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专题 1.2 有理数的运算全章知识典例详解
【人教版2024】
知识点1 有理数的加法运算法则
1．有理数的加法运算法则
（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的
绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．符号 数值
正数+正数 正 绝对值相加
负数+负数 负 绝对值相加
正数+负数 取绝大 绝大减绝小
【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立．
2．加法运算技巧
（1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式；
（2）符号相同的数可以先结合在一起；
（3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先
结合相加得零；
（4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起．
【典例1】根据有理数加法法则填空：
（1）若a＞0，b＞0，则a+b 0；若a＜0，b＜0，则a+b 0．
（2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b 0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b ．
（3）若a，b互为相反数，则a+b 0；若a+b＝0，则a与b ．
【典例2】下列说法中，正确的在题后打“√”．错误的在题后打“×”．
（1）两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数； （判断对错）
（2）若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数； （判断对错）
（3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数； （判断对错）
（4）如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3； （判断对错）
（5）绝对值相等的两个数相加，和为0； （判断对错）
（6）绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍． （判断对错）
【典例3】计算：
（1）3+（﹣6）＝ （2）（﹣4）+（﹣9）＝ （3）（﹣4）+（+6）＝
1 1 3 2 3
（4）2 +（﹣2 ）＝ （5）（− ）+0＝ （6） +（− ）＝ ．
3 3 5 5 5
【典例4】（2024秋•定远县校级月考）计算：
（1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）．
1 1
（2）(−2.125)+(+3 )+(+5 )+(−3.2)．
5 8
3 1 2 1
（3）(− )+(+ )+(+ )+(−1 )．
7 5 7 5
1 1
（4）(−7 )+(−3.37)+6 +2.125+(−0.25)+(−2.63)．
8 4【典例5】（2024秋•萍乡月考）若有理数m，n满足|m|＝3，|n|＝2，且m+n＜|m|+|n|．
（1）分别求m，n的值；
（2）求m+n的值．
知识点2 有理数的减法运算法则
1．有理数的减法运算法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： ．
2．有理数的减法运算步骤
（1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数；
（2）按照加法运算进行计算．
3．有理数加减法混合运算技巧
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“ ”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
【典例1】用“＞”或“＜”号填空：
（1）如果a＞0，b＜0，那么a﹣b 0；
（2）如果a＜0，b＞0，那么a﹣b 0；
（3）如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|，那么a﹣b 0；
（4）如果a＜0，b＜0，那么a﹣（﹣b） 0．
【典例2】（2024秋•宛城区校级月考）下列说法中：①减去一个负数等于加上这个数的相反数；②正数
减负数，差为正数；③零减去一个数，仍得这个数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两个数相
减，差不一定小于被减数；⑥互为相反数的两数相减得零，正确的有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【典例3】计算：
（1）（﹣7）﹣（+3）＝ ； （2）（﹣30）﹣（﹣32）＝ ； （3）0﹣（+9）＝ ；
1
（4）2﹣（−3 ）＝ ； （5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝ ； （6）27﹣（+10）＝
2
．
【典例4】（2024秋•邹城市校级月考）36℃比24℃高 ℃，19℃比﹣5℃高 ℃．A、B、C三点相对于海平面分别是﹣13米、﹣7米、﹣20米，那么最高的地方比最低的地方高 米．
【典例5】（1）若|m|＝5，|n|＝2，且m，n异号，则|m﹣n|的值为 ．
（2）已知|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为 ．
【典例6】（2024秋•太康县月考）计算：
（1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）；
1 1 1 2
（2）3 +(− )+(− )+(+2 )；
2 2 3 3
1 1 1 1
（3）− +[ −( − )]；
2 3 4 6
1 1 1
（4）2 +（﹣3 ）﹣|（﹣3 ）﹣（+0.25）|．
3 6 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【典例7】（2024秋•衡阳期末）若| −1|＝1− ，| − |= − ，| − |= − ，…，照此规律试求：
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4
1 1 1 1
（1）| − |＝ − ；
19 18 18 19
1 1 1 1 1 1 1
（2）计算| −1|+| − |+| − |+| − |；
2 3 2 4 3 5 4
1 1 1 1 1 1 1
（3）计算| −1|+| − |+| − |+…+| + |．
2 3 2 4 3 2023 2022
【典例8】（2024秋•重庆期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾
民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油 0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升
油？
知识点3 有理数的乘法运算
1．有理数的乘法运算法则
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘．
任何数与0相乘，积仍为0．
2．有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律： ；
（2）乘法结合律： ；（3）乘法分配律： ．
3．有理数乘法运算技巧：
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0；
（3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分
数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假．
【典例1】用字母表示有理数乘法的符号法则：
（1）若a＞0，b＞0，则ab 0，若a＞0，b＜0，则ab 0
（2）若a＜0，b＞0，则ab 0，若a＜0，b＜0，则ab 0
（3）若a＞0，b＝0，则ab 0．
【典例2】（1）若a＞b＞0，则ab 0，b（a﹣b） 0；
（2）若b＜0＜a，则ab 0，b（a﹣b） 0；
（3）若ab＞0，a+b＞0，则a 0，b 0；
（4）若ab＜0，a+b＞0，且a﹣b＜0，则a 0，b 0，|a| |b|
【典例3】下列判断正确的是
①若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数；
