数学答案_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_山西省长治市23届高三9月质检数学含答案

长治市 学年高三年级九月份质量监测 2022--2023 数学试题参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B D B B C A D C 二、多选题 题号 9 10 11 12 选项 A D A B D B C A B C 三、填空题 1 1 13. 45 14.[1,2) 15. e2 16.2 2 2 四、解答题（以下答案仅供参考，其它合理方法请阅卷教师酌情给分）  17.（本小满分 10 分）已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 所对的边, 0 A ， 2 3c 3asinCccosA （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a 2，△ABC的面积为 3，求b,c. 解：（1）由 3c 3asinCccosA及正弦定理得 3sinC  3sin AsinCsinCcosA…………………………2分  sinC 0, 3  3sin AcosA2sin(A )………………4分 6    2    0 A ,  A  ,A  ,A .……………5分 2 6 6 3 6 3 6 1  （2）由题得 3  bcsin ,bc 4 3，①…………………………7分 2 6  由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos ,4b2 c2 12②……………8分 6 由①②得b4 16b2 480，b2 4或b2 12，b2或b2 3.……9分 b2,c2 3或b2 3,c2.……………10分18. （本小满分12分）已知数列  a  的前n项和S 满足4S (a 3)(a 5)  nN，且a 0． n n n n n n (Ⅰ)求数列{a }的通项公式 n 1 1 1 (Ⅱ)若数列{b }满足  a (nN)，且b = ，求数列{b }的前n项和T ． n b b n 1 3 n n n1 n 解：（1）∵当n1时，4a (a 3)(a 5)a2 2a 15 1 1 1 1 1 ∴a2 2a 150 得a 3或a 5 1 1 1 1 ∵a 0 ∴a 5 ………………………2分 n 1 当n2时，4S (a 3)(a 5)， n n n 4S (a 3)(a 5)， n1 n1 n1 ∴4a a 2 2a a 2 2a 即a 2 2a a 2 2a 0 n n n n1 n n n n1 n ∴(a a )(a a 2)0 ………………………4分 n n1 n n1 ∵a 0 ∴a a 20 n n n1 ∴a 52(n1)2n3 ……………………………………………………6分 n 1 1 （2）  a (nN) b b n n1 n 1 1    a (1) b b 1 2 1 1 1  a (2) b b 2 3 2 ...... 1 1  a (n-1) b b n1 n n1 1 1 (n1)(52n1) (1)+(2)+...+(n-1)得：   a a …a  b b 1 2 n1 2 n 1 n22n3……………………………………………………………8分 1 1 又b  也满足b  1 3 n n  n2 1 b  ,nN . n n  n2  1 11 1  b     ………………………………………………………10分 n n  n2  2n n2 T b b b n 1 2 n 1 1 1 1 1 1   1      2 3 2 4 n n2 13 1 1  3n2 5n       ………………………………………12分 22 n1 n2 4  n1  n2  19.（本小满分12分）在矩形ABCD中（图1），AB2，AD1，E 为CD边上的中点，将ADE沿 AE折起，使得平面ADE 平面ABCE ，连接DB，DC形成四棱锥DABCE. D E C D E C A B A B （Ⅰ）求证：BE  AD. （Ⅱ）求平面BCD与平面AED夹角的余弦值. 解：（1）证明：在矩形ABCD中，AE  2 ，BE  2 所以AE2 BE2  AB2，故BE  AE. ..........................................（1分） 因为平面ADE 平面ABCE，且平面ADE平面ABCE  AE 所以BE 平面ADE ..........................................（3分） 又因为AD平面ADE，所以BE  AD.................................（4分） z （2）解：以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， D 2 2 则A（ 2，0，0），B（0，2，0），D（ ，0， ）. 2 2 E C 1 1 2 2 因为EC  AB  ( 2, 2,0)( , ,0)， 2 2 2 2 x A B y 2 2 则C( , ,0) ..........................................（6分） 2 2 2 2 2 2 BC ( , ,0)，BD( , 2, ) 2 2 2 2 设平面BCD的法向量为n (x,y,z)，则有 1 2 2  x y0  2 2  ，取n (1,1,3) ..........................................（9分） 1  2 2 x 2y z0   2 2 可取平面AED的法向量为n (0,1,0)..........................................（10分） 2 |n n | 11 设平面BCD与平面AED夹角为，则cos 1 2  |n ||n | 11 1 2 11 所以平面BCD与平面AED夹角的余弦值为 .............................（12分） 11 20.（本小题满分12分）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道 每道多项选择题均有两个或三个正确选项但根据得分规则 全部选对的得 分，部分选对的得 分，有选 错的得 分．这样，小明在做多项选择题时. ，可能选择一个∶ 选项，也可能选5 择两个或三个选项，2但不会选 择四个选0项． （Ⅰ）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测已知小明知道单项选择题的正确答案和随 1 机猜测概率都是 ，求小明该单项选择题正确的概率． . 