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第 11 讲 圆中的计算（压轴题）
（限时120分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点O为中心，连接
AG，BH，CI，DJ，EK，FL（A，G，H三点共线），若CI=2,IJ=3，则正六边形ABCDEF的
边长为（ ）
A．√3 B．5 C．√19 D．19
2．（2024·安徽·三模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为AD边上一点（不与A、D重合），
连接BP，过C点作CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点，则DF的最小值是（ ）
A．3 B．√13−2 C．√10 D．√10−1
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，A在半径为3的⊙O上，B为⊙O上一动点，将射线BA绕B逆时针
旋转120°交⊙O于C，取BC的中点D，求在B的运动过程中D的路径长为（ ）
√3
A．2π B． π C．π D．√2π
2
4．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆
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2
心角为120°的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒 π米的速
3
度沿曲线向右运动，则在第2024秒时点P的纵坐标为（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．1
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将A´C沿AC翻折与AB交于点
D．若OA=3cm，B´C的度数为40°，则A´D=（ ）cm．
5
A．3 B．π C．5π D． π
3
6．（2023·广西南宁·一模）如图，在△ABC中，BC=10，点O为AB上一点，以5为半径作⊙O分别与
BC，AC相切于D，E两点，OB与⊙O交于点M，连接OC交⊙O于点F，连接ME，FE，若点D为BC
的中点，给出下列结论：①CO平分∠ACB；②点E为AC的中点；③∠AME=22.5°；④M´F的长度为
5
π；其中正确结论的个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·宁夏银川·一模）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，
分别交对角线AC于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．4π−8 B．2π−4 C．π−2 D．8π−16
8．（2024·河北邯郸·三模）如图，在⊙O中，直径AB=8，点D为AB上方圆上的一点，∠ABD=30°，
OE⊥BD于点E，点P是OE上一点，连接DP，AP，得出下列结论：Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的
8
位置的改变而改变，其最小值为 π．Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为
3
4
8+ π．下列判断正确的是（ ）．
3
A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确
9．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段AB=4，点M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，
线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．2√2 D．3√2
10．（2024·广东东莞·三模）如图，将以O为中心点的量角器与含30°角的直角三角板紧靠着放在同一平
面内，此时点D，C，B在同一条直线上，且DC=2BC．过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，
则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ）
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A．30° B．45° C．50° D．60°
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，AB为圆O的弦，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交AB的延
长线上于点D，BD=四分之一AD，连接AC，若AB=6，BC=√5，则AC的长度为 ．
12．（2024·广东广州·模拟预测）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，
⊙O的切线与BC的延长线交于点F，AE=2，ED=4．则（1）弧AB的长＝ ；（2）CF=
．
13．（2024·山西长治·模拟预测）如图，MN为⊙O的直径，ME，NF是它的两条切线，AB与⊙O相切
于点B，并与ME，NF分别相交于A，C两点，AN，OC相交于点D，若MN=8，AC=10，则DN的长
为 ．
14．（2024·贵州黔东南·二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，BD平分
∠ABC，AE，BD相交于点F，且AF=6，DF=2√2，则AC的长为 ．
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15．（2024·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星
MN
形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则 = ．
AM
16．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧
长度的“会圆术”，如图．A´B是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在A´B上，
CD2
CD⊥AB．“会圆术”给出A´B长l的近似值s计算公式：s=AB+ ，当OA=2，∠AOB=90°时，
OA
|l−s|= ．
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·山西·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，射线BD⊥AB，AB=10，
AC=6．CP与⊙O相切时，连接CP，求BP的长．
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18．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们
探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若圆柱的
高AB为2cm．底面直径BC为8cm．
问题解决：（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和π）；
拓展迁移：如图2，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8，底面圆半
径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，⊙O与边
AB交于点D，E为BD的中点，连接CE，与AB交于点F．
(1)求证：AC=AF；
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(2)当F为AB的中点时，求证：FC=2EF，
20．（2024·上海金山·三模）已知：以AB为直径的⊙O中，弦CD⊥AB，垂足为E，CD=2√3，AE=3．
(1)如图，求⊙O的周长；
(2)如图，P为优弧CD上一动点（不与A、C、D三点重合），M为半径OP的中点，连接ME，若
∠MEO=x°，弧AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)如图，在（2）的条件下，过点P作PN⊥CD于点N，连接MN，当tan∠PNM=2−√3时，求PN的
长，并判断以OP为直径的圆与直线ON的位置关系．
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21．（2024·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB纸片，∠AOB=90°，OA=10，P是半径OB上的一动点，
连接AP，把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为Q．
(1)当AQ⊥AO时，求折痕AP的长；
(2)如图2，当点Q恰好落在A´B上，
①求线段AP利A´Q的长，并比较大小；（比较大小时
可参考数据π≈3.1，√3≈1.7）
②求阴影部分的面积（结果保留根号）．
22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，过⊙O上的动点D作⊙O的切线AD，在⊙O上取点B（异于点
D），使得AB=AD，弦CD∥AB，连接AC交⊙O于点F，连接DF并延长，交AB于点E，连接BC．
(1)求证：AB是⊙O 的切线；
(2)记△AEF，△ADF；△DCF的面积分别为S ，S ，S ，当S +S =S
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AF
时，求 的值；
CF
(3)设⊙O的半径为R，当 DE∥CB时，求四边形BCDE的面积．（用含R的式子表示）
23．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点 O作AC
的垂线，垂足为 D，分别交直线BC，⊙O于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
(1)求证AC=CG．
(2)若点E在CB的延长线上，且EB=CG，求∠BAC的度数．
(3)当BC=6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化? 请描
述变化过程，并说明理由．
24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E
是菱形ABCD的对称中心，点F、M、N分别是边AB、AD、CD的中点，连接MN，点P是线段MN上的
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动点，连接PE、PF，求PE+PF的最小值；
【问题解决】（2）如图2，某市有一块未开发的四边形绿地ABCD，经测量，AD=3km，CD=3√3km，
∠BAD=120°，AD∥BC，AD⊥CD，点D处有一个水塘，绿地中有两条弧形小路劣弧A´C和劣弧
G´H，点G、H分别在边AB、CB上，G´H所对的圆心角为60°，BH=BG=4km．现计划沿MP、PD修
建景观水渠，并沿△EFM的三边乔木类的树木方便市民纳凉，点E、F、M、P分别是BG、BH、G´H、
A´C上的动点．为节约成本要求PD+PM值最小，同时要求△EFM的周长最小．请你求出PD+PM的最
小值以及此时△EFM周长的最小值．
25．（2021·河北邯郸·三模）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s
的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动
（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)如图1，几秒后，△BPQ的面积等于8cm2？
(2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、PA为半径的⊙P与BD相切，求t值；
(3)若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．如图3，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值范围
为 ．（直接写出结果，不需说理）
10
