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大题 01 数与式及方程（组）中的计算问题（10 大题型）
数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简
单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心
而丢分.
题型一： 数与式的计算问题
1．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：
√12−(π−3.14) 0+|2−√3|−2sin60°；
a2−4a+4 ( 3 )
（2）计算： ÷ a+1− ．
a−1 a−1
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：− ( − 1) −3 +tan60°+|√3−2|+(π−2024) 0 ．
2
3．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：42+10÷(−1)+√8+|3−√2|；
a a2−1 1
（2）计算： ⋅ + ．
a+1 a2 a
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实数计算的易错点：
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3） ，
在计算中常用的锐角三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
1 √2 √3
sin α
2 2 2
√3 √2 1
cos α
2 2 2
√3
tan α 1 √3
3
1．（2025·云南·模拟预测）计算 |√10−2|− √ 1 +(−2) 2−(−√3) 0+√3−27．
16
∶
(
m2
)
2m2+4m
2．（2025·重庆·模拟预测）计算：(1)(2x+ y) 2+ y(3x−y)；(2) m− ÷ ．
m−2 m2−4m+4
题型二： 判断数与式计算过程的错误步骤
a−b ( 2ab−b2 )
÷ a−
1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式 a a 的部
分运算过程：
a−b a−b 2ab−b2
解：原式= ÷a− + …………第一
a a a
步
a−b 1 a−b a
= ⋅ − ⋅ …………第二步
a a a 2ab−b2
a−b a−b
= − …………第三步
a2 2ab−b2
……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
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(2)请你写出完整的解答过程．
2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算
−22−(−1) 10+|−6|+33
时，小亮的计算过程如下：
√3tan30°−√364×(−2) −2+(−2) 0
解： −22−(−1) 10+|−6|+33 4−(−1)−6+27 4+1−6+27
= = =−2
√3tan30°−√364×(−2) −2+(−2) 0 √3×√3−4×22+0 3−16
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，
并依次标注序号：
① ；② ；③ ；
−22=4 (−1) 10=−1 |−6|=−6
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：( 2 1) x2−3x ，其中x是方程 的根．
− ⋅ x2−2x−3=0
x−3 x x2+6x+9
1．（2025·河北邯郸·一模）如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程．
解：−22−|1−√3|+(√2+π) 0+2cos30°
1
=−4−1+√3+1+2× =……
2
① ② ③ ④
(1)在① ④的计算结果中，有错误的是_________（填序号）；为了区分 和 ，请直接写出
∼ (−2) 2 2−2 (−2) 2=
_________，2−2=________；
(2)对于这道作业题，请给出正确的计算过程．
2．（2025·贵州·模拟预测）（1）化简： ；
(3x+2) 2−(3x−1)(1+3x)
（2）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：
a(a+2b)−(a−1) 2−2a
第一步
=a2+2ab−(a2−2a+1)−2a
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=a2+2ab−a2−2a−1−2a第二步
=2ab−4a−1．第三步
①小丽的化简过程从第________步开始出现错误，出错的原因是________________________；
1
②请对原式进行化简，并求当a= ，b=−6时原式的值．
4
题型三： 数与式的实际应用
1．（2023·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段
的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行
分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两
名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确
1 1
定赛程，不再抽签，然后进行 决赛， 决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队
8 4
决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在C组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个C组分组积分赛对阵
表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
2．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种
小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小
麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am(a>1)的正方形去掉一个边
长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为(a−1)m的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