2 1 （Ⅱ）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为 ，选择两个 2 1 1 选项的概率为 ，选择三个选项的概率为 已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四 3 6 . 个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择记 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数求 （ⅰ） ； . . ∶ （ⅱ） (的 分=布0)列及数学期望． 解：（ Ⅰ）记事件 为“题目答对了”，事件 为“知道正确答案”，则 ， ．.................... ......................（2分） ( | ) = 1 1 1 由 ( 全 | 概 ) 率 = 公4. 式 ( ： ) = ( ) = 2 ．................（5分） 1 1 1 5 （Ⅱ）设事件 表 示( 小) =明 选( 择) 了( 个| 选)+项 ，( ) ( ，| )，= 2×表1示+选2 到4的=选8项都是正确的． 由互斥事件的 概 率加法公式， = 1 2 3. .............(6分) ( = 0) = ( 1 )+ ( 2 )+ ( 3 ) .............(7分) = ( 1) ( | 1)+ ( 2) ( | 2)+ ( 3) ( | 3) .............(8分) 1 1 1 1 1 25 2 = 2×2+3×(1− 4)+6×1 = 36: .............(9分) 1 1 1 ( = 2) = ( 1 ) = ( 1) ( | 1) = 2×2 = 4:．.............(10分) 1 1 1 随(机 =变5量) =的 分( 布 2 列) =为 ( 2) ( | 2) = 3× 4 2 = 18 0 2 5 25 1 1 ．............3.(612分 4) 18 25 1 1 7 ( ) = 0×36+2×4+5×18 = 9 3 x2 y2 21. （本小满分12分）已知点P(1, )在椭圆C:  1(a b0)上，且点P到椭圆右顶点M的距 2 a2 b2 13 离为 ． 2 （Ⅰ）求椭圆C的方程； 1 （Ⅱ）若点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于M）且满足直线MA与MB斜率之积为 ．试判断直线 4 AB是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． x2 y2 1 9 解：（1）点P（1， ）在椭圆C:  1(a b0)上代入得：  1 a2 b2 a2 4b2 …………1分 13 13 9 点P到椭圆右顶点M的距离为 ，则  (a1)2  …………2分 2 2 4 解得a＝2，b＝ ， …………3分 故椭圆C的方程为 + ＝1． …………4分 （2）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y＝kx+m（k≠0），M(2,0)，A（x1 ，y1 ）， B（x2 ，y2 ）． 联立 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0． Δ＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（4k2﹣m2+3）＞0． ∴x1+x2 ＝ ，x1x2 ＝ ， …………6分 ∵直线MA与直线MB斜率之积为 ．∴ • ＝ ， ∴4（kx1+m）（kx2+m）＝（x1 ﹣2）（x2 ﹣2）．…………7分 化简得（4k2﹣1）x1x2+（4km+2）（x1+x2 ）+4m2﹣4＝0， ∴（4k2﹣1） +（4km+2） +4m2﹣4＝0， …………8分 化简得m2﹣2km﹣8k2＝0，解得m＝4k或m＝﹣2k． …………9分 当m＝4k时，直线AB方程为y＝k（x+4），过定点（﹣4，0）． m＝4k代入判别式大于零中，解得﹣ ＜k＜ （k≠0）． …………10分 当m＝﹣2k时，直线AB的方程为y＝k（x﹣2），过定点（2，0），不符合题意． …………11分 综上所述：直线AB过定点（﹣4，0） …………12分 1 e 22.（本小满分12分）设函数 f(x)2ax2 2alnx，g(x)  ，其中aR，e为自然对数的底 x ex 数． （Ⅰ）讨论 f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x1时，g(x)0； （Ⅲ）若不等式 f(x) g(x)在x(1,)时恒成立，求a的取值范围. 4ax2 1 解：(1) f x定义域为  0,  ， f(x) x 当a0时， fx0， f x在0,内单调递减； a  a  当a0时，由 fx0，得x ．当x0, 时， fx0， f x单调递减；   2a  2a   a  当 x ,时， fx0， f x单调递增．    2a  综上所述，当a0时， f x在0,内单调递减；  a   a  当a0时， f x在0, 上单调递减，在 ,上单调递增．……4分      2a   2a  （2）令sxex1x，则sxex11． 当x1时，s'x0，s(x)单调递增，s(x)>s(1)=0, 1 1 所以ex1 x，从而gx  0．…………………………6分 x ex1 注：令s(x)ex ex,x1也可以 （3）由（2）得，当x1时，gx0． 当a0时，x1时， f(x)2a(x2 1)lnx0 g(x)，不符合题意。………7分1 a 1  a  当0a 时，  1，由（1）得，当x1, 时， f(x) f(1)0 g(x)，不符合题   4 2a 4a  2a  意。…………………………8分 1 当a 时，令hx f xgx，x1．当x1时， 4 1 当a 时，令hx f xgx，x1． 4 1 1 e h'(x)=4ax   ． x x2 ex 1 1 1  x   ………9分 x x2 x 1 1 1 1   ………10分 x x2 x (x1)2  0 ………11分 x2 hx在区间1,上单调递增． 又因为h10，所以当x1时，hx f xgx 0，即 f xgx恒成立． 1  综上，a ,．…………………………12分  4 