高数公式答案_考研_数学_00.公式_25《公式定理》默写本_考研高数公式

2024 届考研 高数公式【答案】 1.两个重要极限 sinx （1） lim 1. x0 x 1 1 1 1 （2）lim(1 x)x e,lim(1 )x e,lim(1 )n e推广为： lim(1) e. x0 x x n n 0 2.四则运算法则 如果lim f  x  A,limg  x B 那么①lim f  x g  x  lim f  x limg  x  AB .   ②lim f  x g  x  lim f  x limg  x  AB .       f x lim f x A ③lim    B0  .     g x limg x B  1 若B  , A需要A 0  2  ④lim f  x gx  AB A0   若B  1 , 1 需要A 0  2 A  AB eBlnA,lnA需要A0   3.无穷小性质 有限个无穷小的代数和为 无穷小 . 有限个无穷小的乘积为 无穷小 . 无穷小乘以有界变量为 无穷小 . -1-4.无穷小比较  x  若lim 0,则称 x 是比 x  高阶 无穷小，记为 x    x  . x x   x  若lim ,则称 x 是比 x  低阶无穷小. x x   x  若lim c 0,则称 x 是与 x  同阶 无穷小. x x   x  若lim 1,则称 x 是 x  等价 无穷小，记为 x   x  . x x   x  若lim c 0,则称 x 是 x 的k 阶无穷小. x  x  k   当x0时，（x ?） 1   1   sinx  x x3  x3 arcsinx  x x3 x3 6 6 1   1   tanx  x x3  x3 arctanx  x x3 x3 3 3 ln  1 x  x 1 x2 1 x3  x3  cosx 1 1 x2  1 x4   x4  2 3 2 24 ex 1 x 1 x2   x2   1 x  1x 1  x2  x2  2 2 1   1 x x2 x3 x3 1 x -2-5.间断（只需讨论无定义点和分段函数分段点的极限） 设函数 f  x 在点x 的某去心邻域内有定义 0 （1）第一类间断点： f(x 0), f(x 0)均存在 0 0 ① f(x 0) f(x 0)跳跃间断点 0 0 ② f(x 0) f(x 0) f(x )可去间断点 0 0 0 （2）第二类间断点： f(x 0), f(x 0)至少有一个不存在 0 0 ① f(x 0)和 f(x 0)“”无穷间断点 0 0 ② f(x 0)和 f(x 0)“振荡”振荡间断点 0 0 6.渐近线 （1） lim f(x) x  x 为一条 铅直 渐近线. xx 0 0 (xx0 ) (xx0 ) a y a为一条水平渐近线. （2） lim f(x) x 转到（3） f(x) （3） lim k;lim  f(x)kx b y kxb 为一条 斜 渐近线. x x x 7.求导公式  C  0  x x1     ax ax lna ex ex  sinx  cosx  cosx  sinx  tanx  sec2 x  cot x  csc2 x  secx  secxtanx  cscx  cscxcot x  log x   1  lnx   1 a xlna x  arcsinx   1  arccosx   1 1 x2 1 x2  arctanx   1  arccot x   1 1 x2 1 x2 -3-求导法则 uu  x  ,v v  x 都可导  uv  uv  Cu  Cu（C 是常数）   uv  uvuv   u   uv uv  v 0  . v  v2 8.单调性与极值 （1）单调性与极值 ① f  x 在 a,b 上连续， a,b 内可导， f x 0， f  x  单调增加 ； f x 0， f  x  单调减少 . 0 ② f  x 在U  x 内有定义，xU  x ， f  x  f  x  f  x 为 极小值 ； 0 0 0 0 f  x  f  x  f  x 为 极大值 . 0 0 0 ③第一充分条件： f  x 在x 处连续，在U  x ,内可导 0 0 若x x ,x 时 f x 0，而x x ,x 时 f x 0， 0 0 0 0  f  x 为 极大值 . 0 若x x ,x 时 f x 0，而x x ,x 时 f x 0， 0 0 0 0  f  x 为 极小值 . 0 f x 不变号 f  x  不是极值 . 0 ④第二充分条件： f x 0， f x 存在且 f x 0 0 0 0 f x 0  f  x 为 极大值 . 