文档内容
微专题：诱导公式的应用
【考点梳理】
1. 诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
α＋2kπ
角 π＋α －α π－α －α ＋α
(k∈Z)
与α终 关于原 关于x轴 关于y轴 关于直线
相同
边关系 点对称 对称 对称 y＝x对称
正弦 sinα －sinα －sinα sin α cosα cos α
余弦 cosα － co s α cosα －cosα sin α －sinα
正切 tanα tan α － ta n α －tanα
记忆 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
规律 奇变偶不变，符号看象限
2. 诱导公式可推广归结为要求角k·±α的三角函数值，只需直接求α的三角函数值，其转化过程及所得结果满
足：奇变偶不变，符号看象限. 其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶，变与不变是指函数名称的变
化. 若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变. “符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数
式中的角所在象限的三角函数值的符号.
【题型归纳】
题型一：利用诱导公式化简、求值
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
3． （ ）
A． B． C． D．
题型二：诱导公式与同角三角函数基本关系的结合
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，若 是第二象限角，则 的值为（ ）
A． B． C．－ D．－
6．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：“隐藏”的诱导公式
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12． 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， ， ，则
A． B．5 C． D．
13．已知函数 ，下面结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间 上是增函数
C．函数 的图像关于直线 对称
D．函数 是偶函数
14．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
16．若 是第三象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．已知 ，则 （ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．1 B．2 C．3 D．4
19．在直角坐标系中，若角 的终边经过点 ， ，则
A． B． C． D．
20．已知锐角 终边上一点A的坐标为 ，则角 的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 ，当 取得最小值时， 等于（ ）
A．1 B． C． D．
22．复数 的模为1，其中 为虚数单位， ，则这样的 一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
23．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则
A． B． C． D．0
24．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
25． 的值为
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．当 时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．下面诱导公式使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28． （ ）
A． B． C． D．
29．已知 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
30．当 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
31．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定
理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三
角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形）.例如，五角
星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 中， .根据这些信息，可
得 （ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
32．sin1860°等于（ ）
A． B．- C． D．-
33．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
34．式子 的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
37．已知 ，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
38．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ）
A．sin(－x)＝sinx B．sin ＝cosx
C．cos ＝－sinx D．cos(x－π)＝－cosx
三、填空题
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．若 ，则 __________
40．已知角 的终边上有一点 ，则 ______．
41．计算： ___________.
42．已知 ，则 ________.
43．若角 的终边过点 ，则 ______．
44．若 为第二象限的角，则 __________．
四、解答题
45．已知函数 ．
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值．
46．如图，在平面直角坐标系中，锐角 和钝角 的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单
位圆交于A，B两点，且 .
(1)求 的值；
(2)若点A的横坐标为 ，求 的值.
47．m=cos + cos + cos + cos + cos
（1）化简m=?
（2）若 f(cos(x))=16x 求 f(m)+m=？
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）若g((sinx))=16x+cosx，求g(cos )的值
48．已知角 是第三象限角， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
49．（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用诱导公式求得正确答案.
【详解】
因为 ，
所以 ．
故选：A
2．A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义可得 ，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
解：因为角 的终边经过点 ，所以 ，
故 .
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式即可求解.
【详解】
.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
因为 ，则 ，则 且 ，
所以， ，故 ，因此， .
故选：D.
第 9 页5．C
【解析】
【分析】
由题意求出 ，又因为 ，代入即可得出答案.
【详解】
因为 是第二象限角，所以 ，
所以 ．
故选：C.
6．A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出 ，再由诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，
所以 ；
故选：A
7．A
【解析】
【分析】
根据三角函数诱导公式和二倍角公式直接计算即可.
【详解】
．
故选：A
8．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式将 化为 ，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.
【详解】
因为 ，
故
第 10 页，
故选：B
9．C
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可
【详解】
因为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
10．A
【解析】
【分析】
对于 化简可得 ，再由 可得 的值，从而可求出 的值
【详解】
解： ， ，
，
.
