文档内容
专题 03 二次函数应用分类汇编
【题型01 ：抛物线问题】
【题型02 ：拱桥问题】
【题型03：面积问题】
【题型04：每每问题】
【题型05：利润问题】
【题型06：分配问题】
【题型07：分段函数】
【题型01 ：抛物线问题】
1．如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有h=20t-5t2的函数
关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出h=0的两根，两根
之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后
根据方程20t-5t2=15的意义为h=15时所用的时间，据此解答．
【详解】解：20t-5t2=15的两根t =1与t =3，即h=15时所用的时间，
1 2
∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A不符合题意；h=20t-5t2=-5(2-t) 2+20，
∴对称轴直线为：t=2，最大值为20，故D不符合题意；
∴t=3时，h=15，此时小球继续下降，故B不符合题意；
∵当h=0时，t =0，t =4，
1 2
∴t -t =4，
2 1
∴小球从飞出到落地要用4s，故C符合题意．
故选：C．
2．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的
飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系h=20t-5t2．则小球从飞出到达
到最高点瞬间所需要的时间为 秒．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．把函数关系式配方成顶点式h=-5(t-2) 2+20，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：h=20t-5t2=-5(t-2) 2+20，
∵a=-5<0，
当t=2时，h的最大值为20，
即t=2s时，h的值最大，
故答案为：2．
3．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函
数解析式是S=10t-0.25t2，此飞行器滑行的最大距离是 米．
【答案】100
【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式求出s取得最大值时的
t的值即可得．
1
【详解】解：∵ S=10t-0.25t2=- (t-20) 2+100，，
4
∴当t=20时，s取得最大值100，此飞行器滑行的最大距离是100米．
故答案为：100．
4．如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度y(m)与运
行的水平距离x(m)之间满足关系式y=ax2+x+c，当球运行的水平距离为1.5m球离地面高
度为3.3m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为
3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
【答案】当球运行的水平距离为2.5m时，球在空中达到最大高度，最大高度为3.5m
【分析】本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等
技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．
利用待定系数法确定函数的解析式，然后配方成顶点式的形式即可确定答案．
【详解】解：依题意，抛物线y=ax2+x+c经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)，
∴¿
解得¿
∴y=-0.2x2+x+2.25=-0.2(x-2.5) 2+3.5，
∵-0.2<0，
∴当x=2.5时，y取得最大值3.5，
当球运行的水平距离为2.5m时，球在空中达到最大高度，最大高度为3.5m．
5．足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学
们的最爱．在一次足球训练中，小王从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈
抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点D，此时球离地面4米．已知球
门BC的高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，请通过计算说明当时
20
小王应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过B点正上方 米处入门？
9
1
【答案】(1)y=- x2+4，球不能射进球门
9
20
(2)当时小王应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点B正上方 米处入门
9
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律．
（1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标(0,4)，设抛物线的表达式为y=ax2+4，把
1
A(6,0)代入，当x=-3时，y=- ×(-3) 2 +4=3>2.44，即可作答．
9
（2）依题意设小王带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式为
y=- 1 (x-m) 2 +4，再把点 ( -3, 20) 代入，- 1 ×(-3-m) 2 +4= 20 ，计算出n的值，即
9 9 9 9
可作答．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点D的坐标为(0,4)．
设抛物线的表达式为y=ax2+4，把A(6,0)代入，
1
得36a+4=0，解得a=- ．
9
1
∴抛物线的函数表达式为y=- x2+4．
91
当x=-3时，y=- ×(-3) 2 +4=3>2.44，
9
∴球不能射进球门
1
（2）解：设小王带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式为y=- (x-m) 2 +4，
9
把点 ( -3, 20) 代入，得- 1 ×(-3-m) 2 +4= 20 ，