0 0 f x 0  f  x 为 极小值 . 0 0 ⑤必要条件： f  x 为一极值 f x 0或 f x 不存在. 0 0 0 9.凹凸点与拐点 -4-① f  x 在 a,b 上连续， a,b 内存在二阶导数， f x 0， f  x 的图形是凹的； ②连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点； ③第一充分条件： f  x 在x 处连续，在U 0  x ,内二阶可导 0 0 f x 在点 x , f  x 两侧变号  x , f  x 为曲线 y  f  x 的拐点 0 0 0 0 ④第二充分条件： f x 0， f x 存在且 f x  0  x , f  x  是曲线 0 0 0 0 0 y  f  x 的拐点. ⑤必要条件：  x , f  x  是曲线 y  f  x 的拐点 f x  0或 f x 不存在. 0 0 0 0 10.切线与法线 曲线 f  x 在点 x , f  x 处的切线方程： y y  f  x  xx . 0 0 0 0 0 曲线 f  x 在点 x , f  x 处的法线方程： y y  1  xx  . 0 0 0 f x  0 0 11.不定积分基本公式 （1）kdx kxC (k 是常数） x1 （2）xdx  C 1  1 1 （3） dx ln x C x ax （4）①axdx  C ②exdx ex C lna （5）①sinxdx cosxC ②cosxdx sinxC ③tanxdx ln cosx C ④cotxdx ln sinx C ⑤secxdx ln secxtanx C ⑥cscxdx ln cscxcotx C ⑦sec2 xdx tanxC ⑧csc2 xdx cotxC ⑨secxtanxdx secxC ⑩cscxcotxdx cscxC -5-公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取1 1 x 1 1 xa （6）① dx  arctan C ② dx  ln C a2  x2 a a x2 a2 2a xa 1 x 1   ③ dx arcsin C ④ dx ln x a2 x2 C a2 x2 a a2  x2 1 ⑤ dx ln x x2a2 C x2 a2 12.不定积分计算 （1）第一类换元法（凑微分）： 若 f  u  duF  u C,且函数 x 可导，则 (1) (2)  f  x  x  dx  f  x d x  f  u  du     (3) (4)  F  u C  F  x C   （2）第二类换元法： 若 t 可导且 t 0，若 f    t    t  dt F  t C 1 2 3 则 f  x  dx   f  t  t  dt F  t C F 1 x C ,     xt 其中t 1 x 是x  t 的反函数. （3）分部积分法：若函数u  x  ,v  x  均可导，则 udv  uv  vdu. 【注】分部积分适用于被积函数为两个不同类型函数的乘积，关键是选取适当的u,v.选择 u,v 的总原则是：求导变简选作u,积分容易作 dv （两者不可兼得时优先考虑 dv ）. 13.定积分存在条件 （1）充分条件：① f  x 在 a,b 上连续，则 f  x 在 a,b 上可积. ② f  x 在 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则 f  x 在 a,b 可积. ③ f  x 在 a,b 上单调，则 f  x 在 a,b 上可积. （2）必要条件： f  x 在 a,b 上可积，则 f  x 在 a,b 上有界. -6-14.定积分计算 N L公式：如果函数F  x 是连续函数 f  x 在区间 a,b 上的一个原函数， 则 b f  x  dx F  b F  a  a . 15.变限积分 S  x    x f  t  dt. a F  x    x f  t  dt ；F  x    b f  t  dt ； 1 2 a x F  x     2 x f  t  dt x 1 16.变限积分计算  求导公式：（1）   x f  t  dt   f  x  x   a     （2）    2 x f  t  dt   f   x   x  f   x  x   x   2  2  1  1 1   （3）   x g  x  f  t  dt    g  x  x f  t  dt   a   a   g x  x f  t  dt  g  x  f  x  x    a 17.