专题03利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年新高考导数专项重点难点突破（新高考专用）

专题03 利用函数的单调性求参数取值范围 一、单选题 1．已知函数 在 上为单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】 ， 因为 在 上为单调递增函数，故 在 上恒成立， 所以 即 ，故选：A. 2．若函数 在区间 内单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由 ， 因为函数 在区间 内单调递增， 所以有 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 因为 ，所以由 ， 因为 ，所以 ，于是有 ，故选：D 3．若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0） 【解析】 ，由题意得： ， 即 在 上恒成立，因为 ，所以 恒成立，故实数a的取值范围是 .故选：B 4．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意 在 上恒成立， ， 时， 是增函数， （ 时取得），所以 ．故选：A． 5．若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由 可得： . 因为函数 在区间 内存在单调递增区间， 所以 在 上有解，即 在 上有解. 设 ，由 在 上恒成立，所以 在 单调递增，所以 .所以 .故选：D 6．已知函数 存在三个单调区间，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D．【解析】由题意，函数 ，可得 ， 因为函数 存在三个单调区间，可得 有两个不相等的实数根， 则满足 ，解得 或 ， 即实数 的取值范围是 .故选：C. 7．若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】函数 ， .则 ， 因为 在区间 上单调递减， 则 在区间 上恒成立，即 ，所以 在区间 上恒成立， 所以 ，解得 ，故选：A. 8．已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 或 【解析】因为函数 在 上单调递增， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 由 在 上单调递增知， ，所以 ，故选：C 9．若 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【解析】由 ，得 ， 因为 是R上的减函数， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 由于 ，所以 ．故选：B. 10．若函数 在区间 上单调递减， 则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】函数 ， 对 恒成立. ， 当 时， . 令 ，欲使 恒成立， 只需满足 ，当 时，恒成立，即 ， 设 ， ，，当 时，等号成立， 即 .故选：D 11．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解析】由函数 ，且f(x)在区间 上单调递减， ∴在区间 上,f′(x)=−sin2x+3a(cosx−sinx)+2a−1≤0恒成立， ∵设 ， ∴当x∈ 时, ,t∈[−1,1]，即−1≤cosx−sinx≤1， 令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立， 令g(t)=t2+3at+2a−2，只需满足 或 或 ， 解得 或 或 ，综上，可得实数a的取值范围是 ，故选：A. 二、多选题 12．若函数 ，在区间 上单调，则实数m的取值范围可以是（ ） A． B． C． D．【解析】定义域为 ， ；由 得函数 的增区间为 ； 由 得函数 的减区间为 ；因为 在区间 上单调， 所以 或 解得 或 ；结合选项可得A,C正确.故选：AC. 三、填空题 13．若函数 有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 【解析】 ，由于函数 有三个单调区间， 所以 有两个不相等的实数根，所以 .故答案为： 14．已知函数 ，若 的单调递减区间是 ，则实数 的值为 ________. 【解析】由 ，得 ， 因为 的单调递减区间是 ，所以 的解集为 ， 所以 是方程 的一个根，所以 ，解得 15．若函数 在 单调递增，则实数m的取值范围为________. 【解析】由 ，得 ， 若函数 在 单调递增， 则 在 上恒成立， 令 ， ，则 ， 再令 ， ，则 ，因为 ， 所以 ，所以 在 上恒成立，则 在 上单调递增，故 ； 当 时，得 ，此时 ，则 在 上单调递增， 则 ，此时符合 在 上恒成立； 当 时，得 ， ，使得 ， 故 时， ，即 ， 时， ，即 ， 故 在 上单调递减， 则当 时， ，此时 ，不合题意； 综上，实数m的取值范围为 . 16．已知函数 ， ， .对于任意 ，且 ，必有 ，则 的取值范围是___________. 【解析】 定义城为 . .故 在 内单调递增. 对于任意 ，不妨设 ， 则 .故 ， ， 在 内单调递增. 故 在 恒成立，即 恒成立，可知 .∴ 的取值范围为 . 17．已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是______. 【解析】 ，因为函数 在 上不单调， 所以 必有解， 当 只有一个解时，得出函数 在 上单调递增，与题干矛盾，故 必有两个不等实根 则 ，解得 或 18．若实数 ， ，则函数 在区间 单调递增的概率为 ___________. 