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第 08 讲 专题 2 二次函数实际应用解答题专项训练
类型一：几何图形的面积问题
类型二：销售中的利润问题
类型三：抛物线形的形状问题
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
类型一：几何图形的面积问题
1．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行
于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2．
（1）若要围成面积为63m2的花圃，则AB的长是多少？
（2）求AB为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
【分析】（1）BC的长＝篱笆的总长﹣3×AB的长，花圃的面积＝AB的长×BC的长，把相关数值代入求
得合适的解即可；
（2）花圃的面积y＝AB的长×BC的长，整理成顶点式，根据墙的最大可用长度为10m得到自变量的取
值范围，进而得到花圃的最大面积．
【解答】解：（1）x（30﹣3x）＝63
30x﹣3x2＝63
3x2﹣30x+63＝0
x2﹣10x+21＝0
（x﹣3）（x﹣7）＝0．
解得：x ＝3，x ＝7．
1 2
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不合题意，舍去；
当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意．
答：若要围成面积为63m2的花圃，AB的长为7 m；
（2）y＝x（30﹣3x）
＝﹣3x2+30x
＝﹣3（x2﹣10x+25）+75
＝﹣3（x﹣5）2+75．
∵0＜30﹣3x≤10，∴ ≤x＜10．
∴当x＝ 时，y最大．最大面积为： ×（30﹣3× ）＝ （m2）．
答：AB为 m时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 m2．
2．某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙 MN，另外的边（虚线部分）用长为 28米的篱笆围成，
并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，
设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？
【分析】（1）由篱笆长28米，根据矩形的面积即可得出S关于x的函数关系式，再根据题意可求出自
变量的取值范围；
（2）根据自变量的取值范围和函数的增减性确定函数的最大值即可．
【解答】解：（1）由题意可知：S＝x•（28﹣3x+2）＝﹣3x2+30x，
根据题意得2＜28﹣3x+2≤12，即 ，
∴S与x之间的函数关系式为： ，
（2）S＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
当x＞5时，S随x的增大而减小，
而 ，
∴当x＝6时，S有最大值，此时S＝72，
即：当x＝6时，鸡舍的面积S有最大值，最大值为72．
3．如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？
你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题
就明白了．设AB＝x米．
（1）请用含x的代数式表示BC．
（2）设矩形ABCD的面积为S．
①求出S关于x的函数表达式．
②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？【分析】（1）由半圆的长度两种计算方法，列出方程可求解；
（2）①由矩形的面积公式可求解；
②由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得： •BC＝ ，
π
∴BC＝ ；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴S＝ ×x＝﹣ （x﹣100）2+ ；
②当x＝100时，S最大，
∴当AB＝100米时，S最大．
4．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长 40m，宽20m的矩形空
地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，
分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方
米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 （ x 2 ﹣ 6 0 x +80 0 ）
m2，花卉B的种植面积是 （﹣ x 2 +3 0 x ） m2，花卉C的种植面积是 （﹣ x 2 +2 0 x ） m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过560m2建立不等式，得到x≥8，再设A，B，C三种花卉
的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当x≥8时，y随x的增加而减小，
∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
5．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长
为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米．
（1）分别用含x的代数式表示BC与S；
（2）若S＝54，求x的值；
（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S
取最大值，最大值为多少？
【分析】（1）根据矩形的性质列式求出BC，再根据矩形面积公式求出S即可；
（2）根据（1）所求得到方程﹣3x2+33x＝54，解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出S＝﹣3（x﹣6）2+108，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，BC＝33﹣3x，∴S＝AB⋅BC＝x（33﹣3x）＝﹣3x2+33x；
（2）由题意得，﹣3x2+33x＝54，
∴x2﹣11x+18＝0，
解得，x ＝2，x ＝9，
1 2
∵墙长为12米，
∴33﹣3x≤12，
∴x≥7，
∴x ＝2应舍去，
1
∴x的值为9；
（3）S＝x（33+1.5×2﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵墙长为12米，
∴ ，
∴8≤x≤11，
∵a＝﹣3＜0，
∴开口向下，
∴当x≥6，S着x的增大而减小，
∴当x＝8时，S有最大值，最大值为：8×（36﹣3×8）＝96．
6．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙
（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同
的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2．
（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不
能，请说明理由．
【分析】（1）依据题意得，x+4y＝32，从而可得 ，代入S＝xy即可得解；
（2）依据题意，由（1）的解析式再根据 ，从而结合二次函数的性质即可判断得解；
（3）依据题意得，x+4y＝32+8，从而 ，故 ．，进而求出x的值，最后可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意得，x+4y＝32，
∴ ．
∴ ，即 ．
（2）由题意，∵ ，
∴S有最大值．当 时， ．
答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64．
（3）由题意得，x+4y＝32+8，
∴ ．
∴ ．
∴x ＝x ＝20．
1 2
∵18＜20，
∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2．
7．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH
与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域
ABCD的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40元/平方米
和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；
（2）把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设安装成本为w元，则w＝﹣25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合（1）中x的最值范围可得
答案．
【解答】解：（1）由题意得，AE＝HG＝ AD＝ x m，DC＝AB＝ （200﹣ x）＝（100﹣ x）m，
故y＝x（100﹣ x）＝﹣ x2+100x，
自变量x的取值范围为：28≤x＜80；
（2）由题意可得：
∵y＝﹣ x2+100x＝﹣ （ x2﹣80x）＝﹣ （ x﹣40）2+2000，
又∵28≤x＜80，
∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米；
（3）由题意得，S矩形EAGH ＝AG•AE＝ （100﹣ x） x＝﹣ x2+25x，S矩形DEFC ＝DC•DE＝（100
﹣ x）• x＝﹣ x2+50x，
设安装成本为w元，则w＝40（﹣ x2+25x）+20（﹣ x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000，