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一、理解问题背景
首先，仔细阅读题目，理解问题的背景和具体要求。数与式的应用题通常涉及具体的场景，如财务
计算、物理问题等。明确题目中给出的条件和要求解的目标，是找到解题方向的第一步。
二、抽象出数学模型
将实际问题中的数量关系抽象为代数式，是解决数与式问题的核心。例如，题目中可能描述一个增
长或减少的趋势，你需要将其转化为相应的数学表达式。这一步骤要求对代数式的概念和性质有深入的
理解，善于从文字描述中提取关键信息，并将其转化为数学语言。
三、选择合适的解题方法
数与式的解题方法多种多样，选择合适的方法是提高解题效率的关键。例如，对于涉及实数运算的
问题，灵活运用运算法则和运算律可以简化计算过程；在比较实数大小时，可以使用数轴比较法或类别
比较法；对于分式的混合运算，注意运算顺序和通分技巧；在因式分解时，根据多项式的项数选择合适
的分解方法，如提公因式法、公式法等。
四、进行运算和求解
在抽象出数学模型并选择好解题方法后，进行具体的运算和求解。这一步骤要求对基本的数与式运
算法则熟练掌握，并注意运算的准确性和规范性。在运算过程中，可以利用计算器或数学软件辅助计
算，但要注意检查结果的合理性。
五、验证和反思
解题完成后，不要急于提交答案，而是对解题过程和结果进行验证和反思。检查运算过程中是否存
在错误，结果是否符合实际问题的要求。通过反思，总结解题经验，找出自己的不足之处，以便在今后
的解题中不断改进和提高。
1．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
a a+1
已知3a>b>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵ ，∴ ．
(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1) 2+1>0 x2+1>2x−1
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
23 22
(2)比较大小： __________ ．（填“>”“=”或“<”）
68 65
2．（2025·广东清远·一模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正
巧数”．例如：8=32−12，16=52−32，因此8，16都是“正巧数”．
(1)请写出一个30到50之间的“正巧数”：______；
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(2)已知x，y为正整数，且x>y，若(x+3)(x−3)+ y2−2xy是“正巧数”，求xy的最小值．
3．（2025·河北·模拟预测）老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚．
计算：(■x2+6x+8)−3(2x+x2−1)
解：
(1)小明认为“■”是“−1”，请求出这道题的结果；
(2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题：
①小刚说：“当x的值是−1时，这道题的值为−2”，求此时系数“■”的值；
②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值．
题型四： 化简求值问题
( 4 ) x2−2x
+x−2 ÷ +3
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值： x+2 x2−4 ，
7
其中x=− ．
2
2．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
1−m2 m−1 m−3
(2)化简： ÷ ⋅ ．
|m−3| 2 m+1
2x−6 ( 6x−9)
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值： ÷ x− ，并从−1，0，1，2，3中
x x
选一个合适的数代入求值．
一、理解题目类型
首先，明确题目是属于整式化简、分式化简还是三角函数化简等。不同的题目类型有不同的化简方
法和技巧，理解题目类型是解题的首要步骤。
二、直接代入法
当已知条件中给出的数值较为简单且明确时，可以直接将数值代入所求代数式中进行计算。这种方
法适用于代数式结构简单的情况，能够快速得到答案。
三、化简已知条件
若已知条件复杂，需先对已知条件进行化简。利用代数运算法则、因式分解、配方等方法，将复杂
的表达式化简为简单的形式。例如，利用完全平方公式、二次根式的非负性等性质进行化简。
四、结论化简式
对于结论复杂的题目，需对结论进行化简。观察代数式的结构特点，找出其中的规律，利用乘法分
配律、合并同类项等方法进行化简。有时，需要将结论转化为完全平方公式或其他常见形式，以便代入
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已知条件求解。
五、整体代入法
当题目中存在多个变量且难以单独求解时，可以考虑使用整体代入法。先将代数式化简为只含有一
个或多个整体的形式，再将整体代入求解。这种方法能够简化计算过程，提高解题效率。
六、利用“无关”求值
若题目中要求代数式的值与某个变量无关，则可以通过令该变量的系数为 0来求解。这种方法常用
于整式的加减运算中，通过去括号、合并同类项等步骤，找到与变量无关的项。
七、逐个化简代入
对于结构复杂的代数式，可以通过逐个化简凑整的方法求解。将代数式分解为多个部分，逐个化简
为已知条件的形式，然后整体代入求解。
八、三角函数化简技巧
针对三角函数化简问题，要熟练掌握三角函数公式，如诱导公式、和差公式、倍角公式等。通过通
分、简化角度、统一函数名等步骤，将复杂的三角函数表达式化简为简洁的结果。
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求值：(−x+5 ) x2−2x ，其中 ．
+1 ÷ x=tan60°
x−2 x2−4x+4
2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上点A表示的数为√2+1，点B表示的数为1，点A关于点B的
对称点为C．点C表示的数为m．
(1)求m的值；
(2)化简： ；
|m|+(√2+m) 2025
题型五： 规律探索问题
1．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2
个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，
则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
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A．20 B．21 C．23 D．26
