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专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共
圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点
共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四
点共圆的四种重要模型。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）.......................................................................................................6
模型2.定边对双直角共圆模型.......................................................................................................................8
模型3.定边对定角共圆模型.........................................................................................................................11
模型4.对角互补共圆模型.............................................................................................................................14
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汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进
一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大
成》中提出托勒密定理：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证
明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的
定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通
用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。
（24-25九年级上·北京·期中）如图， 中， ， ，将 绕 的中点O倾时针旋
转 得到 交 于点 交 于点N，给出下面三个结论：
① ；②点A，C，E，B四点共圆；③连接 ，则 ．上述结论中所有正确
结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结
论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图 ， 在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ， 如果 ，那么
， ， ， 四点在同一个圆上．
【探究展示】如图 ，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），连接
， ，则 （依据 ）；∵ ，∴ ，
∴点 ， ， ， 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点 ， 都在点 ， ， 所确定的 上（依据 ）；∴点 ， ， ， 四点在同一个圆上；【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆；
过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等；
（ ）上述探究过程中的“依据 ”、“依据 ”分别是指什么？依据 ： ；依据 ：
．
（从框内选一个选项，直接填序号）
（ ） 如图 ，在四边形 中， ， ，则 的度数为 ；
【拓展探究】（ ）如图4， 已知 是等腰三角形， ，点 在 上（不与 的中点重
合），连接 ．作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 的延长线于 ， 连接 ， ．
求证： ， ， ， 四点共圆； 若 ， 的值是否会发生变化，若不变化，求出其
值；若变化，请说明理由．
1.定点定长共圆模型（圆的定义）
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集
合。
条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
证明：∵OA=OB=OC=OD
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型）
2.定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足 ，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足 ，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。
证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵ ，BE=CE= AD=AE=ED，
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
3.定边对定角共圆模型
定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。
图1 图2 图3 图4
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆。
条件：如图2，AC、BD交于H， ，结论： 四点共圆。证明：∵ ，∴ ，
又∵ ， 。∴
，
∴A、B、C、D四点共圆。
4.对角互补共圆模型
条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图4，BA、CD的延长线交于P， ， 结论：A、B、C、D四点共圆.
证明：∵ ，∴ ，又∵ ， 。∴ ，
∵
，
∴
，
∴A、B、C、D四点共圆。
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）
例1（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， ，点 在 上且
，点 是 上的动点，连结 ，点 分别是 和 的中点，连结 ．当 时，
线段 的长为 ．
例2（24-25·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，
连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°
例3（24-25.九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰 中， ，作于点D，则D为 的中点， ，于是 ；
迁移应用：如图2， 和 都是等腰三角形， ，D，E，C三点在同一条直线
上，连接 ．①求证： ；②请直接写出线段 之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形 中， ，在 内作射线 ，作点C关于 的对称点
E，连接 并延长交 于点F，连接 ， ．①证明 是等边三角形；②若 ，求
．
模型2.定边对双直角共圆模型
例1（2023·山东泰安·一模）如图，等边 的边长为4，点 是边 上的一动点，连接 ，以 为
斜边向上作等腰 ，连接 ，则AE的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
例2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段 ，以 为斜边构造等腰直角 和直角 ，
、 在 两侧， 平分 交 于点 ，则 的最小值为 ．例3（24-25·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， 是
的中点， 是 的中点，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
模型3.定边对定角共圆模型
例1（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将 ABC绕A点顺
时针旋转得到 ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共
圆．例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形 中， ，对角线 平分
， ，且 ．(1)证明： ；(2)若 ， ，
求 的长．
例3（2024·湖南·模拟预测）综合与实践：“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对
角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段 同侧有两点B，D，连接 如果 ，那么A，B，C，D
四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，C，D的 ，在劣弧 上取一点E（不与A，C重合），连接 ，
则 （依据1）
∵ ，∴ ．
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的 上．（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．
反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________．依据2：________________．
(2)如图3，在四边形 中， ，则 的度数为________．拓展探究：(3)如图4，已知 是等腰三角形， ，点D在 上（不与 的中点重合），连接
．作点C关于 的对称点E，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ．求证：A，D，
B，E四点共圆．
模型4.对角互补共圆模型
例1（2024九年级上·广东·专题练习）如图， 中， ， ， 在边 上，延长 ， 与
的外接圆分别交于 ， 两点．求证：D，E，Q，P四点共圆；
例2（24-25·河南·校考一模）在 中， ，M是 外一动点，满足 ，
若 ， ， ，则 的长度为 ．
例3（24-25九年级上·云南·期中）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结
论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1所示，在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ，如果 ，那
