文档内容
7.3 定义、命题、定理【5 个必考点】
【人教版2024】
【考点1 判断一句话是不是命题】..........................................................................................................................1
【考点2 判断命题的真假】......................................................................................................................................3
【考点3 指出命题的题设与结论】..........................................................................................................................6
【考点4 举反例驳假命题】......................................................................................................................................8
【考点5 命题与证明综合应用】............................................................................................................................12
【考点1 判断一句话是不是命题】
【知识梳理】
命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．
【必刷题】
1．（2024秋•李沧区期末）下列语句是命题的是（ ）
A．延长线段AB
B．两直线相交有几个交点？
C．同位角相等
D．连接A，B两点
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解答】解：A、延长线段AB，不是命题，不符合题意；
B、两直线相交有几个交点？，不是命题，不符合题意；
C、同位角相等，是命题，符合题意；
D、连接A，B两点，不是命题，不符合题意；
故选：C．
2．（2024春•凤凰县期末）下列语句，不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．在同一个平面内两直线不平行就相交
C．连接A，B两点
D．对顶角相等【分析】根据命题的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：A．两点之间线段最短，是命题；
B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题；
C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题；
D．对顶角相等，是命题．
故选：C．
3．（2024秋•迎泽区校级月考）下列语句中，是命题的是（ ）
A．延长线段AB到C B．两点之间线段最短
C．画∠AOB＝45° D．等角的余角相等吗
【分析】根据命题的定义解答即可．
【解答】解：A、延长线段AB到C，不是命题，不符合题意；
B、两点之间线段最短，是命题，符合题意；
C、画∠AOB＝45°，不是命题，不符合题意；
D、等角的余角相等吗，不是命题，不符合题意．
故选：B．
4．（2023秋•侯马市期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．若两角之和为90°，则这两个角互补
B．同角的余角相等
C．作线段的垂直平分线
D．相等的角是对顶角
【分析】根据命题的定义作答．
【解答】解：根据命题的定义，可知A、B、D都是命题，而C属于作图语言，不是命题．
故选：C．
5．（2024秋•平湖市期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．垂线段最短
D．在线段AB上取点C，使CA＝CB
【分析】根据命题的定义分别进行判断即可．
【解答】解：A、对顶角相等是命题，不符合题意；
B、同旁内角互补为命题，不符合题意；C、垂线段最短，是命题，不符合题意．
D、在线段AB上取点C为描述性语言，不是命题，符合题意．
故选：D．
【考点2 判断命题的真假】
【知识梳理】
命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．
【必刷题】
1．（2024秋•巴彦县期末）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）对顶角相等；
（2）平行于同一直线的两条直线平行；
（3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
（4）两直线平行，同旁内角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据对顶角相等、平行公理的推论、垂线段最短、平行线的性质判断即可．
【解答】解：（1）对顶角相等，是真命题；
（2）平行于同一直线的两条直线平行，是真命题；
（3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
（4）两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
故选：D．
2．（2024春•咸安区期末）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c
D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c
【分析】根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解．
【解答】解：A、 ，是真命题，故本选项不符合题意；
B、 ，应为a∥c，故本选项是假命题，故本选项符合题意；C、 ，是真命题，故本选项不符合题意；
D、 ，是真命题，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（2024春•下陆区期中）下列四个命题：
①相等的角是对顶角；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③等角的补角相等；
④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离，其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据对顶角性质，平行线的判定与性质，点到直线的距离，补角的定义，逐项判断即可．
【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故①是假命题；
②两直线平行，同位角相等，故②是假命题；
③等角的补角相等，正确，③是真命题；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④是假命题；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故⑤是假命题，
综上所述，真命题的个数为1，
故选：A．
4．（2024春•日照期末）以下命题：
①对顶角相等；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意；
④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，故原命题错误，是假命
题，不符合题意．
真命题有2个，
故选：B．
5．（2024秋•南岗区校级期中）下列命题中：
（1）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）平移时，连接对应点的线段平行且相等；
（4）在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；
（5）对顶角相等；
（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平移性质、平行线的判定、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选
项．
【解答】解：（1）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，错误；
（2）两平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；
（3）平移时，连接对应点的线段平行且相等或相等且在同一直线上，故错误；
（4）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误；
（5）对顶角相等，正确；
（6）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；
故选：A．
【考点3 指出命题的题设与结论】
【知识梳理】
命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写
成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 .
