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专题13.13 等腰三角形（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图， 中， ， 是 边上的高， 是 延长线上一点， 平分 ，若
， ， ，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．两个等腰直角三角形如图所示摆放，连结 ， ，且相交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是 ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同
的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并△在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分 ABC的周
长，②AE是 ABD的角平分线，③AE是 ABD的中线．以上结论正确的有（ ） △
△ △
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝x°， ，且CD＝CA＝AB，则y与x之间
不可能存在的关系式是（ ）A．y＝90﹣ x B．y＝ x﹣90 C．y＝180﹣ x D．y＝120﹣ x
5．如图，在 中， 为 的平分线， ，垂足为 ，且 ， ， ，则
与 的关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在 中， ，点 在边 上，过点 作 ， ，交 ， 于 ，
两点，连接 ，以点 为顶点作 ，使得 ，下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在 中， ，边 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ， ，点 是边
的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ，若 ， ， 周长最小时， ， 之
间的关系是（ ）A． B． C． D．
8．如图，在△ABC的右侧以AC为边构造等腰Rt△ACD，其中∠CAD为90°，在BC的延长线上取一点
E，使∠ADE＝∠ACB．若DE＝BC，且四边形ACED的面积为8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．8
9．如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，过点 作 于点 ，连接
，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．过点 作 于点 ，则
10．如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到
△ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：
①△ABF≌△AEH；
②连接AG、FH，则AG⊥FH；
③当AD⊥BC时，DF的长度最大；
④当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．
其中正确的个数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，锐角 内有一定点A，连接 ，点B、C分别为 、 边上的动点，连接 、
、 ，设 （ ），当 取得最小值时，则 ________．（用含
的代数式表示）
12．如图，等腰 的直角顶点D恰好为等腰 底边 中点，且点E，F分别在AB，AC
上，若 ，则EF的最小值为 ．
13．如图，在直角三角形 中， ，D为线段 上一点，连接 ．过点A作 ，连
接 ，当 平分 时，延长 至点F使得 ，连接 ．若 且
，则 ．14．如图1是两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知 ，
， ，且点 ， ， 在同一条直线上， ， ，连接 ．现有
一只壁虎以 的速度从 处往 处爬，壁虎爬到 点所用的时间为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，点A为线段CE上一动点，以AO为斜边作等腰直
角 （点A、O、B以顺时针排列），点D在射线BO上，若以点D，C，O构成的三角形和 全
等，则 ．
16．如图， 是 的垂直平分线， ， ，设 ， ．
（1）若 ， ，则 °．
（2）已知 ，则α和β满足的数量关系是 ．
17．已知 中 ， ．取 中点 作等腰三角形 ，（如图所示），取 的中点作等腰三角形 ，再取 的中点 作等腰三角形 ，以此类推，（点 、 、 、 在
直线 上）则 °．
18．如图，已知 平分 平分 ，点 在 上，连接 交 于点 ，若
，以下四个结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
19．在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动：折纸，常常能为证
明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题．
将 （ ）沿 折叠，使点C刚好落在 边上的点E处．
（1）图1中， ，则 ___________； ___________；
（2）如图2，若 ，试说明： ．20．已知线段 ，如图1所示．在利用尺规作图探究三角形全等的判定方法的过程中，小颖的作图过程
是这样的：作 ，在射线 上截取 ，以 为圆心，以长为 的半径画弧，交射线
于点 （点 在点 左侧）．连接 ．
（1）请在图2中，利用尺规补充完整小颖的作图过程；
（2）在（1）完成的作图中，直接写出 与 中，相等的角和相等的边；
（3）在（1）完成的作图中， 与 之间的大小存在怎样的数量关系？请用等式表示出来，并
说明理由．21．（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）
如图，已知 ， ，作 且 ，联结 ，过点 作 的垂线（垂足为点
），与过点 作 的垂线交于点 ，联结 ．
（1）求证： 是等腰直角三角形；
（2）连接 ，求证： 平分 ．
22．如图， 与 交于点B， 与 交于点D，连接 ， ．
（1）若 于D， 于B， ，求 的度数．
（2）若 是等腰三角形， ， 平分 ，试说明 的理由．
23．如图，在 中， ，点D，E分别在边 ， 上，连接 ， 交于点F，．
（1）说明： ；
（2）若 平分 ， ， ，求 的面积；
（3）判断 ， ， 之间的数量关系，并加以说明.
