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专题09 一元一次方程常考实际应用（十二大类型）
重难点题型归纳
【题型1：行程问题】
【题型2：工程问题】
【题型3：销售问题】
【题型4：方案问题】
【题型5：比赛积分问题】
【题型6：日历问题】
【题型7：数字问题】
【题型8：几何问题】
【题型9：水费和电费问题】
【题型10：比例分配问题】
【题型11：古代问题】
【题型12：其他问题】
【题型1：行程问题】
【典例1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的
数为−6，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个
长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点
B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着
折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动
的时间为t秒，则：
(1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒；
(2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数；(3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的的“折线距离”相
等．
【答案】(1)19，17；
(2)t=9.6；点M在折线数轴上所表示的数是7.2
(3)当t=2秒或5秒或 8秒或17秒时，OP=BQ
【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分
类讨论是解本题的关键．
（1）利用路程除以速度求解即可得到答案；
（2）先判断相遇点M在OB上，再根据题意列方程求解即可；
（3）分四种情况讨论：①当点P在AO上，点Q在CB上时；②当点P在OA上时，点Q在OB上时；
③当点P在OB上时，点Q在OB上时；④当点P在BC上时，点Q在OA上时，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要[0−(−6))÷1=6秒，
从点O运动至点B需要10÷2=5秒，
从点B运动至点C需要(18−10)÷1=8秒，
则动点P从点A运动至点C需要6+5+8=19秒；
动点Q从点C运动至点B需要[18−10)÷2=4秒，
从点B运动至点O需要10÷1=10秒，
从点O运动至点A需要[0−(−6))÷2=3秒，
则动点Q从点C运动至点A需要4+10+3=17秒；
故答案为：19，17；
（2）解：由（1）可得相遇点M在OB上，
1
∴由题意得6+2(t−6)+8+ (t−4)=18+6，
2
解得t=9.6，
∴2(t−6)=7.2，即点M在折线数轴上所表示的数是7.2；
（3）解：①当点P在AO上，点Q在CB上时，OP=6−t，BQ=8−2t，
∵OP=BQ，
∴6−t=8−2t，
解得t=2；
②当点P在OA上时，点Q在OB上时，OP=6−t，BQ=t−4，∵OP=BQ，
∴6−t=t−4，
解得t=5；
③当点P在OB上时，点Q在OB上时，OP=2(t−6)，BQ=t−4，
∵OP=BQ，
∴2(t−6)=t−4，
解得t=8；
④当点P在BC上时，点Q在OA上时，OP=10+(t−11)，BQ=10+2(t−14)，
∵OP=BQ，
∴10+(t−11)=10+2(t−14)，
解得t=17；
综上：当t=2秒或5秒或8秒或17秒时OP=BQ．
【变式1-1】甲站和乙站相距1500km，一列慢车从甲站开出，速度为60km/h，一列快车从乙站开出，
速度为90km/h．
(1)若两车相向而行，慢车先开30min，快车开出多少小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km（快车在慢车的后面）？
【答案】(1)快车开出9.8h后两车相遇
(2)2h后两车相距1800km
(3)10h后两车相距1200km
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是
解题的关键．
（1）设快车开出xh后两车相遇，根据两车行驶路程和为1500km，列出方程式即可解题；
（2）设yh后两车相距1800km，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为1800km，列出方程式即
可解题；
（3）设zh后两车相距1200km，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多1500−1200=300km，即可
列出方程式，即可解题．
【详解】（1）解：设快车开出xh后两车相遇．
30min=0.5h．
由题意，得60(x+0.5)+90x=1500，
解得x=9.8．
答：快车开出9.8h后两车相遇．（2）解：设yh后两车相距1800km．
由题意，得60 y+90 y+1500=1800，
解得y=2．
答：2h后两车相距1800km．
（3）解：设zh后两车相距1200km．
由题意，得90z−60x=1500−1200，
解得z=10．
答：10h后两车相距1200km．
【变式1-2】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点
A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，
PQ同时出发，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？
【答案】(1)−6，1
7 4 10
(2)① 秒；② 秒或 秒
3 3 3
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
（1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可；
（2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P的运动距离加上动点Q的运动距离等于A，B两点间的
距离，列方程即可求解；
②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．
∴点B表示的数为8−14=−6，
−6+8
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 =1，
2
故答案为∶−6，1；
（2）解∶①点P和点Q运动t秒时，点P和点Q第一次相遇，
则2t+4t=14，
7
解得t= ，
37
即点P和点Q运动 秒时，点P和点Q第一次相遇；
3
②设点P运动t秒
根据题意得：
当点P与点Q相遇前，点P与点Q距离6个单位长度时，则8−4t−(−6+2t)=6，
4
解得t= ；
3
当点P与点Q相遇后，点P与点Q距离6个单位长度时，则−6+2t−(8−4t)=6，
10
解得t= ，
3
4 10
∴当点P运动 秒或 秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度．
3 3
【变式1-3】综合与探究：
【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，如：
|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5)=|5−0)，即|5−0)也可理解为5、0在数轴上对应的
两点之间的距离．类似的，|5−3)表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的
两点之间的距离，如|x−3)的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离，一般地，
点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a−b)．
【问题解决】请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是_________；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是_________；
【拓展延伸】
（3）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−20，B点对应的数为100．现有一只电子蚂
蚁P从B点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单
位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁经过t秒，在数轴上的C点相遇．
①请你求出相遇时t为多少秒？
②请你求出C点所对应的数是多少．
【答案】（1）1；（2）−1或5；（3）①12；②28【分析】此题考查的是绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，数轴上点的运动，还有相遇问题与追
及问题．注意用到了路程=速度×时间．
（1）直接根据数轴上两点之间的距离计算即可；
（2）分点Q在点P左边和点Q在点P右边两种情况列式计算；
（3）①根据经过t秒点P对应的数为：100−6t；点Q对应的数为：−20+4t，相遇时两点对应的数相
等列方程即可；
②根据①中相遇时所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出−20向右运动到相
遇地点所对应的数．
【详解】解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是|3−2)=1；
故答案为：1；