解得x＝60或20，
∵28≤x＜80，
∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元．
8．小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、
丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩
形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．
（1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁
种总价不超过65400元，求S的最大值；
（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3．
①求MF，FN的长；
②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长
的 倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值．
【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种花卉和草坪的面积，再根据“总价不超过65400元”建立一元一次不等式，然后求解即可得；
（2）①设AB＝a米，EF＝b米，根据正方形的性质、线段的和差可得MF、FN的长，再根据MF：FN
＝1：2可得a、b的关系等式，由此即可得出答案；②先在①的基础上，求出W关于a的函数表达式，
再根据题意求出a的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得．
【解答】解：（1）长方形空地的面积为16×12＝192（米2），
由题意得：450S+300（192﹣S）≤65400，
解得：S≤52，
故S的最大值为52米2．
（2）①设AB＝a米，EF＝b米，
∵四边形ABCD和EFGH均为正方形，
∴AD＝AB＝a米，FG＝EF＝b米，
∴MF＝AD+EF﹣16＝（a+b﹣16）米，
FN＝AB+FG﹣12＝（a+b﹣12）米，
又∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
∴a+b＝18．
∴MF＝18﹣16＝2（米），FN＝18﹣12＝6（米），
答：MF的长为2米，FN的长为6米．
②由①可知，a+b＝20，即b＝20﹣a，
∴ME＝16﹣AD＝16﹣a，
DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8，
BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4，NG＝12﹣AB＝12﹣a，
则由题意得：
w＝150（16﹣a）（a﹣8）+80×4×8+150（12﹣a）（a﹣4）＝﹣300（a﹣10）2+6160，
又∵BN≥ ME且AB＜12，
∴a﹣4≤ （16﹣a）且a＜12，
解得： ≤a＜12，
由二次函数的性质可知，当 ≤a＜12时，W随a的增大而减小，
则当a＝ 时，w取得最大值，最大值为﹣300×（ ﹣10）2+6160＝6026 （元）．
答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价w的最大值为6026 元．9．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0
就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值．
解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】
已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ﹣ 5 ；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两
边长分别是5a米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲 和S乙 的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从
A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到
达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，请直接写出△MCN的面积最大值．
【分析】（1）（1）直接利用完全平方公式可得答案；
（2）先求出S甲 ﹣S乙 ＝（a﹣3）2+1，再利用完全平方公式即可求解；
（3）根据题意表示出S△MCN ＝ ×2t×（8﹣t）＝﹣t2+8t＝﹣（t﹣4）2+16，再利用完全平方公式即可求
解．
【解答】解：（1）A＝x2+10x+20＝（x+5）2﹣5，
∵（x+5）2≥0，
∴A＝（x+5）2﹣5≥﹣5，
即A的最小值为﹣5；
故答案为：﹣5；
（2）S甲 ＞S乙 ，理由如下：
S甲 ＝（3a+2）（2a+5）＝6a2+19a+10，S乙 ＝5a（a+5）＝5a2+25a，
∴S甲 ﹣S乙 ＝（6a2+19a+10）﹣（5a2+25a）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，∴S甲 ﹣S乙 ＝（a﹣3）2+1≥1，
∴S甲 ＞S乙 ；
（3）由题意得：CM＝8﹣t，CN＝2t，
∴S△MCN ＝ ×2t×（8﹣t）＝﹣t2+8t＝﹣（t﹣4）2+16，
∵（t﹣4）2≥0，
∴﹣（t﹣4）2≤0，
∴当t＝4时，S△MCN 有最大值，最大值为16．
10．综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙MN，研究小
组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前
面的空地围出一个面积最大的矩形种植
园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的
面积为S．
分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边
BC用含x的代数式表示，从而得到S关于
x的函数表达式，同时求出自变量的取值范
围，再结合函数性质求出最值．
探究 思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边AB为墙
MN的一部分）
思考二：将墙MN的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙MN为
边AB的一部分）
解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的S的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最
大值为多少．
类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方
案示意图（标注边长）．
【分析】（1）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可；
（2）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可．
【解答】解：（1）思路1：设CD＝x，则BC＝ ，
∴S＝x• ＝﹣ x2+20x＝﹣ （x﹣20）2+200，∵﹣ ＜0，0＜x≤12，
∴当x＝12时，S ＝168；
max
思路2：设AB＝CD＝x，则AD＝BC＝ ＝26﹣x，
∴S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∵12≤x≤26，
∴当x＝13时，S ＝169，
max
∵169＞168，
∴矩形种植园面积最大为169m2；
（2）图示如下：
同（1）可分别求得：
思路1：∵CD＝x，则BC＝AD＝ ，
∴S＝x• ＝﹣ x2+10x＝﹣ （x﹣10）2+50，
∵0＜x≤12，
∴当x＝10时，S有最大值，最大值为50；
思路2：∵CD＝x，则BC＝AD＝ ＝16﹣x，
∴S＝x•（16﹣x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64，
∵﹣1＜0，12≤x≤16，
∴当x＝12时，S有最大值，最大值为48，
∵50＞48，
矩形种植园面积最大为50m2，此时CD＝10m，AD＝BC＝5m．
类型二：销售中的利润问题
11．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一
批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为 40元/件时，每
天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件．
（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出出
变量取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）依据题意，可得销售量y＝300﹣50× ，再结合x﹣40≥0计算即可得解；
（2）依据题意，设每天获得的利润为w，从而w＝（x﹣30）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣65）2+6125，又
﹣5＜0，进而结合二次函数的性质可以判断得解；
【解答】解：（1）由题意，销售量y＝300﹣50× ，
∴y＝﹣5x+500．
又x﹣40≥0，
∴x≥40．
（2）由题意，设每天获得的利润为w，
∴w＝（x﹣30）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+650x﹣15000
