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专题 1.4 圆全章知识典例详解
【人教版】知识点1 圆的定义
1．圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
圆O
A
O
圆心 半径
由圆的定义可知：
（1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同
一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
（2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确
定圆的位置，半径长确定圆的大小．
【典例1】（2023•潮安区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径
的圆恰好经过AB的中点D，则 C的半径为（ ）
⊙
A．5❑√3 B．8 C．6 D．5
【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
1 1
∴CD= AB= ×10＝5．
2 2
故选：D．【典例2】（2023•西区校级一模）如图，OA是 O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过
点B作OA的垂线交 O于点C．以OB、BC⊙为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB
的长为（ ） ⊙
A．6 B．5 C．4 D．2
【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，
∴OC＝OA=❑√BC2+OB2=10，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
知识点2 垂直于弦的直径
1．圆的对称性
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心．
2．垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣
弧”，构成知二推三.
【典例1】（2024•凉州区三模）如图，AB是 O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．
则DC的长为（ ） ⊙A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
【分析】首先连接OA，由半径OC⊥AB，AB＝6cm，根据垂径定理的即可求得AD的长，然后利用勾股
定理即可求得半径的长，继而求得DC的长．
【解答】解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
1 1
∴AD＝BD= AB= ×6＝3（cm），
2 2
∵OD＝4cm，
∴OA=❑√AD2+OD2=5（cm），
∴OC＝OA＝5cm，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣4＝1（cm）．
故选：D．
【典例2】（2024•高邮市一模）如图，已知 O的半径为10， O的一条弦AB＝16，若 O内的一点P恰
好在AB上，则线段OP的长度为整数的值⊙有（ ） ⊙ ⊙
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，根据垂径定理求出AP′，根据勾股定理求出OP′，求出
OP的范围，计算即可．【解答】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，
1
则AP′= AB＝8，
2
由勾股定理得：OP′=❑√OA2−P′ A2=❑√102−82=6，
则6≤OP＜10，
∴线段OP的长度为整数的值有6、7、8、9共4个，
故选：C．
【典例3】（2024•武威三模）如图， O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交 O于点
D，则CD的取值范围是（ ） ⊙ ⊙
A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10
1
【分析】过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得到BH= AB＝3，由勾股定理求出OH=❑√OB2−BH2=
2
4，当C和H重合时，CD的最小值是4+5＝9，当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10，即可得到
CD的取值范围．
【解答】解：过O作OH⊥AB于H，
1 1
∴BH= AB= ×6＝3，
2 2
∵⊙O的半径为5，
∴OB＝5，
∴OH=❑√OB2−BH2=4，
∴当C和H重合时，OC的最小值是4，CD的最小值是4+5＝9，当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10，
∴CD的取值范围是9≤CD≤10．
故选：D．
【典例4】（2024•丛台区校级三模）如图，在 O中，满足^AB=2C^D，则下列对弦AB与弦CD大小关系
表述正确的是（ ） ⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问
题．
【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．
∵^AB=2C^D，^AE=^EB，
∴^AE=^EB=C^D，
∴AE＝EB＝CD，
∵AE+EB＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：B．
【典例5】（2024•碑林区校级模拟）如图，AB、CD是 O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO
的度数为（ ） ⊙A．42° B．44° C．46° D．48°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB＝CD，
∴^AB=C^D，
∴^AB−^AD=C^D−^AD，
∴^AC=^BD，
∴∠AOC＝∠BOD＝84°，
∵OA＝OC，
1 1
∴∠ACO＝∠CAO= （180°﹣∠AOC）= ×（180°﹣84°）＝48°，
2 2
故选：D．
知识点3 弧、弦、圆心角
1．弧、弦、圆心角相关概念
①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等
于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距.
②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A、B为端点的弧记作 ，读作弧AB．
优弧 m C
弦
O
B
A
劣弧
表示：劣弧优弧 或
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
⑤顶点在圆心的角叫做圆心角. 一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数.
2．弧、弦、圆心角之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各
组量也都分别相等.
