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【初三 01A】
入门测
1. 在比例尺为1:36000的某市旅游地图上，某条道路的长为5cm，则这条道路的实际长度为
( )
A． 0 .1 8 k m B． 1 .8 k m C．18km D． 1 8 0 k m
2. 如果
2
A
0 2 2
=
2
B
0 2 3
( A 、B均不为 0 ) ，那么 A : B = ( )
A．2022:2023 B．2023:2022 C．2023:1011 D． 1 0 1 1 : 2 0 2 3
3. 下面哪组中的两个比可以组成比例 ( )
A．
1
2
:
1
5
和 5 : 2 B． 1 .4 : 2 和 2 : 4 0 C．2:3和 4 : 1 2 D． 5 : 2 和 2 : 5
【常规讲解】
1. 解： 5
3 6
1
0 0 0
=180000cm=1.8km．
故选： B ．
A B
2. 解： =
2022 2023
2 0 2 3 A = 2 0 2 3 B
A : B = 2 0 2 2 : 2 0 2 3 。
答： A : B = 2 0 2 2 : 2 0 2 3 。
故选： A 。
3. 解： A
1 1 1 1
、因为 2= 5，所以 : 和
2 5 2 5
5 : 2 能组成比例；
B、因为 1 .4 4 0 2 2 ，所以 1 .4 : 2 和 2 : 4 0 不能组成比例；
C 、因为21234，所以2:3和 4 : 1 2 不能组成比例；
D 、因为5522，所以5:2和2:5不能组成比例；
故选：A．入门测Plus
1. 已知
6
a
=
7
b
( a 、 b 均不为 0 ) ，那么下面等式不成立的是 ( )
A． a : b = 6 : 7
1 1
B． : =7:6 C．
a b
a 7 = b 6
1 1
D．a =b
7 6
2. 如果x， y 都不为零，且 2 x = 3 y ，那么下列比例中正确的是( )
x 2
A． = B．
y 3
x
3
=
y
2
x 3 x 2
C． = D． =
2 y 3 y
3. 根据ab=cd 改写成的比例是 ( )
A． a : d = b : c B． a : b = c : d C．a:c=d:b
4. 能与 2 : 3 组成比例的是 ( )
A． 6 : 9 B． 9 : 6
1 1
C． : D．
2 3
1 .2 : 1 .5
【常规讲解】
1. 解： A 选项a:b=6:7，可得7a=6b，本选项成立；
B 选项
1
a
:
1
b
= 7 : 6 ，可得
b
7
=
a
6
， 7 a = 6 b ，本选项成立；
C 选项 a 7 = b 6 ，可得 7 a = 6 b ，本选项成立；
D 选项 a
1
7
= b
1
6
，可得
a
7
=
b
6
，6a=7b，本选项不成立。
故选 D 。
2. 解： 2 x = 3 y ，
x
y
=
3
2
x y
或 = ．
3 2
故选： B ．
3. 解：因为ab=cd ，所以a:d =c:b，故 A 不符合题意；
因为 a b = c d ，所以 a : b = a : d ，故 B 不符合题意；
因为ab=cd ，所以a:c=d:b，故C符合题意。
故选：C。4. 解： A .6 : 9 =
2
3
，所以6:9能与 2 : 3 组成比例；
B .9 : 6 =
3
2
，所以 9 : 6 不能与 2 : 3 组成比例；
C .
1
2
:
1
3
=
3
2
，所以
1
2
:
1
3
不能与 2 : 3 组成比例；
4
D.1.2:1.5= ，所以
5
1 .2 : 1 .5 不能与 2 : 3 组成比例。
故选： A 。出门测
1．（2021•青浦区期末）下列图形，一定相似的是 ( )
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个菱形
2．（2021•普陀区期末）在一幅地图上，如果用9厘米表示甲地到乙地 1080米的实际距离，
那么这幅地图的比例尺是( )
A． 1 : 1 2 0 B．1:1200 C． 1 : 1 2 0 0 0 D． 1 : 1 2 0 0 0 0
3．（2021•金山区期末）已知
a
b
=
2
3
，那么下列等式中成立的是 ( )
A． 2 a = 3 b B．
a
b
+
+
1
1
=
3
4
a+b 5
C． = D．
b 3
a −
b
b
=
1
3
4．（2021•杨浦区期末）已知点 P 是线段 A B 上的一点，线段 A P 是 P B 和 A B 的比例中项，下
列结论中，正确的是( )
PB 5+1 PB 5+1 AP 5−1 AP 5−1
A． = B． = C． = D． =
AP 2 AB 2 AB 2 PB 2
5．（2019•徐汇区期末）四边形 A B C D 和四边形ABCD是相似图形，点 A 、 B 、C、D分
别与 A 、 B 、 C 、 D 对应，已知 B C = 3 ，CD=2.4， B C = 2 ，那么 C D 的长是_________．
6．（2021•奉贤区校级期中）已知：线段 a 、 b 、 c ，且
a
3
=
b
4
=
c
5
．
a+2b
（1）求 的值；
3c
（2）如线段 a 、 b 、 c 满足 3 a − 4 b + 5 c = 5 4 ，求 a − 2 b + c 的值．
1．解：A．两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定
义，故 A 选项不符合题意；
B ．两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B
选项不符合题意；
C．两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故C选项符
合题意；D ．两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故 D 选项不符合题
意；
故选： C ．
2．解：1080米=108000厘米，9:108000=1:12000．故这幅地图的比例尺是1:12000．
故选： C ．
3．解： A ．因为
a
b
=
2
3
，所以 3 a = 2 b ，故 A 不符合题意；
B ．因为
a
b
=
2
3
，所以
a
b
+
+
1
1
3
4
，故 B 不符合题意；
C ．因为
a
b
=
2
3
，所以
a +
b
b
=
5
3
，故 C 符合题意；
D ．因为
a
b
=
2
3
，所以
a −
b
b
= −
1
3
故 D 不符合题意；
故选： C ．
4．解： 点 P 是线段 A B 上的一点，线段 A P 是 P B 和AB的比例中项，
A P 2 = P B A B ， 点P是 A B 的黄金分割点，
A
A
P
B
=
5
2
− 1
，
故选：C．
5．解： 四边形 A B C D ∽ 四边形 A B C D ，
C D : C D = B C : B C ，
B C = 3 ， C D = 2 .4 ， B C = 2 ，
CD=1.6，
故答案为：1.6．
6．解：设
a
3
=
b
4
=
c
5
= k ，
则 a = 3 k ， b = 4 k ， c = 5 k ，
（1）
a +
3
2
c
b
=
3 k
1
+
5
8
k
k
=
1
1
1
5
k
k
=
1
1
1
5
；
（2） 3a−4b+5c=54，
9 k − 1 6 k + 2 5 k = 5 4 ，
解得： k = 3 ，
a − 2 b + c = 3 k − 8 k + 5 k = 0 ．出门测Plus
1. 若 a ， b ， c 是非零实数，并满足
a + b
c
− c
=
a − b
b
+ c
=
− a +
a
b + c
，且
x =
( a + b ) ( b
a
+
b
c
c
) ( c + a )
，求x的值．
2b+2c 2a+2c 2a+2b
2. 若 = = =k，求直线y=kx+k 经过的象限．
a b c
【常规讲解】
1. 解：当 a + b + c 0 时，
利用比例的性质化简已知等式得：
a + b
c
− c
=
a − b
b
+ c
=
− a +
a
b + c
=
a + b − c + a
a
−
+
b
b
+
+
c
c
− a + b + c
=
a
a
+
+
b
b
+
+
c
c
= 1 ，
即 a + b − c = c ， a − b + c = b ， − a + b + c = a ，
整理得：a+b=2c， a + c = 2 b ， b + c = 2 a ，
2c2b2a
原式= =8；
abc
当 a + b + c = 0 时，
可得：a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，
则原式 = − 1 ．
综上可知：x=8或−1．
2. 解：由
2 b +
a
2 c
=
2 a +
b
2 c
=
2 a +
c
2 b
= k ，可得2b+2c=ak，2a+2c=bk，2a+2b=ck，
三式相加可得：4(a+b+c)=(a+b+c)k，
当 a + b + c = 0 时，b+c=−a，
2b+2c
k = =−2，则直线是：y=−2x−2，则经过二，三，四象限；
a
当 a + b + c 0 时，k =4，则直线是：y=4x+4，则经过第一、二、三象限．【初三 02A】
入门测
1．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是( )
A．两个等边三角形
B．有一个角是100的两个等腰三角形
C．两个矩形
D．两个正方形
2．在比例尺是 1 : 2 0 0 0 0 0 0 的地图上，量得甲、乙两城相距 1 2 .5 c m ，一辆汽车以每时 8 0 k m 的
速度行驶，从甲城开往乙城需要的时间是 ( )
A．2.35小时 B．3.5小时 C．3.25 D．3.125
x y
3．若 = ，则
2 3
x +
y
y
的值为( )
A．
3
2
B．
2
3
C．
5
2
D．
5
3
4．已知点 P 是线段 A B 的黄金分割点(APPB)，若AB=10，则 A P 的长约为( )
A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18
【常规讲解】
1．解： A 、两个等边三角形，一定相似，不合题意；
B 、有一个角是 1 0 0 的两个等腰三角形，一定相似，不合题意；
C 、两个矩形，对应边不一定成比例，不一定相似，符合题意；
D 、两个正方形，一定相似，不合题意；
故选： C ．
2．解： 1 2 .5
2 0 0
1
0 0 0 0
= 1 2 .5 2 0 0 0 0 0 0
= 2 5 0 0 0 0 0 0 （厘米），
25000000厘米=250千米，2 5 0 8 0 = 3 .1 2 5 （小时）．
答：从甲城开往乙城需要的时间是3.125小时．
故选： D ．
3．解：
x
2
=
y
3
，
x 2
= ，
y 3
x+ y x 5
= +1= ，
y y 3
故选： D ．
4．解： 点 P 是线段AB的黄金分割点(APPB)，
PA
0.618，
AB
A B = 1 0 ，
AP=0.618AB=6.18，
故选： D ．入门测Plus
1．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为 2 5 、55，则另一个三角形
的最大内角的度数为________．
2．已知 a = 3 0 ， b = 6 0 ， c = 1 2 0 ．
（1）求 a 与 b 的比；
（2）如果 a ， b ， c ， d 成比例，求d的值；
（3）如果 x:y= y:z ，则 y 叫作 x 和z的比例中项．那么 b 是a和c的比例中项吗？为什么？
3. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 G
将线段 M N 分为两线段 M G ， G N ，使得其中较长的一段 M G 是全长MN 与较短的一段 G N
的比例中项，即满足
M
M
G
N
=
G
M
N
G
=
5
2
− 1
，后人把
5
2
− 1
这个数称为“黄金分割”数，把点
G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在 A B C 中，已知 A B = A C = 3 ， B C = 4 ，若 D ，
E 是边 B C 的两个“黄金分割”点，则ADE的面积为 ．
【常规讲解】
1．解： 一个三角形的两个角分别为 2 5 、 5 5 ，
第三个角，即最大角为 1 8 0 − ( 2 5 + 5 5 ) = 1 0 0 ，
两个三角形相似，
另一个三角形的最大内角度数为100，
故答案为： 1 0 0 ．
2．解：（1） a = 3 0 ；b=60，
a : b = 3 0 : 6 0 = 1 : 2 ；
（2） 线段 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段，
a c
= ，
b dc = 1 2 0 ，
1
2
=
1 2
d
0
，
d = 2 4 0 ；
（3）是，理由：
b 2 = 3 6 0 0 ， a c = 3 0 1 2 0 = 3 6 0 0 ，
b2 =ac，=
b是 a 和 c 的比例中项．
3. 解：如图，过点 A 作 A H ⊥ B C 于 H ，
A B = A C ，
B H = C H =
1
2
B C = 2 ，
在 R t A B H 中， A H = A B 2 − B H 2 = 3 2 − 2 2 = 5 ，
D ， E 是边 B C 的两个“黄金分割”点，
C D = B E =
5
2
− 1
B C =
5
2
− 1
4 = 2 5 − 2 ，
D E = B E + C D − B C = 2 5 − 2 + 2 5 − 2 − 4 = 4 5 − 8 ，
S
A D E
=
1
2
D E A H =
1
2
( 4 5 − 8 ) 5 = 1 0 − 4 5 ，
故答案为： 1 0 − 4 5 ．出门测
1．如图，在 A B C 中， D E / / B C ，若
A
A
D
B
=
3
5
AE
，则 的值为
CE
( )
A．3 B．
2
3
3
C． D．
2
5
3
2．（2019•长宁区校级月考）如图，在 R t A B C 中， A C = B C ， C D ⊥ A B 于点 D ， E 为 B C
中点， C D 、AE交于点G，则下列结论中不一定正确的是 ( )
A． A G = 2 E G
B． C G =
2
3
C D
C． D G : A D = 1 : 3
D． A D G 的面积 = 四边形BEGD的面积
3. （2020•黄浦区期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的
重心到其直角顶点的距离是 ．
4．如图，已知点 F 在 A B 上，且 A F : B F = 1 : 2 ，点 D 是 B C 延长线上一点， B C : C D = 2 : 1 ，
连接FD与AC交于点N，求 F N : N D 的值．【常规讲解】
1. 解： D E / / B C ，
A
A
E
C
=
A
A
D
B
=
3
5
，
A
C
E
E
=
3
2
，
故选： C ．
2．解： 在RtABC中，AC=BC，CD⊥ AB于点D，
D 为 A B 的中点， C D = A D ，
又 E 为BC中点，
点 G 为 A B C 的重心，
A G = 2 E G ， C G =
2
3
C D
1 1
，DG= CD= AD，
3 3
D G : A D = 1 : 3 ，
如图，连接 B G ，则
S
A D G
= S
B D G
S
四 边 形 B D G E
，即 D 选项错误，
故选： D ．
3. 解： 直角三角形的两条直角边长分别为3和6，
斜边的长度为 32 +62 =3 5 ，
该三角形的重心到其直角顶点的距离是
2
3
3
2
5 = 5 ，
故答案为： 5 ．
4．解：过点F 作 F E / / B D ，交AC于点 E ，
EF AF
= ，
BC AB
AF:BF =1:2，
A
A
F
B
=
1
3
，
F
B
E
C
=
1
3
，
即 F E =
1
3
B C ，
B C : C D = 2 : 1 ，
C D =
1
2
B C ，
F E / / B D ，
F
N
N
D
=
F
C
E
D
=
1
31
2
B
B
C
C
=
2
3
．
即 F N : N D = 2 : 3 ．出门测Plus
1. 如图，在 A B C 中， D 在 A C 边上， A D : D C = 1 : 2 ， O 是 B D 的中点，连接 A O 并延长交
BC于点 E ，若 B E = 1 ，则EC的长为 ( )
?