＝﹣5（x﹣65）2+6125．
又﹣5＜0，
∴当x＝65时，w取最大值为6125．
答：当销售单价定65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元．
12．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，
每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），
（30，320）解方程组即可得到结论；
（2）分两种情况求出函数最值，然后比较得出结论即可．
【解答】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；
当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得 ，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；综上所述，y＝ ；
（2）设每天的销售利润为w元，
当10＜x≤14时w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，
∵k＝640＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝14时，w＝4×640＝2560元；
当14＜x≤30时，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
∵﹣20＜0，14＜x≤30，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560＜6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
13．某文具商店用销售进价为28元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒40元的价格销售，平均每天
销售80盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为x（x＞40）元，平
均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式： y ＝﹣ 2 x +16 0 ．
（2）求W与x之间的函数关系式．
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于50元，当每盒的销售价为多少元时，平
均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“价格每提高1元，平均每天少销售2盒”可列出y与x之间的函数关系式；
（2）由总利润＝每盒利润×销售量可得W与x之间的函数关系式；
（3）结合（2），把关系式化为顶点式，再由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝80﹣2（x﹣40）＝﹣2x+160，
故答案为：y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：W＝y（x﹣28）＝（﹣2x+160）（x﹣28）＝﹣2x2+216x﹣4480，
∴W与x之间的函数关系式为W＝﹣2x2+216x﹣4480；
（3）W＝﹣2x2+216x﹣4480＝﹣2（x﹣54）2+1352，
∵﹣2＜0，x≤50，
∴当x＝50时，W取最大值，最大值为﹣2×（50﹣54）2+1352＝1320，
∴当每盒的销售价为50元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是1320元．
14．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，
则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月
的销售利润为y元．
（1）若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出 16 0 件；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．
【分析】（1）由题意，根据每件商品的售价与数量之间的关系，即可求解；
（2）由题意，根据每件商品的利润与数量及总利润之间的关系，再把函数解析式变形为顶点式，同时
考虑x为整数，即可求解；
（3）根据题意可得函数解析式为：y＝﹣10x2+（110﹣10a）x+210（10﹣a），函数的对称轴为：
，根据售价每件不低于57元时，与对称轴组成方程，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出210﹣（55﹣50）×10
＝160件，
故答案为：160；
（2）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）：
∴y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5，
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元），
当x＝6时，50+x＝56，y＝2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
（3）由题意得：
y＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10x2+（110﹣10a）x+210（10﹣a），
函数的对称轴为： ，
售价每件不低于57元时，即x≥57﹣50＝7，
即临界点为： ，
解得：a＝3，
∴2＜a≤3．
15．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给
大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小柳按照政策投资销售本市生产的一种
网红螺蛳粉．已知这种网红螺蛳粉的成本价为每箱 80元，出厂价为每箱100元，每月销售量y（箱）与
销售单价x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+400．
（1）小柳在开始销售的第1月将螺蛳粉的销售单价定为120元，这个月他销售该螺蛳粉可获利 640 0
元．
（2）设小柳销售螺蛳粉获得的月利润为w（元），当销售单价为多少元时，月利润最大，最大利润是
多少元？
（3）物价部门规定，这种网红螺蛳粉的销售单价不得高于150元，那么政府每个月为他承担的总差价
最少为多少元？【分析】（1）依据题意，把x＝120代入y＝﹣2x+400求出销售量，再求出销售利润；
（2）依据题意，由总利润＝销售量•每箱纯赚利润，得w＝（x﹣80）（﹣2x+400），把函数转化成顶
点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）依据题意，设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质即可求出总差价的最小
值．
【解答】解：（1）由题意，当x＝120时，y＝﹣2×120+400＝160，
160×（120﹣80）＝6400（元），
∴他销售该螺蛳粉可获利6400元．
故答案为：6400．
（2）由题意，设当销售单价为x元，
∴w＝（x﹣80）（﹣2x+400）＝﹣2x2+560x﹣32000＝﹣2（x﹣140）2+7200，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝140时，w有最大值7200．
即当销售单价定为140元时，每月可获得最大利润，最大利润为7200元．
（3）由题意，设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（100﹣80）×（﹣2x+400）＝﹣40x+8000．
∵k＝﹣40＜0，
∴p随x的增大而减小，
∴当x＝150时，p有最小值2000．
∴政府每个月为他承担的总差价最少为2000元．
16．某商场某商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价
1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件40元．设售
价为x元/件（x为正整数），每星期销售量为y件，每星期销售利润为W元．
（1）直接写出y与x，W与x的函数解析式以及自变量x的取值范围；
（2）如果出现某星期销售该商品亏损了6000元，那么该商品的售价是多少？
（3）当该商品的售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）依据题意，根据“每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出10
件”，即可得出y与x的函数关系式，再由“总利润＝每件商品的利润×销售量”，即可得出w与x的
函数关系式；
（2）依据题意，列出方程（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣6000，求出x即可判断得解；
（3）依据题意，利用配方法将w与x的函数关系式变形为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，y＝900﹣10x．
∴w＝（x﹣40）（900﹣10x）．
又x﹣40≥0，﹣10x+900≥0，
∴40≤x≤90．
（2）由题意，（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣6000，∴x＝100或x＝30．
答：如果出现某星期销售该商品亏损了6000元，那么该商品的售价是30元或100元．
（3）由题意，w＝（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣10（x﹣65）2+6250，
∴当x＝65时，w取得最大值，最大值为6250．