【典例1】（2024•甘谷县三模）如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，若BC＝CD＝DA＝
4，则 O的周长为（ ） ⊙ ⊙
⊙
A．4π B．6π C．8π D．9π
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则 O的半径
长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算． ⊙
【解答】解：如图，连接OC、OD．
∵AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，BC＝CD＝DA＝4，
∴^AD=⊙C^D=^BC，
⊙
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4，
∴⊙O的周长＝2×4π＝8π．
故选：C．
【典例2】（2024•丛台区校级三模）如图，在 O中，满足^AB=2C^D，则下列对弦AB与弦CD大小关系
表述正确的是（ ） ⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问
题．
【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．
∵^AB=2C^D，^AE=^EB，
∴^AE=^EB=C^D，
∴AE＝EB＝CD，
∵AE+EB＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：B．
【典例3】（2024•南京三模）如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，^AmB、C^nD的度数分别为α、β，
∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为 ．【分析】连接BC．求出∠ACB，∠DBC，再利用三角形的外角的性质求∠APB即可．
【解答】解：连接BC．
1 1
∵∠ACB= α，∠DBC= β，
2 2
又∵∠APB＝∠ACB+∠DBC，
1
∴γ= （α+β），
2
1
故答案为γ= （α+β）．
2
【典例4】（2023秋•泗阳县月考）如图，OA，OB，OC是 O的半径，^AC=^BC，点M，N分别是OA，
OB的中点，CM与CN相等吗？为什么？ ⊙
【分析】由OA，OB，OC是 O的半径，^AC=^BC，根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC＝∠BOC，
又由点M，N分别是OA，OB⊙的中点，可得OM＝ON，继而可证得△OCM≌△OCN（SAS），则可得MC
＝NC．
【解答】解：MC＝NC，理由如下：
∵OA，OB，OC是 O的半径，^AC=^BC，
∴∠AOC＝∠BOC，⊙
∵点M，N分别是OA，OB的中点，OA＝OB，
∴OM＝ON，
在△OCM和△OCN中，
{
OM=ON
)
∠COM=∠CON ，
OC=OC∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴MC＝NC．
【典例5】（2023秋•拱墅区校级月考）如图，在 O中，^AC=C^B，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：AD＝BE． ⊙
（2）若AD＝DO，r＝3，求CD长．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定
理证明结论；
（2）求出OD，根据勾股定理即可求出CD．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵^AC=^BC，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵AD＝DO，r＝3，
3
∴AD＝DO= ，
2
∵CD⊥OA，
√ 3 3❑√3
∴CD=❑√OC2−OD2=❑32−( ) 2= ．
2 2
知识点4 圆周角
1．圆心角和圆周角D
O
B
C
A 圆心角
圆周角
顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半．
C
D
O
A B
如图， ．
3．圆周角定理推论
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）．
C
A O B
如图， 是半圆（AB是直径），则
推论2：圆内接四边形的对角互补．
A
D
O
B C E
如图，四边形ABCD是 的内接四边形，则 ，由推论2，我们可以得到圆内接四边形
的外角等于内对角，如图，即
4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量分别相等．
总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系．
1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，
圆周角相等．
2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等．3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，
而弦对应的弧有两条．
【典例1】（2024春•青山区校级月考）如图，点A、B、C为 O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC
＝40°，则∠ACB的度数为（ ） ⊙
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠BAC＝40°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，
∵∠BOC＝2∠AOB，
∴∠AOB＝40°，
1
∴∠ACB= ∠AOB＝20°．
2
故选：A．
【典例2】（2024•陆丰市模拟）如图，AB是 O的直径，点C，D，E在 O上，若∠ACE＝20°，则
∠BDE的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求
∠BDE的度数．
【解答】解：连接AD，∵AB为 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵∠ACE＝20°，
∴∠ADE＝∠ACE＝20°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，
故选：C．