（2）∵数轴上点P表示的数是2,P,Q两点的距离为3，设点Q表示的数是x，
∴|2−x|=3，
当点Q在点P左边时，2−3=−1；
当点Q在点P右边时，2+3=5；
即点Q表示的数是−1或5；
故答案为：−1或5；
（3）①经过t秒点P对应的数为：100−6t；点Q对应的数为：−20+4t，
当相遇时，则−20+4t=100−6t，
解得：t=12秒，
即12秒后相遇；
②根据①可得，相同时间Q点运动路程为：12×4=48（个单位），
则点Q从数−20向右运动48个单位到数−20+48=28，
故C点对应的数是28．
【题型2：工程问题】
【典例2】哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙
两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天．乙车队先运了5天，
然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
【答案】(1)10天(2)4700元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键；
1 1
（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送 ，乙车效率为每天运送 ，据此设甲、乙两车合
20 30
作还需要x天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可；
（2）根据甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，计算求解即可；
【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，
5 x x
根据题意得： + + =1，
30 20 30
解得：x=10，
答：甲、乙两车合作还需要10天运完垃圾．
（2）解：乙队一共工作了15天，甲队一共工作了10天，
(170+30)×15+170×10=4700，
答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金4700元．
【变式2-1】某学校开展社会实践活动，七年级（1）班和（2）班承担了为树苗浇水的任务，已知
（1）班单独完成需要7.5h，（2）班单独完成需要6h．
(1)先由（1）班工作2h，然后两个班合作，前后共需几小时？
(2)如果需要在一个上午4h内完成，你将如何安排这次活动？
40
【答案】(1) h
9
(2)让两个班一起合作完成此项任务（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设两个班合作的时间为xh，将整个工程看作单位1，根据（1）班2h完成的工作量，加上两个班
合作完成的工作量为1，列出方程，解方程即可；
（2）设两个班一起合作完成此项任务需要的时间为yh，列出方程求出y的值，然后与4h进行比较，
即可得出答案．
【详解】（1）解：设两个班合作的时间为xh，根据题意得：
1 1
(x+2)+ x=1，
7.5 6
22
解得：x= ，
9
22 40
前后所用的总时间为：2+ = (h)，
9 940
答：前后共需 h．
9
（2）解：设两个班一起合作完成此项任务需要的时间为yh，根据题意得：
( 1 1)
y + =1，
7.5 6
10
解得：y= ，
3
10
∵ <4，
3
∴两个班一起合作完成此项任务符合题意；
答：如果要在一个上午4h内完成，可以安排两个班一起参加这次活动．
【变式2-2】一项工程由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元：由乙队承担，需工期100天，工
程费用80万．为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个
队继续工作到工程完成．结算时，共支出工程费用88万元．问：甲、乙两队合作了多少天？
【答案】甲、乙两队合作了32天
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解决此题的关键．
甲队工作x天完成的工作量×甲队完成整个工程需要的费用+乙队整个工期完成的工作量×乙队完成整个
工程需要的费用=88．
x ( x )
【详解】解：设甲队工作x天，则甲队完成的工作量为 ，乙队完成的工作量为 1− ，
80 80
x ( x )
由题意得，88=100× +80× 1− ，
80 80
解这个方程可得：x=32．
( 32) 1
乙队工作的天数： 1− ÷ =60（天），
80 100
∵32<60，
∴撤出的一个队是甲队，
则甲队工作的天数就是甲、乙两队合作的天数，
答：甲、乙两队合作了32天．
【变式2-3】一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费12.6万元；若先请甲
工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．(1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？
(2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？
(3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用
1
（1）设甲工程队一周完成的工作量为x，则乙工程队一周完成的工作量为 (1−6x)，根据若先请甲
6
工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可；
1
（2）设甲工程队工作一周需要施工费m万元，则乙工程队工作一周需要施工费 (12.6−6m)万元，即
6
(2.1−m)万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需
要施工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可；
（3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可．
1
【详解】（1）解：设甲工程队一周完成的工作量为x，则乙工程队一周完成的工作量为 (1−6x)，
6
1
由题意得：4x+9× (1−6x)=1，
6
1
解得：x= ，
10
1 1 1 1
∴ (1−6x)= ×(1−6× )= ，
6 6 10 15
即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成，
答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成；
1
（2）设甲工程队工作一周需要施工费m万元，则乙工程队工作一周需要施工费 (12.6−6m)万元，即
6
(2.1−m)万元，
由题意得：4m+9(2.1−m)=12.4，
解得：m=1.3，
∴2.1−m=0.8，
答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元；
（3）应该选择乙工程队，理由如下：只请甲工程队单独做，施工费为10×1.3=13（万元），
只请乙工程队单独做，施工费为15×0.8=12（万元），
∵12<13，
∴应该选择乙工程队．
【题型3：销售问题】
【典例3】某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、
乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利=售价−进价）
甲 乙
进价/（元/件） 20 30
售价/（元/件） 25 40
(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第
一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次
获得的总利润多800元，求第二次乙商品的售价是多少？
【答案】(1)购进甲商品200件，购进乙商品100件
(2)第二次乙商品的售价为36元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品
的打折销售问题是解题的关键．
1
（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品 x件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为
2
1
7000元，可得20x+30× x=7000，再解方程可得结论；
2
（2）设第二次购进乙种商品是按原价打y折销售，可得：
(25−20)×200+(y−30)×100×3=2000+800，解方程后可得答案．
1
【详解】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品 x件，
2
1
20x+30× x=7000，
2
解得：x=200，
1
∴ x=100，
2∴购进甲商品200件，购进乙商品100件．
（2）第二次购进甲商品200件，
第二次购进乙商品100×3=300（件），
第一次利润为(25−20)×200+(40−30)×100=2000（元）
设第二次乙商品售价为y元，
(25−20)×200+(y−30)×100×3=2000+800，
解得：y=36
∴第二次乙商品的售价为36元．
【变式3-1】小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打七折，裤
子按标价打八折，上衣的标价为300元．裤子的标价为多少元？
【答案】120元
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
设裤子的标价为x元．根据题意可得300×0.7+0.8x=306，解方程即可．
【详解】解：设裤子的标价为x元．