②若abc＜0，则a、b、c中至少有一个负数；
③若a+b+C＝0，则a、b、c中至少有一个负数；
④几个数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数；
⑤绝对值不超过20的所有有理数的和为0．
【典例4】（2024秋•十堰期中）有理数a、b在数轴上表示如图所示，则下列结论中正确的有：
①ab＞0②a+b＜0③a﹣b＜0 ④a＜|b|⑤﹣a＞﹣b⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0
【典例5】（2024秋•兴化市月考）用简便方法计算：
1 1 1
①(− − + )×(−36)；
12 36 6
11
②(−99 )×24．
12
【典例6】（2024秋•沙坪坝区校级月考）计算
1 3 1 3 1
（1）[1 −( + − )×24]×(− )
24 8 6 4 511 11 22
（2）−5×(− )+11×(− )−3×(− )．
5 5 5
【典例7】（2024•西城区校级一模）若a、b、c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＞0，bc＜0，求
a﹣b﹣（﹣c）的值．
知识点4 有理数的除法运算
1．有理数除法运算法则
一个数除以一个 不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数． ， ．
2．有理数除法的运算步骤：
（1）把除号变为乘号；
（2）把除数变为它的倒数；
（3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算．
【典例1】阅读理解：
b
（1）若a+b＜0，且 ＞0，试确定a、b的正负性．
a
（2）依照（1）的解法解答下题：
b
①若a+b＞0，且 ＞0，则a为 ，b为 （填“正数”或“负数”）；
a
b
②若a+b＜0，且 ＜0，a＞b，则|a| |b|（填“＞”或“＜”）；
a
b
③若a+b＞0，且 ＜0，a＞b，则|a| |b|（填“＞”或“＜”）．
a
【典例2】（2024秋•东西湖区校级月考）计算：
5 2 2
（1）( )×(−4 )÷1 ；
7 3 3
1 2
（2）(−2 )÷(−1.2)×(−1 )．
7 5
【典例3】（2024秋•官渡区校级期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．
根据已知条件请回答：
c
（1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ， = ．
d
m c+d c
（2）求： +ab+ − 的值．
3 4m d|a| b |c| abc
【典例4】（2024秋•金牛区校级期中）设a，b，c都是非零有理数，试求 + + + 的
a |b| c |abc|
值．
知识点5 有理数的乘方
1．乘方：
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在 中， 读作“a的n次幂”或者
“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数．
【注】 表示有 n 个 a 连续相乘；
当n为奇数时， ；当n为偶数时， ．
2．有理数混合运算规则
加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算．
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）．
3．“奇负偶正”
（1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“ ”号的个数，正、负指的是化简结果的符号；
（2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中
积的符号；
（3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶
数，则幂为正．
【典例1】（2024春•宁津县校级月考）计算 3+3+3+⋯+3+4×4×4×⋯×4 的结果是（ ）
¿ ¿
A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4
4
【典例2】（2024秋•临沭县校级月考）−( ) 7的底数是 ，指数是 ．
9
【典例3】（2024秋•皇姑区校级月考）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持
平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到
7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多 条．【典例4】（2024秋•丰城市校级月考）若有理数a，b满足|a|＝3，b2＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣2b
的值为 ．
【典例5】（2024秋•定远县校级月考）计算：
1 1
（1）﹣（ ）2×（﹣42）÷（− ）2；
4 8
7
（2）（﹣3）3×（﹣1 ）÷（﹣42）×（﹣1）25．
25
【典例6】（2024秋•江宁区校级月考）阅读材料：根据乘方的意义可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；
（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4
通过观察上面的计算过程，完成以下问题：
（1）计算：22022×32022＝ ；猜想：an•5n＝ ；
（2）根据上述提供的信息，计算：（﹣0.125）2021×82022．
【典例7】（2024秋•通州区校级月考）（1）已知有理数x，y满足（x+y）2+|3﹣y|＝0，求xy的值；
（2）已知有理数x，y，则式子2023﹣（x+y）2有最 值为 ；此时x与y的关系为 ．
知识点6 科学记数法与近似数
1.科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中 1 ≤ a ＜ 10 ，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法；
【注】用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数.
2.近似数的精确位
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到 哪一位 .
【典例1】（2024•济源模拟）国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影
票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为83.77%；城市院线观影人次为12.99
亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（ ）
A．46.005×109 B．0.46005×1011
C．4.6005×1011 D．4.6005×1010
【典例2】（2024•威县校级模拟）若一个整数20240…0用科学记数法表示为2.024×1010，则原数中“0”
的个数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【典例3】（2024•连州市二模）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十
条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达为8.016×109元，创造了新的春节档票房纪录，8.016×109的原数为（ ）
A．80160000 B．801600000
C．8016000000 D．80160000000
【典例4】（2024春•新华区期末）我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为
2.53×10n，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【典例5】（2023秋•溧阳市期末）由四舍五入得到的近似数8.01×104，精确到（ ）
A．10 000 B．100 C．0.01 D．0.000 1
【典例 6】（2023 秋•高阳县期末）一个数 a 精确到十分位的结果是 3.6，那么这个数 a 的范围满足
（ ）
A．3.55≤a≤3.65 B．3.55＜a≤3.65
C．3.55＜a＜3.65 D．3.55≤a＜3.65