【典例3】（2023秋•南乐县期末）如图，BD是 O的直径，点A，C在 O上，^AB=^AD，AC交BD于
点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（⊙ ） ⊙
A．99° B．108° C．110° D．117°
1
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC= ∠COD＝65°，再由^AB=^AD得到∠B＝∠D＝
2
45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是 O的直径，
∴∠BAD＝90°， ⊙
∵^AB=^AD，
∴∠B＝∠D＝45°，
1 1
∵∠DAC= ∠COD= ×130°＝65°，
2 2
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝65°+45°＝110°．
故选：C．
【典例4】（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且^AB=^BC=C^D，点P在C^D
上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（ ）A．105° B．100° C．90° D．70°
【分析】连接OB、OC、OP．根据圆心角、弧、弦的关系证明△AOB、△BOC均是等边三角形，根据
等腰三角形的性质求出∠COP，再由圆周角定理求出∠PBC，根据“∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC”求出
∠PBA即可．
【解答】解：连接OB、OC、OP．
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AOD＝180°，
∵^AB=^BC=C^D，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，
∵OA＝OB＝OC，
∴△AOB、△BOC均是等边三角形，
∴∠ABO＝∠CBO＝∠BCO＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝120°，
∵OC＝OP，
∴△COP是等腰三角形，
∵∠PCB＝130°，
∴∠OPC＝∠OCP＝∠PCB﹣∠BCO＝130°﹣60°＝70°，
∴∠COP＝180°﹣∠OPC﹣∠OCP＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
1 1
∴∠PBC= ∠COP= ×40°＝20°，
2 2
∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝120°﹣20°＝100°．
故选：B．
【典例5】（2024•恩施市一模）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝75°，根据圆周角定理得出∠BOD
1
＝2∠A＝150°，根据∠BOC＝2∠COD求出∠COD＝50°，根据圆周角定理得出∠CBD= ∠COD即可．
2
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°， ⊙
∵∠BCD＝105°，
∴∠A＝75°，
∴∠BOD＝2∠A＝150°，
∵∠BOC＝2∠COD，
1
∴∠COD= ×150°=50°，
3
1
∴∠CBD= ∠COD＝25°．
2
故选：B．
【典例6】（2024•山阳县三模）如图，四边形ABCD内接于 O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD
为 O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC⊙的度数为（ ）
⊙
A．30° B．50° C．70° D．80°
【分析】根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DBC，根据三角形内角和定
理求出∠DCE，再根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵BD为 O的直径，
∴∠BCD＝90°， ⊙
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝90°﹣40°＝50°，
∵∠AEB＝110°，
∴∠DEC＝∠AEB＝110°，
∵∠BDC＝40°，
∴∠DCE＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠DCE＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+50°＝80°，
故选：D．
【典例7】（2024•驿城区模拟）如图，∠DAE是圆O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DAE＝58°，那
么∠BOD的度数是（ ）
A．58° B．96° C．106° D．116°
【分析】根据圆内接四边形对角互补和平角的定义证明∠C＝∠DAE＝58°，则由圆周角定理可得∠BOD
＝2∠C＝116°．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∵∠DAE+∠BAD＝180°，
∴∠C＝∠DAE＝58°，
∴∠BOD＝2∠C＝116°，
故选：D．
知识点5 直线与圆的位置关系
1．点和圆的三种位置关系
点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设
的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
则有：点在圆外⇔d > r；点在圆上⇔d = r；
点在圆内⇔ d < r；
2．确定圆的条件
①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
3．直线和圆的关系有三种
位置关系 定义 图形 性质及判定
直线与圆有两个交点，直线叫
直线l与 相交
做圆的割线．
直线与圆有唯一交点，直线叫
直线l与 相切 做圆的切线，交点叫做圆的切
点．
直线l与 相离 直线与圆没有交点．
4．切线的性质和判定
①切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直.
②切线的判定：
定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线．
距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直.