【必刷题】
1．（2024秋•金凤区校级期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 两个角
是对顶角 ，那么 这两个角相等 ．
【分析】改写成“如果……，那么……”的形式时，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论．
【解答】答案：两个角是对顶角；这两个角相等．
解：“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相
等”．
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
2．（2024秋•麦积区期中）把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果......那么......的
形式是 如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式 ．
【分析】根据命题的概念解答即可．
【解答】解：命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果......那么......的形式是：如果
在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式，
故答案为：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式．
3．（2024春•江夏区期中）命题：“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．请写出这个命题的题
设是 两条平行线被第三条直线所截 ．
【分析】根据命题的题设是已知事项解答即可．
【解答】解：命题：“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”的题设两条平行线被第三条直线所
截，
故答案为：两条平行线被第三条直线所截．
4．（2024春•华阴市期末）如图，点A、D分别在线段CE、BF上，连接AB、CD、EF．现有以下三个论
断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造
命题，能够构成 3 个真命题．
【分析】分三种情况，由平行线的判定和性质，即可判断．
【解答】解：以①②为条件，③为结论能够构成真命题，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CDF，
∴AC∥BD，
∴∠E＝∠F；
以①③为条件，②为结论能够构成真命题，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠E＝∠F，
∴AC∥BD，
∴∠C＝∠CDF，
∴∠B＝∠C；
以②③为条件，①为结论能够构成真命题，理由如下：
∵∠E＝∠F，
∴AC∥BD，
∴∠C＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD．
∴以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成3个真命题．
故答案为：3．
5．（2024春•韩城市校级月考）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式：
（1）等角的补角相等；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
【分析】根据命题的概念解答即可．
【解答】解：（1）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两
个角的补角相等）；
（2）如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
6．（2024春•黄陂区月考）“连结直线外一点与直线上一点的所有线段中，垂线段最短”的题设是 连
结直线外一点与直线上一点的所有线段 ，结论是 垂线段最短 ．
【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论；根据上
步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了．
【解答】解：题设：连结直线外一点与直线上一点的所有线段，结论：垂线段最短．故答案为：连结直线外一点与直线上一点的所有线段，垂线段最短．
【考点4 举反例驳假命题】
【知识梳理】
举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.
像这样的例子叫作反例.
【必刷题】
1．（2024秋•西安期末）要说明命题“若a＞b，则a2＞ab“是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝4，b＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，且a2＞ab，不能作为反例，不符合题意；
B、a＝2，b＝1时，满足a＞b，且a2＞ab，不能作为反例，不符合题意；
C、a＝4，b＝﹣1时，满足a＞b，且a2＞ab，不能作为反例，不符合题意；
D、a＝﹣2，b＝﹣3时，满足a＞b，但a2＜ab，能作为反例，符合题意；
故选：D．
2．（2024春•太和县月考）能说明命题“如果∠1+∠2≠60°，那么∠1≠∠2”为假命题的反例是（ ）
A．∠1＝40°，∠2＝20° B．∠1＝20°，∠2＝20°
C．∠1＝30°，∠2＝30° D．∠1＜30°，∠2＞30°
【分析】任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是
假命题，只需举出一个反例即可．根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
【解答】解：A．∠1＝40°，∠2＝20°，则∠1+∠2＝60°，故不符合题意；
B．∠1＝20°，∠2＝20°，则∠1+∠2≠60°，但∠1＝∠2，可作为说明原命题是假命题的反例，故符合
题意；
C．∠1＝30°，∠2＝30°，有∠1+∠2＝60°，故不符合题意；
D．∠1＜30°，∠2＞30°，则∠1+∠2可能等于60°，故不符合题意．
故选：B．
3．（2024秋•长泰区校级期末）要说明命题“任何一个角的补角都大于这个角”是假命题，可以举的反例
是（ ）
A．该角等于90° B．该角等于60°
C．该角等于45° D．该角等于30°
【分析】根据“任何一个角的补角都大于这个角”反证法的假设是，至少有一个角的补角不大于这个
角，进行判断作答即可．【解答】解：由题意知，“任何一个角的补角都大于这个角”反证法的假设是：至少有一个角的补角不
大于这个角，
A．该角等于90°，该角的补角为90°，90°＝90°，故此选项符合题意；
B．该角等于60°，该角的补角为120°，120°＞60°，故此选项不符合题意；
C．该角等于45°，该角的补角为135°，135°＞45°，故此选项不符合题意；
D．该角等于30°，该角的补角为150°，150°＞30°，故此选项不符合题意．
故选：A．
4．（2024春•韩城市校级月考）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假