9 9 9
解得m =-7（舍去），m =1．
1 2
20
答：当时小王应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点B正上方 米处入门．
9
6．如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，
出手点整直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮
球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度
为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到
篮球？并说明理由．
(3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点
的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰
不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，
乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入框？请说明理由．
1
【答案】(1)y=- (x-2.5) 2+3.5；
5
(2)乙能碰到篮球，理由见详解；
(3)篮球未入篮筐；【分析】（1）本题考查二次函数的应用，设解析式为y=a(x-h) 2+k，再将顶点
(2.5,3.5)，(4,3.05)代入求解即可得到答案；
（2）本题考查二次函数的运用，将x=1代入求出y与最高距离比较即可得到答案；
1
（3）本题考查二次函数的运用，设解析式为y=- (x-h ) 2+k ，将题目中数据代入求解
5 1 1
即可得到答案；
【详解】（1）解：设解析式为y=a(x-h) 2+k，由题意可得，
函数过顶点(2.5,3.5)及点(4,3.05)，
∴h=2.5，k=3.5，a(4-2.5) 2+3.5=3.05，
1
解得：a=- ，
5
1
∴y=- (x-2.5) 2+3.5；
5
（2）解：乙能碰到篮球，理由如下，
当x=1时，
1 2
y=- (1-2.5) +3.5=3.05，
5
∵3.05<3.2，
∴乙能碰到篮球；
（3）解：∵篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，
1
∴设解析式为：y=- (x-h ) 2+k ，
5 1 1
由题意可得，
图像过(-0.5,2.75)，(1,3.6)，
代入得，¿，
解得：¿，
1 5 2 166
∴y=- (x- ) + ，
5 3 45
当x=4时，
1 5 2 166 117
y=- (4- ) + = <3.05，
5 3 45 45
∴篮球未入篮筐．7．阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石
柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并
在石柱顶点A处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，
且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水
流．
【任务解决】
(1)小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
【答案】(1)符合要求，花坛的半径至少为2m，理由见解析
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5米
【分析】（1）设二次函数顶点式，利用待定系数法求出二次函数解析式，求出抛物线与x
轴的交点坐标，即可得到答案；
（2）令y=1.25，则-(x-0.5) 2+2.25=1.25，解得x=1.5或x=-0.5(舍)，即可得到答案．
【详解】（1）解：符合要求，理由如下：
由题意可得，顶点为(0.5,2.25)，
∴设解析式为y=a(x-0.5) 2+2.25，
∵函数过点(0,2)，
∴代入解析式得，a(0-0.5) 2+2.25=2，
解得a=-1，∴解析式为：y=-(x-0.5) 2+2.25，
令y=0，则-(x-0.5) 2+2.25=0，
解得x=2或x=-1(舍去)，
∴花坛的半径至少为2m；
（2）令y=1.25，则-(x-0.5) 2+2.25=1.25，
解得x=1.5或x=-0.5(舍)，
∴为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5米．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，数形结合和准确计算是解题的关键．
8．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷
（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，A款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m，顶部高度h=1.8m．请在图2
中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子
摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度EC=1m，宽度CD=0.6m，若在帐篷内沿AB方向
摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高
宽分别为1m和0.6m的椅子．设其拋物线型支架的形状值为a(a<0)，请写出a的最小值．
4( 3)( 3) 2
【答案】[建立模型]y=- x+ x- ；[运用模型]3张；[分析计算] -
5 2 2 3
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
( 3 ) (3 )
[建立模型]以AB的中点为平面直角坐标系的原点，此时A - ，0 ，B ，0 ，且经
2 2
过(0，1.8)，代入抛物线函数关系式，即可作答．[运用模型]在[建立模型]的基础上，令y=1，解出x ，x 的值，根据宽度CD=0.6m建立不
1 2
等式，即可作答．
[分析计算]设抛物线函数关系式为y=ax2+2.5，根据“且一排能容纳5张高宽分别为1m和
0.6m的椅子”，建立不等式，即可作答．