5．切线长定理
①切线长定理：
切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
②三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平
分线的交点．
注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部．
（2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径．A
F
D
g
O
B E C
（ 3 ） 常 见 结 论 ： 如 图 ， ， ， ，
， ．
【典例1】（2023秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，
过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ，半径为 ．
【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两
线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标，根据勾股定理可求出半径．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
∴A点的坐标是（0，2），
∴圆弧的半径为❑√12+22=❑√5．
故答案为：（2，1），❑√5．
【典例2】（2023秋•宁河区期末）已知 O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与 O的位
置关系是（ ） ⊙ ⊙A．点P在 O上 B．点P在 O内 C．点P在 O外 D．无法确定
【分析】直⊙接根据点与圆的位置关⊙系的判定方法进行判断⊙．
【解答】解：∵ O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，
∴点P到圆心O⊙的距离大于圆的半径，
∴点P在 O外．
故选：C．⊙
【典例3】（2024•二道区校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，
r为半径作圆，当点C在 A内且点B在 A外时，r的值可能是（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√102−82=6，
∵当点C在 A内且点B在 A外，
∴6＜r＜10，⊙ ⊙
∴r的值可能是8．
故选：B．
【典例4】（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为
半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ ）
60
A．5≤r≤12或r= B．5＜r＜12
13
60 60
C． ＜r＜12 D． ≤r≤12
13 13
60
【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB＝13，再利用面积法计算出CD= ，然后根据直线
13
60
与圆的位置关系得到当 ≤r≤12时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点．
13【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB=❑√AC2+BC2=13，
1 1
∵ CD•AB= BC•AC，
2 2
60
∴CD= ，
13
60
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为 ≤r≤12．
13
故选：D．
【典例5】（2024•城阳区一模）已知平面内有 O和点A，B，若 O的半径为3cm，线段OA＝4cm，OB
＝3cm，则直线AB与 O的位置关系为（ ⊙ ） ⊙
A．相离 ⊙ B．相交
C．相切 D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵ O的半径为3cm，OA＝4cm，OB＝3cm，
即点A到圆心O⊙的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在 O外．点B在 O上，
∴直线AB⊙与 O的位置关⊙系为相交或相切，
故选：D． ⊙
【典例6】（2023秋•斗门区期末）如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于
点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，⊙则△PCD的周长为（ ）⊙ ⊙A．8 B．12 C．16 D．20
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：∵PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝E⊙D， ⊙
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
1
【典例7】（2024春•秦都区校级月考）如图，AB为 O的直径，延长AB至点M，使得BM= AB，过
2
⊙
点M作 O的切线MC，C为切点，连接AC，若 O的半径为2，则AC的长度为（ ）
⊙ ⊙
A．2❑√5 B．❑√3 C．4 D．2❑√3
1
【分析】连接OB，OC，由切线的性质和圆周角的性质得到∠OCM＝∠ACB＝90°，结合BM= AB，
2
得到点B为OM的中点，即可得到BC＝OB＝OC＝2，最后利用勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：连接OB，OC，
∵MC是 O的切线，切点为C，AB为 O的直径，
∴∠OCM⊙＝∠ACB＝90°， ⊙
1
∵BM= AB，
2
∴OB＝BM，∴点B为OM的中点，
∵⊙O的半径为2，
1
∴BC= OM=OB=OC=2，AB＝4，
2
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√16−4=2❑√3，
故选：D．
【典例8】（2024•赣州二模）如图，△ABC的顶点A，B在 O上，AC交 O于点D，连接BD，已知∠A
＝45°．（1）若 O的半径为3，求弦BD的长； ⊙ ⊙
（2）当∠ABC+⊙∠ADB＝180°，求证：BC是 O的切线．
⊙
【分析】（1）连接OB、OD，则OB＝OD＝3，由圆周角定理得∠DOB＝90°，得出△OBD是直角三角
形，利用勾股定理即可得出结果；
（2）连接BO并延长交 O于点E，连接AE，则∠EAB＝90°，∠E+∠ABE＝90°，由直角三角形的性质
得∠ABC+∠ABE＝90°，⊙即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，连接OB、OD，
∴OB＝OD＝3，
∵∠A＝45°，
∴∠DOB＝90°，
∴△OBD是直角三角形，
∴BD=❑√OB2+OD2=❑√32+32=3❑√2；
（2）证明；连接BO并延长交 O于点E，连接AE，
⊙∵BE为直径，
∴∠EAB＝90°，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∵∠ABC+∠ADB＝180°，∠E+∠ADB＝180°，
∴∠E＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°，即EB⊥BC，
∵BE是 O的直径，
∴BC是⊙O的切线．
【典例9】⊙（2024•府谷县三模）如图，AB为 O的直径，DE切 O于点E，BD⊥DE于点D，交 O于点
C，连接OE，BE． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【分析】（1）由DE切 O于点E知OE⊥ED，结合BD⊥DE于点D知OE∥BD，从而得∠OEB＝∠EBD
＝∠OBE，即可得证； ⊙
（2）作DEEM⊥AB，由（1）中角平分线知ED＝EM，连接AC，证四边形CHDF是矩形可得DE＝CF
1
= AC，根据勾股定理求得AC，进而求出OF，即可得出答案．
2
【解答】（1）证明：如图，∵DE切 O于点E，
∴OE⊥E⊙D，
∵BD⊥DE，
∴OE∥BD，
∴∠OEB＝∠EBD，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠EBD＝∠OBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）解：连接AC，过点E作EM⊥AB于点M，
∵BE平分∠ABD，
∴ED＝EM，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACD⊙＝∠D＝∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
1
∴DE＝CF= AC，
2
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√102−62=8，
1
则EM＝ED＝CF＝AF= AC＝4．
2
∴OF=❑√OA2−AF2=❑√52−42=3，
∴EF＝OE﹣OF＝2，
∴CD＝EF＝2．知识点6 正多边形与圆
1．正多边形的有关概念：
（1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
（2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
（4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距.