命题，举出个反例．
（1）两个角的和等于直角时，这两个角互为余角；
（2）同旁内角互补．
【分析】（1）根据命题的概念解答即可；
（2）根据命题的概念解答即可．
【解答】解：（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．
这个命题是真命题．
（2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，
这个命题是假命题．
反例：如图中∠1与∠2是同旁内角，∠1+∠2≠180°，
5．（2024春•玄武区校级期中）已知：三条不同的直线 a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；
③b⊥c；④a⊥b．
请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出满足下列
条件的命题．
（1）写出一个真命题，并证明它的正确性；
（2）写出一个假命题，并举出反例．
【分析】（1）同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；由②③ ①；
（2）假命题：②③ ④； ⇒
⇒【解答】解：（1）如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b；
理由：如图，
∵a⊥c、b⊥c，
∴∠1＝90°，∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b．
（2）如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b；
反例：见图，如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b．
6．（2024春•鼓楼区校级月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问
题：
小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行．
小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直．
小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？
小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题…
数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求
证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明．
下面请你一起完成数学老师所说的任务．
【分析】利用平行线的判定与性质可证明命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为
真命题．利用反例可说明命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题．
【解答】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题．
已知：a∥b，b∥c，
求证：a∥c，
证明：作直线m分别于直线a、b、c相交，如图1，
∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），∵b∥v（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴a∥c（同位角相等，两直线平行）；
命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，如图2，b⊥a，c⊥a，而b∥c．
【考点5 命题与证明综合应用】
【知识梳理】
（1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”
“平行于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理.
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如
本章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明.
（3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经
过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然
后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方
法.
【必刷题】
1．（2024春•姜堰区期末）已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点．
（1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条
件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件： ①② ，结论： ③ .（填序号）
证明：
（2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数．【分析】（1）任选两个为条件，另一个为结论，根据平行线的性质与判定条件证明即可；
1
（2）根据（1）的结论结合平角的定义和已知条件可得∠A+∠A+ ∠A=180°，则∠A＝72°，再根
2
据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案．
【解答】（1）解：①②为条件，③为结论，证明如下：
∵DF∥AE，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠FDE＝∠A，
∴∠FDE＝∠DFB，
∴DE∥BA；
①③为条件，②为结论，证明如下：
∵DF∥AE，DE∥BA，
∴∠A＝∠DFB，∠FDE＝∠DFB，
∴∠FDE＝∠A；
②③为条件，①为结论，证明如下：
∵DE∥BA，
∴∠FDE＝∠DFB，
∵∠FDE＝∠A，
∴∠A＝∠DFB，
∴DF∥AE；
（2）解：∵∠FDE＝∠A，∠A＝∠BDF＝2∠EDC，∠FDE+∠BDF+∠EDC＝180°，
1
∴∠A+∠A+ ∠A=180°，
2
∴∠A＝72°，
∵DF∥AE，
∴∠AFD＝180°﹣∠A＝108°．2．（2024 春•朝天区期末）如图，已知 AB⊥BC，∠1+∠2＝90°．现有 3 个条件：①∠2＝∠3；
②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF．
（1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条
件是 ① ，结论是 ③ ；（填序号）
（2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据．
【分析】（1）根据题意即可解答；
（2）根据垂直的定义与平行线的判定及性质即可解答．
【解答】解：（1）选择的条件是①，结论是③；
或：选择的条件是③，结论是①．
故答案为：①，③（或③，①）