反常积分判敛 收敛 （1）计算判敛：  f  x dx F  x    a a  不发散 收敛  b f  x dx F  x b   “a”为瑕点 a a  不发散  1 p1收敛 1 1 p1收敛 （2）比较判敛： dx ； dx 1 xp p1发散 0 xp p1发散 18.平面图形面积 公式法 1直角坐标系下：S   b f  x  f  x  dx 1 2 a 2参数方程下：S   b y dx     t  t  dt （其中    x  t  , t ） a   y  t  3极坐标系下：S   1 r2r2 d  2 1 2 -7-19.旋转体体积 公式法 1绕x轴旋转：V   b f 2 x  dx x a 2绕 y轴旋转：V 2 b x f  x  dx y a 20.平面曲线弧长（数一、数二） ds   dx 2 dy 2 ①直角坐标系下：s b 1  f x   2 dx a ②极坐标系下：s    r  2 r 2 d      ③参数方程下：s       t   2    t   2 dt （其中    x  t  , t ）   y  t  21.旋转体侧面积（数一、数二） S   b 2f  x  1f  x  2 dx   a 22.函数平均值 y  1  b f  x  dx ba a 23.已知平行截面面积的立体体积（数一、数二） V   b S  x  dx a dy dy 24.可分离变量方程  f  x  g  y     f  x  dx   dx g y dy  y 25.齐次方程  f   dx  x 26.一阶线性方程 y p  x  y q  x  【分析】凑积分因子e pxdx e pxdx  y p  x  y  e pxdx q  x     ye pxdx e pxdx q  x       ye pxdx  e pxdx q  x  dxC      dy 27.伯努利方程（数一）  p  x  y q  x  yn n 0,n 1  dx -8-28.全微分方程（数一） P  x,y  dxQ  x,y  dy 0   P  Q    x P  t,y  dt y Q  x ,u  duC  y x  x 0 0 y 0 0 29.可降阶方程（数一、数二） （1）不显含 y： y f  x,y【分析】令 y p p f  x,p  dp dp （2）不显含x： y f  y,y 【分析】令 y p y p  p  f  y,p  dy dy 30.二阶常系数线性齐次方程 y pyqy  0 其特征方程2  pq 0 ① p24q0,  ，通解 y C e 1 x C e 2 x 1 2 1 2 ② p24q0, ，通解 y  C C x  e 1 x 1 2 1 2 p 4q p2i ③ p24q0,  i, 通 y ex C cosxC sinx  1,2 2 1 2 31.二阶常系数线性非齐次方程 y pyqy  f  x  非齐次方程通解齐次方程通解一个非齐次方程特解 y x  32.欧拉方程 xny n a xn1y n1 a xya y  f  x  1 n1 n 33.差分方程 y ay  f  t  qt t1 t 34.介值定理： ①当 f  a  f  b  或 f  b  f  a  时，则在  a,b  内至少存在 一点，使得 f . ②当m  M 时，则在 a,b 内至少存在一点，使得 f . 【注】：当m M时，则在 a,b 内至少存在一点  ，使得 f . -9-35.零点定理： 当 f  a  f  b 0时，则在  a,b  内至少存在一点，使得 f 0. 36.费马定理：设 f  x 在x  x 处可导且取极值，则 f x 0. 0 0 37.罗尔定理 设 f  x 在  a,b  上连续，在  a,b  内可导，又 f  a   f  b  ，则在  a,b  内至少存在一 点  ，使 f0. 38.拉格朗日中值定理 设 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，则在 a,b 内至少存在一点， f  b  f  a  使得 f  b  f  a  f  ba 或  f . ba 【注】拉格朗日中值定理也可写成 f  b  f  a   f a  b  a  b  a    （0   1 ）由于0   1，所以a  b  a 是在a 与b 之间 39.柯西中值定理 设 f  x  ,g  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导且g x 0，则在 a,b 内至少存在一点， f  b  f  a  f  使得  . g  b g  a  g 40.