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专题07 解一元一次方程（六大类型）
重难点题型归纳
【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】
【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】
【题型3 新定义运算-解一元一次方程】
【题型4 判断解一元一次方程的过程】
【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】
【题型6 含绝对值的一元一次方程】
【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】
【典例1】解下列方程：
(1)6x−2=−5x+9； (2)0.4 y+2.8−3.6 y=1.6−1.7 y
【变式1-1】解方程：
1 1
(1)2x−8=10−4x； (2)1− x=x+ ．
2 3
【变式1-2】解下列方程：
(1)x+3x=−16 (2)9−3x=5x+5
【变式1-3】解下列方程
(1)x−3x=−12 (2)3x+6=31−2x
【变式1-4】解下列方程：1 3
(1)6x−7=4x−5； (2) x−6= x．
2 4
【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】
【典例2】解方程
x−1 x+2
(1)7x+2(3x−3)=20 (2)x+ =1−
2 3
【变式2-1】解下列方程
(1)6x−7=4x−5 (2)2(3−x)=−4(x+5)；
3x+5 2x−1 x+1 2−x
(3) = (4) −1=2+
2 3 2 4
【变式2-2】解下列方程：
(1)3x+5=5x−7； (2)x+2(x−3)=3(1−x)；
3x−2 x+2 2x−1 3+x
(3) = −1． (4)1− = ．
3 6 3 6
【变式2-3】解方程：1
(1)2(x−1)=2−5(x+2) (2) (2x+14)=4−2x
7
x+3 2x−4
(3) − =2．
4 3
【变式2-4】解方程：
(1)5x+2=−8； (2)3x−4(2x+5)=x+4；
x−1 x+2 4−x x−2 x+1
(3) − = ； (4) − =1．
3 6 2 0.2 0.3
【题型3 新定义运算-解一元一次方程】
【典例3】若定义一种新的运算“*”，规定有理数a∗b=4ab，如2∗3=4×2×3=24．
(1)求3∗4的值；
(2)若2∗3x=12，求x的值．
【变式3-1】 是新规定的这样一种运算法则： ，例如 ．
a⊗b a⊗b=a2+ab 3⊗(−2)=32+3×(−2)=3
(1)求(−2)⊗3的值；
(2)若(−3)⊗x=5，求x的值；
(3)若3⊗(2⊗x)=−4+x，求x的值．
【变式3-2】定义一种新运算“⊕”：a⊕b=ab−a+b．例如：3⊕1=3×1−3+1=1，
(2a)⊕2=(2a)⋅2−2a+2=2a+2．(1)计算4⊕(−2)的值；
(2)已知(2m)⊕3=2⊕m，求m的值．
【变式3-3】对于有理数a,b，定义一种新运算“*”，规定a*b=|a+2b|+)a−b)．
(1)计算2*(−3)的值；
(2)已知a>0且a*(a*a)=8+a，求a的值．
【变式3-4】我们定义一种新的运算“∗”，并且规定：a∗b=a2−2b．例如：2∗3=22−2×3=−2，
．
2∗(−a)=22−2×(−a)=4+2a
(1)求(−3)∗2的值；
(2)若3∗(−x)=17，求x的值．
【题型4 判断解一元一次方程的过程】
x+1 2−3x
【典例4】小丽做作业时解方程 − =1的步骤如下：
2 3
解：①去分母，得3(x+1)−2(2−3x)=1；
②去括号，得3x+3−4−6x=1；
③移项，得3x−6x=1−3+4；
④合并同类项，得−3x=2；
2
⑤系数化为1，得x=− ．
3
(1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中
最早出现错误的步骤是______．（填序号）
(2)请写出正确的解答过程．【变式4-1】用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道
题，请仔细阅读并完成相应的任务：
2x 4−3x 5x+8
− = 解：
3 6 3
2×2x−(4−3x)=2(5x+8) 第一步
4x−4+3x=10x+16 第二步
4x+3x−10x=16−4 第三步
−3x=12 第四步
x=−4 第五步
填空：
①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ；
②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ；
③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程．
【变式4-2】（1）解方程：3(x+1)=1−(x+4)．
x+1 x−1
（2）下面是小明同学解一元一次方程 − =1的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
2 4
解：去分母，得2(x+1)−(x−1)=4
．…………………………………第一步
去括号，得2x+2−x−1=4
．……………………………………………第二步
移项，得2x−x=4−2+1
．………………………………………………第三步