A．2 B．2.5 C．3 D．4
2．（2021•黄浦区期末）如图，在 A B C 中，中线 A D 、 B E 相交于点 O ，如果 A O E 的面积
是4，那么四边形 O E C D 的面积是____________．
3. 如图， A D 是 A B C 的中线．
①若 E 为 A D 的中点，射线CE交 A B 于点 F ，则的值
A
B
F
F
为 ；
②若E为 A D
AE 1 AF
上的一点，且 = ，射线CE交AB于点F ，则 的值为 ．
DE k BF
【常规讲解】
1. 解：过D点作DF //CE交AE于F ，如图，
DF //BE，
D
B
F
E
=
O
O
D
B
，
O 是 B D 的中点，
OB=OD，
D F = B E = 1 ，
DF //CE，
D
C
F
E
=
A
A
D
C
，
A D : D C = 1 : 2 ，
A D : A C = 1 : 3 ，
D
C
F
E
=
1
3
，
C E = 3 D F = 3 1 = 3 ．
故选： C ．
2．解：在 A B C 中，中线AD、 B E 相交于点O，
点 O 是 A B C 的重心，
AO:OD=2:1， B O : O E = 2 : 1 ，
A O E 的面积是4，
AOB的面积 = 2 A O E 的面积 = 8 ，
B O D
1
的面积= AOB的面积
2
= 4 ，
A B D 的面积 = A O B 的面积+BOD的面积 = 1 2 ，
ADC的面积 = A B D 的面积 = 1 2 ，
四边形 O E C D 的面积 = A D C 的面积−AOE的面积=12−4=8．
故答案为：8．
3. 解：①过点 D 作DG//CF于点G，
B
G
G
F
=
B
D
D
C
，
A
F
F
G
=
A
E
E
D
，
A D 是 A B C 的中线，
B D = C D ，
B
F
G
G
= 1 ，即BG=FG，
E 为 A D 的中点，
A E = D E ，
A
F
F
G
= 1 ，即 A F = F G ，
A F = B G ，
A F =
1
2
B F ，
A
B
F
F
=
1
2
；
故答案为：
1
2
；
②
A
D
E
E
=
1
k
，
A
F
F
G
=
A
E
E
D
，
AF 1
= ，即FG=kAF ，
FG k
B G = F G ，
BG=FG=kAF，
AF AF AF 1
= = = ．
BF kAF+kAF 2kAF 2k
1
故答案为： ．
2k【初三 03A】
入门测
1．如图， D E / / B C ，则下列比例式错误的是( )
A．
A
B
D
D
=
D
B
E
C
AD AE AB AC
B． = C． = D．
BD EC BD EC
A
A
D
B
=
A
A
E
C
2．如图， A B C 中，三条中线 A D ， B E ， C F 相交于点 O ，若 A B C 的面积是10，则 O C D
的面积是( )
5
A．2 B．1.5 C． D．5
3
3. （2022•浦东三林中学期末）如图，已知 D E / / B C ，且 D E 经过 A B C 的重心 G ，若
B C = 6 c m ，那么 D E 等于______cm．
4．如图，G是 A B C 的重心，若 S
A B C
= 3 0 ，则图中阴影部分面积是_________．【常规讲解】
1．解： D E / / B C ，
A
B
D
D
=
A
E
E
C
，
A
B
B
D
=
A
E
C
C
AD AE
， = ；
AB AC
A 错误；
故选： A ．
2．【解答】解： A B C 中，三条中线AD， B E ， C F 相交于点 O ，
O
O
A
D
=
2
1
，CD=BD，
S
A C D
= S
A B D
=
1
2
S
A B C
=
1
2
1 0 = 5 ，
S
O C D
=
1
3
S
A C D
=
1
3
5 =
5
3
，
故选： C ．
3, 解：连接 A G 并延长到 B C 上一点 N ，
A B C 的重心 G ， D E / / B C ，
A
A
G
N
=
D
B
G
N
=
2
3
，
B N = C N ， D G = G E ，
DG 2
= ，
3 3
解得： D G = 2 ，
D E = 4 ．
故答案为：4．
4．【解答】解：如图，
G 是ABC的重心，
B E 、 C F 为三角形的中线，BG=2GE，CG=2FG，
S
B C E
= S
B C F
=
1
2
S
A B C
=
1
2
3 0 = 1 5 ，
1 1 1 1
S = S = 15=5，S = S = 15=5，
CGE 3 BCE 3 BGF 3 BCF 3
图中阴影部分面积=5+5=10．
故答案为10．入门测Plus
1. 如图， O A B 是等腰直角三角形， A O B = 9 0 ， O A = O B = 3 2 ，点 C 、 D 分别在边 O A 、
OB上，且CD//AB，已知CDE是等边三角形，且点 E 在OAB形内，点G是CDE的重
心，那么线段 O G 的取值范围是 ．
2．已知：如图， A B C 中， D 在 A C 上，且 A D : D C = 1 : 2 ， E 为BD的中点，AE的延长线
交 B C 于 F ，
求证： B F : F C = 1 : 3 ．
【常规讲解】
1. 解：连接OE并延长，交 A B 于 F ，交CD于 M ，如图：
C D / / A B ， A O B = 9 0 ， A O B 是等腰直角三角形，
OCD也是等腰直角三角形，
又 C D E 为正三角形，
它的重心G在OE上，
OA=OB=3 2，
AB=6，OF =3，
设OM =x，则CD=2x，EM = 3x， M G =
1
3
E M =
3
3
x ，
3 3+ 3
OG=x+ x= x，
3 3
E 在 O A B 内部，
0 O E O F ，
即 0 x + 3 x 3 ，
3 3−3
解得，0x ，
2
0 O G
3 +
3
3
3 3
2
− 3
= 3 ．
故答案为： 0 O G 3 ．
2. 证明： A D : D C = 1 : 2 ，
A D : A C = 1 : 3 ．
作 D G 平行于 A F 交 B C 于 G ，则
C
C
D
A
=
G
C
C
F
，
根据比例的性质知，
A
A
D
C
=
F
F
G
C
=
1
3
，
又 E 是 B D 的中点，
EF是 B G D 的中位线，
B F = F G ．
B
F
F
C
=
1
3
，即 B F : F C = 1 : 3 ．出门测
1．（2021•青浦区一模）如图，已知 A B / / C D / / E F ，它们依次交直线l 、l 于点
1 2
A 、 C 、
E 和点 B 、 D 、 F ．如果 A C : C E = 2 : 3 ， B D = 4 ，那么 B F 等于( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2021•青浦区一模）如图，点 D 、 E 分别在 A B C 的边 A B 、 B C 上，下列条件中一
定能判定DE//AC的是( )
A．
A
D
D
B
=
B
C
E
E
B．
B
A
D
D
=
B
E
E
C
AD CE
C． = D．
AB BE
B
B
D
A
=
D
A
E
C
3．（2019•奉贤区一模）已知ABC 中，点D、E分别在边 A B 和 A C 的反向延长线上，
若
A
A
D
B
=
1
3
，则当
A
E
E
C
的值是_________时， D E / / B C ．4．（2021•宝山区期中）如图，已知直线 l1 、 l2 、 l3 分别截直线 l4 于点 A 、 B 、 C ，截直线
l5 于点 D 、 E 、 F ，且l //l //l ．
1 2 3
（1）如果 A B = 3 ， B C = 6 ， D E = 4 ，求 E F 的长；
（2）如果 D E : E F = 2 : 3 ， A C = 2 5 ，求 A B 的长．
1．解： A C : C E = 2 : 3 ，
A C : A E = 2 : 5 ，
A B / / C D / / E F ，
AC BD
= ，
AE BF
B F =
A E
A
C
B D
=
5
2
4 = 1 0 ，
故选： C ．
2．解： A ．因为
A
D
D
B
=
E
B
C
E
，所以 D E / / A C ，故 A 不符合题意；
BD BE
B．因为 = ，所以
AD CE
D E / / A C ，故B符合题意；
C
AD CE
．因为 = ，所以
AB BC
D E / / A C ，故 C 不符合题意；
D ．因为
B
A
D
B
=
B
B
E
C
，所以 D E / / A C ，故 D 不符合题意；
故选： B ．
3．解： 要使DE//BC，则需
A
E
E
C
=
A
B
D
D
，
AE AD 1
= =
AC AD+ AB 4
1
故答案为：
44．解：（1） l //l //l ，
1 2 3
AB DE
= ，
BC EF
A B = 3 ， B C = 6 ， D E = 4 ，
3 4
= ，
6 EF
解得：EF =8；
（2）) l //l //l ，
1 2 3
AB DE
= ，
BC EF
D E : E F = 2 : 3 ， A C = 2 5 ，
AB 2
= ，
25−AB 3
解得： A B = 1 0 ．出门测Plus
1. 如图，在 A B C 中， D 是 AC 的中点， B A C 的角平分线 A E 交 B D 于点 F ，若
B F : F D = 3 : 1 ， A B + B E = 3 3 ，则 A B C 的周长为 ．
2．如图，已知 M 、N为ABC的边BC上的两点，且满足BM =MN =NC，一条平行于AC
的直线分别交AB、 A M 、 A N 的延长线于点 D 、 E 、 F ，则
E
D
F
E
= ．
【常规讲解】
1. 解：如图，过点 F 作FM ⊥AB于点 M ， F N ⊥ A C 于点 N ，过点 D 作DT //AE交BC于
点 T ．
A E 平分BAC， F M ⊥ A B ， F N ⊥ A C ，
F M = F N ，
S
S
A
A
B
D
F
F
=
B
D
F
F
=
1
21
2
A
A
B
D
F
F
M
N
= 3 ，
A B = 3 A D ，
设 A D = D C = a ，则AB=3a，
A D = D C ， D T / / A E ，
ET =CT ，
B
E
E
T
=
B
D
F
F
= 3 ，
设 E T = C T = b ，则 B E = 3 b ，
AB+BE=3 3，
3 a + 3 b = 3 3 ，
a+b= 3，
A B C 的周长 = A B + A C + B C = 5 a + 5 b = 5 3 ，
故答案为： 5 3 ．
2. 解：过N、 M 分别作 A C 的平行线交AB于 H 、 G ，交 A M 于K，如图，
B M = M N = N C ，
B G = G H = A H ，
H K / / G M ，
K H =
1
2
G M ， G M =
1
2
N H ，
1
HK = NH ，
4
H
K
K
N
=
1
3
，
D F / / A C ，
D F / / N H ，
H
D
K
E
=
A
A
K
E
，
N
E
K
F
=
A
A
K
E
，
H
D
K
E
=
N
E
K
F
，
E
D
F
E
=
N
H
K
K
= 3 ，
故答案为：3．【初三 04A/B01】
入门测
1．如图，已知直线a//b//c，直线 m 、 n 与 a 、b、 c 分别交于点 A 、C、 E 、 B 、 D 、
F ，若 A C = 8 ， C E = 1 2 ，BD=6，则BF的值是( )
A．14 B．15 C．16 D．17
2．（2020•静安区一模）在 A B C 中，点 D 、 E 分别在边BA、 C A 的延长线上，下列比例
式中能判定 D E / / B C 的为 ( )
A．
B
D
C
E
=
A
A
B
D
B．
A
A
C
D
=
A
A
B
E
AC AB
C． = D．
CE BD
A
A
C
B
=
B
C
D
E
3．（2018•嘉定区期中）点 D 、 E 分别是 A B C 的边AB、 A C 的反向延长线上的点，如
AD 3
果 = ，当
BD 5
A
A
E
C
的值是___________时，DE//BC．
4．（2020•金山区校级月考）已知，如图 l1 / / l2 / / l3 ， A B = 3 ， B C = 5 ， D F = 1 6 ，求 D E
和EF的长．
【常规讲解】
1．解： a//b//c， A C = 8 ， C E = 1 2 ， B D = 6 ，
AC BD
= ，即
AE BF
8
2 0
=
B
6
F
，
解得BF =15．
故选：B．2．解：如图：
A 、当
B
D
C
E
=
A
A
B
D
时，不能判定 D E / / B C ，不符合题意；
B 、当
A
A
C
D
=
A
A
B
E
时，不能判定 D E / / B C ，不符合题意；
C
AC AB
、当 = ，能判定
CE BD
D E / / B C ，符合题意；
D
AC CE
、当 = 时，能判定
AB BD
D E / / B C
AC BD
，而当 = 时，不能判定
AB CE
D E / / B C ，不符合题
意；
故选： C ．
3．解： 要使 D E / / B C ，则需
A
E
E
C
=
A
B
D
D
=
3
5
，
AE 3
=
AC 2
故答案为：
3
2
4．解： l1 / / l2 / / l3 ，
A B : B C = D E : E F ，
A B = 3 ， B C = 5 ，DF =16，
3:5=DE:(16−DE)，
DE=6，
E F = 1 6 − 6 = 1 0 ．入门测Plus
1．如图， A B / / E F / / C D ，已知 A C + B D = 2 4 0 ， B C = 1 0 0 ， E C + E D = 1 9 2 ，求 C F ．
2．如图，设
B
C
D
D
= p ，
C
A
E
E
= q ，
A
F
F
B
= r ，求
C
Q
Q
F
、
B
P
P
E
．
1. 【解答】解： A B / / E F / / C D ，
C
C
E
F
=
A
B
E
F
=
A
B
C
C
①
D
C
E
F
=
B
B
E
F
=
B
B
D
C
②
① + ②，得
C E
C
+
F
D E
=
A E
B
+
F
B E
=
A C
B
+
C
B D
③
由③中取适合已知条件的比例式，
得
C E
C
+
F
D E
=
A C
B
+
C
B D
将已知条件代入比例式中，得
1
C
9 2
F
=
2
1
4
0
0
0
C F = 8 0 ．
2.【解答】解：作 D M / / C F 交AB于 M ．设FM =x， F Q = y ．D M / / C F ，
B
F
M
M
=
B
C
D
D
= p ，
B M = x p ，
A F : F B = r ，
A F = x r ( p + 1 ) ，
F
D
Q
M
=
A
A
F
M
，
y xr(p+1)
= ，
DM x+xr(p+1)
D M =
1 +
r
r
(
(
p
p
+
+
1
1
)
)
y ，
DM BM px p
= = = ，
CF FB px+x p+1
C F =
1 + r (
p
p
r
+ 1 )
y ，
C
Q
Q
F
=
1 + r (
p
p
r
+
y
1 )
y − y
=
1 +
p r
r
．
作 F N / / B E 交 A C 于 N ，同法可得
B
P
P
E
=
1 +
q r
q
．出门测
1．如图，在 A B C 中，点D、E分别在边AB、 A C 上， D E / / B C ， A C D = B ，那么图
中一定相似的三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
2．如图，下列条件中，不能判定 A C D ∽ A B C 的是 ( )
A． A D C = A C B B． B = A C D C．ACD=BCD D．
A
A
C
B
=
A
A
D
C
3．如图，在 A B C 中， B = 9 0 ， A B = 2 ， B C = 2 ，以 A C 为边作 A C E ， A C E = 9 0 ，
A C = C E ，延长 B C 至点 D ，使 C D = 3 ，连接 D E ．
求证：ABC∽CED．
1．【解答】解： 点D、E分别在边 A B 、AC上，DE//BC，
ADE∽ABC．
ACD=B，A=A，
ADC∽ABC，
ADE∽ADC，
B=DCE，BCD=EDC， D C E ∽ B C D ．
故有4组．
故选： C ．
2．【解答】解：（A） A = A ，ADC=ACB，
A C D ∽ A B C ，故 A 能判定 A C D ∽ A B C ；
（B） A = A ，B=ACD，
A C D ∽ A B C ，故 B 能判定 A C D ∽ A B C ；
AC AD
（D） = ，
AB AC
A = A ，
ACD∽ABC，故 D 能判定ACD∽ABC；
故选： C ．
3．【解答】证明： B = 9 0 ， A B = 4 ， B C = 2 ，
A C = 2 2 + ( 2 ) 2 = 6 ，
C E = A C ，
C E = 6 ，
C D = 3 ，