，
.
.
故选：A.
11．C
【解析】
【分析】
第 11 页已知式由诱导公式变形后平方，然后由平方关系和正弦的二倍角公式化简可得．
【详解】
因为 ，
所以 ，所以 ，
．
故选：C．
12．A
【解析】
【分析】
求出 ，利用余弦定理，解方程即可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
即 ，
即 ，
解得 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式，余弦定理，属于较易题.
13．B
【解析】
【分析】
先化简函数得 ，然后逐个分析判断即可
【详解】
解： ，
对于A， 的最小正周期为 ，所以A正确；
对于B， 在区间 上是减函数，所以B错误；
对于C，因为 ，所以 的图像关于直线 对称，所以C正确；
第 12 页对于D，因为 ，所以 是偶函数，所以D正确，
故选：B
14．D
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦、余弦公式化简 ，再利用诱导公式、二倍角公式求解 即可.
【详解】
故选：D.
15．B
【解析】
【分析】
本题首先可根据 得出 ，然后根据诱导公式以及二倍角公式即可得出结果.
【详解】
，即 ，
， ，
则
，
故选：B.
16．B
【解析】
【分析】
设 ，则 ，由 可求得 值
【详解】
设 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
第 13 页因为 是第三象限角，所以 为第三或第四象限角，
所以 ，故 ，
故 .
故选：B.
17．C
【解析】
【分析】
根据诱导公式计算即可.
【详解】
根据诱导公式可以得出 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，属于容易题.
18．B
【解析】
【分析】
由 ，利用诱导公式求得 ，再结合三角函数的基本关系式，化简得到
，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，即 ，
又由 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的基
本关系式，化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
19．B
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，再利用诱导公式求得 的值．
【详解】
解：角 的终边经过点 ， ，则 ， ，
第 14 页则 ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
20．A
【解析】
【分析】
先根据定义得 正切值，再根据诱导公式求解
【详解】
，
又 ， 为锐角，
∴ ，
故选：A.
21．A
【解析】
【分析】
由正弦函数的性质，先求出当 取得最小值时x的取值，从而求出 .
【详解】
函数 ，当 取得最小值时，有 ，故 ， ．
， ．
故选：A．
22．C
【解析】
【分析】
先根据复数 的模为1及复数模的运算公式，求得 即
，接下来分 与 两种情况进行求解，结合 ，求出 的个数.
【详解】
，其中 ，所以 ，
即 ， ，当 时，① ， ，所以
， ，因为 ，所以 或 ；② ， ，所以 ， ，因为
第 15 页，所以 ， ， ， ， 或 ；当 时，① ， ，即
， ，因为 ，所以 ，② ， ，即 ，
，因为 ，所以 ， ， ， ， ，综上： ， ，一共有11个.
故选：C
23．C
【解析】
【分析】
利用函数 的图象变换规律求得 的解析式，可得 的值．
【详解】
解：将函数 的图象向右平移 个单位，
得到函数 的图象，
则 ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，函数 的图象变换规律，属于基础题．
24．B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 的值，由此求得所求表达式的值.
【详解】
由于 ，所以 .所以
.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.
25．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式统一角为 ，逆用两角差的正弦公式即可化简求值.
【详解】
依题意， .
第 16 页【点睛】
本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于中档题.
26．D
【解析】
【分析】
先求得 的取值范围，再由同角三角函数的平方关系可得 的值，最后由诱导公式，得出答案.
【详解】
解：由 ，所以 ，
由 ，所以 ，则 ，
所以 .
故选：D.
27．C
【解析】
【分析】
根据诱导公式的法则“奇变偶不变，符号看象限”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A： ，故A错误；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C正确；
对于D： ，故D错误.
故选：C
28．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式计算即可得解.
【详解】
.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.
29．B
第 17 页【解析】
【分析】
根据已知条件求得 ，再用诱导公式和同角三角函数关系将目标式转化为关于 的式子，代值计算即可.
【详解】
因为 ，故可得： .