么 ， ， ， 四点在同一个圆上．探究展示：如图2所示，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），
连接 ， ，则 ，（依据
， ，
点 ， ， ， 四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点 ， 在点 ， ， 所确定的 上，（依据
点 ， ， ， 四点在同一个圆上；
反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号）
依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号）
①圆内接四边形对角互补；②对角互补的四边形四个顶点共圆；③过不在同一直线上的三个点有且只有一
个圆；④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；
（2）如图3所示，在四边形 中， ， ，则 的度数为______．
1．（24-25·广西·模拟预测）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， 是 的直径，点E在 上， 垂足为C，
点G在 上运动（不与E重合），点F为 的中点，则 的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．8
3．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）如图放置的两个正方形，大正方形 的边长为 ，小正方形
的边长为 ，点 在 边上，且 ，连接 ， ， 交 于点 ，将
绕点 旋转至 ，将 绕点 旋转至 ，下列结论：① ；②
；③ ；④ ， ， ， 四点共圆．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④
4．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形 的边长为8，M、N为 边上的动点，以 为斜边
作等腰 （其中 ），点E在 边上，且 ，连接 ，则的周长最小值为 ．
5．（2023·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若
，则下面结论一定正确的是 ．
①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③ ；④点A、C、D到点O的距离相等．
6．（2024·山东·二模）如图，点 为线段 的中点，点 到点 的距离相等，若 则
的度数是
7．（24-25·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，
4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，
连接BD，则 的值是 ．
8．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边 ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝
△CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ．
9．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图， ， ，点 、 分别是线段 、射线 上的动
点，以 为斜边向上作等腰 ， ，连接 ，则 的最小值为 ．
10．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探
究，在等腰直角三角形 中， ，过点 作射线 ，垂足为 ，点 在 上．
(1)【动手操作】如图②，若点 在线段 上，画出射线 ，并将射线 绕点 逆时针旋转 与 交
于点 ，根据题意在图中画出图形，图中 的度数为_______度；
(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段 与 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，若点 在射线 上移动，将射线 绕点 逆时针旋转 与 交于点 ，探
究线段 之间的数量关系，并说明理由．11．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线
段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图①， 是线段 同侧两点，且 ．求证： 四点共圆．
证明：作 的外接圆 ，假设点 在 外或在 内．
如图②，若点 在 外，设 与 交于点 ，连接 ，则 （依据 ）
又 ，（依据 ）所以 ，所以 ，
这与已知条件“ ”矛盾，故点 在 外不成立．
如图③，若点 在 内，……
综上所述，作 的外接圆 ，点 在 上，即 四点共圆．
任务：(1)上述证明过程中的“依据 ”“依据 ”分别指什么？依据 ：______； 依据 ：______．
(2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分．(3)如图④，在四边形 中， ，
， ， ，则 的大小为______
12．（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）请仔细阅读以下材料：定理一：一般地，如图，四边形 中，如果连接两条对角线后形成的 ，则 四
点共圆．
我们由定理可以进一步得出结论： ， ， ．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己
更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在 和 中，
， ， ，连接 交于点 ， 交 于点 ，连接 ．
(1)求证 ；(2)请直接写出 ______度， _____度；(3)若 ，求证
．
13．（24-25九年级上·福建莆田·期中）在正方形 中， 是 边上一点，点 在射线 上，将线
段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
（1）如图1，求证： ；（2）如图2，若点 ， ， 三点共线，求证： ， ， ， 四点共
圆；
（3）若点 ， ， 三点共线，且 ，求 的长．14．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）实践与探究 探究课题：四点共圆的条件
课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆
(1)发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点
能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于 ，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果
该结论正确，请你说明理由．(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间
有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理．(3)由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四
个顶点能作一个圆的条件是什么？
15．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形 中， ，
求证： 、 、 、 四点共圆．小明认为：连接 ，取 的中点 ，连接 、 即可证明，请你
按照小明的思路完成证明过程；
【尝试应用】（2）如图②，在正方形 中，点 是边 上任意一点，连接 ，交 于点 ，请
利用无刻度的直尺与圆规在线段 上确定点 ，使 是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若 ， ，求线段 的长．16．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个
点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，
提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证．
【验证猜想】已知：四边形 中， 求证：A、B、C、D四点共圆
证明：过点A、B、D作 ，假设点C不在 上，则点C在 外或 内
若点C在 外，如图1，设 交 于 ，连接 ，则 ．
四边形 是 的内接四边形， ．
， 与 矛盾，故点C不可能在圆外；
若点C在圆内，……
（1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；
【深入探究】得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的
条件吗？请你在此基础上展开探究：
（2）如图3，在线段 同侧有两点C，D，连接 ， ， ， ．如果 ，那么A、B、
C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）；
【结论应用】应用以上结论，解决下列问题：
（3）如图4，在四边形 中， ， ，则 ________ ；
（4）如图5， 中 ，点E在 上，连接 ，作点B关于 的对称点 ，连接
， ， 求 的度数；
【拓展延伸】（5）如图6， ， ，点D为平面内一动点，连接 、 ，若始终
有 ，当四边形 周长最大时， 与 的数量关系是多少？（直接写出答案）．17．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，
一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相
等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：
如图1，若 ，则 四点共圆；或若 ，则 四点共圆．
(1)如图1，已知 ， ，则 _____；
(2)如图2，若 为等腰 的边 上一点，且 ，求 的长；
(3)如图3，正方形 的边长为4，等边 内接于此正方形，且 ， ， 分别在边 ， ，
上，若 ，求 的长．
18．（24-25九年级上·江苏南京·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．(1)在图①、②中，取 的中点O，根据 得 ，即A，B，C，D共圆；
(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在 外， 交 于点E，连接 ，可得
，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在 内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形 的高 ， 相交于点H，射线 交 于点F．
求证： 是 的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
(4)如图⑦，点P是 外部一点，过P作直线 ， ， 的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，
E，F在同一条直线上．求证：点P在 的外接圆上．