依题意，得300×0.7+0.8x=306，解得x=120．
故裤子的标价为120元．
【变式3-2】小明同学用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲
的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始
就按标价的八折卖．
(1)当购买数量超过10本时，请用含x的式子分别表示在甲、乙两商店购买本子的费用．
(2)小明要买25本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
(3)小明现有30元，最多可买多少本练习本？
【答案】(1)(0.6x+4)元；0.8x元
(2)在甲商店购买较省钱，见解析
(3)小明现有30元，最多可买43本练习本
【分析】本题考查了列代数式，涉及到解一元一次方程，关键是解方程时不能出错，最后的结果要取
整数．
（1）根据题意，分别列出在甲乙两个商店购买本子的费用的代数式；
（2）购买25本练习本，分别把x=25代入表示甲、乙两个商店的费用的代数式，即可得到结果；
（3）现有30元钱，得到两个方程，分别解方程，即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意，在甲商店购买需花费：10×1+(x−10)×1×0.6=0.6x+4（元)，
在乙商店购买需花费：1×0.8×x=0.8x（元)，
答：在甲、乙两商店购买本子的费用分别为：(0.6x+4)元；0.8x元．
（2）解：要买25本练习本，
在甲商店需花费：0.6×25+4=19（元)，
在乙商店需花费：0.8×25=20（元)，
∵19<20，
∴在甲商店购买较省钱；
（3）解：小明现有30元，
①若在甲商店购买本子，可得到：0.6x+4=30，
即0.6x=26，
1
解得：x=43 ，
3
故在甲店最多可购买43本，
②若在乙店购买本子，可得到：0.8x=30，
1
解得：x=37 ，
2
故在乙店最多可购买37本，
∴小明现有30元，最多可买43本练习本．
【变式3-3】【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第102页探究1的部分内容．
探究1 销售中的盈亏
（1）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，这两
件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）．
【解决问题】：
七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件80元的价格购进了200件，并以每件120元的
价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价40%销售，并全部
销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？
【答案】（1）48；80；亏损；（2）降价前共售出羽绒服150件
【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用：
（1）根据利润=售价−进价分别求出两件衣服的原本售价即可得到答案；
（2）设降价前共售出x件，则降价后售出(200−x)件，根据利润=（单价售价−单价进价） ×销售量
列出方程求解即可．【详解】解：（1）60÷(1+25%)=48元，60÷(1−25%)=80元，
∴盈利25%的衣服的原本售价为48元，亏损25%的衣服的原本售价为80元，
∵80+48−60×2=8元，
∴卖这两件衣服总的是亏损了8元，
故答案为：48；80；亏损；
（2）设降价前共售出x件，则降价后售出(200−x)件，
由题意得，(120−80)x+[120×(1−40%)−80)(200−x)=5600，
解得x=150，
答：降价前共售出150件．
【题型4：方案问题】
【典例4】某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，
甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12
元：设共印刷调查问卷x份．
(1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示）
(2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？
【答案】(1)0.1x+6；0.12x
(2)印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，
甲种收费方式较少
【分析】此题考查的是列代数式表示实际问题和一元一次方程的应用，掌握实际问题中各个量之间的
关系是解决此题的关键．
（1）根据题意，分别写出甲、乙两种收费方式即可；
（2）根据收费方式列出方程解答即可．
【详解】（1）由题意可知：甲种收费方式应收费(0.1x+6)元；
乙种收费方式应收费0.12x元
故答案为：0.1x+6；0.12x．
（2）根据题意可得：0.1x+6=0.12x，
解得：x=300．
故印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，
甲种收费方式较少．
【变式4-1】新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现
了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均
打八折．
(1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总
费用为________元；
(2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？
(3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的
购买方案．
【答案】(1)1000，960
(2)学校计划购买乒乓球20盒
(3)最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为
760元
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键．
（1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可；
（2）设学校计划购买乒乓球x盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解
即可；
（3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外10盒乒乓球在
乙店购买即可．
【详解】（1）解：在甲店购买球拍和球的总费用为10×60+(30−10)×20=600+400=1000元，
在乙店购买球拍和球的总费用为(10×60+30×20)×0.8=960元，
故答案为：1000，960；
（2）设学校计划购买乒乓球x盒，
由题意得：60×10+20(x−10)=0.8(60×10+20x)
解得：x=20，
答：学校计划购买乒乓球20盒；
（3）在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球需10×60=600元，
在乙店购买另外10盒乒乓球需20×10×0.8=160元，
总费用为600+160=760元，
答：最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用
为760元．
【变式4-2】商店售出茶壶和茶杯，茶壶每只定价24元，茶杯每只定价5元．该店制定了两种优惠办法，方法1：买一只茶壶赠送一只茶杯；方法2：按总价打九折．某顾客需购买茶壶5只，茶杯若干只（不少
于5只），若设购买茶杯数为x只，付款数分别按两种优惠办法计算．
(1)计算两种不同的收费；
(2)当顾客在同一商店购买多少只茶杯时，两种办法的付款数相同？
【答案】(1)方法1：24×5+(x−5)×5=5x+95，方法2：5×24×0.9+x×5×0.9=4.5x+108；
(2)当顾客在同一商店购买26只茶杯时，两种办法的付款数相同．
【分析】（1）分别按照方法1和方法2列出代数式即可；
（2）当5x+95=4.5x+108时，解出方程即可；
本题考查了列代数式，一元一次方程得应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）由题意可知：方法1：24×5+(x−5)×5=5x+95，
方法2：5×24×0.9+x×5×0.9=4.5x+108；
（2）当5x+95=4.5x+108时，
解得：x=26，
答：当顾客在同一商店购买26只茶杯时，两种办法的付款数相同．
【变式4-3】七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100
元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案：
方案一：全部运动装八五折销售；
方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价
销售．
(1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？
(2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？
【答案】(1)该班购买的男款运动装24套．
(2)按方案二购买更合算
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
（1）设该班购买的男款运动装x套，由总共需要5520元列方程100x+120(50−x)=5520，解出x即
可．
