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专题 11.2 与三角形有关角的几何综合
【典例1】【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．
【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①若∠ABC=28°，∠ADC=20°，求∠P的度数；
②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．
【问题探究】
（3）如图3，直线BP平分∠ABC的邻补角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE，
①若∠A=30°，∠C=18°，则∠P的度数为___________；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系．
【拓展延伸】
1 1
（4）在图4中，若设∠C=x，∠B= y，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、
4 4
∠B之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示∠P）
（5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠C、∠A的关系，
直接写出结论___________．【思路点拨】
（1）利用三角形内角和定理解决问题即可；
（2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②由①的结论即可得到数量关系；
（3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②与（3）中①相同；
（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可
解决问题；
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可
解决问题．
【解题过程】
（1）解：如图1中，
∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）解：①如图2中，
设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD= y，
{x+∠B= y+∠P)
则有 ，
x+∠P= y+∠D
∴∠B−∠P=∠P−∠D，
∴2∠P=∠B+∠D，1 1
∴∠P= (∠B+∠D)= (28°+20°)=24°；
2 2
②由①得：2∠P=∠B+∠D；
（3）解：①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE= y，
{ ∠P+x=∠A+ y )
则有，
∠A+180°−2x=∠C+180°−2y
∴2∠P=∠A+∠C，
1
∴∠P= ×(30°+18°)=24°；
2
故答案为：24° ；
②设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE= y
{ ∠P+x=∠A+ y )
则有 ，
∠A+180−2x=∠C+180−2y
∴2∠P=∠A+∠C；
（4）解：如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，
{ ∠P+β=∠C+α )
则有 ，
∠P+3α=∠B+3β
∴4∠P=3∠C+∠B ，
1
∴∠P= (3x+ y)，
4
1
故答案为∠P= (3x+ y)；
4
（5）解：如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE= y则有∠A+2x=∠C+180°−2y，
1
∴x+ y=90°+ （∠C−∠A），
2
∵∠P+x+∠A+ y=180°，
∴x+ y=180°−∠P−∠A，
1 1
∴∠P=90°− ∠C− ∠A；
2 2
1 1
故答案为∠P=90°− ∠C− ∠A．
2 2
1．（2023春·全国·七年级专题练习）探究：
1
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+ ∠A．
2
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明
你的结论．
（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图（1）△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上
的两点，
研究（1）：如果沿直线DE折叠，写出∠BDA′与∠A的关系，并说明理由．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点.
（1）若∠A=40°，则∠BOC= °；
（2）若∠A=n°，则∠BOC= °；
（3）若∠A=n°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点，∠ABO的平分线与∠ACO的平分线交于点
O ，⋯⋯，∠O BD的平分线与∠O CE的平分线交于点O ，则∠O = °.
1 2016 2016 2017 20174．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．5．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）在锐角ΔABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直
线的交点为P，∠BPC=110°，求∠A的度数．
（2）如图，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线，
∠APC=100°，则∠B=_________．
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如下图：∠ADC=130°，∠APC=100°，求∠B的度
数．6．（2023春·七年级单元测试）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，
∠ADC=16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
{∠P+∠3=∠1+∠B)
由（1）的结论得：
∠P+∠2=∠4+∠D
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
1
∴∠P = (∠B+∠D)=26°．
2
①【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
请猜想∠P的度数，并说明理由．
②【拓展延伸】
1 1
在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关
3 3
系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；
（2）若∠A=α，直线MN经过点D．
①如图2，若MN∥AB，求∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；
②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC−∠MDB的度数
是否会发生改变？若不变，求出∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理
由；
③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与
∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．8．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为射线CB上一点，过点D作
DE⊥AC于点E．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系；
（2）如图②，当点D在CB的延长线上时，DE⊥AC交CA的延长线于点E，探究∠BAC与∠EDC的数
量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且
∠AFG=∠CFG，∠BAF=∠BFA，延长ED，AB交于点K，求∠EKA的度数．9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将
△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
（1）如图1，当点G与点H重合时，请说明∠BAC=∠EHD；
（2）当点G落在△ABC外，且HE ∥ AD，∠GAB:∠CAD＝1:3
①如图2，请说明∠EHD＝4∠GAB；
②如图3，若 ，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度 ，则在这个旋转过程
∠B=30° α (0<α<180∘)
中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角α的度数10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所
成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画
个．
（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l
上，这样的等腰三角形能画 个．
想一想：如图2，△ABC中，∠A=20°，∠B=50° ，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这
样的直线最多可以画 条．
算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC=10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三
角形，试求∠B的度数．11．（2023秋·福建南平·八年级校考阶段练习）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的
三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角
形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”；
（2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A=40°，∠B=60°．求证：CD为△ABC的
“等角分割线”；
（3）在△ABC中，若∠A=50°，CD是△ABC的“等角分割线”，请求出所有可能的∠ACB的度数．12．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）探究题
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是______；
（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为
∠P=______；
（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=70°时，试求∠M+∠N的度数（提
醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
1 1
（4）如图4，如果∠MCD= ∠BCD，∠NDE= ∠ADE，当∠A+∠B=n°时，则∠M+∠N的度
4 4
数为______．13．（2023秋·山东青岛·八年级青岛超银中学校考期末）△ABC中，∠C=70°，点D，E分别是△ABC
边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
初探：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为______；
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为______．
再探：
（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系______；说明理由．
（5）若点P运动到△ABC的外部，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系______．14．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，
∠C=60°．
（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B=30°，∠C=60°，则∠EAD=__________°．
当∠B=50°，∠C=60°时，则∠EAD=__________°．
当∠B=60°，∠C=60°时，则∠EAD=__________°．
当∠B=70°，∠C=60°时，则∠EAD=__________°．
（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出
你发现的结论．15．（2023春·八年级课时练习）在△ABC中AD⊥BC于点D．
（1）如图1，若∠BAC的角平分线交BC于点E，∠B=35°，∠EAD=5°，求∠C的度数；
（2）如图2，点M、N分别在线段AB、AC上，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点E处，折痕
分别为DM和DN，点E、F均在直线AD上，若∠B+∠C=60°，试猜想∠AMF与∠ANE之间的数量
关系，并简要说明理由；
（3）在（2）小题的条件下，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度a(0°∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D，猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关
系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到
下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 a 15 20 30
上表中a=＿＿＿＿，于是得到∠EAD与∠B、∠C的数量关系为＿＿＿＿．
【变式应用】
（2）小明继续研究，在图2中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F
是线段AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B、∠C的数量关系：
【思维发散】
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 AB上”改为
“点F是EA延长线上一点”，其余条件不变，当∠ABC=88°，∠C=24°时，∠F度数为＿＿＿＿°．【能力提升】
（4）在图4中，若点F在AE 的延长线上，FD⊥BC于D，∠B=x，∠C= y，其余条件不变，从别作
出∠CAE 和∠EDF的角平分线，交于点P，试用 x、y表示∠P=＿＿＿＿．