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ， ， ， ， ，
A (1,−√3) A (3,−√3) A (4,0) A (6,0) A (7,√3)
1 2 3 4 5
， ， …，依此规律，则点 的坐标为 ．
A (9,√3) A (10,0) A (11,−√3) A
6 7 8 2024
【数与式、图形的规律问题命题预测】数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难
度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应
结合各式或图形的序号进行前后对比分析。主要考査学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，要求
学生通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.
【平面直角坐标系中的规律问题 (旋转、平移、翻滚、渐变等)命题预测】该题型主要以选择、填空的形
式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或
点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结
合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了
“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解
决问题的能力具有很高的要求。
1．（2024·贵州·模拟预测）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习醇类化学
式时，甲醇化学式为CH OH，乙醇化学式为C H OH，丙醇化学式为C H OH⋯ ，按此规律，当碳原子的
3 2 5 3 7
数目为n（n为正整数）时，醇类的化学式通式是（ ）．
A．C H OH B．C H OH
n 3n n 2n+1
C．C H OH D．C H OH
n 2n n 2n−1
a3 a5 a7 a9 a11
2．（2024·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：−a， ，− ， ，− ， ，⋯，第n
2 3 4 5 6
个单项式是（ ）
(−1) n ⋅a2n+1 (−1) n ⋅a2n−1 (−1) n−1 ⋅a2n−1 (−1) n ⋅a2n−1
A． B． C． D．
n n+1 n n
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨
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辉三角”．此图揭示了 （ 为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．
(a+b) n n
请仔细观察，填出 的展开式中所缺的项： ．
(a+b) 4 (a+b) 4=a4+4a3b+ +b4
题型六： 解方程（组）或不等式（组）
x2+2x−1=0
1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程： ；
（2）解不等式组¿．
2．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：¿并求所有整数解的和．
3 x
3．（2024·福建·中考真题）解方程： +1= ．
x+2 x−2
一、解方程组的思路
1. 代入消元法
1）选择一个方程，将其变形为一个未知数表示另一个未知数的形式。
2）将这个表达式代入另一个方程，从而消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。
4）将这个值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
2. 加减消元法
1）通过适当的变形，使两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数。
2）将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。
4）将这个值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
3. 合并同类项法
1）适用于方程组中某些项可以直接合并的情况。
2）通过合并同类项简化方程，再利用代入消元法或加减消元法求解。
二、解不等式组的思路
1. 一元一次不等式组
1)分别求出每个不等式的解集。
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2)在数轴上表示出每个不等式的解集。
3)找出这些解集的公共部分，即为不等式组的解集。
1．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x2−4x+3=0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
2．（2025·湖北恩施·一模）解下列方程：(1)x2−2x−4=0；(2)3x(x−1)=2(x−1)．
题型七： 判断解方程（组）或不等式（组）的错误步骤
7x 4x−1
= +1
1．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 3 6 时，第一步出现了错误：
解：2×7x=(4x−1)+1，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
2．（2023·宁夏·中考真题）解不等式组¿
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：4−2(2x−1)>3x−1 第1步
4−4x+2>3x−1 第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7 第3步
x>1 第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
x x−3
1．（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小丁： 小迪：
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解：去分母，得x−(x−3)=x−2 解：去分母，得x+(x−3)=1
去括号，得x−x+3=x−2 去括号得x+x−3=1
解得x=5 合并同类项得2x−3=1
∴原方程的解是x=5 解得x=2
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
(1)你认为小丁的解法_____，小迪的解法_____；（填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
