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第 3 课 简谐运动的回复力和能量
本课重点 （1）简谐运动的回复力特点，简谐运动过程中的能量转化。
本课难点 （2）简谐运动过程中的能量转化。
一、单选题。
1．如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动
到最高点时，弹簧正好处于原长，弹簧在弹性限度内，则物体在振动过程中( )
A．弹簧的最大弹性势能等于2mgA
B．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
C．物体在最低点时的加速度大小应为2g
D．物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg
2.公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在
竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为 T.取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即 t＝0时，
其振动图象如图所示，则( )
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
二、多选题
3.一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是( )
A.振子的加速度方向始终指向平衡位置
B.已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
C.若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍
D.振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等
4.如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以 O点为平衡位置，
在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t 时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为E.下列说
1 k
法正确的是( )A.如果在t 时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t－t 的最小值小于
2 2 1
B.如果在t 时刻物块的动能也为E，则t－t 的最小值为
2 k 2 1
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
5．一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图所示，已知弹簧的劲度系数为20 N/cm，则( )
A．图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5 N，方向指向x轴的负方向
B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向
C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动
D．在0～4 s内振子通过的路程为3.5 cm
三、计算题
6．一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何
变化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
7、如图所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：
(1)写出该振子简谐运动的表达式；
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？8．如图所示，两木块的质量分别为m、M，中间弹簧的劲度系数为k，弹簧下端与M连接，m与弹簧不
连接，现将m下压一段距离释放，它就上下做简谐运动，振动过程中，m始终没有离开弹簧，求：
(1)m振动的振幅的最大值；
(2)m以最大振幅振动时，M对地面的最大压力．参考答案
一、单选题。
1．解析：选A 因物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，此时弹簧弹力等于零，物体的重力 mg
＝F ＝kA，当物体在最低点时，弹簧的弹性势能最大等于2mgA，A对；在最低点，由F ＝mg＝ma知，C
回 回
错；由F －mg＝F 得F ＝2mg，D错；由能量守恒知，弹簧的弹性势能和物体的动能、重力势能三者的总
弹 回 弹
和不变，B错。
2.答案：C
解析：货物做简谐运动，合力的方向总指向平衡位置且回复力跟位移的大小成正比，货物受到重力和
车厢地板的支持力作用，那么当货物位于平衡位置下方时F ＝mg＋k|x|；当货物位于平衡位置上方时，有
N
F ＝mg－kx，所以在正向最大位移处，对车厢底板的压力最小，在负向最大位移处，对车厢底板的压力最
N
大，C项正确．
二、多选题
3.答案 ABD
解析 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子
的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为，弹簧的长度相
等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确.
4.答案 AC
解析 如果在t 时刻物块位于O点上方且向下运动，t 时刻物块位于O点下方且与t 时刻物块速度相
1 2 1
同，则t －t 的最小值小于，选项A正确；如果在t 时刻物块的动能也为E ，则t 时刻物块速度与t 时刻
2 1 2 k 2 1
大小相等，方向可能相同，也可能相反，t －t 的最小值小于，选项B错误；题图中O点是平衡位置，物
2 1
块通过O点时位移最小，根据a＝－知，其加速度最小，选项C正确；C、D两点关于平衡位置对称，加速
度等大反向，选项D错误.
5．答案 AB
解析 由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知，题图中 A点对应的时刻振子所受的回复力
大小为F＝kx＝2 000 N/m×0.002 5 m＝5 N，方向指向x轴的负方向，并且现在正在远离O点向x轴的正
方向运动，A、B 正确；由题图可读出周期为 2 s,4 s 内振子做两次全振动，通过的路程是 s＝0.5
cm×4×2＝4 cm，C、D错误．
三、计算题
6．答案 (1)－ cm (2)变大 变大 变小 变小 变大 (3)34 cm 2 cm
解析 (1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为x＝Asin (ωt－)＝－Acos ωt＝－2cos
t cm＝－2cos 100πt cm
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm.
(2)由题图可知在1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内经历个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm.
7、答案 见解析
解析 (1)由振动图象可得A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
则ω＝＝ rad/s
故该振子简谐运动的表达式为x＝5sin t cm
(2)由题图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不
断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3 s时，加速度达到最
大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为 4×5 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前
100 s振子的位移x＝0，振子的路程s＝25×20 cm＝500 cm＝5 m.
8．答案：(1)(8分) (2)Mg＋2mg(8分)
解析：(1)在平衡位置时，设弹簧的压缩量为x，
0
则kx＝mg.要使m振动过程中不离开弹簧，
0
m振动的最高点不能高于弹簧原长处，
所以m振动的振幅的最大值A＝x＝.
0
(2)m以最大振幅A振动时，振动到最低点，
弹簧的压缩量最大，为2A＝2x＝，
0
对M受力分析可得：F＝Mg＋k·＝Mg＋2mg，
N
由牛顿第三定律得，
M对地面的最大压力为Mg＋2mg.