原式 .
故选：B.
30．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式和平方关系求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
31．C
【解析】
计算出 ，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出 的值，即可得出合适的选项.
【详解】
因为 是顶角为 的等腰三角形，所以， ，
则 ， ，
而 ，所以， .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.
32．C
第 18 页【解析】
【分析】
用诱导公式先化简后求值.
【详解】
,
故选: C
33．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简可得 的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】
解：由诱导公式可得 ，所以， .
因此， .
故选：D.
34．A
【解析】
根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简.
【详解】
，
故选：A.
【点睛】
本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题.
35．ACD
【解析】
【分析】
对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断.
【详解】
对于A选项， ，故A选项正确；
对于B选项， ，故B选项错误；
对于C选项， ，故C选项正确；
对于D选项， ，故D选项正确.
故选：ACD
36．ACD
第 19 页【解析】
【分析】
结合诱导公式，根据 和 的单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于A， 在 上单调递增，又 ， ，A正确；
对于B， 在 上单调递减，又 ， ，B错误；
对于C， ，又 ， ，C正确；
对于D， ， ，
又 ， ，D正确.
故选：ACD.
37．AB
【解析】
【分析】
利用诱导公式可判断各选项的正误.
【详解】
， ，
， ，
故选：AB.
38．CD
【解析】
【分析】
根据诱导公式即可判断.
【详解】
解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；
sin ＝－cosx，故B不成立；
cos ＝－sinx，故C成立；
cos(x－π)＝－cosx，故D成立.
故选：CD
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于基础题.
第 20 页39．
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式求出 ，再利用诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为 所以 ，则 .
因为 ，所以 ，即 ，故 .
所以 .
故答案为： .
40．
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义结合诱导公式可求得结果.
【详解】
由三角函数的定义可得 ，因此， .
故答案为： .
41． ##
【解析】
【分析】
先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故答案为：
第 21 页42．
【解析】
利用诱导公式化简等式 ，可求出 的值，将所求分式变形为
，在所得分式的分子和分母中同时除以 ，将所求分式转化为只含 的代数式，
代值计算即可.
【详解】
， ， ，
因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出 的值，考查计算能力，属于基础题.
43． ##0.8
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【详解】
角 的终边过点 ， ， ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
44．
【解析】
【分析】
先根据同角三角函数的关系求出 ，再结合诱导公式即可求出 .
【详解】
为第二象限的角，
，
.
故答案为： .
第 22 页【点睛】
本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.
45．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式结合（1）中的结果求解．
【详解】
（1）函数 ，
；
（2）因为 ，即 ，
所以 ．
46．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式化简可得；
（2）由定义可得 ，即可求出.
(1)
∵ ，∴ ， ，
∴ .
(2)
∵点A的横坐标为 ，∴ ， ，
，
∴ .
第 23 页47．（1） ；（2） 或 （3） 或 ，
.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简即得解；
（2）求出 或 ， ,即得解；
（3）求出 或 ， ，即得解.
【详解】
（1）m= ，
所以m= ；
（2） 或
所以 或 ，
所以 或
（3） 或 ， .
所以 或 ， .
所以 或 ， .
48．（1） ；（2） .
【解析】
（1）根据tanα ，以及 sin2α+cos2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值；
（2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果．
【详解】
解：（1）tanα ，sin2α+cos2α＝1，
∴ 或 ，而角 是第三象限角，则 ，
第 24 页故 ；
（2）
.
∵ ，
∴原式 .
【点睛】
方法点睛：
已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的
转化，代入计算即可.
49．（1） ；（2）
【解析】
（1）由题意，分析 ，再根据同角三角函数关系，可求值；
（2）由题意，分析 ，根据诱导公式，即可求解.
【详解】
（1）∵ ，
，
∴
.
（2）∵ ，
第 25 页∴
.
【点睛】
本题考查（1）三角函数诱导公式二（2）三角函数诱导公式五，考查计算能力，属于基础题.
第 26 页第 27 页