AB 2 6
= = ，
CE 6 3
A
C
C
D
=
3
6
，
A
C
B
E
=
A
C
C
D
，
B = 9 0 ，ACE=90，
B A C + B C A = 9 0 ， B C A + D C E = 9 0 ．
B A C = D C E ．
A B C ∽ C E D ．出门测Plus
1．如图， C D 是 R t A B C 斜边 A B 上的中线， A B = 5 ， B C = 3 ，点 E 、 F 在边 A C 上，连接
D E ， D F ，当 D E F ∽ D B C 时，线段 C F 的长为 ．
2. 如图，在RtABC中，已知ACB=90，AC=3，BC=4，动点 D 从点 A 出发沿射线AC
方向以每秒 2 个单位的速度运动，点E是边 B C 的中点，连接DE．设点D运动的时间为 t
秒．求当t取何值时，ABC与CDE相似？写出所有的情况．
1. 【解答】解： C D 是RtABC斜边AB的中线，AB=5，
C D =
1
2
A B = A D = B D = 2 .5 ，
B C = 3 ，
A C = A B 2 − B C 2 = 4 ，
当 D E F ∽ D B C 时， D E F = B ，
EDF =BDC，DFE=DCB，
CD=BD，
DE=DF，
DFE=DEF，
DFC=DEA，
D F C D E A ( A A S ) ，
CF = AE，
DCA=A，DEF =B=DCB，A+B=90， D C A + D E F = 9 0 ，
C D E = 9 0 ，
C D E = A C B = 9 0 ，
D C E = A ，
D C E ∽ C A B ，
C
A
E
B
=
C
A
D
C
，
CE 2.5
= ，
5 4
C E =
2 5
8
，
C F = A E = A C − C E = 4 −
2 5
8
=
7
8
；
故答案为：
7
8
．
2.【解答】解： 点 E 是边 B C 的中点，
C E =
1
2
B C = 2 ，
①当 D 点在BC的左边时，
CAB与 C D E 相似，则
C
C
A
D
=
C
C
B
E
，
3
3
− 2 t
=
4
2
，
解得 t =
3
4
；
C A B
CA CB 3 4
与CED相似，则 = ，即 = ，
CE CD 2 3−2t
解得 t =
1
6
；
②当 D 点在BC的右边时，
C A B 与CDE相似，则
C
C
A
D
=
C
C
B
E
，即
2 t
3
− 3
=
4
2
9
，解得t= ；
4
C A B 与 C E D 相似，则
C
C
A
E
=
C
C
B
D
，即
3
2
=
2 t
4
− 3
，解得 t =
1 7
6
；
故当t取
3
4
或
1
6
或
9
4
或
1 7
6
时， A B C 与 C D E 相似．【初三 05A/B02】
入门测
1．如图，如果BAD=CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC∽ADE的
是 ( )
A． B = D B． C = A E D
AB DE
C． = D．
AD BC
A
A
B
D
=
A
A
C
E
2．如图，ABC的高 A D ， B E 相交于点O，写出一个与AOE相似的三角形，这个三角
形可以是 __________．
3．如图，在四边形 A B C D 中， A D / / B C ， A B C = 9 0 ， A D = 2 ， B C = 6 ， A B = 7 ，点
P 是线段 B A 上的一个动点，连接PC、 P D ．若 P A D 与PBC 是相似三角形，则满足条
件的点 P 有__________个．
1．【解答】解： B A D = C A E ，
D A E = B A C ，
A ，B， D 都可判定 A B C ∽ A D E
选项 C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．2．【解答】解： A E O = B D O ， B O D = A O E ，
A O E ∽ B O D ，
C B E = O A E ，
又 A E O = C E B ，
C B E ∽ A O E ；
A E O = A D C = 9 0 ， C A D = O A E ，
A O E ∽ A C D ，
故答案为： B O D 或 C B E 或 A C D ．
3．【解答】解： A D / / B C ， A B C = 9 0 ，
P A D + A B C = 1 8 0 ，
P A D = 9 0 ，
设 A P = x ，则BP=7−x，
分两种情况：
①当
A
A
P
D
=
B
B
P
C
时，
x 7−x
即 = ，
2 6
解得： x =
7
4
；
②当
A
A
P
D
=
B
B
C
P
时，
x 6
即 = ，
2 7−x
解得： x = 3 ，或x=4，
故答案为：3．入门测Plus
1. 如图，在 A B C 纸板中， A C = 8 ， B C = 4 ， A B = 1 0 ， P 是 A C 上一点，过点 P 沿直线剪
下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么 A P 长的取值范围是 ．
2. 如图，在四边形 A B C D 中， A D / / B C ， A D B C ， A B C = 9 0 ，且 A B = 3 ，点 E 是边
A B 上的动点，当ADE， B C E ， C D E 两两相似时，则 A E = ．
1. 【解答】解：如图所示，过 P 作 P D / / A B 交 B C 于 D 或 P E / / B C 交 AB 于 E ，则
P C D ∽ A C B 或 A P E ∽ A C B ，
此时 0 A P 8 ；
如图所示，过P作APF =B交 A B 于F ，则 A P F ∽ A B C ，
此时 0 A P 8 ；
如图所示，过P作 C P G = C B A 交 B C 于 G ，则 C P G ∽ C B A ，
此时，CPG∽CBA，
当点 G 与点B重合时， C B 2 = C P C A ，即 4 2 = C P 8 ，
C P = 2 ，AP=6，
此时，6 AP8；综上所述，要有4种不同的剪法，使得过点 P 沿直线剪下一个与 A B C 相似，则 A P 长的取
值范围是6 AP8．
故答案为： 6 A P 8 ．
2. 【解答】解：分两种情况：
①当 C E D = 9 0 时，如图1，
过 E 作 E F ⊥ C D 于 F ，
A D / / B C ， A D B C ，
A B 与 C D 不平行，
当 A D E 、 B C E 、 C D E 两两相似时，
B E C = C D E = A D E ，
A = B = C E D = 9 0 ，
B C E = D C E ，
AE=EF，EF =BE，
A E = B E =
1
2
A B =
3
2
，
②当 C D E = 9 0 时，如图2，
当ADE、 B C E 、 C D E 两两相似时，
C E B = C E D = A E D = 6 0 ，
B C E = D C E = 3 0 ，
A = B = 9 0 ，
B E = E D = 2 A E ，
A B = 3 ，
A E = 1 ，
综上，AE的值为
3
2
或1．
故答案为：
3
2
或1．出门测
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 A B C 相似的是 ( )
A． B． C． D．
2．在ABC中，CD是 A B 上的高．由下列条件不一定能推出ACB=90的是 ( )
A．B+ACD=90 B． C D 2 = A D D B
AC CD
C． = D．A=DCB
BC DB
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 O A B C 的两边分别在 x 轴和 y 轴上， O A = 1 0 厘米，
O C = 6 厘米，现有两动点 P ， Q 分别从 O ， A 同时出发，点 P 在线段OA上沿 O A 方向作匀
速运动，点 Q 在线段 A B 上沿 A B 方向作匀速运动，已知点 P 的运动速度为每秒1 厘米．设
点 Q
1
的运动速度为每秒 厘米，当
2
C O P 和 P A Q 相似时，求运动时间t．
1．【解答】解：在 A B C 中，ACB=135，AC= 2，BC=2，
在 B 、C、 D 选项中的三角形都没有135，而在A选项中，三角形的钝角为135，它的两
边分别为1和 2 ，
因为
2
2
=
1
2
，所以 A 选项中的三角形与 A B C 相似．
故选： A ．
2．【解答】解：A、错误． B+ACD=90， B + D C B = 9 0 ，
A C D = D C B ，推不出ACB=90．
B、正确． C D 2 = A D D B ，
CD DB
= ， ADC=BDC=90，
AD CD A D C ∽ C D B ， A C D = B ，
B + D C B = 9 0 ， A C D + D C B = 9 0 ，
A C B = 9 0 ．
C 、正确．
A
B
C
C
=
C
D
D
B
， B = B ，
DBC∽CBA，
A C B = B D C = 9 0
D 、正确． A=DCB，A+ACD=90，
A C D + D C B = 9 0 ，
A C B = 9 0
故选： A ．
3．【解答】解： C O P 和PAQ相似，有 C O P ∽ P A Q 和 C O P ∽ Q A P 两种情况：
①当 C O P ∽ P A Q 时：
则
A
A
Q
P
=
O
O
P
C
，
1
t
2 t ，
=
10−t 6
即 t 2 − 7 t = 0 ，
解得， t1 = 0 （不合题意，舍去）， t
2
= 7 ．
t = 7 ；
②当 C O P ∽ Q A P 时：
则
O
O
P
C
=
A
A
P
Q
，
t 10−t
=
6 1 ，
t
2
即t2 +12t−120=0
解得：t =−6+2 39，t =−6−2 39（不合题意，舍去）．
1 2
t = − 6 + 2 3 9 ，
综上所述： t = 7 或 − 6 + 2 3 9 ．
答：运动时间为7秒或(−6+2 39)秒．出门测Plus
1．根据下列条件能判断ABC和 D E F 相似的是 ( )
A．A=52，B=58，E =58，F =60
B． C = 7 8 ， E = 7 8 ，
A
B
C
C
=
D
D
E
F
C． A = F = 9 0 ， A C = 5 ， B C = 1 3 ， F D = 1 0 ， E D = 2 6
D． A B = 1 ， A C = 1 . 5 ， B C = 2 ， E F = 8 ， D E = 1 0 ， F D = 1 6
2. 如图，四边形ABCD中，AB//CD，B=90，AB=1，CD=2，BC=m，点 P 是边
B C 上一动点，若PAB与 P C D 相似，且满足条件的点P恰有2个，则 m 的值为 ．
1．【解答】解：选项 A : C = 1 8 0 − A − B = 7 0 ，
D = 1 8 0 − E − F = 6 2 ，
C 不等于 D ， E ， F 中的任何一个，
A B C 和 D E F 不相似；
选项 B : C = E = 7 8 ，要使 A B C ∽ D E F ，
只需
A
B
C
C
=
E
E
D
F
，与已知不符，故不能判断 A B C 和 D E F 相似；
选项 C : A = F = 9 0 ， A C = 5 ， B C = 1 3 ， F D = 1 0 ， E D = 2 6
A C : F D = B C : E D = 1 : 2 ，
A B C ∽ D E F ；
选项 D : A B = 1 ， A C = 1 . 5 ， B C = 2 ， E F = 8 ， D E = 1 0 ，FD=16
1
8
=
1
2
6
1
1
.5
0
，
即不相似．
故选：C．2. 【解答】解： A B / / C D ， B = 9 0 ，
C + B = 1 8 0 ，
C = 9 0 ，
设 P B = x ，则 P C = m − x ，
①当 B A P = C D P 时， P A B ∽ P D C ，
P
P
B
C
=
A
C
B
D
PB 1
，即 = ，
PC 2
x 1
则 = ，
m−x 2
解得： x =
1
3
m ，
②当 B A P = C P D 时， P A B ∽ D P C ，
P
C
B
D
=
A
P
B
C
，
即
x
2
=
m
1
− x
，
即 m 2 − m x + 2 = 0 ，
P A B 与 P C D 相似，且满足条件的点 P 恰有2个，分两种情况：
a 、①中的 x 就是②中m2 −mx+2=0的一个解，
(
1
3
m ) 2 − m
1
3
m + 2 = 0 ，
解得：m=3（负值舍去）；
b 、②中方程有两个相等的实数根，
△ = ( − m ) 2 − 4 1 2 = 0 ，
解得： m = 2 2 （负值舍去）；
综上所述，若PAB与 P C D 相似，且满足条件的点 P 恰有2个，则m的值为3或 2 2 ；
故答案为：3或 2 2 ．【初三 06A/B03】
入门测
1．如图，在84的矩形网格中，每个小正方形的边长都是 1，若ABC的三个顶点在图中
相应的格点上，图中点 D 、点 E 、点 F 也都在格点上，则下列与 A B C 相似的三角形是( )
A．ACD B． A D F C．BDF D．CDE
2．下列命题中，说法正确的个数是 ( )
（1）两个等边三角形一定相似；
（2）有一个角相等的两个菱形一定相似；
（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
（4）两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点 P 在ABC的边 A C 上，要使ABP∽ACB，还需添加条件：____________．（填
写一个即可）
1．【解答】解：由网格可知： A B = 2 2 ， B C = 4 ，AC=2 10， B D = 1 ， D F = 2 ，
BF = 5，
则
B
A
D
B
=
D
B
F
C
=
B
A
F
C
=
4
2
，
故与ABC相似的三角形是BDF ．故选： C ．
2．【解答】解：（1）两个等边三角形一定相似，正确，符合题意；
（2）有一个角相等的两个菱形一定相似，正确，符合题意；
（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似，正确，符合题
意；
（4）两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似，正确，符合题意．
正确的有4个，
故选： D ．
3．【解答】解：在ABP和 A C B 中，
A=A，
当 A B P = C 或 A P B = A B C
AP AB
或 = 即
AB AC
A B 2 = A P A C 时， A B P ∽ A C B ，
故答案为： A B P = C 或 A P B = A B C 或AB2 =APAC．入门测Plus
1．在下列条件中不能判定 A B C 与DEF 相似的是 ( )
A． D = 4 0 ， E = 8 0 ， A = 6 0 ， B = 8 0
B．A=D， A B : A C = D F : E F
C． B = E = 9 0 ， B C : E F = A C : D F
D． A B = 1 ， B C = 2 ，CA=1.5， D E = 6 ， E F = 4 ， F D = 8
2．在平面直角坐标系中，已知 O A = 1 2 c m ，OB=6cm，点 P 从点O开始沿OA边向点 A 以
2 c m / s 的速度移动，点Q从点 B 开始沿BO边向点 O 以 1 c m / s 的速度移动，如果 P 、Q同
时出发，用 t ( s ) 表示移动的时间 ( 0 t 6 ) ．
（1）当 t 为何值时，四边形 P A B Q 的面积为 3 1 c m 2 ；
（2）当 t 为何值时， P O Q 与 A O B 相似．
1．【解答】解： A 能判定 A B C 与 D E F 相似；理由：
C=180−A−B=180−60−80=40，
C = D ，
又 B = E = 8 0 ，
A B C ∽ F E D ；
B不能判定 A B C 与DEF 相似；理由：
AB:AC=DF:EF ，A=D，而不是A=F，
不能判定 A B C 与DEF 相似；
C 能判定ABC与DEF 相似；理由：
B = E = 9 0 ，
AC、DF分别为斜边，
BC:EF = AC:DF， A B C ∽ D E F ；
D 能判定 A B C 与 D E F 相似；理由：
AB 1
= ，
EF 4
B
F
C
D
=
2
8
=
1
4
CA 1.5 1
， = = ，
DE 6 4
AB BC CA
= = ，
EF FD DE
A B C ∽ E F D ．
故选： B ．
2．【解答】解：（1） OA=12cm， O B = 6 c m ，BQ=1t=t(cm)，OP=2t=2t(cm)．
O Q = ( 6 − t ) c m ．
3 1 =
1
2
O A O B −
1
2