∴当该商品的售价定为65元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6250元．
17．某食品厂生产一种半成品食材，成本为 2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）
满足函数关系式p＝ x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销
售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10
市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4
当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，
只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2
元/千克，不得高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；
（3）当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．
【分析】（1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可；
（2）设厂家每天获得的利润为y，则y＝（x﹣2）p，根据每天的产量不大于市场需求量时p≤q，求出x
的取值解答即可；
（3）根据每天的产量大于市场需求量时p＞q，求出x的取值解答即可．
【解答】解：（1）设q与x的函数关系式为 q＝kx+b，由
题意，得 ∴
∴q与x的函数关系式为q＝﹣x+14（2≤x≤10）；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，
得p≤q，
即 x+8≤﹣x+14，
解不等式得x≤4，
∵2≤x≤10，
∴2≤x≤4；
x2+7x﹣16，
∵ ＞0，对称轴为x＝ ＝﹣7，∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，
y最大 ＝ ×42+7×4﹣16＝20，
答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元；
（3）当每天的产量大于市场需求时，p＞q，
∴ x+8＞﹣x+14，
解不等式得x＞4，
∴4＜x≤10，
y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）＝xq﹣2p＝x（﹣x ﹣2（ x+8）＝﹣x2+13x
﹣16，
∵﹣1＜0，对称轴为x＝ ＝6.5，
∴当x＝6.5时，
y最大 ＝﹣6.52+13×6.5﹣16＝26.25，
∵26.25＞20，
∴厂家每天获得的最大利润为26.25元．
18．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市
场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？
最大利润是多少？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求解；
（2）根据等量关系得（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，解方程即可求解；
（3）根据题意得w＝﹣2（x﹣40）2+800，进而可得抛物线的对称轴为x＝40，且开口向下，则当x＜40
时，y随x的增大而增大，当x＝36时，w有最大值，代入函数即可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x＝30或x＝50（舍去），
答：每件商品的销售价应定为30元；
（3）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2（x﹣40）2+800，
∴抛物线的对称轴为x＝40，且开口向下，
∴当x＜40时，y随x的增大而增大，
∵x≤36，
∴当x＝36时，w有最大值，最大值为 ，
∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元．
19．端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节即将到来之际，某食品店
以15元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近 A，B，C，D，E五个食
品店近期该种粽子的售价与日销量情况．
【数据整理】
将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：
售价/元/盒 18 20 22 26 30
日销售量/盒 34 30 26 18 10
【模型建立】
（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关
系式（不要求写出自变量的取值范围）；
【拓广应用】
（2）
①要想每天获得198元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）由表格可得日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系，设日销售量 y（盒）
与售价x（元/盒）之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把表格中的两组数据代入可得k和b的值，
即可求得函数解析式，把表格中的其他数据代入也符合，所以所得函数关系式正确；
（2）
①设利润为w元，每天的利润＝每盒粽子的利润×日销售量，取y＝198，求得相应的定价即可；②由①中的函数关系可得二次函数的开口方向向下，所以当x＝﹣ 时，w最大，把所得的x的值代
入函数关系式可得最大利润．
【解答】解：（1）日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系．
设日销售量y（盒）与售价x（元/盒）之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）．
∴ ．
解得： ．
∴y＝﹣2x+70．
把表格中的任意一组数值，代入后符合函数关系式；
（2）①设利润为w元．
w＝（x﹣15）（﹣2x+70）＝﹣2x2+100x﹣1050．
当w＝198时，
198＝﹣2x2+100x﹣1050．
x2﹣50x+624＝0．
（x﹣24）（x﹣26）＝0．
解得：x ＝24，x ＝26．
1 2
答：要想每天获得198元的利润，应定价为24元/盒或26元/盒；
②∵﹣2＜0，
∴当x＝﹣ ＝25时，利润最大，最大利润为（25﹣15）×（﹣50+70）＝10×20＝200（元）．
答：售价定为25元/盒时，每天能获得最大利润，最大利润是200元．
20．某农户在30天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平
台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量y （件）与时间x（天）关系如图所示．另一部分农产品
1
在线下店铺销售，农产品的日销售量y （件）与时间x（天）之间满足函数关系 ，其中部
2
分对应值如表所示．
销售时间x（天） 0 10 20 30
日销售量y （件） 0 75 100 75
2
（1）写出y 与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
1
（2）试确定线下店铺日销售量y 与x的函数关系式并求出线下店铺日销售量y 的最大值；
2 2
（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为20元，在抖音平台销售该农产品每件利润为30元，设
该农户销售农产品的日销售总利润为w，写出w与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总利润w
最大，并求出此时最大值．【分析】（1）根据图象分段求函数解析式即可求解；
（2）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解．
（3）根据日销售总利润，w＝30y +20y 得出函数关系，根据二次函数的性质求得最大值即可求解．
1 2
【解答】解：（1）当0＜x≤10，设y ＝kx，
1
将点（10，100）代入得，100＝10k，
解得：y＝10x，
当x≥10时，设y ＝k x+b，将点（10，100），（30，140）代入得， ，
1 1
解得： ，
∴y ＝2x+80，
1
综上所述，∴ ，
（2）解：将（10，75），（20，100）代入， ，
得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴当x＝20时，y 的最大值为100，
2
（3）设该农户销售农产品的日销售总利润为w，
当 0＜x≤10 时， ＝300x﹣5x2+200x＝﹣5x2+500x＝﹣5（x﹣50）
2+12500，
对称轴为x＝50，当x＜50时，w随x的增大而增大，
∵0＜x≤10，
∴当x＝10时，取得最大值，最大值为：﹣5（10﹣50）2+12500＝4500（元），当x≥10时， ＝﹣5x2+260x+2400＝﹣
5（x﹣26）2+5780，
∴当x＝26时，取得最大值，最大值为5780，
∴ ，
综上所述，第26天，日销售总利润w最大，最大值为5780元．
类型三：抛物线形的形状问题
21．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，
某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度 AB为8米，棚顶最高点距离地面高度OC为4米．以
AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若借助横梁DE（DE∥AB）在大棚正中建一个2米高的门（DE到地面AB的距离为2米），求横