（2）按方案一购买需：5520×0.85=4692（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装
加赠送10套男款运动装，费用为：14×100+26×120=1400+3120=4520（元），比较大小即可．
【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装x套，则购买的女款运动装各多少套为(50−x)套，根据题
意得100x+120(50−x)=5520
100x+6000−120x=5520
x=24
答：该班购买的男款运动装24套．
（2）按方案一购买需：5520×0.85=4692（元）
按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装
14×100+26×120=1400+3120=4520（元）
∵4692>4520
∴按方案二购买更合算．
【题型5：比赛积分问题】
【典例5】某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对
一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了A、B、C三名学生的得分情况：
参赛学
答对题数 答错题数 得分
生
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 65
请结合表中所给数据，回答下列问题：
(1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分；
(2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分；
(3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）；
A．75；B．63；C．56；D．44
并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题）
【答案】(1)5，2
(2)72
(3)D，答对了12道题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
（1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分；
（2）按照（1）中的答题得分计算即可；（3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可；
【详解】（1）解：答对一题加：100÷20=5分，
答错一题减：(18×5−86)÷2=2分，
故答案为：5，2；
（2）小明的得分：5×16+(−2)×(20−16)=72分，
（3）D，答对了12道题．
设他答对x道题，则答错(20−x)道题．
115
A．若5x−2(20−x)=75，解得x= ，故不符合题意；
7
103
B．若5x−2(20−x)=63，解得x= ，故不符合题意；
7
96
C．若5x−2(20−x)=56，解得x= ，故不符合题意；
7
D．若5x−2(20−x)=44，解得x=12，符合题意；
答：小刚同学答对了12道题．
【变式5-1】5支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得 1分，
负一场不得分．全部比赛结束后，发现 5 支球队共得 27 分，那么共有多少场平局？
【答案】3场
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出5支球队需要比赛的场数，设共有x场平局列出
x的一元一次方程求解即可得出答案．
1
【详解】解：5支球队需要比赛 ×5×4=10（场），
2
设共有x场平局，根据题意有：
3(10−x)+2x=27，
解得：x=3
答：共有3场平局．
【变式5-2】学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小
芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？
【答案】18道题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系列出方程．设她答对了x道题，根据晓蕾同学在该知识竞赛中的得分是84分，
列方程求解即可．【详解】解：设她答对了x道题，则答错(20−x)道题．
根据题意，得5x−3(20−x)=84．
解得x=18．
答：她答对了18道题．
【变式5-3】某次篮球联赛部分球队积分表
胜
队名 比赛场次 平场 负场 积分
场
A 16 8 4 4 36
B 16 2 8 6 28
C 16 0 16 0 32
D 16 6 2 8 30
E 16 0 12 a c
F 16 b 6 10 22
(1)由表中数据可知，胜一场积______分，平一场积______分，负一场积______分；
(2)直接写出a=______，b=______，c=______；
(3)设一个队胜m场，负场是平场的2倍，则平______场（用含m的式子表示）；
(4)G队平了3场，该队队长声称他们队的积分是30分，你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)3，2，1；
(2)4，0，28；
16−m
(3) ；
3
(4)不可能，理由见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关
键．
（1）根据表格即可求解；
（2）根据表格即可求解；
（3）由胜m场，可得平场和负场共(16−m)场，再根据负场是平场的2倍，即可求解；
（4）不可能．设胜了x场，则负了(13−x)场，由故意可得3x+13−x=24，解方程得到x=5.5，不合
题意，即可说明；
【详解】（1）解：由C队得到，平一场积32÷16=2分，
由F队可得，胜了0场，即b=0，∴负一场积(22−6×2)÷10=1分，
∴由A队可得，胜一场积(36−4×2−4×1)÷8=3分，
故答案为：3，2，1；
（2）解：由（1）可知，b=0，
由E队可得，a=16−12=4，
∴c=12×2+4×1=28，
故答案为：4，0，28；
（3）解：∵胜m场，
∴平场和负场共(16−m)场，
∵负场是平场的2倍，
16−m
∴平了 场，
3
16−m
故答案为： ；
3
（4）解：不可能，理由如下：
若平了3场，积分是30分，则胜场和负场积分为30−3×2=24分，
设胜了x场，则负了(13−x)场，
由题意可得，3x+13−x=24，
解得x=5.5，不合题意，
∴G队平了3场，积分是30分是不可能的．
【题型6：日历问题】
【典例6】月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题：
(1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数．
①若框里4个数中的最小数记为x，用含x的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值
是_____．②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？
(2)用一个4×3的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246
吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)①4x+6，106；②15，16，17，18
(2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历
的特点是解题的关键．
（1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，
26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为x，那么其它三个数分别为x+1，x+2，x+3，
那么这4个数的和为x+x+1+x+2+x+3=4x+6，然后解方程求出x的值，进而求出其他三个数；
（2）设最小数为a，那么第一行的四个数分别是a，a+1，a+2，a+3，那么第一行的和为4a+6，第
二行的四个数分别是a+7，a+8，a+9，a+10， 第二行的和为4a+34，第三行的四个数分别是
a+14，a+15，a+16，a+17，第三行的和为4a+62，由题意可知，12a+102分别等于222和
246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点．
【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为x，那么其它三个数分别为x+1，x+2，x+3
那么这4个数的和为x+x+1+x+2+x+3=4x+6
从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106．
②若框里4个数中的最小数记为x，那么其它三个数分别为x+1，x+2，x+3
那么这4个数的和为x+x+1+x+2+x+3=4x+6，由题意可知
4x+6=66
解得x=15
那么这4个数分别为15，16，17，18．
（2）解：设最小数为a，那么第一行的四个数分别是a，a+1，a+2，a+3，那么第一行的和为4a+6，
第二行的四个数分别是a+7，a+8，a+9，a+10， 第二行的和为4a+34，第三行的四个数分别是
a+14，a+15，a+16，a+17，第三行的和为4a+62，由题意可知
4a+6+4a+34+4a+62=222
解得：a=10
从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；
∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是
10，
不能等于246，理由如下：当4a+6+4a+34+4a+62=246
解得：a=12