O P O Q =
1
2
1 2 6 −
1
2
2 t ( 6 − t ) ，
解得 t1 = 1 ， t
2
= 5 ．
当 t 为1或5时四边形 P A B Q 的面积为 3 1 c m 2 ；
（2）①若 P O Q ∽ A O B 时，
O
O
Q
B
=
O
O
P
A
，即
6 −
6
t
=
2
1
t
2
，
整理，得 6 − t = t ，
解得 t = 3 ；
②若 P O Q ∽ B O A 时，
O
O
Q
A
=
O
O
P
B
，即
6
1
−
2
t
=
2
6
t
，
解得 t = 1 .2 ．
所以当 t = 3 或1.2时， P O Q 与AOB相似．出门测
1. （2019•闵行区期末）如果两个相似三角形的相似比为 2 : 3 ，两个三角形的周长的和是
1 0 0 c m ，那么较小的三角形的周长为_________ c m ．
2. （2020•松江区一模）如果两个相似三角形对应边的比为 1 : 4 ，那么它们的周长比是 ( )
A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16
3. （2022•徐汇区四中期末）如图所示， A B C 中， D E / / B C ， A B = 9 ， D B = 3 ，则
A D E 与四边形DBCE的面积比是_______．
4. （2021•静安区市西初级期中）如图，在 A B C 中， A D 是BC上的高， A D = B C = 1 2 ，
如果矩形 P Q M N 内接于 A B C 中，点 P 、N分别在边AB、 A C 上，点 Q 、 M 在 B C 上，
那么矩形 P Q M N 的周长为________．
1. 解：设较小的三角形的周长为 x c m ，则较大的三角形的周长为(100−x)cm，
两个相似三角形的相似比为2:3，
两个相似三角形的周长比为2:3，
1 0 0
x
− x
=
2
3
，
解得，x=40，
故答案为：40．
2. 解： 两个相似三角形对应边的比为1:4， 它们的周长比是： 1 : 4 ．
故选： B ．
3. 解： A B = 9 ， D B = 3 ，
A D = 6 ，
A
A
D
B
=
2
3
，
D E / / B C ，
ADE∽ABC
S
S
A
A
D
B
E
C
= (
A
A
D
B
) 2 =
4
9
，
A D E 与四边形 D B C E 的面积之比为=4:5，
故答案为： 4 : 5 ．
4. 解：设 A D 与 P N 交于点 E ，
四边形 P Q M N 是矩形，
P N / / B C ，
A D 是 B C 上的高，
AD⊥BC， D E = M N ，
A D ⊥ P N ，
PN //BC，
A P N ∽ A B C ，
A
A
E
D
=
P
B
N
C
，
AE:PN = AD:BC，
A D = B C ，
AE=PN，
四边形 P Q M N 是矩形，
PN =QM，PQ=MN，
PN+MN = AE+DE= AD=BC=12，
矩形PQMN的周长为2(PN+MN)=24．
故答案为：24．出门测Plus
1. 如图，在ABC中， D ， E 分别是 B C ， A B 上的点，且 B = A D E = D A C ，如果 A B C ，
E B D ， A D C 的周长分别记为 m ， m
1
， m
2
，则
m
1
+
m
m
2 的最大值是 ．
2. 如图，在四边形 A B C D 中， A C 与 B D 相交于点 O ， A B C = D A C = 9 0 ，
A
B
B
C
=
1
2
，
B
O
O
D
=
4
3
，则
S
S
A
C
B
B
D
D
= ．
1. 【解答】解：设 B C = a ， A C = b ， 1 = 2 = 3 ，
ABC∽EBD∽DAC，
DC AC
= ，
AC BC
D C =
b
a
2
， B D = B C − D C = a −
b
a
2
=
a 2 −
a
b 2
，
m BD a2 −b2 m AC b
1 = = ， 2 = = ，
m BC a2 m BC a
m +m a2 −b2 b b 1 5 5
1 2 = + =−( − )2 + ，
m a2 a a 2 4 4
m
1
+
m
m
2
5
的最大值是 ，
4
故答案为
5
4
．
2. 【解答】解：如图，过点D作DM //BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM 于点
N，D M / / B C ，
A B C ∽ A N M ， O B C ∽ O D M ，
A
B
B
C
=
A
N
N
M
=
1
2
，
B
D
C
M
=
O
O
B
D
=
4
3
，
又 A B C = D A C = 9 0 ，
B A C + N A D = 9 0 ，
B A C + B C A = 9 0 ，
N A D = B C A ，
A B C ∽ D A N ，
A
B
B
C
=
D
N
N
A
=
1
2
，
设 B C = 4 a ，
由
B
D
C
M
=
O
O
B
D
=
4
3
得， D M = 3 a ，
A B = 2 a ， D N =
3
5
a ， A N =
6
5
a ，
N B = A B + A N = 2 a +
6
5
a =
1 6
5
a ，
1 3
ABDN a2
S 2 5 3
ABD = = = ．
S 1 32 32
BCD BCNB a2
2 5
3
故答案为： ．
32【初三 07A/B04】
入门测
1. （2020•长宁区期末）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5:4．那么这两个三
角形的周长之比为__________．
2. （2020•浦东新区月考）有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形
的最短边为4，则第二个三角形的周长为_________．
3. （2022•虹口区期中）如图，梯形 A B C D 中， A D / / B C ，对角线 A C 与 B D 相交于点
O ，S =9，
AOD
S
B O C
= 1 6 ，则 A O B 的面积为_______．
1. 解： 两个相似三角形的对应中线的比为 5 : 4 ， 其相似比为 5 : 4 ，
这两个相似三角形的周长的比为 5 : 4 ，
故答案为： 5 : 4 ．
2. 解： 三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，
第二个三角形的另外两边的长分别为8和10，第二个三角形的周长为 4 + 8 + 1 0 = 2 2 ，
故答案为：22．
3. 解： 梯形 A B C D 中， A D / / B C ，
AOD∽COB， ( O A : O C ) 2 = S
A O D
: S
B O C
，
S
A O D
= 9 ，S =16
BOC
O A : O C = 3 : 4 ，
S
A O B
: S
B O C
= 3 : 4 ，即 S
A O B
: 1 6 = 3 : 4 ，
S =12．
AOB
故答案为：12．入门测Plus
1. （2020•浦东新区期末）如图，矩形 D E F G 的边EF在 A B C 的边 B C 上，顶点D、 G 分别
在边 A B 、 A C 上，已知 A B C 的边 B C 长60厘米，高 A H 为40厘米，如果 D E = 2 D G ，那
么 D G = ______厘米．
2. 如图，在四边形 A B D C 中， A = D = 9 0 ， A C = D C = 3 ， B C = 5 ，若点 M ，点 N 分别
在 A B 边和 C D 边上运动，且 A M = D N ，连接 M N ，则 M N 的最小值为 ．
1. 解： 四边形 D E F G 是矩形，
D G / / B C ， A H ⊥ B C ， D G = E F ，
A P ⊥ D G ．
设 D G = E F = x ，则 G F = D E = 2 x ，
D G / / B C ，
A D G ∽ A B C ，
A
A
P
H
=
D
B
G
C
，
AH =40厘米， B C = 6 0 厘米，
40−2x x
= ，
40 60
解得x=15．
DG=15厘米，
故答案为：15．2. 【解答】解：如图：作 B A C 的平分线交 B C 于点 O ，连接DO， A D ， O M ， O N ， A D
交 B C 于点 F ．
则 B A O = O A C =
1
2
B A C = 4 5 ，
在 R t A B C 和 R t D B C 中，
A
B
C
C
=
=
D
B
C
C
，
R t A B C R t D B C ( H L ) ，
ACB=DCB，
在 A O C 和 D O C 中，
A
C
C
A
O
=
C
=
B
D
C
C
=
O
D C B ，
A O C D O C ( S A S ) ，
A O = D O ， O A C = O D C = 4 5 ， B A O = O D C ，
在 O M A 和OND中，
A
O
M
B
A
A
=
=
O
O
D
=
D
N
O D C ，
O M A O N D ( S A S ) ， O M = O N ， A O M = D O N ，
M O N = A O M + A O N ， A O D = A O N + D O N ，MON =AOD，
又
O
O
M
A
=
O
O
N
D
，
MON∽AOD，
M
A
N
D
=
O
O
M
A
，
ADOM
MN = ，
OA
过点 O 作 O E ⊥ A B 于 E ，
则 O E / / A C ，
OEB∽CAB，
O
C
E
A
=
B
B
E
A
，
OE BA−AE
= ，
CA BA
OE
tanBAO= =1，OE= AE，
AE
AB= BC2 −AC2 = 52 −32 =4，
O E
3
=
4 − O
4
E
， O E = A E =
1 2
7
，
O A = O E 2 + A E 2 =
1 2
7
2
，
在ACF和DCF中，
A
C
C
A
F
=
C
=
B
D
C
C
=
F
D C B
，
A C F D C F ( S A S ) ，
A F C = D F C ， A F = D F ，
A F C + D F C = 1 8 0 ，
A F C = 9 0 ，
A F ⊥ B C ，
S
A B C
=
1
2
A B A C = 6 ， S
A B C
=
1
2
B C A F =
5
2
A F = 6 ，
12
AF =DF = ，
5
A D = A F + D F =
2 4
5
，
M N =
2 4
51
2
O
7
M
2
=
7
5
2
O M ，
当 O M 取最小值时 M N 的值最小，
点 O 为定点，
当 O M ⊥ A B 时 O M 的值最小，
O E ⊥ A B ，
O M 的最小值为 O E 的值，
M N =
7
5
2
1 2
7
=
1 2
5
2
，
M N
12 2
的最小值为 ，
5
12 2
故答案为： ．
5出门测
1．（2022•杨浦区校级月考）下列判断不正确的是 ( )
A． A B + B A = 0
B．如果AB=CD，那么 | A B |= | C D |
C． a + b = b + a
D．如果非零向量 a = k b ( k 0 ) ，那么 a / / b
2．（2022•浦东新区校级期中）已知a ， b 非零向量，且 | a + b |= | a | + | b | ，则一定有 ( )
A．a=b B．a//b，且a ，b 方向相同
C． a = − b D． a / / b ，且a ， b 方向相反
3．（2022•松江区校级期中）已知向量 e 为单位向量，则 | − 3 e |= _______．
4．（2021•金山区期末）计算：
1
2
( a − 2 b ) + 2 b = _________．
5．（2021•闵行区期中）如图，已知两个不平行的向量 a 、b ．先化简，再求作：
5
2
b − a −
1
2
( b − 4 a ) ．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
1．【解答】解：对于 A 选项， A B + B A = 0 ，
故 A 选项错误，符合题意；
对于 B 选项，由 A B = C D ，根据向量模的定义，可得 | A B |= | C D | ，
故B选项正确，不符合题意；
对于 C 选项，根据向量的交换律可得 a + b = b + a ，
故C选项正确，不符合题意；
对于D选项，根据平行向量的判定可知，如果非零向量a=kb(k 0)，则a//b，故 D 选项正确，不符合题意．
故选： A ．
2．【解答】解： a ， b 非零向量，且 | a + b |= | a | + | b | ，
平方得|a|2 +|b|2 +2ab =|a|2 +|b|2 +2|a||b|，
即 a b = | a | | b | ，
|a||b|cosa，b =|a||b|，
则 c o s a ， b = 1 ，即a//b，且 a ， b 方向相同．
故选： B ．
3．【解答】解： 向量 e 为单位向量，
| − 3 e |= 3 ．
故答案是：3．
4．【解答】解：
1
2
( a − 2 b ) + 2 b =
1
2
a − b + 2 b =
1
2
a + b ．
故答案为：
1
2
a + b ．
5．【解答】解：
5
2
b − a −
1
2
( b − 4 a )
=
5
2
b − a −
1
2
b + 2 a
= 2 b + a ．
如图， A C 即为所求．出门测Plus
1．（2021•浦东新区期末）如图，在 A B C 中，点D、E分别在边AB、 A C 上， D E / / B C ，
且 D E =
2
3
B C ．
（1）如果 A C = 6 ，求AE的长；
（2）设 A B = a ， A C = b ，求向量 D E （用向量a 、 b 表示）．
2. 已知：如图，在平行四边形 A B C D 中，对角线 A C 、 B D 相交于点 O ，点M、 N 分别在边
A O 和边 O D 上，且 A M =
2
3
A O ， O N =
1
3
O D ，设 A B = a ，BC =b ，试用a、 b 的线性组合
表示向量OM 和向量 M N ．
1．【解答】解：（1）如图， D E / / B C
2
，且DE= BC，
3
AE DE 2
= = ．
AC BC 3
又 A C = 6 ，
A E = 4 ．
（2） AB=a，AC =b，
BC= AC−AB=b−a．
又DE//BC， D E =
2
3
B C ，
2 2
DE= BC= (b−a)．
3 3
2. 【解答】解：根据平行四边形法则，AC= AB+BC=a+b ，平行四边形 A B C D ，
A O =
1
2
A C ，
A O =
1
2
A C =
1
2
( a + b ) ，
A M =
2
3
A O ，
O M =
1
3
A O ，
1
OM =− AO，
3
O M = −
1
3
1
2
( a + b ) = −
1
6
a −
1
6
b ；
A M =
2
3
A O ， O N =
1
3
O D ，
O
O
M
A
=
O
O
N
D
=
1
3
，
MN //AD，
M
A
N
D
=
O
O
M
A
=
1
3
，
1
MN = AD，
3
又 平行四边形 A B C D ，
A D = B C = b ，
M N =
1
3
b ．【初三 08A/B05】
入门测
1．（2021•徐汇区期中）下列判断正确的是 ( )
A．如果 | a |= | b | ，那么 a = b
B．如果 a = k b ( k 0 ) ，那么 a 与 b 方向相同
C． a + b = b + a
D． a − a = 0
2．（2021•宝山区期中）已知 | a |= 3 ， | b |= 4 ，且 b 与 a 方向相反，如果用向量 b 表示向量
a ，那么结果是 ( )
A． a =
3
4
b B． a = −
3
4
b
4
C．a= b D．
3
a = −
4
3
b
3．（2021•闵行区期末）e为单位向量，a 与e的方向相同，且长度为2，那么a=__e．
4．（2021•青浦区期末）计算： 3 a − 2 ( a − 2 b ) = __________．
1．【解答】解： A 、 | a |= | b | 表示两个向量的模相等，当不一定是共线向量，故 a = b 不一
定成立，不符合题意；
B 、如果 a = k b ( k 0 ) ，那么 a 与 b 方向相同，不符合题意；
C 、a+b =b+a，符合题意；
D 、 a − a = 0 ，不符合题意；
故选： C ．
2．【解答】解： | a |= 3 ，|b|=4，
3
|a|= |b|．
4
b 与 a 方向相反，
3
a=− b．
4
故选： B ．
3．【解答】解： e为单位向量， | e |= 1 ，
a的长度为2，
| a |= 2 ，
a与e的方向相同，
a=2e，
故答案为：2．
4．【解答】解： 3 a − 2 ( a − 2 b ) = 3 a − 2 a + 4 b = a + 4 b ，
故答案为： a + 4 b ．入门测Plus
1．（2021•普陀区校级月考）如图，已知两个不平行的向量 a 、 b ．
