文档内容
专题22 离散型随机变量的概率
1、【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手
与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p ,p ,p ，且p >p >p >0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则
1 2 3 3 2 1
（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
2、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加
比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回
答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每
个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能
正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序
无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
3、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制
（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主
客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队
以4∶1获胜的概率是____________．
4、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定
赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空
者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至
其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
5、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，
希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．
对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当
其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为
了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，
乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或
都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．6、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某
局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比
赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方
10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
7、【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方
得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概
率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
8、【2022年新高考1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分
为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患
该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
P(B|A) P(B|A)
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指
P(B|A) P(B|A)
标为R．
P(A|B) P(A|B)
（ⅰ）证明：R= ⋅ ；
P(A|B) P(A|B)
（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
n(ad−bc) 2
附K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
9、【2022年新高考2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如
下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年
龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
题组一、正态分布
1-1、（2022·江苏海门·高三期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，
其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，X ~N(0， )，则为
n
使|X |≥ 的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ）
n
（附）随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜
μ＋3σ)＝0.9974．
A．32 B．64 C．128 D．256
1-2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
1-3、（2022·江苏常州·高三期末）已知随机变量 ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
题组二、二项分布
2-1、（2022·广东东莞·高三期末）甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解
出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进
行了4局的概率是（ ）
A． B． C． D．
2-2、（2021·山东滨州市·高三二模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，
规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局
3
比赛甲获胜的概率都是5.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
2-3、（2021·山东济宁市·高三二模）甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，
2 1
约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为3 ，乙获胜的概率为3，各局比赛
相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了X 局比赛，求随机变景X 的分布列及数学期望．
题组三、离散型随机变量的均值与方差
3-1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）下列命题中，正确的是（ ）
A．若事件 与事件 互斥，则事件 与事件 独立
B．已知随机变量 的方差为 ，则
C．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
D．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
3-2、（2022·河北保定·高三期末）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以
额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该
零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数 的分布列为5 6 7
.
表示2台设备使用期间需更换的零件数， 代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.
(1)求 的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在 和 中，应选哪一个？
3-3、（2022·河北深州市中学高三期末）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济
损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的
数据分成五组： ， ， ， ， （单位：元），得到
如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代
表）；
（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失
超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为 ，求 的分布列
和数学期望.
3-4、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、
雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩
的生产至今已有 多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取 件作检验，这 件唐三彩中优质品的件数记为 ，如果 ，再从这批唐三彩中任
取 件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验：如果 ，再从这批唐三彩中任取 件作检验，
若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这批唐三彩的优质品概率为 ，即取出的每件唐三彩
是优质品的概率都为 ，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．
(1)求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
(2)已知每件唐三彩的检验费用为 元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需
的总费用记为 元，求 的分布列及数学期望．
题组四、概率中的最值问题
4-1、（2022·山东日照·高三期末）2021年某出版社对投稿某期刊的600篇文章进行评选，每篇文章送3位
专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的文章，将认定为“不入围文
章”，有且只有1位专家评议意见为“不合格”的文章，将再送 2 位专家进行复评，2位复评专家中有1
位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的文章，将认定为“不入围文章”.设每篇文章被每位专家评议
为“不合格”的概率均为 ，且各篇文章是否被评议为“不合格”相互独立.
(1)记一篇参评的文章被认定为“不入围文章”的概率为 ，求 ；
(2)若拟定每篇文章需要复评的评审费用为1500元，不需要复评的评审费用为900元；除评审费外，其他
费用总计为10万元.该出版社总预算费用为80万元，现以此方案实施，问是否会超过预算? 并说明理由.
4-2、（2022·山东莱西·高三期末）现有混在一起质地均匀且粗细相同的长度分别为1 ､2 ､3 的钢管各
3根（每根钢管附有不同的编号），现随机抽取4根（假设各钢管被抽取的可能性是相等的），再将抽取的这4根首尾相接焊成笔直的一根.
(1)记事件 “抽取的4根钢管中恰有2根长度相同”，求 ；
(2)若用 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）， ， ，求 的分布列和实数 的取
值范围.
4-3、（2022·山东淄博·高三期末）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四
人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1
分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均
得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为 ；参加“四人赛”活动（每天两
局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p， ．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动
和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 ．求p
为何值时， 取得最大值．1、（2022·山东莱西·高三期末）设随机变量 ， ， ，则下列结
论正确的为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩 近似地服从正
态分布 ，估计这些考生成绩落在 的人数约为（ ）
(附： ，则 ， )
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
3、（2022·湖北江岸·高三期末）在 次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且
A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为 ，则事件A，B，C发
生次数的方差之比为（ ）
A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1
4、（2022·江苏海安·高三期末）（多选题）一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关
系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得
分为 ，则（ ）
A．抛掷一次，“漂亮”的概率为
B． ＝2时，“漂亮”的次数必为8
C．E( )＝－10
D．
5、（2022·江苏如皋·高三期末）（多选题）如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3
个不同的数字，记事件A ：恰好挑出的是1、2、3；记事件A ：恰好挑出的是1、4、7；记事件A ：挑出
1 2 3
的数字里含有数字1.下列说法正确的是（ ）1 2 3
4 5 6
7 8 9
A．事件A ，A 是互斥事件
1 2
B．事件A ，A 是独立事件
1 2
C．P(A |A )＝P(A |A )
1 3 2 3
D．P(A )＝P(A )＋P(A )
3 1 2
6、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种
检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴
性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k
份核酸样本究竞哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为
次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本
是阳性的概率都为 ，若 ，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优
于逐份检测方式．（参考数据： ）（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
7、（2022·山东青岛·高三期末）习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最
现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民
对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分
布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少
2人非常满意的概率；
(2)相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需
要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数=
)
(3)在等级为不满意的市民中，老人占 ，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从
中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
8、（2022·山东青岛·高三期末）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买
一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000 ，上下浮动不超过50 .这句话用
数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000 ，标准差为50 的正态分布.
(1)已知如下结论：若 ，从 的取值中随机抽取 个数据，记这 个数据的平均值为 ，则随机变量 .利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为 ，求
；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在 上，并经计算25
个面包质量的平均值为 .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的
理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；
第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出
黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量 服从正态分布 ，则 ，
；
②通常把发生概率小于 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
9、（2022·山东临沂·高三期末）一机床生产了 个汽车零件，其中有 个一等品、 个合格品、 个
次品，从中随机地抽出 个零件作为样本.用 表示样本中一等品的个数.
（1）若有放回地抽取，求 的分布列；
（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.
①求误差不超过 的 的值；
②求误差不超过 的概率（结果不用计算，用式子表示即可）10、（2022·湖北江岸·高三期末）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的
技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质
量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得
分分成以下6组： ､ ､ ､…， ，统计结果如图所示：
(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布 ，其中 近
似为样本平均数 ， 近似为样本的标准差s，并已求得 .若A市恰有2万名5G手机用户，试估计
这些5G手机用户中满意度得分位于区间 的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相
互独立，中奖率均为 .每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结
束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布 ，即 ，则 ，
.