从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求．
【变式6-1】如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数．
(1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）；
(2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由．
【答案】(1)5a
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是
解决问题的关键．
（1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案；
（2）当5a=68时，a不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68．
【详解】（1）解：∵X框最中间的数为a，则其余4个数分别为a−8，a−6，a+6，a+8，
∴这5个数之和为：a−8+a−6+a+a+6+a+8=5a，
故答案为：5a；
（2）解：不能，理由如下：
3
当5a=68时，a=13 ，
5
∵a必须为整数，
∴这5个数的和不能等于68．
【变式6-2】你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3
月的月历．(1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？
(2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？
【答案】(1)横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7
(2)这三天分别是17号、24号、31号
【分析】本题考查数字类规律探究，一元一次方程的应用：
（1）直接观察，即可得出结果；
（2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：月历中，横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7．
（2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，则上面的一个数为x−7，下面的一个数为x+7．
依题意得，(x−7)+x+(x+7)=72，
解得：x=24
所以x−7=24−7=17,x+7=24+7=31；
答：这三天分别是17号、24号、31号．
【变式6-3】如图是2023年8月份的月历，现用十字框任意框出5个数，如：
(1)十字框框出的5个数与十字框中间的数有什么关系？
(2)如果十字框框出的5个数之和为55，那么十字框中间的数是多少？
(3)十字框框出的5个数之和可以是105吗？
【答案】(1)十字框框出的5个数的和等于十字框中间的数的5倍
(2)十字框中间的数是11
(3)十字框框出的5个数之和可以是105
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
（1）根据题意列式计算，即可找出相应关系；
（2）根据“十字框框出的5个数之和为55”列方程求解即可；
（3）根据“十字框框出的5个数之和是105”列方程求解即可．
【详解】（1）解：(14+15+16+8+22)÷15=5，
答：十字框框出的5个数的和等于十字框中间的数的5倍；
（2）解：设十字框中间的数是x，则依据题意有：(x−7)+x+(x+7)+(x−1)+(x+1)=55，
解得：x=11，
答：十字框中间的数是11；
（3）解：设十字框中间的数是a，
则依据题意有：(a−7)+a+(a+7)+(a−1)+(a+1)=105，
解得：a=21，
且a+7=21+7=28≤31，
∴十字框框出的5个数之和可以是105，
答：十字框框出的5个数之和可以是105．
【题型7：数字问题】
【典例7】观察下面三行数：
−2，4，−8，16，−32，…①
1，−2，4，−8，16，…②
3，6，12，24，48，…③
(1)第①行第6个数是______；第②行第7个数是______；第③行第7个数是_____；
(2)已知3072是其中的数，则它是第______行的第______个数；
(3)取每行的第n个数，若这三个数的和是32768，求n的值．
【答案】(1)64，64，192．
(2)③，11．
(3)n为15或14．
【分析】本题考查代数式排列的规律，乘方以及一元一次方程，能用含n的代数式表示出每行数中的第
n个数是解题的关键．
（1）观察发现每行数的排列规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）分两种情况列出关于n的等式即可．
【详解】（1）观察所给数可知，
第①行中的第n个数可表示为(−2) n，
第②行中的第n个数可表示为(−2) n−1，
第③行第n个数可表示为3×2n−1，∴第①行第6个数是(−2) 6=64，
第②行第7个数是(−2) 7−1=64，
第③行第7个数是3×27−1=192．
故答案为：64，64，192．
（2）因为211＜3072＜212，
所以3072不在第①行和第②行中．
当3×2n−1=3072，
解得n=11．
所以3072是第③行的第11个数．
故答案为：③，11．
（3）设第二行的第n个数为x，则第一行的第n个数为−2x，第三行的第n个数为|3x)，
当n为奇数时，−2x+x+3x=32768
解得x=16384
∵(−2) 14=16384，
∴n−1=14，
∴n=15；
当n为偶数时，−2x+x−3x=32768
解得x=−8192
∵(−2) 13=−8192，
∴n−1=13，
∴n=14．
综上可得，n为15或14．
【变式7-1】观察下列按一定规律排列的三行数：
第一行：−2，4，−8，16，−32…：
第二行：0，6，−6，18，−30…；
第三行：−1，2，−4，8，−16…
解答下列问题：
(1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________．
(2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________．(3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由．
【答案】(1)64；66；32
(2)(−2) n+2；(−1)×(−2) n−1
(3)第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由见解析
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，一元一次方程的应用：
（1）观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的−2倍，第二行第n个数比第一行第n个数大2，
第三行的后面一个数是前面一个数的−2倍，据此求解即可；
（2）根据（1）所求可得第一行第n个数为(−2) n，第三行第n个数为(−1)×(−2) n−1，则第二行第n个
数为(−2) n+2；
（3）假设存在某三个相邻数的和为1536，设最前面的那个数为x，则剩下两个数为−2x，4x，则
x−2x+4x=1536，解方程求出x的值，再验证x的值是否是第一行的数即可得到结论．
【详解】（1）解：观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的−2倍，
∴第一行第6个数为−32×(−2)=64；
观察可知，第二行第n个数比第一行第n个数大2，
∴第二行第6个数为64+2=66；
观察可知，第三行的后面一个数是前面一个数的−2倍，
∴第三行第6个数为−16×(−2)=32；
故答案为：64；66；32；
（2）解：由（1）可知第一行第n个数为(−2) n，第三行第n个数为(−1)×(−2) n−1，
∴第二行第n个数为(−2) n+2；
故答案为：(−2) n+2；(−1)×(−2) n−1；
（3）解：第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由如下：
假设存在某三个相邻数的和为1536，
设最前面的那个数为x，则剩下两个数为−2x，4x，
∴x−2x+4x=1536，
解得x=512，∵第一行第n个数为(−2) n，
∴第一行第9个数为(−2) 9=−512，
∴512不是第一行的数，
∴第一行不存在某三个相邻数的和为1536．
【变式7-2】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻
方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2）．观察图1、图2，我们
可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系．在新“幻方”（图3）中，求a、b的值．
【答案】a=−3，b=0
【分析】本题考查了一元一次方程、组的应用以及数学常识．根据新“幻方”每行、每列及对角线的
和相等，即可得出关于a，b的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：新“幻方”每行、每列及对角线的和相等，
∴a+4+2=−1+1+3，5−2+b=−1+1+3，
解得：a=−3，b=0．
故答案为：a=−3，b=0．
【变式7-3】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译
出来，就是一个三阶幻方（图1），也即在3×3的方格中填写了9个数，使得每行、每列、每条对角线
上的三个数之和相等．请你解答下列问题：
(1)在图2中空格处填上合适的数，使它构成一个三阶幻方；
(2)计算图3方格中m，n的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
