）
A． ， 为奇函数
B． ， 在 上单调递增
C． ， 在 上单调递增
D． ， 有最小值1
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 为偶函数， 为奇函数，且满足 .若存在
，使得不等式 有解，则实数 的最大值为（ ）A． B． C．1 D．-1
15．（2021·陕西西安·统考三模）射线测厚技术原理公式为 ，其中 分别为射线穿过被测物前后
的强度， 是自然对数的底数， 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数.工业
上通常用镅241（ ）低能 射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为
7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度， ，结果精确到0.001）
A．0.110 B．0.112 C． D．
二、多选题
16．（2022·全国·高一期末）若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为“伙
伴函数”.下列函数中与函数 不是“伙伴函数”是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022秋·广东广州·高一广州市真光中学校考期中）若实数 ， 满足 则下列关系式
中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022秋·山西太原·高一校考阶段练习）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题20．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 的值域为 ．
21．（2020·高一课时练习）定义区间[x，x]的长度为x－x，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域
1 2 2 1
为[1，9]，则区间[a，b]长度的最小值为 .
22．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知函数 ，则不等式
的解集是 .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， 满足 ， ，则
．
【三层练能力】
一、单选题
1．（2022·天津北辰·校考模拟预测）已知 且 ，函数 在 上是单调函数，
若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，存在实数 使得
成立，若正整数 的最大值为6，则 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
二、多选题
3．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）当 时，不等式 成立．若
，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）设函数 ，则下列选项正确的是
（ ）
A． 为奇函数
B． 的图象关于点 对称
C． 的最小值为
D．若 有两个不等实根，则 ，且
三、填空题
5．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知 ，若存在 ，使得 ，
则 的取值范围为 .
6．（2022春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）将 的图象向右平移2个单位后得曲线 ，将函数 的图象向下平移2个单位后得曲线 ， 与 关于 轴对称．若
的最小值为 且 ，则实数 的取值范围为 ．
【一层练基础】参考答案
1．C
【分析】应用题设泰勒展开式可得 , 随着 的增大，数列 递减且
靠后各项无限接近于 ，即可估计 的近似值.
【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入
由题意知:
故选：C
2．D
【详解】 ， ， ，
根据 在 上是增函数，所以 ，即 .
故选：D.
3．C
【分析】根据分段函数的解析式，结合对应区间求 即可.
【详解】∵26 > 4，
∴ ，又 ，
∴ .
故选：C.4．C
【分析】根据二次函数图象特点，结合指数型函数图象的特点进行判断即可.
【详解】 的函数图象与 轴的交点的横坐标为 的两个根，
由 可得两根为a，b，
观察 的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间 与 上，
又∵ ，∴ ， ，
由可知，
当 时， 为增函数，
又由 得 的图象与y轴的交点在x轴上方，
分析选项可得C符合这两点．
故选：C．
5．D
【分析】先根据函数 且 ）的单调性判断底数 的范围，得到函数 的图象，再
利用图象平移得到函数 的图象．
【详解】解；∵ 可变形为 ，若它是增函数，则 ，
，∴ 为过点（1，0）的减函数，
∴ 为过点（1，0）的增函数，
∵ 图象为 图象向左平移1个单位长度，
∴ 图象为过（0，0）点的增函数，故选D．
【点睛】本题考查了指对数函数的单调性，以及图象的平移变化，做题时要认真观察．
6．B
【详解】试题分析：令 得 时 ，所以过定点考点：指数函数性质
7．C
【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再根据 趋近于 时的值判断即可
【详解】因为 ，故 为奇函数，排除AB，又当 趋近于 时，
远远大于 ，所有函数逐渐趋近于0，排除D
故选：C
8．C
【分析】先利用奇函数的性质 得到 ，然后在利用定义验证此时函数 为奇函数，从而得
到函数 为奇函数的充分必要条件是 ，进而根据充分不必要条件的概念作出判定.
【详解】若函数 为奇函数，由于函数 的定义域为R，
∴ ，∴ ,即 ,∴ ∴ ；
当 时， ，
即 为奇函数的充分必要条件是 或 ，
是 的非充分非必要条件； 是 的非充分非必要条件； 是 的充分不必要条
件；
故选：C.
9．B
【分析】先将不等式左右两边化为底数相同，再由指数函数的单调性解不等式即可求得 的范围，再由指
数函数的单调性即可求值域.
【详解】由 可得 ，
因为 在 上单调递增，
所以 即 ，解得： ，所以 ，即函数 的值域是 ，
故选：B.