24．如图，在 中， ，过点A作 于点D，E为 边上一点，且 ，过
点E作 于点F．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若G为线段 的中点，连接 ．
（i）试判断 的形状，并说明理由；
（ii）连接 ，记 的面积分别为 ，若 ，求 的值．参考答案
1．B
【分析】过点C作 于点F，易证 （AAS），得到 ，
， ，进而得到 ，因此 ．由于
得到 ，又
，得到 ，因此 ，所以 ．由 得 ，变形
得到 ．
【详解】如图，过点C作 于点F
是高，平分
在 和 中
（ ）
， ，
∵在 中， ，又
，
，即
故选：B
【点拨】本题只要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，正确作出辅助线是解题的关
键．
2．C
【分析】利用 证明 ，得到 进而推出 ，得到
，推出 ，利用同底得到三角形的面积比等于高线比，进行判断即可．
【详解】解：∵ 均为等腰直角三角形，∴ ， ，
∴ ，故 选项正确；
∴
∵
∴ 故B选项正确；
∴
即： ，
∴ ，故D选项正确；
∵ ，
∴ ；故C选项错误；
综上，错误的为C选项；
故选C．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角
形全等，是解题的关键．
3．B
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可得AC+CE=AB+BE，进而可以判断①正确；根据AD是
ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，可得DF=DC，然后证明Rt ADF≌Rt ADC，可得AF=AC，然后根
△据线段的和差可得BE=DE，可得AE是 ABD的中线，进而判断③正△确，若②△也成立，则AE⊥BC，茅盾，
故②不成立即可解决问题． △
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A→B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，
∴AC+CE=AB+BE，
∴AE平分 ABC的周长，故①正确；
∵AD是 A△BC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，
∴DF=D△C，
在Rt ADF和Rt ADC中，
△ △
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴AF=AC，
∵∠B=45°，∠DFB=90°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF=BF，
∴AB=AF+FB=AC+CD，
∵AC+CE=AB+BE，
∴AB+BE=AC+CD+DE，
∴BE=DE，
∴AE是△ABD的中线，故③正确，
∵BE=DE，若AE是 ABD的角平分线，则AE⊥BC，
而AE不垂直BC，△
∴AE不是 ABD的角平分线，故②错误．
综上所述，△结论正确的有①③．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到
Rt△ADF≌Rt△ADC．
4．D
【分析】分三种情况：当点D在边BC上时，当点D在BC的延长线上时，当点D在CB延长线上时来求
解．①由 ，可表示出 的度数，又由三角形外角的性质，可得 ，则可
得 ，进而求出y与x的关系式；②先确定出 ，最后根据三角形的内角和
得出y与x的关系式；③同①②的方法即可得出y与x的关系式即可求解．【详解】解：①当点D在边BC上时，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即： （取等号时B、D重合）；
②当点D在BC的延长线上时，
如图1．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即： ；
③当点D在CB延长线上时，
如图2．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，
∴ （取等号时B、D重合）．
综上所述，y与x之间存在的关系式是： 或 或 ，所以A、B、C项正
确，
故选：D．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角的性
质，关键是分三种情况讨论：：当点D在边BC上时，当点D在BC的延长线上时，当点D在CB延长线上
时．
5．C
【分析】延长AE交BC于F，根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝
90°，根据全等三角形的性质得到BF＝AB＝5，AE＝EF＝3，∠BAE＝∠BFE，推出AF＝CF，根据等腰三
角形的性质得到∠CAF＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：延长AE交BC于F，如图所示：
∵BD为∠ABC的平分线，AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，
在△ABE与△FBE中， ，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴BF＝AB＝5，AE＝EF＝3，∠BAE＝∠BFE，∴AF＝AE+EF=6，
∵BC＝11，
∴CF＝BC-BF=6，
∴AF＝CF，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠AFB＝∠CAF＋∠C＝2∠C，
∴∠BAE＝2∠C，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的
作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．D
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断A；证明△BEG≌△EDF，即可判断②；得到