【答案】(1)见解析
(2)n=0，m=8【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系．
（1）由题意可得图三个数的和为4+3+2=9，从而可求解；
（2）由题意可得−3+4=1+n，从而可求得n的值，−3+m=4+1，从而可求得m的值．
【详解】（1）解：由题意得：图中三个数的和为4+3+2=9，
∴第一行中间的数为：9−4−0=5，
第二行第3个数为：9−2−0=7，
第二行第1个数为：9−3−7=−1，
第三行第1个数为：9−1−2=6．
如图，
（2）由题意得：−3+4=1+n，−3+m=4+1
解得：n=0，m=8．
【题型8：几何问题】
【典例8】有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该
正方形的周长为36cm，A长方形的宽为1cm，则B长方形的面积是（ ）
A．15.25cm2 B．52cm2 C．33.25cm2 D．18cm2
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系列出方程，再求解．
设B长方形的宽是xcm，则B长方形的长是(x+3)cm，大正方形的边长为(2x+3)cm，根据大正方形周
长为36cm，列出方程求解即可．
【详解】解：设B长方形的宽是xcm，则B长方形的长是(x+3)cm，大正方形的边长为(2x+3)cm，∵该正方形的周长为36cm，
∴ (2x+3)×4=36，
解得：x=3．
∴ B长方形的宽是3cm，则B长方形的长是6cm，
∴B长方形的面积：3×6=18cm2．
故选：D．
【变式8-1】如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长
为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（ ）
A．x+(x+2)=26B．2x+2(x+2)=26C．x+(x−2)=26 D．2x+2(x−2)=26
【答案】D
【分析】本题主要考查一元一次方程解几何问题，根据长方形边长与正方形边长的关系列式即可求解，
掌握一元一次方程的实际运用是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为xcm，
∴2(x−2)+2x=26,
故选：C．
【变式8-2】一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影
部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多3cm，则这个正
方形纸板的边长为 cm．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．先根据“正方形纸板的边长
相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形纸板的边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设长方体的高为x，则盒子的宽为2x，则x+3+2x=2×2x+2x，
解得：x=1，
∴x+3+2x=6，
故答案为：6．
【变式8-3】如图，长方形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，平行四边形BCEF的一边BF交CD
于G，若梯形CEFG的面积为64平方厘米，则CG长为 ．
【答案】8厘米
【分析】本题考查了梯形的面积公式，一元一次方程的实际运用，解题的关键是设未知数，找准等量
关系，建立方程求解．根据图形可得S =S =64，设DG的长度为x厘米，则有
梯形ABGD 梯形CEFG
1
(x+12)×8× =64，解出方程即可．
2
【详解】解：由图可知：长方形ABCD和平行四边形BCEF底边和高相同，故它们面积相同，
∵S =S −S ，S =S −S =64平方厘米，，
梯形ABGD 矩形ABCD △GCB 梯形CEFG ▱BCEF △GCB
∴S =S =64，
梯形ABGD 梯形CEFG
设DG的长度为x厘米，
1
则(x+12)×8× =64
2
(x+12)×8=64×2
8x+96=128
8x=32
x=4，
即DG长为4 厘米，
则CG=DC−DG=8厘米，
故答案为：8厘米．
【变式8-4】如图，小10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为x厘米，则
依题意列方程是x
【答案】x+2⋅ =75
3
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设长方形的墙砖长为x厘米，则长方形的墙砖宽
x
为 厘米，根据拼成长方形的宽为75厘米，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
3
x
【详解】解：设长方形的墙砖长为x厘米，则长方形的墙砖宽为 厘米，
3
x
依题意，得：x+2⋅ =75．
3
x
故答案为：x+2⋅ =75．
3
【题型9：水费和电费问题】
【典例9】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过
50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家
每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元．
(1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？
(2)试写出y与x(x>50)间的表达式；
(3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？
【答案】(1)76元
(2)y=1.2x−20(x>50)
(3)90立方米
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，用代数式表示数量关系，
（1）根据题意，不超过部分的费用加上超过部分的费用即可；
（2）根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可；
（3）根据题意，可得小丽家4月份的煤气超过50立方米，把y=88代入（2）的式子计算即可．
【详解】（1）解：不超过50立方米，按每立方米0.8元收费，则此部分的费用为：50×0.8=40（元），超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，
∵小丽家某月用煤气量为80立方米，
∴超过部分的费用为(80−50)×1.2=36（元），
∴丽家该月应交煤气费为40+36=76（元）；
（2）解：∵每月用气量为xx>50立方米，应交煤气费为y元，
∴y=50×0.8+1.2(x−50)=1.2x−20(x>50)；
（3）解：∵88>40，
∴小丽家4月份的煤气超过50立方米，
把y=88代入（2）中的式子得，88=1.2x−20，
解得，x=90，
∴她家4月份所用煤气为90立方米．
【变式9-1】2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公
里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元．
(1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是
___________元．
(2)小丽打车去外婆家，行程x公里，（315，则14+(15−3)×2.5+(x−15)×3.6=54.8，解得x=18，
答：小丽去外婆家的路程是18公里．
【变式9-2】某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医
保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中
心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示：
费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分
报销比例标 不予报销 70% 80%
准
(1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为 元，乙农民一年的实际医疗费为
13000元，则按标准报销的金额为 元．
(2)设某农民一年的实际医疗费为x元（5003200，∴50036.8，
∴该用户用水量超过 12 立方米．
设用水量为 x 立方米(x>12)，则
8×2.8+4×3.6+(x−12)×4.8=56，
解得x=16．
所以该用户12月份用水量为 16 立方米．
【变式9-4】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月
用电量为240~400千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，
用电量为x（千瓦·时）
用电量（千瓦·时） 收费（元）
不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 0.55 元
240~400千瓦·时 每千瓦·时 0.75 元
超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 1.5元
(1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ；
②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ．
(2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元?