10．D
【分析】根据函数的单调性给出不等式组，求解参数的取值范围即可.
【详解】由题意得 解得4≤a＜8.
故选：D.
11．D
【分析】由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得
答案.
【详解】由题意， ， ， ，则
.
故选：D.
12．B
【分析】根据指数函数的性质，参变分离可得 恒成立，再根据幂函数的性质计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，又 恒成立，
即 恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即 ；
故选：B
13．B
【分析】设 每年的衰变率为 ，古物中原 的含量为 ，然后根据半衰期，建立方程，将已知条件带
入取对数，利用对数性质运算即可.
【详解】设 每年的衰变率为 ，古物中原 的含量为 ，由半衰期，得 ．
所以 ，即 ．
由题意，知 ，即 ．
于是 ．
所以 ．
故选：B．
14．AC
【分析】化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解.
【详解】 , ,
,
故 为奇函数，
又 ，
在R上单调递增，
， ， ，
， ，即函数值域为
令 ，即 ，解得 ，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误.
故选：AC
15．AC
【分析】由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入 和 ，解指数不等式可判
断C，D.【详解】 ，由指数函数的性质可知： 是关于n的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
，所以 ，所以 ，
，所以 的最小值为3，故C正确；
，所以 ，所以 ，
，所以 的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
16．
【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为 ，列式求实数a的取值范围.
【详解】当 时， ，当 时， ，
因为函数的值域为 ，所以 ，解得： .
故答案为：
17．①③
【分析】根据奇函数的定义及基本初等函数的单调性，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】① ，所以函数 是奇函数，又 在 上单调递增，故
正确；
② ，所以 ，所以函数 不是奇函数，故错误；
③ ，所以函数 是奇函数， 在 上单调递增，故正确；④
，所以函数 是偶函数，故错误；
故答案为：①③
18．
【分析】分 和 两种情况讨论从而解不等式 即可.
【详解】当 时，由 ，得 ，所以 ，又因为 ，所以 ；
当 时，由 ，得 ，所以 ，又因为 ，所以 .
所以满足 成立的 的取值范围为 .
故答案为： .
19．④⑤
【分析】根据函数性质逐个分析求解即可.
【详解】①若 在 上增函数，所以只需 ，即 ，故①不正确；
②画出 和 负半轴的图象，根据图象可观察在负半轴有一个零点，又 ， ，
所以函数 只有三个零点，故②不正确；
③因为 ，所以 ，所以值域是 ，故③不正确；
④因为 ，所以 ，即最小值是 ，故④正确；
⑤因为两个函数定义域相同，且用 代替 中的 ，两个解析式完全相同，
所以图象关于 轴对称，故⑤正确.
故答案为：④⑤.
【二层练综合】参考答案
1．C
【分析】由题目观察可知 ，代入 即可发现解法.
【详解】所以 =4.755
故选：C
2．C
【分析】由函数 的图像关于点 对称得到 ，结合 是偶函数得到
，进一步得到 的周期是4，再利用周期性计算即可得到答案.
【详解】因为 是 上的偶函数，所以 ，
又 的图象关于点 对称，则 ，
所以 ，则 ，得 ，
即 ，所以 是周期函数，且周期 ，
由 时， ，则 ， ， ， ，
则 ，
则 .
故选：C
3．D
【详解】分析：先化简 得到 ，再求 的值.
详解：由题得
所以 故答案为D
点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.
4．D
【分析】由已知，利用奇函数及周期性求 ， 的函数值，即可求目标式的值.
【详解】∵ 是定义在 上的奇函数，
∴ ，又 在 上的周期为2，
∴ ， ，
∴ .
故选：D.
5．B
【分析】根据已知条件可得 的对称中心 ，对称轴 ，可得 为 的一个周期，由
、 以及 列关于 的方程组，进而可得 时，
的解析式，再利用周期性即可求解.
【详解】因为 为奇函数，所以 的图象关于点 中心对称，
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称.
根据条件可知 ，则 ，
即 为 的一个周期，则 ，
又因为 ， ，
所以 ，解得 或 （舍），所以当 时， ，
所以 ，
故选：B.
6．A
【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解.
【详解】设 ，则有 ，
是奇函数，排除D；
，排除B；
当 时， ，排除C；
故选：A.