BG=EF，再由 ，得到∠A=∠BEG=∠EDF，即可判断③；证明△AEF≌△EGB得到AE=EG，则
，即可判断④．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵ ，
∴∠BDE=∠ACB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，故①正确；
∵ ，
∴∠BEG=∠EDF，
又∵∠1=∠2，EB=DE，
∴△BEG≌△EDF（ASA），故②正确；
∴BG=EF
∵ ，
∴∠A=∠BEG=∠EDF，故③正确；
∵∠AED=∠1+∠EGB=∠2+∠AEF，
∴∠BGE=∠AEF，
又∵BG=EF，∠1=∠AFE，∴△AEF≌△EGB（ASA），
∴AE=EG，
∴ ，故④正确，
故选D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相关
知识是解题的关键．
7．C
【分析】连接AP，根据线段垂直平分线的性质可知PA=PC， ．由 ，
即得出 ，由此可知当A、P、D在同一直线上时， 最小．再根据等腰三角形“三
线合一”的性质可知AD为 的平分线，即 ．最后根据三角形外角性质即得出
，由此即可判断 ．
【详解】如图，连接AP，
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，
∴PA=PC， ．
∵ ,
∴ ．
由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时， 最小，即为 的长，
∴此时 最小．
∵D是边BC的中点，AB=AC，
∴AD为 的平分线，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ．故选C．
【点拨】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性
质．根据题意理解当A、P、D在同一直线上时 最小是解题关键．
8．B
【分析】连接AE，根据SAS证明 ，得出 ，求出 为等腰直角三角
形，即可求出AB的长．
【详解】
如图，连接AE，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，即 ，
解得： ．
故选：B．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线，找全
等三角形进行代换是解题的关键．
9．A
【分析】如图1中，作 于 ．只要证明 即可；如图2中，作 于 ．只要证
明 即可得出 错误；因为 ，推出点 在线段 的垂直平分线上，当
时，也能找到这样的点 ；如图3中，在 上取一点 ，使得 ，欲证明 ，只要
证明 ，只要证明 即可．由于缺少条件无法证明 ，故 错误，
【详解】解：A、如图1中，作 于 ．
， ，
，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
，故A正确，符合题意；
B、如图2中，作 于 ．同理可知 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，故B错误，不符合题意．
C、 ，
点 在线段 的垂直平分线上，
当 时，也能找到这样的点 ．
故C错误，不符合题意；
D、如图3中，在 上取一点 ，使得 ，欲证明 ，只要证明 ，只要证
明 即可．
由于缺少条件无法证明 ，故D错误，不符合题意，
故选：A．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．A
【分析】根据SAS可证△ABF≌△AEH，可判断①；证AF＝AH，FG＝HG，可证AF垂直平分FH，可判断
②；当AF最小时，DF最长，即AD⊥BC时，DF最大．可判断③；S AFGH＝2S AGH＝2×
四边形
△
＝GH×AH，可判断④．
【详解】解：①在△ABF和△AEH中，
，
∴△ABF≌△AEH（SAS），故①正确；
②∵△ABF≌△AEH，
∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH，
∴∠DFG＝∠CHG，
∵AD＝AC，
∴DF＝CH，
∴△DFG≌△CHG，
∴FG＝GH，
∴AG垂直平分FH，故②正确；
③由DF＝AD﹣AF，
∵AD是定长，
∴AF最小时，DF最长，
即AD⊥BC时，DF最大．故③正确；
④当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，∵AF＝AH，FG＝GH，
且AG是公共边，
∴△AFG≌△AHG（SSS）
∴S AFGH＝2S AGH＝2× ＝GH×AH，故④正确．
四边形
△
故选A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、垂线段最短、等腰三角形
的性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
11．
【分析】当 取得最小值时，即三点共线，作图，把真正的点B、C作图出来即图中的点 和
的位置，连接 ， ，解答即可．
【详解】解：作A关于 和 的对称点，分别记作 和 ，连接 分别交 和 于点 和 ，
连接 ， ，如图所示：
∵作A关于 和 的对称点，分别记作 和 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∵作A关于 和 的对称点，分别记作 和 ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
即 ，
∵作A关于 和 的对称点，分别记作 和 ，
∴ ， ，
∵当 取得最小值时，即三点共线，
此时 ，
即当 取得最小值时，则 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查的是线段最短以及垂直平分线的性质内容，正确理解题意并正确作图是解题的关
键．
12．
【分析】当 时， 最小，此时可求出 的最小值.