先化简，再求作： (
7
2
a + b ) − (
3
2
a + 2 b ) ．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）
2．（2021•宝山区一模）如图，已知在四边形ABCD中，F 是边 A D 上一点，AF =2DF，
BF交AC于点E，又 A F =
1
4
B C ．
（1）设 A B = a ， A D = b ，用向量 a 、 b 表示向量BF =_______， A C = _______．
（2）如果ABC=90， A D = 3 ， A B = 4 ，求BE的长．
1．【解答】解： (
7
2
a + b ) − (
3
2
a + 2 b )
=
7
2
a + b −
3
2
a − 2 b
= 2 a − b ．
如图：
AC=2a， A B = b ，BC=2a−b ，即BC即为所求．
2．【解答】解：（1） AF =2DF，
2
AF = AD，
3AD=b，
2
AF = b，
3
BF =AF−AB
2
= b−a，
3
A F =
1
4
B C ，
B C = 4 A F =
8
3
b ，
A C = B C − B A
=
8
3
b + a ，
故答案为：
2
3
b − a ，
8
3
b + a ；
1
（2） AF = BC，
4
A F / / B C ， A F =
1
4
B C ，
B A F = A B C = 9 0 ， A F B = C B E ，
A D = 3 ， A F = 2 D F ，
A F = 2 ，
B C = 8 ，
在 R t A B F 中，
B F = A F 2 + A B 2 = 2 5 ，
又
A
A
F
B
=
A
B
B
C
=
1
2
，
A B F ∽ B C A ，
A B F = B C A ，
A B F ∽ E C B ，
AF BF
= ，
BE BC
2 2 5
= ，
BE 8
8 5
BE= ．
5出门测
1．（2022•浦东新区期中）在 R t A B C 中， C = 9 0 ，AB=5， A C = 4 ．下列四个选
项，正确的是( )
A． ta n B =
3
4
B． c o t B =
4
3
4
C．sinB= D．
5
c o s B =
4
5
2．（2021•青浦区期末）在RtABC中，C=90，那么cotA等于( )
A．
A
B
C
C
B．
A
A
C
B
C．
B
A
C
C
D．
B
A
C
B
3．（2021•杨浦区期末）在 R t A B C 中， C = 9 0 ，如果 A = ，AC=1，那么 A B 等
于 ( )
A． s in B． c o s C．
s
1
in
D．
c o
1
s
4．（2021•青浦区期末）在ABC中， C = 9 0 ，如果 ta n A = 2 ， A C = 3 ，那么BC =
__________．
5．（2021•金山区期末）计算：
s in 4 5
c o s
−
2
ta
6 0
n
4 5
+ 2 c o s 3 0 s in 6 0 ．
1．【解答】解：如图，根据勾股定理得： B C = A B 2 − A C 2 = 5 2 − 4 2 = 3 ，
ta n B =
A
B
C
C
=
4
3
，
c o t B =
ta
1
n B
=
3
4
，
AC 4
sinB= = ，
AB 5
BC 3
cosB= = ，
AB 5
故选：C．
2．【解答】解：在RtABC中， C = 9 0
AC
，那么cotA= ，
BC
故选：A．
3．【解答】解：在RtABC中，C=90，如果A=，AC=1，那么： c o s A =
A
A
C
B
=
A
1
B
，
A B =
c o
1
s A
，
故选： D ．
4．【解答】解：在ABC中，C=90，tanA=2，AC=3，
B C = A C ta n A = 3 2 = 6 ，
故答案为：6．
5．【解答】解：
s in 4 5
c o s
−
2
ta
6 0
n
4 5
+ 2 c o s 3 0 s in 6 0
=
2
(
2
1
2
−
2 )
1
+ 2
2
3
2
3
= 2 2 − 4 +
3
2
5
=2 2− ．
2出门测Plus
1．如图，在 A B C 中， A C B = 9 0 ， A C = 6 ，BC=8， D 是AC上一点，连接BD，将 B D A
沿 B D 翻折至 B D E 处，若 B E 恰好经过点C，则tanABD的值为 ．
2. 如图，地面由相同的正方形地砖铺成，小猫在房间门外阴影部分区域（包括边界）观察房
间内最大视角的正弦值为 ．（不计墙的厚度）
1. 【解答】解： B D A 沿 B D 对折得到 B D E ，
B D A B D E ，
A B D = D B E ， D A = D E ，BE= AB， A D = D E ，
在 A B C 中， A C B = 9 0 ， A C = 6 ， B C = 8 ，
A B = B C 2 + A C 2 = 8 2 + 6 2 = 1 0 ，
B E = 1 0 ，
CE=10−8=2，
设CD=x，则DE= AD=6−x，
在 R t C D E 中，DE2 =CD2 +CE2，即 ( 6 − x ) 2 = x 2 + 2 2 ，
解得： x =
8
3
，
8
CD= ，
3 ta n A B D = ta n D B C =
C
B
D
C
=
8
38
=
1
3
，
故答案为：
1
3
．
2. 【解答】解：当视角最大时，小猫所在位置为 A ，过 B 作 B H ⊥ A C 于 H ，如图：
设正方形地砖边长为1，
由图可得： A B = A C = 6 2 + 3 2 = 3 5 ，
2 S
A B C
= B C A D = A C B H ，
B H =
6
3
6
5
=
1 2
5
5
，
在 R t A B H 中，
s in B A H =
B
A
H
B
=
1 2
3
5
5
5
=
4
5
；
故答案为：
4
5
．【初三 09A/B06】
入门测
1．（2021•闵行区期末）在 R t A B C 中， C = 9 0 ， B C = 4 ， A C = 3 ，那么 A 的三角
3
函数值为 的是
5
( )
A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA
2．（2021•松江区期末）已知在RtABC中， C = 9 0 ，AB=c，AC=b，那么下列结
论一定成立的是 ( )
A．b=ctanA B．b=ccotA C．b=csinA D． b = c c o s A
3．（2021•嘉定区期末）在 A B C 中， C = 9 0 ， c o s B =
1
4
， B C = 4 ，那么 A B =
___________．
4．（2021•崇明区期末）计算： 3 ta n 3 0 + 2 c o s 4 5 − 2 s in 6 0 c o t 4 5 ．
1．【解答】解：在RtABC中， C = 9 0 ，BC=4， A C = 3 ，
AB= AC2 +BC2 = 32 +42 =5， c o s A =
A
A
C
B
=
3
5
，
故选： B ．
2．【解答】解：在RtABC中， C = 9 0 ，AB=c， A C = b ，
则 c o s A =
A
A
C
B
=
b
c
， b = c c o s A ，
故选：D．
3．【解答】解：在 A B C 中， C = 9 0 ， c o s B =
1
4
， B C = 4 ，
BC 4
AB= = =16
cosB 1 ，
4
故答案为：16．
4．【解答】解： 3 ta n 3 0 + 2 c o s 4 5 − 2 s in 6 0 c o t 4 5 ．
3 2 3
=3 +2 −2 1
3 2 2
= 3 + 2 − 3
= 2．入门测Plus
1．如图，在 A B C 中， D C 平分 A C B ， B D ⊥ C D 于点 D ， A B D = A ，若BD=1， A C = 7 ，
则cosCBD的值为 ．
2. 若一个等腰三角形的两条边的边长之比 3 : 2 ，则这个等腰三角形底角的正切值为 ．
3. 如图，点M， E ， F 分别在矩形纸片 A B C D 的边AB， B C ，AD上， A B = 5 ， B C = 8 ，
分别沿 M E ， M F 两条不同的直线剪两刀，使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不
能有重叠和缝隙），则拼成的等腰三角形的底角的正切值为 ．
1. 【解答】解：如图，延长 B D 交 A C 于点 E ．
D C 平分 A C B ， B D ⊥ C D 于点 D ， C D E = C D B = 9 0 ， D C E = D C B ．
在 D C E 和 D C B 中，
C
C
D
D
D
=
C
E
C
E
=
D
=
D
C
C
D
B
B
，
D C E D C B ( A S A ) ．
BD=ED=1，BC=CE，
A B D = A ，
A E = B E = 2 ．
AC=7，CE= AC−AE=5=BC．
BD 1
cosCBD= = ．
BC 5故答案为：
1
5
．
2. 【解答】解：如图，作 A D ⊥ B C 于点 D ，则 B D = C D =
1
2
B C ，
①若 A B : B C = 3 : 2 ，
设 A B = 3 x ，则 B C = 2 x ，
B D = x ，
AD= AB2 −BD2 = (3x)2 −x2 =2 2x，
则 ta n B =
A
B
D
D
=
2
x
2 x
= 2 2 ；
②若 A B : B C = 2 : 3 ，
设 A B = 2 x ，则 B C = 3 x ，
B D =
3
2
x ，
A D = A B 2 − B D 2 = ( 2 x ) 2 − (
3
2
x ) 2 =
7
2
x ，
则 ta n B =
A
B
D
D
=
7
23
x
2
x
=
7
3
，
故答案为： 2 2 或
7
3
．
3. 【解答】解：如图，取 A B 的中点 M ， A D ，BC的中点 F ， E ，沿 M E ， M F 剪开，①
旋转到②的位置，③旋转到④的位置，可得等腰 M G H ，其中MG=MH ．
在 R t F D G 中， F D G = 9 0
5
，FD=4．DG= ，
2
ta n G =
D
D
F
G
=
4
5
2
=
8
5
，
8
故答案为： ．
5出门测
1．（2021•嘉定区期末）在 A B C 中， A B = A C = 1 0 ， c o s B =
2
5
，那么 B C 的长是 ( )
A．4 B．8 C．2 21 D． 4 2 1
2. （2021•杨浦区期末）已知在ABC中，AB=10，BC =16，B=60，那么AC=
__________．
3．（2021•金山区期末）如图，RtABC中，ACB=90，D是 A B 的中点， E D ⊥ A B 交
A C 于点E， ta n E B C =
3
4
，求ABE的正切值．
1．【解答】解：过点 A 作 A D ⊥ B C ，垂足为 D ，
在 R t A B D 中， A B = 1 0 ， c o s B =
2
5
，
B D = A B c o s B = 1 0
2
5
= 4 ，
AB= AC，AD⊥BC，
BC=2BD=8，
故选： B ．
2．【解答】解：过A作 A D ⊥ B C 于 D ，则 A D B = A D C = 9 0 ，
B = 6 0 ，
AD BD
sin60= ，cos60= ，
AB AB
A B = 1 0 ，
2
3
=
A
1
D
0
1 BD
， = ，
2 10
BD=5，AD=5 3，B C = 1 6 ， B D = 5 ，
C D = B C − B D = 1 1 ，
由勾股定理得： A C = A D 2 + C D 2 = ( 5 3 ) 2 + 1 1 2 = 1 4 ，
故答案为：14．
3．解： R t E B C 中， E C B = 9 0 ，
ta n E B C =
C
B
E
C
=
3
4
．
设 C E = 3 k ， B C = 4 k ，
则 B E = 5 k ．
D 是 B C 的中点， E D ⊥ B C ，
A E = B E = 5 k ．
A B E = B A E ， A C = A E + C E = 8 k ．
R t A B C 中， A C B = 9 0 ，
ta n C A B =
B
A
C
C
=
4
8
k
k
=
1
2
．
A B E 的正切值为
1
2
．出门测Plus
1. （2021•松江区期末）如图，已知 A B C 中， A B = A C = 1 2
3
，cosB= ，
4
A P ⊥ A B ，交
B C 于点 P ．
（1）求 C P 的长；
（2）求 P A C 的正弦值．
2. 如图，在RtABC，B=90， D 为 A B 边上的一点，将BCD沿CD翻折，得到△BCD．连
接 A B ， A B / / B C ，若 A B = 8 ， ta n D C B =
1
2
，则 B C = ，点 B 到 A C 边上的距离为 ．
1. 解：（1）过点A作 A D ⊥ B C 于D，
在 R t A B D 中， A B = 1 2 ， c o s B =
3
4
，
B D = c o s B A B = 9 ，
A B = A C ，
BD=CD=9， B = C ，
AP⊥ AB，
P A B = 9 0 ，
3
在RtABP中，AB=12，cosB= ，
4
AB
BP= =16，
cosB P C = B C − B P
= 9 2 − 1 6
= 2 ；
（2）过点 P 作PE⊥ AC于 E ，
在RtPCE中，PC=2， c o s C = c o s B =
3
4
，
C E = c o s C P C = 2
3
4
=
3
2
，
P E = P C 2 − C E 2 =
7
2
，
A P = A D 2 + D P 2
= A B 2 − B D 2 + P D 2
= 1 4 4 − 8 1 + 4 9
=4 7 ，
s in P A C =
P
A
E
P
=
1
8
．
2. 【解答】解：过点 B M ⊥ B C ，垂足为 M ，连接 B B ，
由折叠得， B C = B C ， B C D = B C D ， B B ⊥ C D ，
A B / / B C ，
A B C = B A B = 9 0 ，
又 A B B + B B C = 9 0 = B B C + B C D ，
B C D = A B B ，
BCD∽ABB，
BD AB 1
=tanBCD= = ，
BC AB 2
1 1
AB= AB= 8=4=BM ，
2 2
设BD=a，则BC=BC=2a， M C = 2 a − 4 ，
在 R t △ B M C 中，由勾股定理得，
BM2 +MC2 =BC2，
82 +(2a−4)2 =(2a)2，
解得a=5，
BC=2a=10，
在RtABC中，A C = A B 2 + B C 2 = 8 2 + 1 0 2 = 2 4 1 ，
设点 B 到 A C 的距离为 h ，由△ A B C 的面积得，
1
2
A B A B =
1
2
A C h ，
即48=2 41h，
h =
1 6
4
4
1
1
，
故答案为：10，
1 6
4
4
1
1
．【初三 10A/B07】
入门测
1. （2021•黄浦区期中）如图，在 A B C
1
中，sinB= ，
3
ta n C = 2 ， A B = 3 ，则 A C 的长为
( )
A． 2 B．
2
5
C． 5 D．2
2. （2021•崇明区期末）如图，在 A B C 中，AB= AC= 5 ， s in B =
2
5
5
．
（1）求边BC的长度；
（2）求 c o s A 的值．
1．解：过 A 作 A D ⊥ B C 于D，则 A D C = A D B = 9 0 ，
ta n C = 2 =
A
D
D
C
1 AD
，sinB= = ，
3 AB
A D = 2 D C ， A B = 3 A D ，
AB=3，
1
AD=1，DC= ，
2在 R t A D C 中，由勾股定理得： A C = A D 2 + D C 2 = 1 2 + (
1
2
) 2 =
2
5
，
故选： B ．
3．【解答】解：（1）过点A作 A D ⊥ B C ，垂足为D，
在 R t A B D 中，AB= 5， s in B =
2
5
5
，
A D = A B s in B = 5
2
5
5
= 2 ，
B D = A B 2 − A D 2 = ( 5 ) 2 − 2 2 = 1 ，
A B = A C ，AD⊥BC，
BC=2BD=2；
（2）过点 C 作 C E ⊥ A B ，垂足为 E ，
ABC的面积 =
1
2
A B C E =
1
2
B C A D ，
5CE=22，
C E =
4
5
5
，
4 5 3 5
AE= AC2 −CE2 = ( 5)2 −( )2 = ，
5 5
在 R t A E C 中，
c o s C A E =
A
A
E
C
=
3
5
5
5
=
3
5
．入门测Plus
1. （2021•杨浦区期末）如图，已知在 A B C 中，CD⊥ AB，垂足为点D，AD=2，
B D = 6
2
，tanB= ，点E是边