合并同类项，得x=3
．……………………………………………………第四步
任务
①第一步的依据是________；
②第________步开始出现错误，错误的原因是________；
③该方程的正确解为________．【变式4-3】用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小凯错题本上的一道题，
请仔细阅读并完成相应的任务：
2x 4−3x 5x+8
解方程： − =
3 6 3
解：2×2x−(4−3x)=2(5x+8) 第一步
4x−4+3x=10x+16 第二步
4x+3x−10x=16−4 第三步
−3x=12 第四步
x=−4 第五步
填空：
(1)以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是________；
(2)第________步开始出错，这一步的具体错误是________；
(3)请直接写出该方程的正确解________．
【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】
【典例5】阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程：
设x=0.3˙ =0.3333˙①，
则10x=3.3333˙②，
1 1
由②−①得9x=3，即x= 故0.3˙ = ．
3 3
根据上述提供的方法，把①0.7˙，②1.3˙化为分数．
【变式5-1】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x x−2
解方程： − =1
2 6
解：______，得3x−(x−2)=6 第一步
去括号，得3x−x+2=6 第二步
移项，得3x−x=6+2 第三步
合并同类项，得2x=8 第四步方程两边同除以2，得x=4 第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
(3)请写出正确解方程的过程．
【变式5-2】对于关系式0.9˙ =1，小明给出了以下证明．
证明：因为0.9˙ =0.9999⋯⋯，
所以设0.9˙ =x，
则10x=9.9˙，
所以10x−x=9，
解得x=1，
于是0.9˙ =1．
(1)实践探究：请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的
过程：
①0.7˙ ②0.1˙2˙
(2)拓展延伸：直接写出将0.432˙化成分数的结果为 ．
【变式5-3】数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？
以 •为例，老师给小明做了以下解答（注： •即 ）：
0.3 0.3
0.33333⋯
设 •为x，即： •
0.3 0.3=x
等式两边同时乘10，得： •
3.3=10x
即： • 因为 • 所以3+x=10x解得： x= 1 即0.3 • = 1 ．
3+0.3=10x 0.3=x
3 3因为分数是有理数，所以 •是有理数，同学们，你们学会了吗？请根据上述阅读，解决下列问题：
0.3
(1)无限循环小数 •写成分数的形式是______
0.2
(2)请用解方程的办法将 • •写成分数．
0.21
1
· ·
【变式5-4】我们知道 可以写成小数形式为 ，反过来，无限循环小数 也可以转化成分数形式．
0.3 0.3
3
方法如下：设 ·，由 · ，可知： ，所以 ．
x=0.3 0.3=0.333⋅⋅⋅⋅⋅⋅
10x=3.33⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10x−x=3
1 · 1
解方程，得x= ，所以0.3= ．
3 3
再例如把无限循环小数 · ·化为分数方法：
0.32
设 · ·，由 · · 可知： ，
x=0.32 0.32=0.323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅
100x=32.323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅
32 · · 32
所以100x−x=32，解方程，得x= ，所以0.32= ．
99 99
【问题回答】
(1)把下列无限循环小数写成分数形式；
① · ；② · · ；③ · · ．
0.5= 0.12= 0.735=
(2)请你借鉴材料中的方法，写出无限循环小数 · ·转化成分数的具体过程．
0.735
【变式5-5】阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以0.7˙为例，设0.7˙ =x，由
7
0.7˙ =0.777⋅⋅⋅，可知10x=7.777⋅⋅⋅，即：10x=7+0.7˙，所以10x=7+x，解得x= ，于是
9
7
0.7˙ = ．
9(1)请把无限循环小数0.4˙ 6˙化为分数；
(2)请把无限循环小数0.03˙6˙化为分数；
(3)请计算4.6˙ 4˙ +3.6˙3˙．
【题型6 含绝对值的一元一次方程】
【典例6】解方程：|x−3)−3=2
5
【变式6-1】解方程：|2x−1)= x+2．
6
【变式6-2】阅读下面的例题：解方程：|5x)=30．
当5x≥0时，原方程可化为一元一次方程5x=30，它的解是x=6；
①当5x<0时，原方程可化为一元一次方程−5x=30，它的解是x=−6．
②故原方程的解是x=6或x=−6．
依照以上例题，解方程：|1 ) ．
x+3 =1
2