梁DE的长度是多少米？（结果保留根号）
【分析】（1）由题意得，C（0，4）、A（﹣4，0）、B（4，0），设两点式函数表达式，代入C点，
可得该抛物线的函数表达式；
（2）DE到地面AB的距离为2米，即D、E两点的纵坐标为2，令y＝2，求得D、E的横坐标，可得横
梁DE的长度．
【解答】解：（1）由题意得，C（0，4）、A（﹣4，0）、B（4，0），
设该抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣4）（x+4），代入C点，
得a（0﹣4）（0+4）＝4，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣4）（x+4）＝﹣ x2+4，
答：该抛物线的函数表达式为y＝﹣ x2+4；
（2）∵DE到地面AB的距离为2米，
∴D、E两点的纵坐标为2，
令y＝2，则﹣ x2+4＝2，
解得：x ＝2 ，x ＝﹣2 ，
1 2∴D（﹣2 ，2）、E（2 ，2），
∴DE＝4 ，
答：横梁DE的长度是4 米．
22．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC
1 2
均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平而直
角坐标系．
已知：缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝
1 2
100m，AO＝BC＝17m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
1
（1）求缆索L 所在抛物线的函数表达式；
1
（2）点E在缆索L 上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．
2
【分析】（1）依据题意，由AO＝17m，从而A（0，17），又OC＝100m，缆索L 的最低点P到FF′
1
的距离PD＝2m，可得抛物线的顶点P为（50，2），故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．，又将A代
入抛物线可求得a的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，又缆索L 所在抛物线为y＝
1 2 1
（x﹣50）2+2，从而可得缆索L 所在抛物线为y＝ （x+50）2+2，又令y＝2.6，可得2.6＝
2
（x+50）2+2，求出x＝﹣40或x＝﹣60，进而计算可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵AO＝17m，
∴A（0，17）．
又OC＝100m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD＝2m，
1
∴抛物线的顶点P为（50，2）．
故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．
又将A代入抛物线可得，
∴2500a+2＝17．
∴a＝ ．
∴缆索L 所在抛物线为y＝ （x﹣50）2+2．
1
（2）由题意，∵缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，
1 2
又缆索L 所在抛物线为y＝ （x﹣50）2+2，
1∴缆索L 所在抛物线为y＝ （x+50）2+2．
2
又令y＝2.6，
∴2.6＝ （x+50）2+2．
∴x＝﹣40或x＝﹣60．
又FO＜OD＝50m，
∴x＝﹣40．
∴FO的长为40m．
23．如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度AB为2m，长廊顶部的最高
点与地面的距离CD为3m，两侧的柱子OA、BE均垂直于地面，且高度为2.5m，线段OE表示水平地面，
建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离A，B两端水平距离为0.5m处的抛物线型长廊顶部
各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少2.6m的安全距离，现市面上有一款长度为0.2m的小灯
笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标和点A的坐标，设抛物线的函数表达式为顶点式，把点 A的坐标
代入可得a的值，即可求得抛物线的函数表达式；
（2）易得小灯笼所在的位置的横坐标，代入（1）中所得的函数解析式，求得y的值，减去小灯笼的长
度即为小灯笼距离地面的距离，与安全距离比较即可判断该款灯笼是否符合要求．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点C的坐标为（1，3），点A的坐标为（0，2.5）．
∴设该抛物线的函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+3．
∴2.5＝a（0﹣1）2+3．
解得：a＝﹣0.5．
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+3；
（2）当x＝0.5时，y＝﹣0.5（0.5﹣1）2+3＝2.875．
∵2.875﹣0.2＝2.675＞2.6，
∴该款灯笼符合要求．
24．如图1某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B
到水面的距离是4m．（1）按如图1所示的坐标系，求该桥拱OBA的函数表达式；
（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是
多少？
（3）如图2，桥拱所在的函数图象的抛物线的x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个
新函数图象．现将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，使得平移后的函数图象在9≤x≤10之
间，且y随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）依据题意得，水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，可得顶点B（4，4），
故可设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，又将点O（0，0）代入函数表达式，求出a即可得解；
（2）依据题意，根据（1）二次函数的表达式 ，又令y＝2.26+0.3＝2.56，进而 求出x
后可以判断得解；
（3）依据题意，根据平移规律得到点 O平移后的对应点为（m，0），对称轴平移后的对称轴为 x＝
4+m，则点A平移后的对应点为（8+m，0），再根据图象性质，得到函数在m≤x≤4+m或x≥8+m上，
满足y随x的增大而减小，从而可得 或8≤8+m≤9，计算即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
∴顶点B（4，4）．
∴可设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4．
又将点O（0，0）代入函数表达式，
∴ ．
∴二次函数的表达式为 ，即 （0≤x≤8）．
（2）由题意，根据（1）二次函数的表达式 ，
又令y＝2.26+0.3＝2.56，
∴ ．
∴x ＝6.4，x ＝1.6．
1 2
∴小船的最大宽度为：6.4﹣1.6＝4.8（米）．
（3）由题意，根据平移规律得到点O平移后的对应点为（m，0），对称轴平移后的对称轴为x＝4+m，
∴点A平移后的对应点为（8+m，0）．
根据图象性质，得到函数在m≤x≤4+m或x≥8+m上，满足y随x的增大而减小．
∴ 或8≤8+m≤9．
∴6≤m≤9或0＜m≤1．
25．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已
知抛物线经过（0，3）， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；
（2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；
（3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面
上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度．
【分析】（1）依据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将已知点的坐标代入求出a，b，c后即可
得解；
（2）依据题意，由工程车高5m，从而令y＝5，即5＝﹣ x2+2x+3，求出x的值，进而得出能通过的工程车宽度与已知工程车车款4m进行比较即可得解；
（3）依据题意，结合图象，设 A（m，﹣ m2+2m+3），再由 B在墙面上，得出 m的范围，又由
AB+AC＝m﹣ m2+2m+3＝﹣ （m﹣ ）2+ ，进而由二次函数的性质可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴ ．
∴ ．
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+2x+3．
（2）工程车不能正常通过．理由如下：
∵工程车高5m，
∴令y＝5，即5＝﹣ x2+2x+3．
∴x＝3± ．
∴纵坐标为5时，两点的距离为3+ ﹣（3﹣ ）＝2 ≈3.46＜4．
故高5m，顶部宽4m的工程车不能正常通过．
（3）由题意，如图，
设A（m，﹣ m2+2m+3）．
当OB＝3时，令y＝3＝﹣ m2+2m+3，
∴m＝0或m＝6．
∴B（0，﹣ m2+2m+3）．∵B在墙面上，
∴m≥6．
由AB+AC＝m﹣ m2+2m+3
＝﹣ m2+3m+3
＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