2x+1 3x−2
2．（2025·江西南昌·模拟预测）下面是小友同学解不等式 > −2的运算过程：
3 2
解：去分母，得2(2x+1)>3(3x−2)−12， ①
去括号，得4x+2>9x−2−12， ②
移项，得4x−9x>−2−12−2， ③
合并同类项，得−5x>−16， ④
(1)以上解题过程中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；
(2)请写出该不等式正确的求解过程．
题型八： 含参问题
x,y ¿ x−y=4
1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，
则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为
．
1 1
3．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x 、x ，且 + =3，则
1 2 x x
1 2
p的值为（ ）
2 2
A．− B． C．−6 D．6
3 3
x mx
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程 =3− 的解为正整数，则整数m的值为 ．
x−1 1−x
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这
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类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元
一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题;二是利用整体思想，求代数式的值，结
合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决
2).分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关
键是化分式方程为整式方程，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未
知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.
3).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解一元二次方程的解的情况、一元二次方
程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不
能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x 、x ，则x + x = 注意
1 2 1 2
运用根与系数关系的前提条件是 ，知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求
代数式变形为含有 的式子，再运用根与系数的关系求解.
4).不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式(组)有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类
问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围，已知不等式(组)的解售情
况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式(组)解集的定义，反推出含字母的方
程，最后求出字母的值.
1．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组¿所有整数解的和为14，求整数a的值．
1−kx 1
2．（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程 = 有增根，则k 的值为 ．
x−2 2−x
3．（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程x2+(m−1)x−2=0的两实数根为x ，x ，若
1 2
x x −x −x =2，则m的值为（ ）
1 2 1 2
A．1 B．−5 C．3 D．5
题型九： 根的判别式和根与系数综合
x x2−(m+2)x+m−1=0
1．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值．
x ,x x2+x2−x x =9 m
1 2 1 2 1 2
2．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实
数根x 和x ．
1 2
(1)填空：x +x =________，x x =________；
1 2 1 2
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1 1 1
(2)求 + ，x + ；
x x 1 x
1 2 1
(3)已知 ，求 的值．
x2+x2=2p+1 p
1 2
1．（2024辽宁锦州模拟预测）阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x ，x ，
1 2
b c
那么x +x =− ，x ⋅x = ．借助该材料完成下列各题：
1 2 a 1 2 a
1 1
(1)若x ，x 是方程x2+6x−3=0的两个实数根，则x +x = ， ⋅ = ．
1 2 1 2 x x
1 2
m2+8
(2)若x ，x 是方程x2−(m−3)x+ =0的两个实数根，且x2+x2=19，求m的值．
1 2 4 1 2
题型十： 新定义问题
m∗n=mn−mn
1．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：
（m，n均为整数，且m≠0）．例：2∗3=23−2×3=2，则(−2)∗2= ．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数a，b定义运算“※”为a※b=a+3b，例如
5※2=5+3×2=11，则关于x的不等式x※m<2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 ．
3．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算： 例如： ， ．
a⊗b=¿ −2⊗4=(−2) 2−4=0 2⊗3=−2+3=1
3
若x⊗1=− ，则x的值为 ．
4
新定义运算的规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.
这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度.