泰勒公式 设 f  x 在 a,b 上n阶导数连续，在 a,b 内n1阶可导， 1 则 f  x  f  x  f  x  xx  f  x  xx 2 0 0 0 2! 0 0  1 f n x  x x n f n1  x x n1 . n! 0 0  n1  ! 0 41.积分中值定理 设 f  x 在 a,b 上连续，则在 a,b 内至少存在一点使得 b f  x  dx  f  ba  a  b f  x  dx 或 f  a . ba -10-公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取42.积分中值定理加强版 设 f  x 在 a,b 上连续，则在 a,b 内至少存在一点，使得 b f  x  dx  f  ba  . a （需先证明） 43.偏导数 z f  z  x , y    f  x , y  x x 0 0 x x 0 0 x 0 ,y 0  x ,y  0 0 f  x x, y  f  x , y  f  x, y  f  x , y   lim 0 0 0 0  lim 0 0 0 x0 x xx x x 0 0 z f  z  x , y    f  x , y  y y 0 0 y y 0 0 x ,y  x ,y  0 0 0 0 f  x , y y  f  x , y  f  x , y   f  x , y   lim 0 0 0 0  lim 0 0 0 y0 y yy y y 0 0 44.多元函数极值  ①z  f  x,y 在U  P 内有定义，PU  P  0 0 f  x, y  f  x , y  f  x , y 为 极小值 0 0 0 0 f  x, y  f  x , y  f  x , y 为 极大值 0 0 0 0 ②充分条件 z  f  x,y 在点 x , y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 0 0 且 f x ,y 0, f x ,y 0, 令 f  x ,y  A, f  x ,y  B, x 0 0 y 0 0 xx 0 0 xy 0 0 f  x ,y C yy 0 0 若AC B2 0，A0 f  x ,y 为 极大值 ； 0 0 A0  f  x , y 为 极小值 . 0 0 若AC B2 0 f  x , y 为 非极值 . 0 0 若AC B2  0  f  x , y 为 可疑极值，需另讨论 . 0 0 -11-45.全微分形式不变性 z  f  u,v  、u x, y 、v  x, y  具有连续偏导数，则 z z  z u z v  z u z v dz  dx dy    dx    dy x y  u x v x  u y v y z u u  zv v    dx  dy   dx  dy ux y  vx y  z z  du dv u v 46.隐函数求导公式 （1）F  x,y 具有连续偏导数，F  x ,y 0,F x ,y 0，则F  x,y 0能唯一确定一个 0 0 y 0 0 dy F 连续且具有连续导数的函数 y  f  x ，它满足条件 y  f  x ，且  x . 0 0 dx F y （2）F  x,y,z 具有连续偏导数，F  x ,y ,z 0,F x ,y ,z 0，则F  x,y,z 0在点 0 0 0 z 0 0 0  x ,y ,z 能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z  f  x,y ，它满足条件 0 0 0 z F z F z  f  x ,y ，且  x ,  y . 0 0 0 x F y F z z （3）F  x,y,u,v  ,G  x,y,u,v 具有连续偏导数，F  x ,y ,u ,v 0，G  x ,y ,u ,v 0， 0 0 0 0 0 0 0 0 F F J  u v 在点 x ,y ,u ,v 不等于零，则    F  x,y,u,v 0 在点 x ,y ,u ,v 能唯一 G G 0 0 0 0  G  x,y,u,v 0 0 0 0 0 u v 确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu  x,y  ,v v  x,y ，它们满足条件 u u  x ,y  ,v v  x ,y  ,且 0 0 0 0 0 0 F F F F F F F F y v u y x v u x u G G v G G u G G v G G  x v ,  u x ,  y v ,  u y x F F x F F y F F y F F u v u v u v u v G G G G G G G G u v u v u v u v -12-47.