3
B C 的中点．
（1）求边 A C 的长；
（2）求 E A B 的正弦值．
2. 如图，在矩形 A B C D 中， A B = 4 ，BC=3， M 为对角线 B D 上的一点（不与点 B 、 D 重
合），连接 A M ，过点 M 作 A M ⊥ M N 交边CD于点N，连接AN．若 B M : B D = 2 : 5 ，则的
ta n D A N = ．
1．【解答】解：（1） CD⊥ AB，
ACD、BCD均为直角三角形．
在 R t C D B 中，
B D = 6
CD 2
，tanB= = ，
BD 3
C D = 4 ．
在 R t C D A 中，
AC= CD2 + AD2
= 42 +22
=2 5．
（2）过点E作EF ⊥AB，垂足为F ．C D ⊥ A B ，EF ⊥AB，
C D / / E F ．
又 点 E 是边 B C 的中点，
EF是 B C D 的中位线．
D F = B F = 3 ， E F =
1
2
C D = 2 ．
A F = A D + D F = 5 ．
在 R t A E F 中，
A E = A F 2 + E F 2
= 5 2 + 2 2
= 2 9 ．
s in E A B =
E
A
F
E
=
2
2 9
=
2
2 9
2 9 ．
2. 【解答】解：过点 M 作MG⊥ AB于 G ，延长 G M 交 C D 于H，则 G H ⊥ C D ，如图：
四边形 A B C D 为矩形，
B A D = A D C = A G H = 9 0 ， A D = B C = 3 ， A B = C D = 4 ，
四边形 A G H D 为矩形，
A G = D H ， G H = A D = 3 ， G M / / A D ，
B G M ∽ B A D ，
B
B
G
A
=
G
A
M
D
=
B
B
M
D
，
B M : B D = 2 : 5 ，
BG GM BM 2
= = = ，
AB AD BD 5
2 8
BG= AB= ，
5 5
G M =
2
5
A D =
6
5
，
A G = H D = A B − B G = 4 −
8
5
=
1 2
5
，
6 9
MH =GH −GM =3− = ，
5 5
MN ⊥ AM ， A M N = 9 0 ，
A M G + H M N = 9 0 ，
A M G + M A G = 9 0 ，
H M N = M A G ，
A G M = M H N = 9 0 ，
A G M ∽ M H N ，
A
M
G
H
=
M
H
G
N
，
即：
1 2
59
5
=
H
6
5N
解得： H N =
1
9
0
，
N D = H D − H N =
3
2
，
ta n D A N =
D
A
N
D
=
3
23
=
1
2
，
故答案为：
1
2
．出门测
1．（2022•奉贤区校级期中）某传送带与地面所成斜坡的坡度为i，如果它把物体从地面送
到离地面10米高的地方，物体所经过的路程为26米，则 i = __________．
2．（2021•青浦区期末）如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口
C ( A C / / B D ) 处测得教学楼顶部 D 的仰角为27，教学楼底部B的俯角为 1 3 ，量得实验楼
与教学楼之间的距离 A B = 2 0 米．求教学楼BD(BD⊥AB)的高度．（精确到0.1米）（参
考数据： s in 1 3 0 .2 2 ， c o s 1 3 0 .9 7 ， ta n 1 3 0 .2 3 ， s in 2 7 0 .4 5 ，cos270.89，
ta n 2 7 0 .5 1 )
1．解： 传送带把物体从地面送到离地面10米高，物体所经过的路程为26米，
水平距离为： 2 6 2 − 1 0 2 = 2 4 ，
传送带与地面所成斜坡的坡度为 i = 1 0 : 2 4 = 1 : 2 .4 ．
故答案为： 1 : 2 .4 ．
2．解：如图，过点 C 作 C H ⊥ B D ，垂足为点 H ，
由题意，得 D C H = 2 7 ，HCB=13， A B = C H = 2 0 （米 ) ．
在 R t D H C 中，
DH
tanDCH = ，
CH
DH =tan272010.2（米 ) ，
在RtHCB中，
HB
tanHCB= ，
CH
BH =tan13204.6（米 ) ，
BD=HD+HB10.2+4.6=14.8（米)．
答：教学楼BD的高度约为14.8米．出门测Plus
1．如图，小明在距离地面33米的 P 处测得 A 处的俯角为 1 5 ， B 处的俯角为 6 0 ．若斜面
坡度为1: 3，则斜坡 A B 的长是 米．
2. 如图，小李为了测量某居民楼 A B 的高度，在楼底端点 B 沿斜坡 B C 走 36 米到达点 C ，
已知斜坡 B C 与地面夹角为 3 0 ，再沿水平方向走 6 米就到达到达点 D ，然后他沿着坡度
i = 1 : 2 .4 的斜坡 D E 走了 52 米到达了点 E ，此时他在点 E 处放置了高度为 1.6 米的测角仪
E F ，在点 F 处测得某楼顶端 A 点的仰角 2 4 ．（参考数据： 3 1 .7 3 ， s in 2 4
2
5
，
c o s 2 4
1
9
0
， ta n 2 4
4
9
)
（1）求居民楼AB的高度约为多少米；（精确到0.1米）
（2）如图，在 E 处的小李与在 A 处的小明约好在 C D 中点M处见面，已知两人的下坡速度
都为 0 .8 m / s ，平地速度为1m/s，居民楼 A B 的电梯运行速度是 7 .2 k m / h ，不考虑电梯的等
待时间和中途进出时间，那么谁会先到达M？请说明理由．
1. 【解答】解：如图所示：过点A作 A F ⊥ B C 于点F ，
斜面坡度为1: 3，
AF 1 3
tanABF = = = ，
BF 3 3
ABF =30，
在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15，山脚B处的俯角为60， H P B = 3 0 ， A P B = 4 5 ，
H B P = 6 0 ，
P B A = 9 0 ， B A P = 4 5 ，
PB=AB，
P H = 3 0 m ， s in 6 0 =
P
P
H
B
=
3
P
3
B
=
2
3
，
解得：PB=22 3(m)，
故 A B = 2 2 3 m ，
故答案为： 2 2 3 ．
2. 【解答】解：延长 F E 交 C D 于点G，延长 A B 交 C D 于点 H ，过 F 点 F 作 F M ⊥ A B ，垂
足为 M ，得矩形 F M H G ，
则 M F = H G ，MH =FG， E G D = A H C = 9 0 ，
斜坡 D E 的坡度 i = 1 : 2 .4 ，
E
D
G
G
=
2
1
.4
=
1
5
2
，
设 E G = 5 x 米，则DG=12x米，
在 R t D E G 中， D E = D G 2 + E G 2 = 1 3 x （米 ) ，
DE=52米，
13x=52，
x = 4 ，
EG=20米，DG=48米，
E F = 1 .6 米，
MH =FG=EF+EG=21.6（米 ) ，
在 R t B C H 中，BC=36米， B C H = 3 0 ，
1
BH = BC=18（米)，
2C H = 3 B H = 1 8 3 （米)，
C D = 6 米，
F M = H G = H C + C D + D G = ( 5 4 + 1 8 3 ) 米，
在 R t △ A M F 中， A F M = 2 4 ，
A M = F M ta n 2 4 ( 5 4 + 1 8 3 )
4
9
3 7 .8 4 （米 ) ，
A B = A M + M H − B H = 3 7 .8 4 + 2 1 .6 − 1 8 4 1 .4 （米)．
答：居民楼 A B 的高度约为41.4米；
（2）小明会先到达M．理由如下：
根据题意可知：小李用的时间 = D E 0 .8 + 3 1 = 6 8 ( s ) ，
7 .2 k m / h = 1 2 0 m / s ，
小明用的时间 = A B 1 2 0 + B C 0 .8 + 3 1 = 4 8 .2 ( s ) ，
4 8 .2 6 8 ，
小明会先到达 M ．【初三 11A/B08】
入门测
1. （2021•松江区期末）如图，码头 A 在码头 B 的正东方向，它们之间的距离为10海
里．一货船由码头A出发，沿北偏东 4 5 方向航行到达小岛 C 处，此时测得码头 B 在南偏
西 6 0 方向，那么码头A与小岛 C 的距离是__________海里（结果保留根号）．
2. （2021•金山区期末）如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机
在位于 C 点时距离地面 M N 的高度CH 为30米，测得旗杆顶部 A 点的俯角为30，测得旗
杆底部 B 点的俯角为 4 5 ，求旗杆的高度．
1．解：过C作CD⊥BA于D，如图：
则 C D B = 9 0 ，
由题意得： B C D = 6 0 ，CAD=90−45=45，
ACD是等腰直角三角形，
C D = A D ，AC= 2CD，
设CD= AD=x海里，则AC= 2x海里，
BD
在RtBCD中，tanBCD= =tan60= 3，
CD
BD= 3CD= 3x（海里），B D = A D + A B ，
3x=x+10，
解得： x = 5 3 + 5 ，
2x= 2(5 3+5)=5 6+5 2，
即 A C = ( 5 6 + 5 2 ) 海里，
故答案为：(5 6+5 2)．
2．解：如图，作 A D ⊥ C H ，垂足为点 D ．
根据题意得， C B H = 4 5 ， C A D = 3 0 ，
在 R t B H C 中，BHC=90， C B H = B C H = 4 5 ，
B H = 3 0 米，
A B H = B H D = A D H = 9 0 ，
四边形ABHD是矩形，
B H = A D = 3 0 米， A B = D H ，
在 R t A D C 中， A D C = 9 0 ， C A D = 3 0 ，
C D = A D ta n C A D = 1 0 3 米，
A B = D H = ( 3 0 − 1 0 3 ) 米，
答：旗杆高度为 ( 3 0 − 1 0 3 ) 米．入门测 Plus
如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 A B C D ，其中 A B = 3 m ，
A D = 1 m ，此时它与出入口 O M 等宽，与地面的距离 A O = 0 .2 m ；当它抬起时，变为平行四
边形 A B C D ，如图3所示，此时， A B 与水平方向的夹角为 6 0 ．
（1）求点B到地面的距离；
（2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
（3）一辆高 1 .6 m ，宽 1 .5 m 的汽车从该入口进入时，汽车需要与 B C 保持 0 .4 m 的安全距离，
此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据： 31.73，
3 .1 4 ，所有结果精确到 0 .1 )
【解答】解：（1）如图，过点 B 作 B N ⊥ O M 于点 N ，交AB于点 E ，
A B = A B = 3 ， B A B = 6 0 ，
B E = A B s in 6 0 = 3
2
3
=
3
2
3
2 .6 m ，
B N = B E + E N = 2 .6 + 0 .2 = 2 .8 m ；
（2） 点 C 是点 C 绕点D旋转 6 0 得到，
点 C
603
经过的路径长为 =3.1m；
180
（3）在OM 上取MK =0.4m，KF =1.5m，作FG⊥OM 于点 F ，交AB于点H，交AB于
点 G ，当汽车与BC保持安全距离 0 .4 m 时，汽车高度为 1 .6 m ，
OF =3−1.5−0.4=1.1m，
A B / / O M ， A O ⊥ O M ，
A H = O F = 1 .1 m ， A H G = 9 0 ，HF =OA=0.2m，
G H = 1 .1 ta n 6 0 = 1 .1 3 1 .9 0 3 m ，
G H + H F = 1 .9 0 3 + 0 .2 2 .1 m 1 .6 m ，
汽车能安全通过．出门测
1．（2021•嘉定区期末）下列函数中是二次函数的是( )
A． y = x − 1 B． y =
1
x 2
C．y=(x−2)2 −x2 D． y = x ( x − 1 )
2．函数 y = x − 2 和 y = x 2 的图象大致正确的是( )
A． B．
C． D．
3．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y = a x 2 ；② y = b x 2 ；③ y=cx2；④
y = d x 2 ．则 a 、 b 、 c 、 d 的大小关系为________．
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y = − k x + 1 与二次函数y=x2 +k的大致图象可以是
( )
A． B．
C． D．5. 已知 y = ( 2 − a ) x a 2 − 7 是二次函数，且当x0时， y 随x的增大而增大，求a的值．
【常规讲解】
1．解： A ．函数 y = x − 1 是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B ． y =
1
x 2
不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C ． y = ( x − 2 ) 2 − x 2 是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D ．函数 y = x ( x − 1 ) 是二次函数，故本选项符合题意；
故选： D ．
2．解： y = x − 2 ，k =10， b = − 2 0 ，
图象过一、三、四象限，
y = x 2 ， a = 1 0 ，
函数图象开口向上，并且过一、二象限，
结合题目的选项可知答案 D 符合题意，
故选： D ．
3．解：因为直线 x = 1 与四条抛物线的交点从上到下依次为 (1 , a ) ， (1 , b ) ， (1 , d ) ， (1 , c ) ，
所以， a b d c ．
4．解：由 y = x 2 + k 可知抛物线的开口向上，故 B 不合题意；
二次函数y=x2 +k与 y 轴交于负半轴，则 k 0 ，
−k 0，
一次函数y=−kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合
题意；
故选：A．
5. 解： y = ( 2 − a ) x a 2 − 7 是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大，
2−a0且 a 2 − 7 = 2 ，
解得，a2且a =−3，a =3，
1 2
a=−3，
即a的值是−3．出门测Plus
1. 已知二次函数 y = ( k − 1 ) x 2 + 2 x + 1 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 ．
2. 已知二次函数 y = ( x − 3 ) 2 ．
（1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值；
（2）若点 A ( x
1
， y
1
) ， B ( x
2
， y
2
) 位于对称轴右侧的抛物线上，且 x
1
x
2
，试比较 y
1
与 y
2
的
大小关系；
（3）抛物线 y = ( x + 7 ) 2 可以由抛物线 y = ( x − 3 ) 2 平移得到吗？如果可以，请写出平移的方
法；如果不可以，请说明理由．
1. 【解答】解：由题意， 二次函数 y = ( k − 1 ) x 2 + 2 x + 1 的图象与 x 轴有两个交点，
k − 1 0 ，且△ = 4 − 4 ( k − 1 ) 0 ．
k 1 且 k 2 ．
k 2 且k 1．
故答案为： k 2 且k 1．
2. 解：（1）由题意， 二次函数y=(x−3)2，
该二次函数图象的开口向上，对称轴是直线 x = 3 ，顶点坐标为 ( 3 , 0 ) ，该函数有最小值为
0．
（2）由题意， 二次函数 y = ( x − 3 ) 2 ，
当 x 3 时， y 随 x 的增大而增大．
点 A ( x
1
， y
1
) ， B ( x
2
， y
2
) 位于对称轴右侧，且 x
1
x
2
，
y y ．
1 2
（3）由题意，按照“左加右减，上加下减”的规律进行判断，
x − 3 + 1 0 = x + 7 ，
抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x−3)2向左平移10个单位得到．【初三 12A/B09】
入门测
1．（2021•虹口区期末）下列函数中，属于二次函数的是( )
A． y = x 2 + x B． y = ( x − l ) 2 − x 2 C．y=5x2 D． y =