1．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb=a+2b；当a1，求x的取值范围．
2．（2024·甘肃·模拟预测）在正数范围内定义一种运算：M(a,b)=a2−2ab+b2，如
M(1,3)=1−2×1×3+32=4，若M(2,m)=9，则m的值为 ．
=A×B+B×C−C÷A
3．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算： ．
=3×5+5×6−6÷3=43
如： ，则 的值为( )
A．18 B．20 C．28 D．32
√1
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）计算−22× −√38+√9×(−1) 2025．
4
2．（2025秦皇岛市模拟）观察下面的解题过程．
x(x+4)
x+2−
x+2
先化简，再求值： ，其中 ．
(x+2)(x+2) x(x+4)
解：原式= − ①
x+2 x+2
=(x2+4x+4)−(x2+4x)②
=4．③
(1)解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的x的值．
3．（2025·海南三亚·模拟预测）综合与实践
古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期
7天、一年12个月、一小时60分钟的记时方法。某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，
过程如下：
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【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，
也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011) 就是二进制数1011的简单写法．十
2
进制数一般不标注基数．
③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．
规定当a≠0时，a0=1．
如：3721=3×103+7×102+2×101+1×100；
.
(421) =4×72+2×71+1×70
7
【解决问题】
任务一、将(1101) 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。
2
(1101) =________．
2
任务二、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）：
(11011) +(1101) =(101000) ；
2 2 2
(11011) −(1101) =________．
2 2
任务三、已知2025年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到本年6月25日的天数，并判
断6月25日是星期几．（天数算法举例：2025年1月1日至本年1月6日的天数为6天）
4．（2025·陕西咸阳·一模）先化简，再求值： ，其中 ， ．
(x2y+3x y2)÷ y−(x−3)(x+3) x=1 y=−2
5．（2025·江西南昌·模拟预测）【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发
现了有趣的数学规律：
方框一：7×14−6×15=8．
方框二：11×18−10×19=8．
【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式：
【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律．
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x−1 2
6．（2025·陕西咸阳·一模）解方程： =1+ ．
x+3 x−3
7．（2025·陕西西安·二模）解不等式组：¿
8．（2025·广东深圳·一模）（1）解方程：2x2−6x−15=0
（2）茗茗同学在解关于x 的方程ax2−6x−15=0时，过程如下：
第一步：a=a，b=−6，c=−15，
第二步：
△=(−6) 2−4×a×(−15)=36+60a
3 6+√36+60a 6−√36+60a
第三步：当△≥0（即a≥− ）时，x = ,x = ；当△<0时方程无解
5 1 2a 2 2a
你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________．
你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________．
9．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组¿的解也是方程3x+my−8=0的一个解，则m的值为 ．
10．（2025·湖北恩施·一模）已知关于x的一元二次方程x2−(k+4)x+4k=0(k≠0)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若x 、x 是该方程的两个根，且2x +2x =3x x ，求k的值．
1 2 1 2 1 2
11．（2025黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义新运算：对于任意实数a、b，都有 a⊕b=a(a−b)+1等式右
边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×(2−5)+1=2×(−3)+1=−6+1=−5 ．
(1)若 x⊕(−4)=6，求x的值；
(2)若m、n均为实数，且3 m的值小于10，判断关于x的方程 2x2−nx−m=0的根的情况．
⊕
2x 1
1．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值： − ，其中x=3．小乐同学的计算过程如下：
x2−4 x−2
解：
2x 1 2x 1
− = −
x2−4 x−2 (x+2)(x−2) x−2
…①
2x x+2
= − …②
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x−x+2
=
…③
(x+2)(x−2)
x+2
=
…④
(x+2)(x−2)
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1
= …⑤
x−2
当x=3时，原式=1．
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
2．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： a2−b2 1−a−b，并求值（请从小宇和小丽的对话中
+
a2−2ab+b2 a−b
确定a，b的值）
3．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：1×2−2=22×0
第2个：4×3−3=32×1
第3个：9×4−4=42×2
第4个：16×5−5=52×3
按照以上规律，第n个等式为 ．
7．（2024·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x≤4，且关于y的分式方程
a−8 y
− =1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
y+2 y+2
17