【解析】由题意 在 上恒成立，二次函数的对称轴是 ， 因此 在 上单调递增，所以 ， 易知满足 的点 据区域为图中正方形 ，面积为 ， 又满足 的 在正方形 在圆 外部的部分，面积为 ， 所以概率为 ． 19．若函数 在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________. 【解析】 函数 ， ， 若函数 在区间 上不单调，则 在 上存在变号零点， 由 得 ，令 ， ， ， 在 递减，在 递增，而 ， ， ， 所以 .故答案为： . 四、解答题 20．已知函数 .（1）若 在区间 上为增函数，求a的取值范围. （2）若 的单调递减区间为 ，求a的值. 【解析】（1）因为 ，且 在区间 上为增函数， 所以 在 上恒成立，即 在(1，+∞)上恒成立， 所以 在 上恒成立，所以 ，即a的取值范围是 （2）由题意知 .因为 ，所以 . 由 ，得 ，所以 的单调递减区间为 ， 又已知 的单调递减区间为 ，所以 ，所以 ，即 . 21．已知函数 . (1)若 ，求函数 的极值； (2)若函数 在 上单调递增，求a的取值范围. 【解析】(1)当 时， ，则 ， 令 ，得 ， ， 和 的变化情况如下表 3 0 递减 极小值 递增 所以当 时， 取得极小值 ，无极大值(2)由 （ ），得 （ ）， 当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递增， 当 时，由 ，得 ， ， 和 的变化情况如下表 0 递减 极小值 递增 因为 在 上单调递增，所以 ，得 ， 综上，a的取值范围为 22．已知 ，函数 ， 为自然对数的底数）． (1)当 时，求函数 的单调递增区间； (2)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围； 【解析】(1)当 时， ， 令 ，得 ， 的单调递增区间是 ； (2) ，若 在 内单调递增，即当 时， ， 即 对 恒成立，即 对 恒成立， 令 ，则 ， 在 上单调递增， ， ，当 时，当且仅当 时， ， 的取值范围是 ． 23．已知函数 ． (1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数a，b的值； (2)若函数 在区间 上存在单调增区间，求实数a的取值范围； (3)若 在区间 上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）． 【解析】(1)因为 ，所以 ， 因为曲线 在点 处的切线方程为 ， 所以切线斜率为1，即 ， ，所以 ． (2)因为函数 在区间 上存在单调增区间， 所以 在 上有解，即只需 在 上的最大值大于0即可． 令 ，当 时， 为增函数， 当 时， 为减函数，所以，当 时， 取最大值 ， 故只需 ，即 ．所以实数a的取值范围是 ． (3) 24．1.已知函数 . (1)若函数 在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数 的单调递减区间是 ，求实数a的值； (3)若函数 在区间 上单调递减，求实数a的取值范围. 【解析】(1)易知 .因为 在R上单调递增，所以 恒成立，即 恒成立， 故 .经检验，当 时，符合题意，故实数a的取值范围是 . (2)由（1），得 . 因为 的单调递减区间是 ，所以不等式 的解集为 ， 所以-1和1是方程 的两个实根，所以 . (3)由（1），得 . 因为函数 在区间 上单调递减，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立. 又函数 在 上的值域为 ，所以 .故实数a的取值范围是 . 25．已知函数 . （1）当 时，求函数 的最值 （2）若函数 在区间 上是减函数，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当 时， ， 则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 有最大值0，无最小值； （2） ，因为函数 在区间 上是减函数， 所以 在区间 上恒成立， 令 ，则 ，所以 在区间 上递减，所以 ， 则 ，即 ，即 ，解得 或 ， 所以实数a的取值范围 . 26．已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围. 【解析】（1）当 时， ， 则 ， 所以 ， 所以，所求切线方程为 ，即 . （2）设 ，则 ， 所以 在 上单调递减，从而 ，即 . （i）当 时， ，则 ，则 ， 若 在 上单调递增，则 对于任意的 恒成立， 即 .因为 ，所以当 时， ， 所以 ，又 ，此时 的取值范围为 （ii）当 时， ，则 ，则 ， 若 在 上单调递增，则 对于任意的 恒成立， 即 .因为 ，所以当 时， ，所以 ，此时 的取值范围为 . （iii）当 时，则存在唯一的 ，使得 . 当 时， ，即存在 且 ，使得 ， 从而 ，即 ，这与“ 在 上为增函数”矛盾， 此时不合题意.综上，实数 的取值范围 27．已知函数 ， ，其中 ． (1)当 时，求函数 的极值； (2)若存在区间 ，使得 与 在区间 上具有相同的单调性，求实数 的取值范围． 【解析】 (1)当 时， ，定义域为 ，则 ， 故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增． 所以 在 处取得极小值，且 ，无极大值． (2)由题意知， ， ． 当 时， ，即 在R上单调递增，而 在 上单调递增， 故必存在区间 ，使得 与 在区间 上单调递增； 当 时， ，故 在 上单调递减，而 在 上单调递增，故不存在满足条 件的区间 ； 当 时， ，即 在 上单调递减，而 在 上单调递减，在上单调递增，若存在区间 ，使得 与 在区间 上有相同的单调性，则 有 ，解得 ． 综上可知， 的取值范围为 ．