又当m＞ 时，（AB+AC）的值随m的增大而减小，
∴当m＝6时，（AB+AC）取最大值，最大值为9．
∴钢架BAC的最大长度为9m．
26．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无
阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋
朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主
桥拱便是圆弧形．
（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中 ），已知跨度AC＝40m，拱高BD＝10m，则这条桥主桥拱
的半径是 2 5 m；
（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN＝10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面
4m，求桥拱抛物线的解析式；
（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
【分析】（1）设主桥拱的半径是r m，根据勾股定理可得202+（r﹣10）2＝r2，即可解得答案；
（2）以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为y＝ax2，用待
定系数法可得桥拱抛物线的解析式为y＝﹣ x2；
（3）桥A的桥下水位上升了2m，用勾股定理可得桥A的水面宽度为8 m；桥B的桥下水位上升了
2m，在y＝﹣ x2中，令y＝﹣2得x＝ 或x＝﹣ ，即可得此时桥B的水面宽度为5 m．
【解答】解：（1）设主桥拱所在的圆弧形圆心为O，连接OD，如图：由拱高的定义可知，B，D，O共线，设主桥拱的半径是r m，
在Rt△ADO中，AD＝ AC＝20m，DO＝BO﹣BD＝（r﹣10）m，
∵AD2+DO2＝AO2，
∴202+（r﹣10）2＝r2，
解得r＝25，
故答案为：25；
（2）以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
设桥拱抛物线的解析式为y＝ax2，
∵水面宽MN＝10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，
∴M（﹣5，﹣4），
∴﹣4＝25a，
解得a＝﹣ ，
∴桥拱抛物线的解析式为y＝﹣ x2；
（3）桥A的桥下水位上升了2m，如图：
根据题意，OF＝25m，OE＝OB﹣BE＝25﹣（10﹣2）＝17，
∴EF＝ ＝ ＝4 （m）；
∴此时桥A的水面宽度为8 m；
桥B的桥下水位上升了2m，
在y＝﹣ x2中，令y＝﹣2得：﹣2＝﹣ x2，解得x＝ 或x＝﹣ ，
∵ ﹣（﹣ ）＝5 ，
∴此时桥B的水面宽度为5 m．
27．开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．
主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，
钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示
的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB两点间的距离为80米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；
（3）当﹣32＜x＜16时，求y的取值范围．
【分析】（1）根据题意得出C（0，50），A（﹣40，0），B（40，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣
40）（x+40），把C（0，50）代入求出a的值，即可解答；
（2）先求出OD＝CD﹣OC＝22m，则D（0，﹣22），求出把y＝﹣22时x的值，即可解答；
（3）根据二次函数的图象和性质得出当 x＝0 时，y 取最大值 50，当 x＝﹣32 时，y 取最小值，
，即可解答．
【解答】解：（1）∵OC＝50m，AB＝80m，
∴C（0，50），A（﹣40，0），B（40，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣40）（x+40），
把C（0，50）代入得：
50＝a×（﹣40）×40，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）∵CD＝72m，OC＝50m
∴OD＝CD﹣OC＝22m，
∴D（0，﹣22），把y＝﹣22代入 得： ，
解得：x ＝48，x ＝﹣48，
1 2
∴此时这条钢拱之间水面的宽度为48﹣（﹣48）＝96（m）；
（3）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（0，50），
∴当x＝0时，y取最大值50，
∵ ，
∴抛物线开口向下，则离对称轴越远，函数值越小，
∵﹣32＜x＜16，
∴当x＝﹣32时，y取最小值， ，
∴当﹣32＜x＜16时，18＜y≤50．
28．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图 1）
种植技术已十分成熟，
一块土地上有一个蔬菜
大棚，其横截面顶部为
抛物线型，大棚的一端
固定在墙体 OA 上，另
一端固定在墙 体 BC
上，其横截面有 2根支
架DE，FG，相关数据
如图2所示，其中DE＝
BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚有200根长为
DE的支架和200根长为
FG 的支架，为增加棚
内空间，拟将图 2中棚
顶向上调整，支架总数
不变，对应支架的长度
变化如图3所示，调整
后C与E上升相同的高
度，增加的支架单价为60 元/米（接口忽略不
计），现有改造经费
32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直
角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能
否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式；
（2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C'、E'的坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件表示出G'、E'的坐标得到a的不等式，进而得到CC'的最大值．
【解答】解：（1）如图建立如图所示的坐标系，
∴A（0，1），C（6，3.4），
∴y＝ax2+bx+1，
∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴y＝ax2﹣10ax+1，将C（6，3.4）代入解析式得， ，
∴ ，
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
∵CC′＝1，
∴C为（6，4.4），
∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1
将C（6，4.4）代入解析式得a＝﹣ ，∴y＝﹣ x2+ x+1，
∴G为 ，G′为 （2， ），
∴GG′＝ ，
∴共需改造经费 ，
∴能完成改造．
（3）如图，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1，
则G为 （2，﹣16a+1），E为 （4，﹣24a+1），
∴EE′+GG′＝﹣16a+1﹣24a+1﹣（ +3.4）＝﹣40a﹣4，
（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，
解得 ，
∵CC′＝EE′＝﹣24a+1﹣3.4，
∴ 时，CC′的值最大，为1.6米．
29．综合与实践
主题：设计高速公路的隧道
情境素材
素材1 高速公路隧道设计及行驶常
识：为了行驶安全，高速公
路的隧道设计一般是单向行
驶车道，要求货车靠右行
驶．
素材2 据调查，一般的大型货车宽
2.4m，车货总高度从地面算
起不超过4m．为了保证行驶
的安全，货车右侧顶部与隧
道的竖直距离不小于0.55m．素材3 某高速公路准备修建一个单
向双车道（两个车道的宽度
一样）的隧道，隧道的截面
近似看成由抛物线和矩形构
成（如图）．每条车道的宽
为 x m （ 其 中
3.5≤x≤3.75），车道两端
（M、N）与隧道两侧的距离
均为1m．
问题解决
问题1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度（AA ）的合理范
1
围．
问题2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分 AA ＝9m，AB＝
1
2.95m．求抛物线的解析式．
【分析】问题一：根据车道的宽度范围，结合AA ＝AM+A N+MN，即可求解；
1 1
问题二：AA 中点O，建立坐标系，作NP⊥AA ，求出点B点P的坐标，代入抛物线表达式，即可求解．
1 1
【解答】解：问题1：∵每条车道的宽为x m（其中3.5≤x≤3.75），AM＝A N＝1m，MN＝2x m，AA
1 1
＝AM+A N+MN，AA ＝2x+2，
1 1
∵3.5m≤x≤3.75m，
∴9m≤AA ≤9.5m．
1
问题2：取AA 中点O，以AA 为x轴，建立坐标系，作NP⊥AA 交抛物线于点P，
1 1 1
设抛物线表达式为y＝ax2+c，∵AA ＝9m，OA ＝ AA ＝ 9＝4.5m，A B ＝AB＝2.95m，
1 1 1 1 1
∴B （4.5，2.95），
1
由题意得NP＝4+0.55＝4.55m，
∴P（3.5，4.55），
将B （4.5，2.95）、P（3.5，4.55）代入y＝ax2+c，
1
得 ，
解得： ，
∴抛物线表达式为y＝﹣ x2+7．
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