二重积分定义 n  f  x,y  dlim  f , max  i i i i 0 D i1 48.二重积分对称性  0, f  x,y f  x, y   （1）若D关于x轴对称，则 f  x,y  dxdy  2 f  x, y  dxdy, f  x,y  f  x, y   D  D 1  0, f x, y f  x, y   （2）若D关于 y轴对称，则 f  x,y  dxdy  2 f  x, y  dxdy, f x, y  f  x, y   D  D 1 ② ①  0, f x,y f  x, y   （3）若D关于原点对称，则 f  x,y  dxdy  2 f  x, y  dxdy, f x,y  f  x, y   D  D 1 1 （4）若D关于 y  x 轴对称，则 f  x, y  dxdy  f  y,x  dxdy   f  x, y   f  y,x   dxdy 2 D D D ③ ④ -13-49.直角坐标系 A  x     2 x f  x, y  dy x 1 V   b A  x  dx   b    2 x f  x,y  dy  dx a a  x  1   b dx  2 x f  x, y  dy a x 1 （1）先 y后x： f  x,y  d b dx  2 x f  x,y  dy    x  y   x  ,a  x b  a x 1 2 1 D (b) (a) X型 （积分次序决定需将区域看成什么类型） （2）先x后 y： f  x,y  d d dy  2 y f  x,y  dx    y  x   y  ,c  y d  c y 1 2 1 D (a) (b) Y型 -14-50.极坐标系  f  rcos,rsin rdrd  d  f  rcos,rsin rdr  0 D  f  rcos,rsin rdrd  d  2  f  rcos,rsin rdr   1 D 51.二重积分应用（数一）  z  2 z  2 （1）曲面的面积 A  1      dxdy x y D xy 1 1 （2）质心 x  xd,y   yd A A D D （3）转动惯量 I   y2 x,y  d,I  x2 x,y  d x y D D 52.级数性质     （1）设k 为常数且k 0，则级数ku 与u 有相同的敛散性，即u  s ku ks n n n n n1 n1 n1 n1    （2）设u  s, v ，则 u v  s n n n n n1 n1 n1    【注】若 u 收敛，  v 发散，则  u v  发散； n n n n n1 n1 n1    若  u 与  v 均发散，则  u v  的敛散性不确定. n n n n n1 n1 n1   （3）设级数 u ，去掉、加上或改变有限项不影响其敛散性，收敛时，其和可能改变. n n1   （4）若级数 u 收敛，则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和. n n1   【注】设级数 u ,若对其各项加括号所得新级数发散，则原级数必发散. n n1 -15- 若级数u ,对其各项任意加括号所得新级数收敛，则原级数敛散性不确定. n n1  （5）若级数  u 收敛，则limu  0 n n n n1  【注】若limu  0，则  u 发散 n n n n1 53.正项级数判敛  （1）收敛充要条件：正项级数u  u 0 收敛 S 有界. n n n n1 （2）比较判别法： ①比较判别的一般形式     设u 0，v 0且u v ，若v 收敛，则u 收敛；若u 发散，则v 发散. n n n n n n n n n1 n1 n1 n1 ②比较判别的极限形式 u 设u  0,v  0，且lim n  A，则 n n n v n     （Ⅰ）0 A时， u 与 v 同敛散；（哈尔滨工业大学1982） n n n1 n1   （Ⅱ）A0时，若 v 收敛，则  u 收敛； n n n1 n1     （Ⅲ）A时，若 u 收敛，则 v 收敛. n n n1 n1 1 收敛 u  （3）比值判别法：设u 0，lim n1 1 发散 n n u  n 1 失效   u 【注】比值判别法证明过程中产生的结论：设正项级数 u （u  0），若 n1  r  1 ， n n u n1 n  则 u 收敛. n n1 -16-1 收敛  （4）根值判别法：设u 0，limn u 1 发散 n n n  1 失效    （5）积分判别法：若函数 f  x 连续非负且单调减少，则  f  n 与 f  x  dx 具有相同的 N nN 敛散性. （6）重要级数   q 1 收敛 ① aqn1 n1  q 1 发散  1 p1 收敛 ②  n1 np p1 发散 ③  1 n1 1   p 1 绝对收敛 n1 np 0 p1 条件收敛  1 1或1,1 收敛 ④  n2 nlnn  其他 发散 54.