2．正多边形的性质：
(n−2)·180°
（1）正多边形的一个内角等于
n
360°
（2）中心角：
n
（3）正多边形的中心角等于外角的度数.
【典例1】（2024•石狮市模拟）如图， O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P
是优弧MN上的一点，则∠MPN的度⊙数为（ ）
A．55° B．60° C．72° D．80°
【分析】先根据正多边形内角和公式求出∠B＝∠C＝108°，根据切线的定义得出∠OMB＝∠ONC＝
1
90°，进而可得∠MON，再根据圆周角定理可得∠MPN= ∠MON．
2
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，(5−2)×180°
∴∠B=∠C= =108°，
5
∵⊙O切AB，CD于点M，N，
∴∠OMB＝∠ONC＝90°，
又∵五边形BMONC的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠MON＝540°﹣∠OMB﹣∠ONC﹣∠B﹣∠C＝144°，
1
∴∠MPN= ∠MON=72°，
2
故选：C．
【典例2】（2024•东莞市三模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若
∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝40°，即可得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
360°
∴这个正多边形的边数= = 9．
40°
故选：C．【典例3】（2024•凤台县三模）如图，正三角形 ABC和正六边形ADBECF都内接于 O，连接OC，则
∠ACO+∠ABE＝（ ） ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
360° 360°
【分析】先求解∠AOC= =120°，∠ADB=∠DBE=180°− =120°，再进一步结合等腰
3 6
三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接AO，
∵正三角形ABC，
360°
∴∠AOC= =120°，
3
∵OA＝OC，
1
∴∠ACO= (180°−120°)=30°，
2
∵正六边形ADBECF，
360°
∴∠ADB=∠DBE=180°− =120°，DA＝DB，
6
1
∴∠ABD= (180°−120°)=30°，
2
∴∠ABE＝120°﹣30°＝90°，
∴∠ACO+∠ABE＝90°+30°＝120°，
故选：D．知识点7 弧长和扇形面积
1．弧长和扇形面积：
n nπR
①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则l= ·2πR=
360 180
对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量.
②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
n
③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S=
·πR2
=
360
nπR2
360
1
用弧长和半径R表示扇形面积：S= lR
2
注意：
①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.
②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长.
③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.
2．圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；
圆锥的高：连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高；
①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线 l，扇
形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S =πrl. S = πrl+πr 2 .