30．某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA喷水能力最强，水流在各个方
向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为y（m），水流与OA之间的水平距离为x
（m），y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置 OA高度为3.5米，水流最高处离
喷水装置OA的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米．
（1）求水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米处，才不会被喷
出的水流击中？
【分析】（1）依据题意得，抛物线的顶点为（3，8），从而可设抛物线为y＝a（x﹣3）2+8，又抛物线
过（0，3.5），进而计算可以得解；
（2）依据题意，由抛物线为y＝﹣0.5（x﹣3）2+8，进而令y＝0，则0＝﹣0.5（x﹣3）2+8，求出x的值
即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（3，8），
∴可设抛物线为y＝a（x﹣3）2+8．
又抛物线过（0，3.5），
∴3.5＝9a+8．
∴a＝﹣0.5．
∴水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝﹣0.5（x﹣3）2+8．（2）由题意，∵抛物线为y＝﹣0.5（x﹣3）2+8，
∴令y＝0，则0＝﹣0.5（x﹣3）2+8．
∴x＝7或x＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴花盆需至少离喷水装置OA为7米处，才不会被喷出的水流击中．
31．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图
所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y＝a（x﹣h）2+k（a＜
0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度 y与水平距离x近似满足函数关系 y＝﹣0.25（x﹣2.2）
2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l ，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l ，
1 2
请比较l ，l 的大小．
1 2
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（3，0.9），那么该运动员竖直高度的最大值为0.9，把顶点坐
标连同（0，0）代入所给的函数解析式，求得a的值后即可求得相应的函数解析式；
（2）落入沙坑，则竖直高度y为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，
求得x后取正值即为l 和l 的长度，比较l ，l 的大小即可．
1 2 1 2
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，0.9）．
∴该运动员竖直高度的最大值为0.9米．
设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+0.9．
∵经过点（0，0），
∴9a+0.9＝0，
解得：a＝﹣0.1．
∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．
（2）取y＝0．
第一次训练时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．解得：x ＝0（不合题意，舍去），x ＝6．
1 2
∴l ＝6．
1
第二次训练时，0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21．
解得：x ＝0（不合题意，舍去），x ＝4.4．
1 2
∴l ＝4.4．
1
∵6＞4.4，
∴l ＞l ．
1 2
32．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1m的水管OA，A处是喷头，
喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如
图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心 O的最远水平距离OB为3m，水流竖直高
度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．
（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最
大竖直高度CD的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流
移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至4m，则水管OA
的高度增加多少米？
【分析】（1）依据题意，设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），由A点坐标为（0，1），B
点坐标为（3，0），进而求得a，k后得解，再令x＝1，从而求出水流喷出的最大高度；
（2）依据题意，设抛物线为y＝﹣ （x﹣1）2+m，结合此时B为（4，0），求出m，从而得抛物线解
析式，再令x＝0，即可得解．
【解答】解：（1）由题意，A点坐标为（0，1），B点坐标为（3，0）．
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），
∵抛物线经过点A，点B，
∴ ，
∴ ．∴y＝﹣ （x﹣1）2+ （0≤x≤3 ）．
∴x＝1时，y＝ ．
∴水流最大竖直高度CD的长为 m．
（2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变，
∴可设抛物线为y＝﹣ （x﹣1）2+m．
又此时B为（4，0），
∴0＝﹣ （4﹣1）2+m．
∴m＝3．
∴抛物线为y＝﹣ （x﹣1）2+3，
令x＝0，
∴y＝﹣ （0﹣1）2+3＝ ，
﹣1＝ （m），
∴水管OA的高度增加 米．
33．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面 10m的点A
和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分
（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，
且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰
好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均
为3m．建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；
（3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水
流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据第一次灭火时水流最高点的坐标为（3，12），设水流所在抛物线的解析式为y＝a
（x﹣3）2+12，将点A（0，10）代入解析式解答即可；
（2）根据两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为 3米，可设
第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为 ，将点（12，0）代入即可解答；
（3）由题意可知灭火过程中y与x始终满足y＝a（x﹣3）2+h，将（9，0）代入后可得0＝36a+h，解得
h＝﹣36a，从而确定y＝a（x﹣3）2﹣36a，把点（0，12）和点（0，18）代入求得取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知：第一次灭火时水流最高点的坐标为（3，12），
设水流所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+12，
∵点A（0，10）在抛物线上，
∵10＝a（0﹣3）2+12，
解得： ，
∴ ，
答：消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为： ；
（2）两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米，
∴可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为 ，
∵由题意可知该抛物线过点（12，0），
∴ ，
解得：c＝18，
∴ ，
令x＝0，则y＝16，
∴B（0，16），
∵A（0，10），
∴AB＝16﹣10＝6，
答：A、B之间的距离为6m；（3）由题意可知：灭火过程中y与x始终满足y＝a（x﹣3）2+h，
将（9，0）代入后可得0＝36a+h，
∴h＝﹣36a，
∴y＝a（x﹣3）2﹣36a，
当抛物线过点（0，12）时，12＝a（0﹣3）2﹣36a，
解得： ；
当抛物线过点（0，18）时，18＝a（0﹣3）2﹣36a，
解得：a＝﹣ ；
∴﹣ ≤a≤ ；
答：当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，求a的取值范围是﹣ ≤a≤ ．
34．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一
部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点O的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度 y