7．B
【分析】在同一坐标系内，分别作出函数 的图象，结合图象，即可求解．
【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数 的图象，
结合图象可得： ，故选B．
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的
图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
8．C
【分析】求出 的坐标代入椭圆方程，再将 化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由 ，即 ，得 ，所以 ，因为点 在椭圆 上，所以 （ ， ），
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．A
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出 ， ， 的图象，
与 的交点的横坐标为 ， 与 的图象的交点的横坐标为 ， 与的图象的交点的横坐标为 ，从图象可以看出 ．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出
两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
10．A
【分析】由给定函数 ，求出 为偶函数时的a值，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】函数 定义域为R，函数 为偶函数，
则 , ，
而 不恒为0，因此， ，解得 或 ，
所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
11．A
【分析】根据给定的函数图象特征，利用函数的奇偶性排除BC；利用 的正负即可判断作答.
【详解】对于B， ， ，函数 是偶函数，B不是；
对于C， ， ，函数 是偶函数，C不是；
对于D， ， ，D不是；
对于A， ， ，函数 是奇函数，
且 ，A符合题意.
故选：A
12．A
【分析】根据给定条件，求出样本中心点求出b值，再分段讨论y的最大值情况作答.【详解】依题意， ， ，由 ， ，得 ，且 经
过点 ，
于是得 ，当 时， 单调递增，则当 时， ，
当 时， ，令 ， ，
求导得： ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， ，
而 ，因此当 时，细菌数 取最大值，
所以 的值为4.
故选：A
13．B
【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可.
【详解】由题意易得 定义域为R， ，即 为偶函数，
故A错误；
令 ，则 且 随 增大而增大，
此时 ，由对勾函数的单调性得 单调递增，
根据复合函数的单调性原则得 在 上单调递增，故B正确；
结合A项得 在 上单调递减，故C错误；
结合B项及对勾函数的性质得 ，故D错误.
故选：B.
14．A【解析】由题意得出 、 的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得 转化为求
函数的最值，求出函数 的最大值即可.
【详解】 为偶函数， 为奇函数，且 ①
②
①②两式联立可得 ， .
由 得 ，
∵ 在 为增函数，
∴ ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值，注意分
离参数法的应用，此题属于中档题.
15．C
【解析】根据题意知, ，代入公式 ,求出 即可.
【详解】由题意可得, 因为 ,
所以 ,即 .
所以这种射线的吸收系数为 .
故选:C
【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相
关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
16．BD【分析】分析各选项中的函数以及函数 的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，结合题中定
义可得出合适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ，单调递增区间为 ，递减区间为 ，该函数为偶函数，
值域为 .
对于A选项，令 ，该函数的定义域为 ，
，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ，
因为 ，即函数 的值域为 .
，即函数 为偶函数，A满足条件；
对于B选项，由 可得 ，即 ，解得 ，
故函数 的值域为 ，B不满足条件；
对于C选项，令 ，该函数的定义域为 ，
，令 ，则 且 不恒为零，
所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增， ，
故函数 的值域为 ，
因为 ，即函数 为偶函数，C满足条件；对于D选项，函数 的定义域为 ，D不满足条件.
故选：BD.
17．BCD
【分析】先构造函数 ， ，判断函数单调性并作图，再判断 ，
，结合图象即得两个函数值相等时对应自变量的大小关系.
【详解】设 ， ，
由初等函数的性质，可得 ， 都是单调递增函数，
画出函数 ， 的图象，如图所示，
根据图象可知，当 时， ；当 时， ，
依题意不妨设 ，则 分别是直线 与函数 图象的交点的横坐标.
当 时，若 ，则 ，故A不正确；
当 或 时，若 ，则 或 ，故B正确；当 时，若 ，则 ，故C正确；
当 时，若 ，则 ，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题的解题关键在于结合图象判断 ， ，即可判断两个函数值相等时
对应自变量的大小关系，突破难点.
18．BCD
【分析】A.由 得到 判断；BC.由 ，得到 判断；
D. 由 ，得到 ，令 ，用导数法判断.
【详解】由 得 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
选项 错误；
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，选项 正确，
因为 ，所以 ，所以 .令 ，则
，所以 在区间 上单调递增，所以 ，即 ，又
，所以 ，即 ，选项 正确.
故选：BCD
19．ACD
【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判
断.
【详解】因为 ，且 ，对A， ，所以 ，故A正确；对B，取
，所以 ，故B错误；对C，，当且仅当 取等号，又因为 ，当且仅当 取等号，所以 ，
当且仅当 取等号，因为 ，所以不能取等号，故C正确；对D，当 ，
，所以 ；当 ， ，所以
，当且仅当 取等号，因为 ，所以不能取等号，
故D正确.