2
x 2
2． y = − 2 ( x − 1 ) 2 的图象大致是( )
A． B．
C． D．
3．如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是：① y = a
1
x 2 ；② y = a
2
x 2 ；③ y = a
3
x 2 ；
则 a
1
、 a
2
、 a
3
的大小关系是_________．4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y = m x + n 与二次函数 y = n x 2 + m 的大致图象可以是
( )
A． B．
C． D．
【常规讲解】
1．解： A ．y= x2 +x 是二次根式形式，不是二次函数，故不符合题意；
B ． y = ( x − l ) 2 − x 2 = x 2 − 2 x + 1 − x 2 = − 2 x + 1 ，是一次函数，故不符合题意；
C ． y = 5 x 2 ，是二次函数，故符合题意；
D ． y =
1
x 2
= x − 2 ，不是二次函数，故不符合题意；
故选： C ．
2．解： y = − 2 ( x − 1 ) 2 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 x = 1 ，顶点坐标为 (1 , 0 ) ，
故选： D ．
3．解：如图所示：① y = a
1
x 2 的开口小于②y=a x2的开口，则a a 0，
2 1 2
③ y = a
3
x 2 ，开口向下，则 a
3
0 ，
故 a
1
a
2
a
3
．
故答案为 a
1
a
2
a
3
．
4. 解： A 、由直线过一、二、三象限可知， m 0 y ，由抛物线可知，图象与 轴交于负半轴，
则m0，矛盾，故此选项错误；
B 、由直线过二、三、四象限可知， n 0 ，由抛物线可知，开口向上， n 0 ，矛盾，故此
选项错误；
C 、由直线过一、三、四象限可知， n 0 ，由抛物线可知，开口向上， n 0 ，矛盾，故此
选项错误；D 、由直线过一、三、四象限可知， m 0 ，n0，由抛物线可知，开口向上， n 0 ，图
象与 y 轴交于正半轴，则 m 0 ，一致，故此选项正确；
故选： D ．
入门测 plus
1. 若关于 x 的函数 y = ( m + 2 ) x m 2 + m − 4 是二次函数，其图象开口向下，求 m 的值．
2. 已知 y = m x m 2 − m 是 x 的二次函数．
（1）当 m 取何值时，该二次函数的图象开口向下？
（2）在（1）的条件下：
①当 − 2 x 3 时，求y的取值范围；
②当 − 4 y − 1 时，求 x 的取值范围．
1. 解： 函数 y = ( m + 2 ) x m 2 + m − 4 是二次函数，其图象开口向下，
m+20，m2 +m−4=2，
m 2 + m − 6 = 0 ， m − 2 ，
解得 m = − 3 ，
m = − 3 ．
2. 解：（1） y=mxm2−m是x的二次函数，该二次函数的图象开口向下，
m
m
2 −
0
m = 2
，
解得 m = − 1 ；
（2）①由（1）得： y = − x 2 ，
当 x = − 2 时，y=−4，当 x = 3 时，y=−9，而−2x3时， y 的最大值为0；
− 9 y 0 ；
② y = − 4 时，x=2，当 y = − 1 ， x = 1 ，
−2x−1； 1 x 2 ．出门测
1．（2022•静安区期中）如果将抛物线 y = 2 x 2 − 1 向左平移1个单位，那么所得新抛物线的
表达式是( )
A． y = 2 x 2 B． y = 2 ( x + 1 ) 2 − 1 C．y=2x2 −2 D． y = 2 ( x − 1 ) 2 − 1
2．（2021•崇明区一模）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象如图所示，那么下列结论
中正确的是 ( )
A． a c 0 B．当 x − 1 时， y 0 C．b=2a D． 9 a + 3 b + c = 0
3．（2021•浦东新区校级期末）已知点 A ( − 7 , m ) 、 B ( − 5 , n ) 都在二次函数 y = −
1
3
x 2 + 4 的图象
m 上，那么 、 n 的大小关系是： m _____ n ．（填“”、“ = ”或“ ” )
4．（2021•嘉定区期末）抛物线 y = ( m + 3 ) x 2 + x − 1 在对称轴右侧的部分是上升的，那么 m
的取值范围是________．
【常规讲解】
1．解：将抛物线y=2x2 −1向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y=2(x+1)2 −1，
故选： B ．
2．解：A．由图可知：
抛物线开口向下，
a0，
抛物线与
y
轴的交点在
y
轴的正半轴，
c0，
ac0，故 A 不符合题意；
B ．设二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象与 x 轴的另一个交点为 ( m , 0 ) ，
抛物线的对称轴是直线： x = 1 ，
− 1 +
2
m
= 1 ，
m=3，
二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象与 x 轴的另一个交点为 ( 3 , 0 ) ，
当 − 1 x 3 时， y 0 ，
故 B 不符合题意；
C ． 抛物线的对称轴是直线： x = 1 ，
−
b
2 a
= 1 ，
b = − 2 a ，
故 C 不符合题意；
D ．由 B 可得：二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象与 x 轴的另一个交点为(3,0)，
把(3,0)代入y=ax2 +bx+c(a0)中可得：
9 a + 3 b + c = 0 ，
故 D 符合题意；
故选： D ．
3．解： y = −
1
3
x 2 + 4 ，
抛物线开口向下，对称轴为 y 轴，
|−7||−5|，
m n ，
故答案为： ．
4．解：当抛物线对称轴右侧的部分是上升时，抛物线开口向上，
m + 3 0 ，
m − 3 ，
故答案为：m−3．出门测Plus
1. 已知二次函数 y = a ( x − t ) 2 + m ( a 0 ) 的图象经过点 M ( x
1
， y
1
) ， N ( x
2
， y
2
) ，若 2 x
1
3 ，
3 x
2
4 ，都有 m y
1
y
2
，则 t 的最大值为 ．
2. 已知二次函数 y = m ( x − 2 ) 2 − 3 ( m 0 ) 的图象与 x 轴交于点 A ( a , 0 ) ，B(b,0)．
（1）当 a = − 3 时，求 b 的值．
（2）当 a 0 b 时，求 m 的取值范围．
（3）若 P ( a + 1 , p ) ，Q(b+1,q)两点也都在此函数图象上，求证： p + q 0 ．
1. 解： 二次函数y=a(x−t)2 +m(a0)； 顶点为(t,m)；
二次函数 y = a ( x − t ) 2 + m ( a 0 ) 的图象经过点 M ( x
1
， y
1
) ，N(x ，y )，
2 2
m y
1
y
2
；
抛物线顶点左侧降低右侧升高，故抛物线开口向上；
2 x
1
3 ， 3 x
2
4 ； t 的最大值为2.5，
故答案为：2.5．
2. 【解答】（1）解：由二次函数 y = m ( x − 2 ) 2 − 3 ( m 0 ) 可知图象的对称轴为直线x=2，
二次函数 y = m ( x − 2 ) 2 − 3 ( m 0 ) 的图象与 x 轴交于点 A ( a , 0 ) ， B ( b , 0 ) ，
a +
2
b
= 2 ，
当 a = − 3 时， b = 7 ；
（2）解： y=m(x−2)2 −3=mx2 −4mx+4m−3，
a 0 b ， 二次函数 y = m ( x − 2 ) 2 − 3 ( m 0 ) 的图象与 x 轴交于负半轴，
4 m − 3 0
m
3
4
；
（3）证明： 二次函数y=m(x−2)2 −3(m0)的图象与 x 轴交于点A(a,0)， B ( b , 0 ) ，
a+b
m(a−2)2 −3=0，m(b−2)2 −3=0， =2，a+b=4，
2
P(a+1,p)，Q(b+1,q)两点也都在此函数图象上，
p=m(a+1−2)2 −3=m[(a−2)2 +2(a−2)+1]−3=m(a−2)2 −3+2m(a−2)+m=2m(a−2)+m
q=m(b+1−2)2 −3=m[(b−2)2 +2(b−2)+1]−3=m(b−2)2 −3+2m(b−2)+m=2m(b−2)+m
p+q=2m(a−2)+m+2m(b−2)+m=2m(a+b−4)+2m=2m0，【初三 14A/B10】
入门测
1.．（2021•崇明区期末）将抛物线 y = 2 x 2 向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是 ( )
A． y = 2 x 2 + 3 B． y = 2 ( x + 3 ) 2 C． y = 2 ( x − 3 ) 2 D． y = 2 x 2 − 3
2. （2021•松江区期末）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象如图所示，那么下列判断
正确的是 ( )
A． b 0 ， c 0 B． b 0 ，c0 C． b 0 ， c 0 D．b0， c 0 ．
3. （2021•青浦区期末）如果抛物线 y = a x 2 + b x + c （其中a、b、c是常数，且 a 0 ) 在对
称轴左侧的部分是下降的，那么 a 0．（填“”或“” )
4. （2022•青浦区校级期中）抛物线 y = ( a − 1 ) x 2 − 2 x + 3 在对称轴左侧，y随 x 的增大而增大，
则 a 的取值范围是 ．
1. 【解答】解：将抛物线 y = 2 x 2 向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是 y = 2 x 2 + 3 ；
故选： A ．
2. 【解答】解： 抛物线开口向上，
a 0 ，
抛物线对称轴在 y 轴右侧，
b
− 0，
2a
b0，
抛物线与y轴交点在x轴下方， c 0 ．
故选： D ．
3. 【解答】解： 抛物线 y = a x 2 + b x + c 在对称轴左侧的部分是下降的，
抛物线开口向上，
a 0 ．
故答案为： ．
4. 【解答】解：由题意得抛物线开口向下，
a − 1 0 ，
a 1 ，
故答案为： a 1 ．
入门测Plus
1．抛物线y=x2 −2x+c经过点 ( 2 ,1 ) ．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y=x2 −2x+c沿 y 轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于 A 、 B 两点，如
果 A B = 2 ，求新抛物线的表达式．
2. 定义：在平面直角坐标系中，点 P ( x , y ) 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点 P ( x , y ) 的勾股
值，记 [ P ] = | x | + | y | ．若抛物线 y = a x 2 + b x + 1 与直线 y = x 只有一个交点 C ，已知点 C 在第
一象限，且 2 [ C ] 4 ，令 t = 2 b 2 − 4 a + 2 0 2 4 ，则 t 的取值范围为 ( )
A． 2 0 2 3 t 2 0 2 4 B． 2 0 2 0 t 2 0 2 1 C．2021 t 2022 D． 2 0 2 2 t 2 0 2 3
1．解：（1）把(2,1)代入y=x2 −2x+c得 4 − 4 + c = 1 ，解得 c = 1 ，
所以抛物线解析式为y=x2 −2x+1，
y = ( x − 1 ) 2 ，
所以抛物线顶点坐标为(1,0)；
（2）y=x2 −2x+1=(x−1)2，抛物线的对称轴为直线x=1，
而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2，所以 A ( 0 , 0 ) ， B ( 2 , 0 ) ，
所以新抛物线的解析式为 y = x ( x − 2 ) ，即 y = x 2 − 2 x ．
2. 【解答】解：由题意方程组
y
y
=
=
x
a x 2 + b x + 1
只有一组实数解，
消去 y 得 a x 2 + ( b − 1 ) x + 1 = 0 ，
由题意得△ = 0 ，
( b − 1 ) 2 − 4 a = 0 ，
4 a = ( b − 1 ) 2
1
，即a= (b−1)2，
4
方程 a x 2 + ( b − 1 ) x + 1 = 0 可以化为
1
4
( b − 1 ) 2 x 2 + ( b − 1 ) x + 1 = 0 ，
即 ( b − 1 ) 2 x 2 + 4 ( b − 1 ) x + 4 = 0 ，
x
1
= x
2
=
1
2
− b
，
C (
1
2
− b
，
1
2
− b
) ，
点 C 在第一象限，
1 − b 0 ，
2 [ C ] 4 ，
2 |
1
2
− b
| + |
1
2
− b
| 4 ，
1
1
2
− b
2 ，
解得： − 1 b 0 ，
t=2b2 −4a+2024，
t=2b2 −(b−1)2 +2024=b2 +2b+2023=(b+1)2 +2022，
−1 b 0，
t 随 b 的增大而增大，
b = − 1 时， t = 2 0 2 2 ，
t = 0 时，t =2023，
2022 t 2023．
故选：D．出门测
在平面直角坐标系 x O y 中（如图），已知抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象经过点 B ( 4 , 0 ) 、
D(5,3)，设它与 x 轴的另一个交点为A（点 A 在点 B 的左侧），且 A B D 的面积是3．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求 A D B 的正切值
【解答】解：（1）设 A ( m , 0 ) ，
则 A B = 4 − m ，
由 A B D 的面积是3知
1
2
( 4 − m ) 3 = 3 ，
解得 m = 2 ，
A ( 2 , 0 ) ，
设抛物线解析式为 y = a ( x − 2 ) ( x − 4 ) ，
将 D ( 5 , 3 ) 代入得： 3 a = 3 ，解得 a = 1 ，
y = ( x − 2 ) ( x − 4 ) = x 2 − 6 x + 8 ；
（2）如图1，过点D作 D F ⊥ x 轴于点F ，
A ( 2 , 0 ) ，B(4,0)，D(5,3)，
D F = 3 ，AF =3，
则 A D = 3 2 ， D A F = 4 5 ，
过点B作BE⊥AD于E，
则 A E = B E = 2 ，
DE=2 2，
BE 2 1
tanADB= = = ；
DE 2 2 2出门测Plus
如图，在平面直角坐标系中，直线 y = x + 2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点B，抛物线
y = a x 2 − x + c 经过点 A ， B ．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点 P ，使 P A B 的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在 y = x + 2 中，
当 x = 0 时， y = 2 ，
当 y = 0 时， x + 2 = 0 ，
解得： x = − 2 ，
A点坐标为(−2,0)，B点坐标为 ( 0 , 2 ) ，
将A(−2,0)，B(0,2)代入 y = a x 2 − x + c 中，
4
c
a
=
−
2
( − 2 ) + c = 0
，
解得
a
c
=
=
−
2
1
，
抛物线的解析式为： y = − x 2 − x + 2 ，
（2）存在，理由如下：
过点P作PM ⊥x轴，交AB于点 N ，设 P 点坐标为 ( x , − x 2 − x + 2 ) ，则 N 点坐标为 ( x , x + 2 ) ，
P N = | − x 2 − x + 2 − ( x + 2 ) |= | − x 2 − 2 x | ，
S P A B =
1
2
P N O A =
1
2
2 | − x 2 − 2 x |= 1 ，
− x 2 − 2 x = 1 ，
当 − x 2 − 2 x = 1 时，解得：x=−1，
此时 P 点坐标为 ( − 1 , 2 ) ，
当 − x 2 − 2 x = − 1 时，解得： x = − 1 2 ，
此时 P 点坐标为 ( − 1 + 2 ， 2 ) ， ( − 1 − 2 ， − 2 ) ，
综上，点 P 的坐标为(−1,2)或 ( − 1 + 2 ， 2 ) 或 ( − 1 − 2 ， − 2 ) ．【初三 B11】
入门测
3
1. 如图 1，抛物线y=ax2 + x+c与x轴交于点
2