正项级数敛散性判别程序：  0发散 （1）limu  n n 0转到(2) 含有n!或关于n的若干个因子的连乘积,用比值判别法   若1转到(3)  含有以n为指数幂的因子,用根值判别法,  （2）u  n  1 同时含有 和lnn,用积分判别法,   n （3）比较判别法的一般形式或极限形式 （4）回归收敛定义 55.莱布尼茨判别法（莱布尼茨在1713年10月25日给约翰伯努利的信中提到该定理）  若交错级数1 n1 u  u 0 满足 n n n1 （1）u u  n1,2,3, ； n n1 （2）limu 0，则级数收敛，且其和su ，其余项r 的绝对值 r u . n n 1 n n n1 -17-56.任意项级数判敛方法 加绝对值转换成正项级数，用正项级数判别程序判别：   若 u 收敛，则u 绝对收敛； n n n1 n1    若u 收敛，而 u 发散，则u 条件收敛. n n n n1 n1 n1 57.幂级数 各项都是幂函数的函数项级数，形如  a  xx n a a  xx a  xx 2a  xx n  n 0 0 1 0 2 0 n 0 n0  当x 0时，a xn a a xa x2a xn  0 n 0 1 2 n n0 58.收敛域 幂级数所有收敛点的集合. 59.阿贝尔定理  当幂级数a xn在x  x  x  0 处收敛时，对于满足 x  x 的一切x，幂级数绝对收敛； n 0 0 0 n0  当幂级数a xn在x  x  x  0 处发散时，对于满足 x  x 的一切x，幂级数发散. n 0 0 0 n0 60.收敛域求法（收敛域=收敛区间+收敛端点）   （1）加绝对：将通项加绝对值变为正项级数，u  x  u  x  n n n1 n1 （2）用比根：用正项级数比值判别法或根值判别法计算出收敛区间   u x lim n1  x  , lim n u  x   x  n u  x  n n n ba 令 x 1收敛区间为 a,b ，收敛半径R 2 （3）代点算：单独验证级数在端点处的敛散性，得出收敛域     令x a，u  x u  a ；令x b，u  x u  b  n n n n n1 n1 n1 n1  判敛u  x 的收敛域为 a,b  ,  a,b  ,  a,b  ,  a,b  n n1 -18-61.幂级数运算性质  （1）幂级数a xn的和函数s  x 在其收敛域I上连续 n n0  （2）幂级数a xn的和函数s  x 在其收敛域I上可积 n n0 且 x s  x  dx  x    a xn  dx    x a xndx   a n xn1 xI  0 0  n  0 n n1 n0 n0 n0 积分后幂级数收敛半径不变，收敛域不变或变大  （3）幂级数a xn的和函数s  x 在其收敛区间R,R 内可导 n n0  且s x      a xn      a xn    na xn1 x  R  n n n   n0 n0 n1 求导后幂级数收敛半径不变，收敛域不变或变小 62.幂级数展开求和 1  （1） xn 1 x x2 xn, 1 x1  1 x n0 1  （2） 1 n xn 1 x x2 1 n xn, 1 x1  1 x n0  xn1 x2 x3 x4 xn1 （3）ln  1 x 1 n  x    1 n , 1 x1  n1 2 3 4 n1 n0  x2n1 x3 x5 x7 x2n1 （4）sinx 1 n  x    1 n ,  x    2n1  ! 3! 5! 7!  2n1  ! n0  x2n x2 x4 x6 x2n （5）cosx 1 n 1    1 n ,  x       2n ! 2! 4! 6! 2n ! n0  xn x2 xn （6）ex  1 x  ,  x  n! 2! n! n0 1  1    n1  （7） 1 x  1x x2 x n，1 x1  2! n! 在端点x 1处的收敛性依的不同而异 -19-