【详解】解：[建立模型] 以AB的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示：
∵A款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m，顶部高度h=1.8m
( 3 ) (3 )
∴A - ，0 ，B ，0
2 2
( 3)( 3)
设抛物线函数关系式为y=b x+ x-
2 2
∵抛物线经过点(0，1.8)
( 3) ( 3)
∴1.8=b× 0+ × 0-
2 2
4
解得b=-
5
4( 3)( 3)
即y=- x+ x- ；
5 2 2
4( 3)( 3)
[运用模型]∵y=- x+ x- ，且椅子高度EC=1m，宽度CD=0.6m
5 2 2
4( 3)( 3)
∴1=- x+ x-
5 2 2
解得x =1，x =-1
1 2
则x ，x 的距离为2；
1 220 1
2÷0.6= =3 <4
6 3
∵椅子数量为正整数
∴最多可摆放的椅子数量为3张；
[分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为y=ax2+2.5，
∵且一排能容纳5张高宽分别为1m和0.6m的椅子
∴即刚好经过点D点，
5×0.6 3
∴y =1，x = =
D D 2 2
(3 )
∴y=ax2+2.5经过点D ，1
2
(3) 2
即当y=1时，即1=a× +2.5
2
2
解得a=- ．
3
2
∴a的最小值为- ．
3
【题型02 ：拱桥问题】
9．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷
出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地
点D离池中心A处3m，则水管AB的长为 m．【答案】2.25
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，以池中心为原点，竖直安装的水管为
y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a(x-1) 2 +3，将
(3，0)代入求得a值，从而确定二次函数的解析式，代入x=0时得到的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐
标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，即抛物线的顶点坐标为(1，3)，
则设抛物线的解析式为：y=a(x-1) 2 +3，
代入(3，0)得：a(3-1) 2 +3=0，
3
∴a=- ，
4
3
∴设抛物线的解析式为：y=- (x-1) 2 +3(0≤x≤3)；
4
3
令x=0，则y=- +3=2.25．
4
故水管AB的长为2.25m，
故答案为：2.25．
10．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关7
于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=- x2+14x(0≤x≤4)．水珠可以达
2
到的最大高度是 米．
【答案】14
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的顶点式即可求解．解决本题的关键
是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．
7 7
【详解】∵y=- x2+14x=- (x-2) 2 +14(0≤x≤4)，
2 2
∴x=2时，y取最大值14，
∴水珠可以达到的最大高度是14米．
故答案为：14．
1
11．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为y=- x2+8，为增
10
加照明度，在该抛物线上距地面AB高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水
平距离EF是 米．（可用含根号的式子表示）
【答案】4❑√5
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当y=6时，x的值即可得到答
案．
1
【详解】解：当y=6时，则6=- x2+8，
10
解得x=±2❑√5，
∴EF=2❑√5-(-2❑√5)=4❑√5米，
故答案为：4❑√5．
12．如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l时，拱顶（拱桥洞的最
高点）离水面2m，水面宽4m，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降0.5m时，水面
宽增加 m．【答案】(2❑√5-4)/(-4+2❑√5)
【分析】
此题考查了二次函数的应用，根据建立的坐标系设出函数表达式，利用待定系数法求出函
数解析式，求出下降后与水面相交的两个交点的坐标，即可得到答案．
【详解】
解：设抛物线为y=ax2，
由题意可得，点(2,-2)在抛物线上，
则-2=a×22，
1
解得a=- ，
2
1
∴抛物线为y=- x2 ，
2
1
当y=-2.5时，-2.5=- x2 ，
2
解得x =❑√5,x =-❑√5，
1 2
∴当水面下降0.5m时，水面宽增加[❑√5-(-❑√5)]-4=(2❑√5-4)m，
故答案为：(2❑√5-4)．
13．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为
6米，宽OP为12米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）
(2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物
线上，点B，C在OP上，求所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值．
1 1
【答案】(1)这条抛物线的函数解析式为y=- (x-6) 2 +6=- x2+2x
6 6
(2)三根“光带”长度之和的最大值为15米
【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解
题的关键．
1
（1）根据题意可设y=a(x-6) 2 +6，抛物线过O(0,0)，可求得到a=- ，即可求出抛物线
6
的解析式；
（2）设点A的坐标为 ( m, 1 m2+2m ) ，设三根“光带”长度之和为L米，列出L的解析式，
6
根据二次函数的性质求出答案即可．