（2）选择的条件是①，结论是③，则证明如下：
证明：∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝90°（垂直的定义），
∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）．
∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3（已知），
∴∠1+∠3＝90°（等量代换）．
∴∠1＝∠4（等角的余角相等），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
选择的条件是③，结论是①，则证明如下：
证明：∵BE∥DF（已知），
∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等）
∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝90°（垂直的定义），
∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠2＝∠3（等角的余角性质）．3．（2024春•剑阁县月考）如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、
C、B、F，在下列三个式子：①∠1＝∠2，②∠B＝∠C，③∠A＝∠D中，请你将其中两个作为题
设，一个作为结论组成一个真命题，并证明（只写出一种情况即可）．
已知： ① ∠ 1 ＝∠ 2 ， ② ∠ B ＝∠ C ， 求证： ③ ∠ A ＝∠ D ； 证明：
【分析】根据已知的∠1＝∠2和对顶角相等，可以得到CE∥FB．再根据平行线的性质和∠B＝∠C，
就可得到∠C＝∠AEC，从而证的AB∥CD，最终可以证明∠A＝∠D．
【解答】已知：①∠1＝∠2，②∠B＝∠C；
求证：③∠A＝∠D；
证明：∵∠AGB＝∠2，
又∵∠1＝∠2，
∴∠AGB＝∠1，
∴CE∥FB，
∴∠AEC＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
已知：③∠A＝∠D，②∠B＝∠C；
求证：①∠1＝∠2；
证明：∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠B，
∴CE∥FB，
∴∠AGB＝∠1，∵∠AGB＝∠2，
∴∠1＝∠2．
已知：③∠A＝∠D，①∠1＝∠2；
求证：②∠B＝∠C；
证明：∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C，
∵∠AGB＝∠2，∠1＝∠2
∴∠AGB＝∠1，
∴CE∥FB，
∴∠AEC＝∠B，
∴∠B＝∠C．
4．（2024春•上杭县校级月考）如图，现有以下3个论断：
①AB∥CD；
②∠B＝∠C；
③∠E＝∠F．
请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明．
【分析】（1）根据题意构造出命题即可；
（2）利用平行线的判定和性质分别判断和证明即可．
【解答】解：（1）构造3个命题如下：
条件是：①AB∥CD；②∠B＝∠C；结论是：③∠E＝∠F；
条件是：①AB∥CD；③∠E＝∠F；结论是：②∠B＝∠C；
条件是：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F；结论是：①AB∥CD；（2）条件是：①AB∥CD；②∠B＝∠C；结论是：③∠E＝∠F；此命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠BAE，
∴AC∥BF，
∴∠E＝∠F；
条件是：①AB∥CD；③∠E＝∠F；结论是：②∠B＝∠C；此命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠E＝∠F，
∴CE∥BF，
∴∠B＝∠BAE，
∴∠B＝∠C；
条件是：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F；结论是：①AB∥CD；此命题是真命题，
证明：∵∠E＝∠F，
∴CE∥BF，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝∠BAE，
∴AB∥CD．
5．（2024春•阳东区期中）如图，在三角形 ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC
上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠ ＝∠ ，③∠C＝
∠ +∠EGH． α β
（β1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条
件是 ①② ，结论是 ③ （填写序号）；
（2）证明上述命题．【分析】由EG⊥AB，FD⊥AB，得EG∥FD，得∠DFE＝∠GEF，由∠ ＝∠ ，得∠BFE＝∠HEF，得
EH∥BC，即可得∠C＝∠AHE＝∠ +∠EGH． α β
【解答】（1）选择的条件是 ①②β，结论是 ③；
故答案为：①②，③；
（2）证明：由EG⊥AB，FD⊥AB，
得EG∥FD，
得∠DFE＝∠GEF，
由∠ ＝∠ ，
得∠αBFE＝β∠HEF，
得EH∥BC，
得∠C＝∠AHE＝∠ +∠EGH．
6．（2024春•龙门县期β中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交
BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ∠ ABC + ∠ DEF ＝ 180 ° ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为
∠ ABC ＝∠ DEF ；
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．【分析】（1）①如图1，根据平行线的性质求出∠DPB＝∠DEF，∠ABC+∠DPB＝180°，等量代换可
得∠ABC+∠DEF＝180°；如图2，根据平行线的性质求出∠DPC＝∠DEF，∠ABC＝∠DPC，等量代换
可得∠ABC＝∠DEF；②根据①的结果写出结论即可；
（2）设两个角的度数分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，求出
x，进而可得答案．
【解答】解：（1）①如图1，∵EF∥BC，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵DE∥AB，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°；
如图2，∵EF∥BC，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF；
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；
②由①得：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角的度数分别为x和2x﹣30°，
由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°，110°．