【详解】解：∵三角形 为等腰直角三角形，
∴ ,
又∵D为等腰 底边 的中点，
∴当 最小时， 最小，此时 ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握相关性质，此类题目便可迎刃而解．
13．1.8【分析】延长 到点G，使 ，证明 ，得 ，再证明
，然后根据 即可求出 的长．
【详解】延长 到点G，使 ，则 ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 时，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1.8．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，以及平行线的性
质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
14．6
【分析】通过证明三角形全等从而证明 ，再求出时间即可．
【详解】∵ 、 为等腰直角△
∴
∵ ,
∴
∴
在 和 中
∵
∴
∴
∴时间为：
故答案为6
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．
15． 或 / 或
【分析】由点的坐标得出 ，则 ，分两种情况画出图形，若
，若 ，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：∵点 ， ，
∴ ，
∴ ，
①如图1，若 ，此时点A与点E重合，∴ ；
②如图2，若 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综合以上可得 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，坐标与图形的性
质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ，由线段和差关系可证 ，可得 ，由三角
形内角和定理可得结论．
【详解】解：（1） 是 的垂直平分线，
， ，
， ，
∵ ，
∴ ，
，
， ，
，，
在 和 中，
，
∴ （ ），
，
故答案为：60；
（2）由（1）可知： ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，灵活
运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．
【分析】根据三角形外角定理推理出规律即可得到答案．
【详解】由题知，后续所作的三角形都是等腰三角形，得：
，
，
，，
……
则 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质与规律问题，能准确找到规律并运用好三角形外角定理是关键．
18．①②④
【分析】根据三线合一定理得到 ， ，由此即可判断①；证明
得到 ，进而推出 ，利用三角形内角和定理可得
，即可判断②；由全等三角形的性质可得， ，进一步证明
，得到 ，即可推出 ，即可判断③；再证明
，由三角形外角的性质即可得到 ，即可判断④．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ， ，故①正确；
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确；
故答案为：①②④．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，三角形外角的性质，三角形内角和定
理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．(1)2，12
（2）见解析
【分析】（1）根据折叠性质和三角形的面积公式求解即可；
（2）由折叠性质和三角形的外角性质证得 ， ， ，再根据等角对等边证得
，进而可证得结论．
【详解】（1）解：由折叠性质得： ， ，，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：2，12；
（2）解：由折叠性质得 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．【点拨】本题考查了折叠性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠性质是解答的关
键．
20．(1）见解析
（2）相等的角为： ，相等的边为
(3) ，理由见解析
【分析】（1）按要求作图即可；
（2）根据操作及等边对等角即可求解；
（3）利用平角定义即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）由作图过程可知： ，
则 ，
即：相等的角为： ，相等的边为 ；
（3） ，理由如下：
由（2）可知， ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查尺规作图——作线段，等边对等角等知识点，根据题意作出图形是解决问题的关键．
21．(1）见解析
（2）见解析
【分析】（1）由等角的余角相等可得 ，由
可得 ，通过 证明 ，得
到 ，即可得证；
（2）连接 ，作 ，交 于 ，通过 证明 得到，即可得证．
【详解】（1）证明： ，
，
（对顶角相等），
（等角的余角相等），
，
，
在 和 中，
，
，
（全等三角形的性质），
，
是等腰直角三角形（等腰直角三角形的判定）；
（2）证明：如图，连接 ，作 ，交 于 ，
，
由（1）可得： ， ，
，
，
在 和 中，
，
（三角形全等的判定），（三角形全等的性质），
（等边对等角），
，
平分 ．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定，角平分线的判定，熟练掌握
三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定，角平分线的判定，添加适当的辅助线，是解题的关
键．
22．(1)
（2）见解析
【分析】（1）证明 ，再利用平行线的性质可得答案；
（2）证明 ， ，可得 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵ 于D， 于B，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴
（2）∵ 是等腰三角形， ，
∴
又∵CB平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定方
法是解本题的关键．
23．(1）见解析
(2) 的面积为45
(3) ；理由见解析
【分析】（1）根据 ， ， ，即可证明结论；
（2）过点F作 于点G，求出 ，得出 ，证明，根据角平分线的性质得出 ，根据三角形面积公式求出 ；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，
证明 ，得出 ，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点F作 于点G，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ；理由如下：
在 上截取 ，连接 ，如图所示：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，角平
分线性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明 ，
．
24．(1）证明见解析
(2)（i） 是等腰直角三角形，理由见解析；（ii）
【分析】（1）根据垂直的定义得到 ，再根据同角的余角相等证明 ，
由此即可证明 ；
（2）（i）如图所示，连接 ，先证明 是等腰直角三角形，得到 ，再由三线合
一定理得到 ，进而证明 ，可证明 ，得到
，再证明 ，即可证明 是等腰直角三角形；（ii）如图所示，延长 交 于H，过点B作 于M，设 ，先得到
， ，证明 ，得到 ，则可得 ， ；证明
，得到 ，则 ；进一步证明 是等腰直角三角形，得到
，求出 则 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：（i） 是等腰直角三角形，理由如下：
如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵G为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ 是等腰直角三角形；
（ii）如图所示，延长 交 于H，过点B作 于M，
设 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与
判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