【详解】（1）解：由题意可设这条抛物线的函数解析式为y=a(x-6) 2 +6，
∵抛物线过O(0,0)，
∴36a+6=0，
1
解得a=- ，
6
1 1
∴这条抛物线的函数解析式为y=- (x-6) 2 +6=- x2+2x；
6 6
（2）设点A的坐标为 ( m,- 1 m2+2m ) ，
6
1
则OB=m,AB=DC=- m2+2m，
6根据抛物线的轴对称，可得：OB=m=CP，BC=12-2m，AD=12-2m，
设三根“光带”长度之和为L米，
令L=AB+AD+DC
1 1
=- m2+2m- m2+2m+12-2m
6 6
1
=- m2+2m+12
3
1
=- (m-3) 2 +15，
3
1
∵- <0，开口向下，
3
∴当m=3时，最大值为15，
∴当OB=3米时，三根“光带”长度之和的最大值为15米．
14．2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规
划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽
AB为16cm，入口最高处OC为12.8米．
(1)求抛物线解析式；
(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平
移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；
(3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？
【答案】(1)抛物线解析式为y=-0.2x2+12.8
(2)抛物线解析式为y=-0.2x2+0.8x+9
(3)不符合要求，理由见解析
【分析】（1）根据图形和题意设出抛物线解析式，再把A点坐标代入解析式即可；
（2）根据平移的性质求抛物线解析式即可；
（3）令（2）中解析式的y=0，解方程即可．
【详解】（1）由图知，此抛物线对称轴为y轴，顶点坐标C(0,12.8)，A(-8,0)，故设抛物线解析式为y=ax2+12.8，
把A点坐标代入解析式得：64a+12.8=0，
解得a=-0.2，
∴抛物线解析式为y=-0.2x2+12.8；
（2）由题意可知，抛物线向左平移2m，向下平移使最高点降为9.8m，
∴抛物线解析式为y=-0.2(x+2) 2+9.8=-0.2x2+0.8x+9；
（3）（2）中的建议不符合要求，理由：
令y=-0.2x2+0.8x+9中的y=0，
则-0.2x2+0.8x+9=0，
整理得x2-4x-45=0，
解得x =-5，x =9，
1 2
∴x - x =9+5=14，
2 1
∵14<15，
∴（2）中的建议不符合要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
15．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行
一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意
图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的
竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系
y=-0.01(x-30) 2 +9，据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟
最高处到桥拱的竖直距离至少3m．
(1)水面的宽度OA=_______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的
数量．
【答案】(1)60(2)4条．
【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当y=5时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为
9m即可得到答案．
【详解】（1）解：令y=0，则-0.01(x-30) 2 +9=0，
∴(x-30) 2 =900，
解得x=0或x=60，
∴A(60，0)，
∴OA=60m，
故答案为：60；
（2）解：令y=5，得-0.01(x-30) 2 +9=5，
∴(x-30) 2 =400
解得x =10，x =50．
1 2
∴可设计赛道的宽度为50-10=40m，
∵每条龙舟赛道宽度为9m，
∴最多可设计赛道4条．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
【题型03：面积问题】
16．如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园
的一面靠墙MN (39m)（篱笆的宽度忽略不计）
(1)菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，请说明理由；
(2)因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．
【答案】(1)可能，14m(2)288平方米
【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一
元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可．
（1）设AB=x m，则矩形的长(60-3x)m，依题意，得：x(60-3x)=252，解方程计算
即可．
（2）设AB=x m，则BC=(60-3x)m，依题意列出关于x的面积S=-3(x-10) 2+300，
根据函数性质计算即可．
【详解】（1）设AB=x m，则矩形的长(60-3x)m，依题意，得：x(60-3x)=252，
即x2-20x+84=0，
解得：x =6，x =14，
1 2
当x =6时，(60-3x)=42m＞39m，舍去，
1
当x =14时，(60-3x)=18m＜39m成立，
2
答：花园面积可能是252m2，此时边AB的长为14米．
（2）∵AB=x m，则BC=(60-3x)m，依题意，得：
S=x(60-3x)=-3x2+60x=-3(x-10) 2+300，
∵a=-3＜0，
∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
∵x≤8，
∴当x=8时，y最大，最大为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
17．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围