（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足二次函数关系．
比赛中，甲同学某次发球时如图1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度 y与此时水平距离
x的对应七组数据如下：
水平距离 2 3 3.5 4 4.5 5 6 …
x/m
竖直高度 3.4 4 4.15 4.2 4.15 4 3.4 …
y/m
根据以上数据，回答下列问题：
（1）①当羽毛球飞行到最高点时，距地面 4. 2 m，此时水平距离是 4 m；
②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球 是 （填“是”或“否”）可以过网；
（2）求出y与x的函数解析式；
（3）若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为 7m的点Q处接住球（如图2）．此时如果乙选择
扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝0.4x+m．如果乙选择吊
球，羽毛球的飞行高度 y（m） 与水平距离 x（m） 近似满足二次函数关系y＝n（x﹣6）2+3.2．上面
两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到O点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方
式更合适．【分析】（1）①依据题意，根据表格数据可得对称轴是直线 x＝ ＝4，可得顶点为（4，
4.2），进而可以判断得解；
②依据题意，根据表格数据当x＝5时，y＝4，又4＞1.55，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由顶点是（4，4.2），故可设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4.2，又抛物线过（3，4），求
出a，即可得解；
（3）依据题意，当x＝7时，y＝﹣0.2（7﹣4）2+4.2＝2.4，则Q（7，2.4），再将Q（7，2.4）代入y＝
0.4x+m 得 2.4＝0.4×x7+m，求出m从而可得扣球时一次函数关系为y＝0.4x﹣0.4，又令y＝0，则0.4x﹣
0.4＝0，解得x＝1，将Q（7，2.4）代入y＝n（x﹣6）2+3.2得2.4＝n（7﹣6）2+3.2，可得n＝﹣0.8，
进而吊球时二次函数关系为y＝﹣0.8（x﹣6）2+3.2，再令y＝0，则﹣0.8（x﹣6）2+3.2＝0，求出x＝4
或x＝8，进而可以判断得解．
【解答】解；（1）①由题意，根据表格数据可得对称轴是直线x＝ ＝4，
∴顶点为（4，4.2）．
∴当羽毛球飞行到最高点时，距地面4.2m，此时水平距离是4m．
故答案为：4.2，4．
②由题意，根据表格数据当x＝5时，y＝4，
又4＞1.55，
∴在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球是可以过网．
故答案为：是．
（2）由题意，∵顶点是（4，4.2），
∴可设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4.2．
又抛物线过（3，4），
∴4＝a+4.2．
∴a＝﹣0.2．
∴函数关系式为y＝﹣0.2（x﹣4）2+4.2．
（3）由题意，当x＝7时，y＝﹣0.2（7﹣4）2+4.2＝2.4，
∴Q（7，2.4）．
将Q（7，2.4）代入y＝0.4x+m 得 2.4＝0.4×x7+m，
∴m＝﹣0.4．
∴扣球时一次函数关系为y＝0.4x﹣0.4．
令y＝0，则0.4x﹣0.4＝0，解得 x＝1．
将Q（7，2.4）代入y＝n（x﹣6）2+3.2得
∴2.4＝n（7﹣6）2+3.2，
∴n＝﹣0.8．
∴吊球时二次函数关系为 y＝﹣0.8（x﹣6）2+3.2．令y＝0，则﹣0.8（x﹣6）2+3.2＝0，
∴x＝4或x＝8．
∵球过网，
∴x＝4符合实际情境．
又∵1＜4，
∴吊球时球的落地点到O点的距离比扣球时更远，乙应选择吊球．
35．如图1，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中
间立柱近似看作一条线，以其为y轴建立如图2所示直角坐标系．已知中间立柱顶端C到地面的距离为
6m，喷水头D恰好是立柱OC的中点．若水柱上升到最高点E时，高度为4m，到中间立柱的距离为
1m．
（1）求图2中第一象限内抛物线的函数表达式．
（2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？
（3）实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成7m，在不改变喷出的抛物线形
水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度
进行调整，求调整后水管的最大长度．
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将D（0，3）代入得，求出a的值即可；
（2）依据题意，令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+4，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，可得直径至少为2×3＝6
（米）；
（3）依据题意，设改进后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，再把（3.5，0）代入得，﹣（3.5﹣1）
2+k＝0，可得k＝6.25，从而可得改进后的抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+6.25，进而可得D（0，5.25），即
可判断得解．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
又D为（0，3），
∴a（0﹣1）2+4＝3．
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4．（2）由题意，令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1（舍）或x＝3，
∵2×3＝6（米），
∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．
（3）由题意，设改进后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，
把（3.5，0）代入得，﹣（3.5﹣1）2+k＝0．
∴k＝6.25．
∴改进后的抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+6.25．
∴D（0，5.25）．
∴调整后水管的最大长度为5.25米．
36．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E（﹣1.5，﹣10），运动员（可视为一质
点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A（1，
1.25），正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，
否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，入水点恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水
是否失误？请通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点B的正前方M，N两点，且EM＝10.5，EN＝13.5，该运动员入水后运动路线对
应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k且顶点C距水面4米．若该运动员的出水点D在MN之间（含
M，N两点），求a的取值范围．
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）依据题意，当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5﹣1.5＝3.5，将x＝3.5代入解析式求出y
后即可判断得解；
（3）根据题意得到，点B（4，﹣10），E（﹣1.5，﹣10 ），M（9，﹣10），N （12，﹣10），当抛
物线过点M时，y＝a（x﹣6.5）2﹣14，分情况求出 值，进而根据点D在MN之间即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点A（1，1.25），
α
∴可设抛物线的解析式为y＝m（x﹣1）2+1.25，把（0，0）代入解析式得0＝m（0﹣1）2+1.25，
∴m＝﹣1.25．
∴抛物线的解析式为y＝﹣1.25（x﹣1）2+1.25．
（2）由题意，当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5﹣1.5＝3.5．
将x＝3.5代入解析式，
∴y＝﹣1.25×（3.5﹣1）2+1.25＝﹣ ，
∵﹣ ﹣（﹣10）＝ ＜5，
∴该运动员此次跳水失误了．
（3）∵EM＝10.5，EN＝13.5，点E的坐标为（﹣1.5，﹣10），
∴点M，N的坐标分别为（9，﹣10），（12，﹣10）．
令y＝﹣10，则﹣10＝﹣ （x﹣1）2+ ．
解得：x ＝﹣2（舍去），x ＝4，
1 2
∴入水处B点的坐标为（4，﹣10）．
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∴当抛物线过点M时，y＝a（x﹣6.5）2﹣14，
把M（9，﹣10）代入，得a＝0.64，
同理，当抛物线过点N（12，﹣10）时，a＝0.25，
由点D在MN之间得a的取值范围为0.25≤a≤0.64．