(3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时?
【答案】(1)①0.55x；②1.5x−348
(2)115.5（元）
(3)本月用电344度
【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可．
②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可．
(2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论．
（3）根据当x≤240时，最多费用为240×0.55=132元；当240≤x≤400时，最多费用为
240×0.55+160×0.75=252元；当x>400时，费用大于252元；根据分档计算即可．
本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键．
【详解】（1）①根据x≤240时，每千瓦·时 0.55 元，
故y=0.55x，
故答案为：y=0.55x．
②根据x>400时，每千瓦·时 1.5 元，
故y=1.5(x−400)+240×0.55+160×0.75
=1.5x−348，
故答案为：1.5x−348．
（2）根据x≤240时，每千瓦·时 0.55 元，
故y=0.55x，
由210≤240，故当x=210时，
y=0.55x=0.55×210=115.5(元)．
答：应交电费115.5元．
（3）根据题意，当x≤240时，最多费用为240×0.55=132元；
当240≤x≤400时，最多费用为240×0.55+160×0.75=252元；
当x>400时，费用大于252元；
∵132<210<252，
∴用电量满足240≤x≤400，
设用电x度，根据题意，得240×0.55+(x−240)×0.75=210，
解得x=344，
答：本月用电344度．
【题型10：比例分配问题】
【典例10】学校把一批花按4:6分配给五年级和六年级同学栽种．已知六年级比五年级多分了30棵．
五、六年级各分了多少棵？
【答案】60，90
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
设五年级和六年级各分了4x棵和6x棵，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设五年级和六年级各分了4x棵和6x棵，
根据题意，得：6x−4x=30，
合并同类项，得：2x=30，
系数化为1，得：x=15，
∴4x=4×15=60，6x=6×15=90，
∴五、六年级各分了60棵和90棵．
【变式10-1】学校原来有足球和篮球共36个，其中足球和篮球个数之比为7:2，后来又买进一些足球，
这样使得足球占足球、篮球总数的80%，那么现在学校一共有多少个篮球和足球？
【答案】现在学校一共有32个足球和8个篮球.
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，先求出原来的足球和篮球的个数，设后来又买进x个足球，
根据足球占足球、篮球总数的80%列方程，解方程求出x的值，即可得到答案．
【详解】解：∵学校原来有足球和篮球共36个，其中足球和篮球个数之比为7:2，
7 2
∴原来有足球36× =28（个），原来有篮球36× =8（个），
7+2 7+2设后来又买进x个足球，则
x+28=(36+x)×80%，
解得x=4，
则x+28=32，
∴现在学校一共有32个足球和8个篮球.
【变式10-2】如图，初三年级准备制作一个长8.5m的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据
作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距=3:4:1，试
求横幅字距是多少？
【答案】0.1m
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距=3:4:1设边空宽为3xm，字宽为
4xm，字距为xm.再根据长8.5m的横幅列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：因为边空宽：字宽：字距=3:4:1，
所以设边空宽为3xm，字宽为4xm，字距为xm.
由题意可得：2×3x+16×4x+15x=8.5，
解得x=0.1.