侧 全
②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式： r 2 +h 2 =l 2
③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为 r，其侧面展开扇形的nR
半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r=
360
【典例1】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的 O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则^AC的长为
（ ） ⊙
A．8π B．5π C．4π D．6π
【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠ADC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长
公式计算吗，得到答案．
【解答】解：连接OA、OC，
∵AB⊥CD，∠A＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°，
120π×6
∴^AC的长为： = 4π，
180
故选：C．
【典例2】（2024•惠州模拟）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝60°，∠ACD＝40°，若 O
的半径为5，则^DC的长为（ ） ⊙ ⊙13 10 1
A． π B． π C．π D． π
3 9 2
【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可．
【解答】解：连接OA、OD、OC，
∵∠B＝60°，∠ACD＝40°．
∴∠AOC＝2∠B＝120°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝40°，
40π×5 10
∴^DC的长= = π．
180 9
故选：B．
【典例3】（2023秋•海安市期末）如图，AB是 O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D； ⊙
（2）若CD=4❑√3，∠D＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角
相等，等量代换即可得证；
（2）利用垂径定理和勾股定理求出OE和OB的长，根据两边关系得到圆心角度数，利用扇形面积减去
三角形面积即可求得结果．
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：∵CD=4❑√3，∠D＝30°，∠B＝∠D，AB⊥CD，1
∴∠B＝30°，CE= CD＝2❑√3，∠CEB＝90°，
2
∴BC＝4❑√3，∠COE＝2∠B＝60°，
∴BE=❑√BC2−CE2=❑√(4❑√3) 2−(2❑√3) 2=6，∠OCE＝30°，
∴OC＝2OE，
1
∴OE= BE＝2，OB＝4，
3
60π×42 1 8π
∴阴影部分的面积为： − ×2×2 ❑√3= −2❑√3．
360 2 3
【典例4】（2024•沿河县一模）如图，已知AB是 O的直径，点C，D在 O上，∠D＝60°且AB＝6，过
点O作OE⊥AC交 O于点F，垂足为E． ⊙ ⊙
（1）∠CAB的度数⊙为 ；
（2）求OE的长；
（3）求阴影部分的面积．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，由直角三角形的性质得到∠CAB＝90°
﹣∠B＝30°；
1 3
（2）由AB＝6，得到OA＝3，由直角三角形的性质得到OE= OA= ；
2 2
（3）由△OEC≌△FEA（SAS），得到阴影的面积＝扇形OCF的面积，求出扇形OCF的面积即可．
【解答】解：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠B＝∠D＝60°
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°．
故答案为：30°．
（2）∵AB＝6，1
∴OA＝OC= AB＝3，
2
∵OF⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠BAC＝30°，
1
∴OE= OA＝1.5；
2
（3）∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵OF＝OA，
∴△OAF是等边三角形，
∴OE＝EF，∠AOF＝60°，
∵∠CEO＝∠AEF＝90°，
∴△OEC≌△FEA（SAS），
∴阴影的面积＝扇形OCF的面积，
∵∠B＝60°，OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝60°，
60π×32 3π
∴扇形OCF的面积= = ．
360 2
3π
∴阴影的面积= ．
2
【典例5】（2024•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角
是（ ）A．180° B．216° C．240° D．270°
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，
∴圆锥底面圆的半径为：❑√52−42=3（cm），
5nπ
∴2π×3= ，
180
解得n＝216°．
故选：B．
【典例6】（2023秋•清河区校级期末）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面
积为8π的圆锥体，则该扇形的母线的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据圆锥侧面积的计算公式进行求解即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
由题意得：2πl＝8π，
解得：l＝4，
故选：D．
【典例7】（2024春•阳明区校级月考）若一个圆锥的底面半径为1cm，圆锥的高为❑√15cm，则该圆锥的
侧面积为（ ）
A．❑√15cm2 B．4πcm2 C．16πcm2 D．14πcm2
【分析】先根据勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的母线长=❑√12+(❑√15) 2=4（cm），
1
所以这个圆锥的侧面积= ×4×2π×1＝4π（cm2）．
2
故选：B．
【典例8】（2024•河口区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC
于点E，将扇形ADE剪下来做成圆锥，若AB=BE=2❑√2，则该圆锥底面半径为（ ）
1 1
A． B． C．1 D．2
2 4
【分析】首先得到△ABE是等腰直角三角形，进而得到∠DAE＝45°，然后由勾股定理求出AE＝4，然
后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵AB＝BE＝3，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，AE=❑√2BE=4，
∴∠DAE＝45°，
∵扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长，
∴圆锥的底面圆的半径为r，
45×π×4
∴ =2πr，
180
1
∴解得r= ．
2
故选：A．