成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm．
(1)求场地的面积y( m2 )与x(m)之间的函数关系式；
(2)写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)y=-2x2+32x
(2)2≤x<16【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据矩形的面积列出关系式；
（2）根据边长大于0，宽大于门宽，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）由题意得y=x(32-2x)=-2x2+32x；
（2）∵32-2x>0，
∴x<16，
又∵门宽是2m，
∴x≥2，
∴2≤x<16．
18．某农场要建一个矩形养殖场：养殖场的一边靠墙（AB长10米），另外三边用围栏围
成，围栏总长20米，设养殖场的边CD的长为xm，矩形面积为ym2．
(1)当矩形养殖场面积为48m2时，求边CD的长；
(2)能否围成面积为52m2矩形养殖场？请说明理由；
(3)求矩形养殖场面积的最大值．
【答案】(1)CD边的长为6m
(2)无法围成面积为52m2矩形养殖场，理由见解析
(3)矩形养殖场的最大面积为50m2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据矩形面积公式列出方程是解题
关键．
（1）根据题意得x(20-2x)=48，解方程，舍去不合题意的方程的解即可求解；
（2）根据题意得-2x2+20x=52， 解方程，得到方程没有实数根，即可得到无法围成面
积为52m2矩形养殖场．
（3）根据题意得到y=x(20-2x)=-2x2+20x，求得5≤x<10，二次函数化为顶点式，
根据二次函数的性质即可得到答案．此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出方程和二次函数是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得x(20-2x)=48，
解得x =4，x =6，
1 2
当CD=6米时，AB=20-2×6=8（米），符合题意；
当CD=4米时，AB=20-2×4=12（米），
∵墙AB长度为10米，
∴CD=4米不符合题意；
∴CD边的长为6米；
答：CD边的长为6m.
（2）解：不能围成面积为52m2矩形养殖场，理由如下：
根据题意得x(20-2x)=52，
则2x2-20x+52=0，
即x2-10x+26=0，
∵Δ=100-4×1×26=-4<0，
∴方程没有实数根，
答：无法围成面积为52m2矩形养殖场.
（3）由题意可得，y=x(20-2x)=-2x2+20x，
由¿得到5≤x<10，
∵y=-2x2+20x=-2(x-5) 2 +50，且-2<0，
∴当x=5时，y有最大值为50.
答：矩形养殖场的最大面积为50m2
.
19．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将
四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
(1)若长方体底面面积为12dm2，裁掉的正方形边长多少？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，求制作的长方体容器的底面面积的最小值？
(3)在（2）的条件下，由于实际需要，将容器内侧和内底面进行防锈处理，侧面每平方分
米的需要的费用为0.5元，底面每平方分米需要的费用为2元，当裁掉的正方形边长多少时，
总费用最低，最低为多少？
【答案】(1)裁掉的正方形的边长为2dm
(2)S =5；
最小
(3)当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，为25元．
【分析】（1）设裁掉的正方形边长为xdm，再根据题意列出一元二次方程即可求解；
（2）底面长不大于底面宽的五倍求出范围0192，
∴每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
37．雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看
“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是
呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量
y（单位：张）与门票的售价x（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50
元，不高于300元．
(1)求y与x的函数解析式（也称关系式）；
(2)求这一天该景区销售门票获得的总收入W的最大值．
【答案】(1)y=¿
(2)1210000元
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是根据题意求
出函数解析式，注意分类讨论．
（1）分两种情况：求出y与x的函数解析式即可；
（2）分两种情况：当50≤x≤200时，当2000，
∴当200600000，
∴当x=110时，W有最大值为1210000，
∴这一天该景区销售门票获得的总收入W的最大值是1210000元．
38．某公司共有20个生产车间，分别生产A与B两种不同的产品，其中x个生产车间生产A
产品（其中x为正整数，且1≤x≤19），剩余的生产车间生产B产品．今年每个生产A产品
的生产车间的平均收入y（单位：万元）与车间数量x（个）之间的关系如图所示．
(1)求当1≤x≤19时，y关于x的函数解析式；
(2)若已知今年公司B产品的年总收入W' （单位：万元）与车间数量x（个）的关系为：
W'=2x+16（x为正整数且1≤x≤19），设公司年总收入为W（单位：万元），求W关于
x的函数解析式．（注：公司年总收入=A产品的年总收入+ B产品的年总收入）
(3)请问公司今年的总收入能超过90万元吗？说明理由．
【答案】(1)y=¿
(2)W =¿
(3)公司一年的总收入不能超过90万元
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，分类讨论是解答本题的关键．
（1）分当1≤x≤6 时和当60，
∴当x=6时，W =70 ，
最大
1 1
当62400，
∴第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元．