答：横幅字距为0.1m．
1 2
【变式10-3】新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的 ，第二天售出总数的 还多
3 5
20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？
【答案】新华书店新进这种畅销书600本
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设新华书店新进这种畅销书x本，由总数减
去两次销售的数量等于140，再建立方程求解即可．
【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本．
1 (2 )
x− x− x+20 =140，
3 5
4
x=160，
15
x=600，答：新华书店新进这种畅销书600本．
【题型11：古代问题】
【典例11】程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记
载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有
100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各
多少人？如果设大和尚有x人，根据题意可列方程为（ ）
1 1
A．3x=100− x B． x+100−3x=100
3 3
1 1
C．3x+ (100−x)=100 D． x+3(100−x)=100
3 3
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．
根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大
和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．
100−x
【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有(100−x)人，根据题意得：3x+ =100，
3
故选：C．
【变式11-1】我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个3×3的方格中填写了9个
数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方、在
金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，
戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①
推算出图②a处所对应的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程应用，涉及有理数的加法，根据表格，利用每行、每列、每条对角线
上的三个数之和相等列方程是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，列方程即可求出a的值，从而得到答案．
【详解】解：根据题意：−3+3=a+(−2)，
解得：a=2，
故选：B．
【变式11-2】我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三
斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒
价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方
程组为（ ）
A．10x+4(6−x)=30 B．4x+10(6−x)=30
x 30−x x 30−x
C． + =6 D． − =6
4 10 10 4
【答案】B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．设醑酒x斗，根据“拿30斗谷子，共换了6斗
酒”，即可列出相应的方程．
【详解】解：设醑酒x斗，则清酒(6−x)斗，
由题意可得：4x+10(6−x)=30，
故选：B．
【变式11-3】我国古代《孙子算经》中记载“多人共车”问题，其原文如下：“今有三人共车，二车
空，二人共车，九人步，问人与车各几何．”其大意为：若3人乘一辆车，则空2辆车；若2人乘一辆
车，则有9人要步行，问人与车数各是多少．若设有x人，则可列方程为 （ ）
A．3(x−2)=2x−9 B．3(x−2)=2x+9
x x−9 x x+9
C． +2= D． +2=
3 2 3 2
【答案】C
【分析】根据题意，解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握应用是解题的关键．
x x−9
【详解】解：根据题意，得 +2= ，
3 2
故选C．
【变式11-4】《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四
折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，
那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为x尺，则符合题意的方程应为（ ）
1 1
A． x−4= x−1 B．3x+4=4x+1
3 4
1 1
C． x+4= x+7 D．3(x+4)=4(x+1)
3 4
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设绳长为x尺，根据“将绳子折成三等份，那么每等份
井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．”即可求解．
【详解】解：设绳长为x尺，根据题意得：
3(x+4)=4(x+1)．
故选：D．
【变式11-5】据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记
数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．
她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计
数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列
出方程，然后求解即可得出答案．
【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x，
根据题意得：3+5x+1×5×5=38，
解得：x=2，
故答案为：2．
【题型12：其他问题】
【典例12】实验室里，水平桌面上有大小相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），用两根
相同的管子在容器的5cm高度处连通，即管子底端离容器底5cm．现三个容器中，只有容器甲中有水，
水位为1cm，如图所示．若每分钟同时向容器乙和容器丙注入相同量的水，开始注水1min后，容器乙5
的水位上升 cm，则开始注入 min的水后，容器乙的水位比容器甲的水位高0.5cm．
6
【答案】1.8或8.1
【分析】此题考查了一元一次方程的应用．在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、
丙容器内；在容器乙中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程
中产生0.5cm的高度差．
【详解】当容器乙中的水未注入容器甲之前，由题意知，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关
5
系为 cm/min．
6
5
若满足条件，则容器乙中水位为1.5cm，所用时间为1.5÷ =1.8(min)；
6
当容器乙中的水注入容器甲之后，若满足条件，则容器甲中的水位为4.5cm，容器乙中的水位为5cm时，
5
容器乙开始注入容器甲的时间为5÷ =6(min)．
6
5
设注水时间为xmin，则1+(x−6)× ×2=4.5，
6
解得x=8.1．
故开始注入1.8min或8.1min的水后，容器乙的水位高度比容器甲的水位高度高0.5cm．
故答案为：1.8或8.1．
【变式12-1】小兴想用浓度为10%的糖水和浓度20%的糖水和在一起，配成浓度16%的糖水200克，可
是一不小心，他把两种糖水的数量弄反了，那么，他配成的糖水的浓度是 ．
【答案】14%
【分析】本题考查了浓度问题，一元一次方程的应用，解题的关键是列出一元一次方程．
根据题意，两种糖水的总质量是200克，设浓度为10%的糖水的质量为x克，浓度为20%的糖水的质量
为(200−x)克，根据配成的糖水的浓度是16%， 列方程求出两种糖水的质量， 进而求出他配成的糖
水的浓度．
【详解】解：设浓度为10%的糖水的质量为x克，浓度为20%的糖水的质量为(200−x)克，
则10%x+(200−x)×20%=200×16%
解得：x=80，200−80=120克，
(120×10%+80×20%)÷200×100%
=(12+16)÷200×100%
=28÷200×100%
=0.14×100%
=14%，
故答案为：14%．
【变式12-2】某学校开展以“校外实践活动”为主题的研学活动，组织120名学生参观县文博园和县
烈士陵园纪念馆，每一名学生只能参加其中一项活动，学校租车一次性支付车票2200元．车票信息如
下：
地点 票价
县烈士陵园纪念馆 20元/人
县文博园 16元/人
(1)参观县烈士陵园纪念馆和县文博园的人数各是多少人？
(2)若学生都去参观县文博园，则能节省车票票款多少元？
【答案】(1)参观县文博园的有50人，参观县烈士陵园纪念馆的有70人
(2)若学生都去参观县文博园，则能节省票款280元．
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）设参观县烈士陵园纪念馆的有x人，则参观县文博园有(120−x)人，然后根据题意可列方程进行
求解；
（2）根据题意可直接进行列式求解．
【详解】（1）解：设参观县烈士陵园纪念馆的有x人，则参观县文博园有(120−x)人．
依题意，得20x+16(120−x)=2200，
解得x=70，
∴120−70=50（人），
答：参观县文博园的有50人，参观县烈士陵园纪念馆的有70人；
（2）解：由题意得：
2200−120×16=280（元）．
答：若学生都去参观县文博园，则能节省票款280元．
【变式12-3】某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每
张25元．(1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？
(2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款
6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？
【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张；
(2)学生票打5折．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用：
（1）设售出成人票x张，则售出学生票(1000−x)张，根据一共筹得票款34750元列出方程求解即可；
（2）设学生票打a折，分别计算出打折后学生票和成人票的票款，然后根据总票款为(34750−6975)
元列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设售出成人票x张，则售出学生票(1000−x)张．
根据题意，得25(1000−x)+40x=34750，
解得x=650．
∴1000−x=350．
答：售出成人票650张，学生票350张；
（2）解：设学生票打a折，
a
根据题意，得25×350× +40×650×0.9=34750−6975．
10
解得a=5．
答：学生票打5折．