故选：ACD.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
20．
【分析】令 ，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解： ，
设 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在 的值域为 ．
故答案为： ．
21．2
【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间 ， 的长度的最小值．
【详解】∵函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，又 ，∴0∈[a，b].2和－2至少
有一个属于区间[a，b]，
故区间[a，b]的长度最小时为[－2，0]或[0，2]，即区间[a，b]长度的最小值为2.
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查绝对值不等式的解法，属于中档题.22． ，
【分析】先构造函数 ，得到 关于 对称，且单调递增，再结合对称性
与单调性将不等式 转化为 即可求解．
【详解】构造函数 ，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到 ，
的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称．
不等式 等价于 ，
等价于
结合 单调递增可知 ，
所以不等式 的解集是 ， ．
故答案为： ， ．
23．1
【分析】由 可变形为 ，故考虑构造函数 ，判断函
数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求 .
【详解】因为 ，化简得 ．
所以 ，又 ，
构造函数 ，因为函数 ， 在 上都为增函数，
所以函数 在 上为单调递增函数，
由 ，∴ ，
解得 ， ，
∴ ．
故答案为： .
【三层练能力】参考答案
1．A
【分析】根据题意分析 ， 且 可得 只能是减函数，再结合分段函数的单调性
可得 ，再画图分析 与 的图象恰有2个交点时满足的不等式求解即可
【详解】先分析函数 ， 且
易得 ，因为 ，可得图象：
因为函数 在 上是单调函数，故 只能是减函数，且 ，即 .故当时， ，结合 可得 .故 ，又关于 的方程
恰有2个互异的实数解，即 与 的图象恰有2个交点，画出图象：
可得 ，解得 .综上有
故选：A
2．C
【分析】分类讨论 的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
【详解】记
因为 ，所以 ，所以
当 时， ，所以 ，
取 ，
则对任意正整数 ，总有 成立，故舍.
当 时， ，所以
要使正整数 的最大值为6，则 ，解得 ；
当 时， ，所以
显然存在任意正整数 ，使得 成立；当 时， ，所以
要使正整数 的最大值为6，则 ，解得
综上， 的取值范围为
故选：C
3．AD
【分析】将给定不等式变形，构造函数 ，利用函数单调性，逐项分析判断作答.
【详解】当 时，不等式 ，令 ，则 在 上单调递
增，
因 ，则 ，A正确；
因 ，则 ，B不正确；
由 知， ，有 ，则 ，
由选项A知， ，即 ，C不正确；
由 得， ，则 ，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解作答的关键.
4．BD
【分析】A由奇偶性定义判断正误，B判断 是否成立即可，C应用特殊值法有
，即可判断正误，D由题设方程有两个不等实根，令 转化为当 时，
在 上 有两个零点；当 时，在 上 有两个零点，应用导数研究单调性并确定极值，根据极值的符号求参数范围.
【详解】A： ，错误；
B： ，即 的图象关于点 对称，正确；
C：当 时， ，错误；
D：由题意有 ，整理得 有两个不同实根，显然 ，令 ，
∴当 时，在 上 与 有两个交点，即 有两个零点，
若 得 ，则 上 ， 单调递减； 上 ，
单调递增；
又 ， ，故仅需 在 上有两个零点，则 ；
当 时，在 上 与 有两个交点，即 有两个零点，
若 得 ，则 上 ， 单调递增； 上 ，
单调递减；
又 ， ，故仅需 在 上有两个零点，则 ；
综上， 有两个不等实根，则 ，且 ，正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：D选项，将问题转化为：当 时，在 上 有两个零点；
当 时，在 上 有两个零点，进而应用导数研究单调性，根据条件成立时极值的符
号求参数范围.
5．【分析】先讨论 、 与1的大小关系确定 、 ，进而确定 的取值范围，再结合函数的单调
性进行求解.
【详解】①当 时，则 ， ，
又由 ，得 ，
所以 ，则 ；
②当 时，因为 ， ，
所以不存在 ，使得 ；
③当 时，则 ， ，
又由 ，得 ，
则 ， ，
令 ，则 在 上单调递增，
所以 ，则 ；
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： .
6． .
【详解】试题分析：首先应求出 的表达式，曲线 对应的函数式为 ，曲线 与 关于
轴对称，因此 的函数解析式为 ， 向上平移2个单位，就是函数
的图象，则 . ，其最小值大于 ，说明函数的最小值大于 .下面观察函数 ，若 ，则当
时， ， 无最小值，同理当 时， 时 ， ， 无
最小值，因此 ， ，当且仅当
时等号成立，即 最小值为 ，从而 ，解得 .