A 、 B ( 4 ， 0 ) ( A 点在 B 点左侧），与 y 轴交
于点C(0,6)，点 P 是抛物线上一个动点，连接 P B ， P C ， B C ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 P 的横坐标为3，求 B P C 的面积
1. 解：（1） 抛物线 y = a x 2 +
3
2
x + c 经过点 B ( 4 , 0 ) 、C(0,6)，
1
c
6 a
=
+
6
6 + c = 0
3
a=−
，解得 4，
c=6
该抛物线的函数表达式为 y = −
3
4
x 2 +
3
2
x + 6 ；
（2）设直线 B C 的解析式为y=kx+b，
3
4k+b=0 k =−
，解得 2，
b=6
b=6
3
直线BC的解析式为y=− x+6，
2
15
点P的横坐标为3，P(3, )，过点P作
4
P E / / y 轴，交 B C 于点E，则 E ( 3 ,
3
2
) ，
15 3 9
PE= − = ，
4 2 4
1 9 1 9 9
S =S +S = (4−3)+ 3= ；
BPC BPE CPE 2 4 2 4 2入门测Plus
平面直角坐标系 x O y 中（如图），已知抛物线y=ax2 +bx+3与 y 轴相交于点 C ，与 x 轴正半
轴相交于点 A ， O A = O C ，与 x 轴的另一个交点为 B ，对称轴是直线 x = 1 ，顶点为 P ．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点 P 的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点 M ，求 P M C 的正切值
解：（1） 抛物线 y = a x 2 + b x + 3 与 y 轴相交于点 C ，
C(0,3)， O A = O C = 3 ，A(3,0)．
由题意，得
9
−
a +
b
2 a
3 b
= 1
+ 3 = 0
，解得
a
b
=
=
−
2
1
，
抛物线的表达式为y=−x2 +2x+3，
y = − x 2 + 2 x + 3 = − ( x − 1 ) 2 + 4 ，
顶点 P 的坐标为(1,4)；
（2） 抛物线y=−x2 +2x+3=−(x−1)2 +4的对称轴与 x 轴相交于点M，
P M / / y 轴， M (1 , 0 ) ．
PMC=MCO．
ta n M C O =
O
O
M
C
=
1
3
，
1
tanPMC= ；
3出门测
1. 如图，在 R t A B C 中， B C A = 9 0 ， C D ⊥ A B 于点 D ，下列结论错误的有 ( ) 个．
①图中只有两对相似三角形；
② B C A C = A B C D ；
③若BC=2 5，AD=8，则CD=4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2. 如图，将含 3 0 直角三角尺放在矩形 A B C D 中，三角尺的 3 0 角的顶点与点 B 重合，其余
角的顶点分别在 A D 和 C D 边的点 E ， F 处，若点 E 恰好为AD的中点，则
D
F
F
C
的值是 ( )
1 3 1 5
A． B． C． D．
2 3 3 5
3. 如图，在 A B C 中， A E 是BC边上的中线，点G是 A B C 的重心，过点G作GF //AB交
B C 于点F ，那么
E
E
F
C
= ( )
A．
1
3
1 1
B． C． D．
2 4
1
54. （2022•普陀区二模）如图，四边形 A B C D 中，对角线 A C 、 B D 交于点 O ， A O = 2 ， A D = 4 ，
O C = 6 ， B C = 8 ，如果 D A O = C B O ，那么 A B : C D 的值是 ．
1. 【解答】解： A C B = 9 0 ， C D ⊥ A B ，
ACD∽ABC∽CBD，故①错误，
1 1
S = ACBC= ABCD，
ACB 2 2
B C A C = A B C D ，故②正确，
C B D ∽ A B C ，
C
A
B
B
=
B
B
D
C
，
8
2
+
5
B D
=
B
2
D
5
，
B D = 2 或 − 1 0 （舍弃），
在 R t C D B 中， C D = B C 2 − B D 2 = ( 2 5 ) 2 − 2 2 = 4 ，故③正确，
故选： A ．
2. 【解答】解： B E F = 9 0 ，
A E B + D E F = 9 0 ，
AEB+ABE=90，
DEF =ABE，
A = D ，
A B E ∽ D E F ，
BE AE AB
= = ，
EF DF DE
EBF =30，
BE= 3EF ，
设 D F = x ，则AE= 3x，
点E为AD的中点，
AE=DE= 3x， A B = 3 x ，
C F = C D − D F = 3 x − x = 2 x ，
D
C
F
F
=
1
2
，
故选： A ．
3. 【解答】解： 点 G 是 A B C 的重心，
E
E
G
A
=
1
3
，
G F / / A B ，
E
E
F
B
=
E
E
G
A
=
1
3
，
AE是 B C 边上的中线，
E B = E C ，
E
E
F
C
=
1
3
．
故选： A ．
4. 【解答】解： DAO=CBO，AOD=BOC，
A O D ∽ B O C ，
A
B
O
O
=
O
O
D
C
=
A
B
D
C
，
A O = 2 ， A D = 4 ，OC=6， B C = 8 ，
B
2
O
=
O D
6
=
4
8
，
OB=4，OD=3，
O
O
A
D
=
O
O
B
C
=
2
3
，
A O B = D O C ，
AOB∽DOC，
A
C
B
D
=
O
O
A
D
=
2
3
，
故答案为：
2
3
．出门测Plus
（2022•上海）如图所示，在等腰三角形 A B C 中， A B = A C ，点 E ， F 在线段 B C 上，点Q
在线段 A B 上，且CF =BE， A E 2 = A Q A B ．
求证：（1） C A E = B A F ；
（2） C F F Q = A F B Q ．
【解答】证明：（1） AB= AC，B=C，
C F = B E ， C F − E F = B E − E F ，
即CE=BF，
在 A C E 和 A B F 中，
A
C
C
C
E
=
=
=
A
B
B
B
F
，
A C E A B F ( S A S ) ，CAE=BAF；
（2） A C E A B F ，
A E = A F ，CAE=BAF，
AE2 = AQAB，AC= AB，
A
A
E
Q
=
A
A
C
F
，ACE∽AFQ，
AEC=AQF ，AEF =BQF，
AE= AF，AEF =AFE，
BQF =AFE，
B = C ， C A F ∽ B F Q ，
C
B
F
Q
=
A
F
F
Q
，
即CFFQ= AFBQ．【初三 B12】
入门测
1．如图，在 A B C 中， A C B = 9 0 ， C D 是 A B 边上的高线，图中相似三角形共有 ( )
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
2. （2021•长宁区期末）如图，点 E 是线段 B C 的中点， B = C = A E D ，下列结论中，说
法错误的是 ( )
A． A B E 与ECD相似 B． A B E 与 A E D 相似
C．
A
A
B
E
=
A
A
E
D
D． B A E = A D E
AD DE
3. 如图，已知 = ，请添加一个条件，使
AB BC
A D E ∽ A B C ，这个条件可以是 ．（写
出一个条件即可）
1. 【解答】解：（1） ACB=ADC=90， A = A ，ABC∽ACD
（2） 为ACB=CDB=90， B = B ，ABC∽CBD
（3） ABC∽ACD，ABC∽CBD，ACD∽CBD
因此有三对，故选： B ．
2. 【解答】解： A E C = A E D + D E C = B + B A E ， B = A E D ，
D E C = B A E ，
B = C ，
B A E ∽ C E D ，
A
C
B
E
=
A
E
E
D
，
B E = C E ，
A
B
B
E
=
A
D
E
E
，
A
A
B
E
=
B
D
E
E
，
B = A E D ，
A B E ∽ A E D ，
A
A
B
E
=
A
A
E
D
，
故选项A，B， C 正确，
故选： D ．
3. 【解答】解： D = B ，
AD DE
证明： = ，D=B，
AB BC
A D E ∽ A B C ．
故答案为： D = B ．入门测Plus
（2021•金山区校级期中）如图，在 A B C 中，点 D 在边 A B 上，点 E 、点F 在边 A C 上，且
D E / / B C ，
A
F
F
E
=
A
E
E
C
．
（1）求证： D F / / B E ；
（2）如且 A F = 2 ， E F = 4 ， A B = 6 3 ．求证： A D E ∽ A E B ．
【解答】证明：（1） D E / / B C ，
AE AD
= ，
EC BD
AF AE
= ，
FE EC
A
B
D
D
=
A
F
F
E
，
D F / / B E ；
（2） AF =2，EF =4，
A E = A F + E F = 6 ，
A
B
D
D
=
A
F
F
E
=
1
2
，
A
A
D
B
=
1
3
，
A D =
1
3
A B = 2 3 ， B D = 2 A D = 4 3 ，
A
A
E
B
=
6
6
3
=
3
3
，
AD 2 3 3
= = ，
AE 6 3
AE AD
= ，
AB AE
又 A = A ，
ADE∽AEB．出门测
1．如图，在 A B C 中，点D、E分别在边 A C 、AB上，BD平分 A B C ， A C E = A B D ，
与 B E F 一定相似的三角形为（ ）
A． B F C B． B D C C．BDA D． C E A
2．如图，在ABC中，BAC=45，BD、CE分别是AC、 A B 边上的高，连接 D E ，若
D E = 2 ，则 B C 的长为 ( )
A． 5 B．
3
2
2 C．
5
2
D． 2 2
【常规讲解】
1．解： B D 平分 A B C ，
A B D = C B D
A C E = A B D ，
A B D = C B D = A C E
又 B F C = A B D + B E F = A C E + B D C
BEF =BDC，且 A B D = C B D
B E F ∽ B D C
故选： B ．
2．解：在RtADB中，BAC=45，
AD 2
则 = ，
AB 2
AE 2
同理： = ，
AC 2
A
A
D
B
=
A
A
E
C
，
D A E = B A C ，
ADE∽ABC，
D
B
E
C
=
A
A
D
B
=
2
2
，
D E = 2 ，
B C = 2 2 ，
故选： D ．出门测Plus
（2021崇明区一模）已知：如图，D、E分别是ABC的边AB、 A C 上的点，且 A E D = A B C ，
联结 B E 、 C D 相交于点 F ．
（1）求证： A B E = A C D ；
（2）如果 E D = E C ，求证：
D
B
F
D
2
2
=
E
E
F
B
．
（1）证明： A E D = A B C ，A=A，
A D E ∽ A C B ，
A
A
E
D
=
A
A
B
C
，
A=A，
A D C ∽ A E B ，
A B E = A C D ；
（2）证明： E D = E C ，
E D C = E C D ，
E D C = E B D ，
D E F = D E B ，
E D F ∽ E B D ，
DF EF DE
= = ，
BD DE BE
DF EF DE
( )2 = ，
BD DE BE
D
B
F
D
2
2
=
E
E
F
B
．【初三 B14】
入门测
1．如图，在 A B C 中，A=60， C D ，BE分别是边AB， A C 上的高线，连接 D E ，那么
A D E 和 A C B 的周长之比为 ( )
A．
1
2
B．
2
3
C．
1
4
D．
3
4
2．如图，在 A B C 中， A C 和 A B 边上的高 B D 、CE相交于 O ，下列结论错误的是 ( )
A． C O C E = C D C A B． O E O C = O D O B
C．ADAC= AEAB D． C O D O = B O E O
1．解： C D ⊥ A B ， B E ⊥ A C ，
A D C = A E B = 9 0 ，
A = 6 0 ，
ABE=ACD=30，
A B = 2 A E ，AC=2AD，
A
A
D
C
=
A
A
E
B
=
1
2
，
A=A，
ADE∽ACB，
ADE的周长 AE 1
= = ，
ACB的周长 AB 2故选： A ．
2．解： C E ⊥ A B ， B D ⊥ A C ，
又BOE=COD，
B O E ∽ C O D ，
OEOC=ODOB，故选项 B 结论正确；
又 A = A ，
ABD∽ACE，
A D A C = A E A B ，故选项 C 结论正确；
又 D C O = E C A ，
D C O ∽ E C A ，
C O C E = C D A C ，故选项 A 结论正确；
故 D 选项结论不正确．
故选： D ．入门测Plus
（2020•闵行区一模）如图，在ABC中，BD是 A C 边上的高，点E在边AB上，联结 C E 交
B D 于点 O ，且 A D O C = A B O D ， A F 是 B A C 的平分线，交 B C 于点 F ，交 D E 于点 G ．
求证：（1） C E ⊥ A B ；
（2） A F D E = A G B C ．
【常规讲解】
证明：（1） A D O C = A B O D ，
A
O
D
D
=
A
O
B
C
，
B D 是 A C 边上的高，
BDC=BDA=90， A D B 和ODC是直角三角形，
R t A D B ∽ R t O D C ， A B D = O C D ，
又 E O B = D O C ，DOC+OCD+ODC=180， E O B + A B D + O E B = 1 8 0 ．
O E B = 9 0 ，
CE⊥ AB；
（2）在 A D B 和 A E C 中，
B A D = C A E ， A B D = O C D ， A D B ∽ A E C ，
A
A
D
E
=
A
A
B
C
，即
A
A
D
B
=
A
A
E
C
，
在 D A E 和 B A C 中
D A E = B A C
AD AE
， = ．
AB AC
DAE∽BAC，
AF是 B A C 的平分线，
AG DE
= ，即AF DE= AG BC．
AF BC出门测
（2023•崇明区一模）已知：如图，在梯形 A B C D 中， A D / / B C
1
，AD= BC，对角线
2
A C 与
B D 交于点 F ，点G是 A B 边上的中点，联结CG交 B D 于点 E ，并满足BG2 =GEGC．
（1）求证： G A E = G C A ；
（2）求证：ADBC=2DFDE．
【常规讲解】
证明：（1） 点G是 A B 边上的中点， B G = G A ，
B G 2 = G E G C ，
G A 2 = G E G C ，
G
G
E
A
=
G
G
A
C
，
E G A = A G C ， E G A ∽ A G C ，
GAE=GCA．
（2） B G 2 = G E G C ，
G
B
E
G
=
B
G
G
C
，
E G B = B G C ， E G B ∽ B G C ，
G B E = G C B ，
A E D = G A E + G B E = G C A + G C B = F C B ，
A D / / B C ， A D E = F B C ，
A D E ∽ F B C ，
A
F
D
B
=
D
B
E
C
，
A D B C = F B D E ，
1
ADF∽CBF，AD= BC，
2
D
F
F
B
=
A
B
D
C
=
1
2
，
FB=2DF，
ADBC=2DFDE．出门测Plus
（2022•金山区校级期末）已知：如图，在 A B C 中，点 D 在边 B C 上， A E / / B C ， B E 与 A D 、
A C 分别相交于点 F 、 G ，AF2 =FGFE．
（1）求证： C A D ∽ C B G ；
（2）联结 D G ，求证： D G A E = A B A G ．
【解答】证明：（1） A F 2 = F G F E ．
A
F
F
G
=
E
A
F
F
，
A F G = E F A ， F A G ∽ F E A ，
F A G = E ，
A E / / B C ， E = E B C ，
E B C = F A G ，
A C D = B C G ，
CAD∽CBG；
（2） CAD∽CBG，
CA CD
= ，
CB CG
D C G = A C B ， C D G ∽ C A B ，
DG CG
= ，
AB CB
AE//BC，
A
B
E
C
=
A
G
G
C
，
A
A
G
E
=
G
B
C
C
，
DG AG
= ，
AB AE
DGAE= ABAG．
