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专题13.2 轴对称（分层练习）
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 与 关于直线 对称， 交 于点 ，下列结论① ；②
；③ 中，正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．如图，折叠后， 是 的中线的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 和 成轴对称，若 ， ，则 为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
5．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，
则铺设的管道最短的是（ ）A． B． C． D．
6．“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列四幅作品
分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AC是四边形ABCD的对称轴，若AD BC，则下列结论中正确的有（ ）
①AB CD； ②AB＝CD； ③AB＝BC； ④AO＝OC．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
8．已知：如图， ，点P在 的内部， ，点 与点P关于 对称，点 与点
P关于 对称，那么以 、O、 三点为顶点的三角形面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法确定
9．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿 折叠成图2，再沿 折叠成图3．若图1中，
，则图3中的 的度数是（ ）A．120° B．140° C．150° D．160°
10．如图，在等边 中，BC边上的高 ，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在
点E运动的过程中， 存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列命题中，正确的是( )
A．两个全等的三角形合在一起是一个轴对称图形
B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
C．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线
D．一条线段可以看做以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
13．如图，在Rt ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D， ABD与 ADB′关于直线AD对称，若
∠B′AC＝14°，则△∠B的度数为( ) △ △
A．38° B．48° C．50° D．52°14．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝
50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
15．如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下
去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝ 内部（不包含边界），则 的取值值范围是（
）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
△
17．已知点P与点 关于直线m成轴对称，则 与直线m的位置关系是 ．
18．如图所示，点P为 内一点，分别作出P点关于 的对称点 ，连接 交 于
M，交 于N， ，则 的周长为 ．19．如图，两个三角形通过适当摆放，可关于某条直线成轴对称，则 ．
20．如图，将长方形纸片 沿直线 折叠，点 的对应点为点 ， 与 交于点 ．若
，则 的度数是 ．
21．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有
对．
22．如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是
（填字母序号）
A． B． C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD D．AC与BD互相平分23．如图，在 中， ， ，D，E是 边上的点，连接 ， ，以
的边 所在直线为对称轴作 的轴对称图形 ，连接 ，若 ，则
．
24．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 沿过点A的直线折叠，使
得点B落在 上的点Q处，折痕为 ；再将 ， 分别沿 ， 折叠，此时点C，D
落在 上的同一点R处，则 的大小为 °．
25．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若
∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为 ．
26．下列图形：①长方形；②三角形；③圆．其中是轴对称图形的是 ．(填序号)
27．如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有 个．
28．如图，△ABC的边CB关于CA的对称线段是CB'，边CA关于CB的对称线段是CA'，连结BB'，
若点A'落在BB'所在的直线上，∠ABB'＝56°，则∠ACB＝ 度．
29．如图， ，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线
MN上的动点，点P关于OA对称的点为 ，点P关于OB对称的点为 ，当点P在直线NM上运动
时， 的面积最小值为 ．
30．如图，四边形 中， ， ， ，在 、 上分别找一点M、
N，当 周长最小时， 的度数是 ．
三、解答题31．如图， 和 关于直线 对称，已知 ， ， ．求 的度数及
、 的长度．
32．如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C
落在AB边的点E处，折痕为BD．
（1）求△AED的周长；
（2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数．
33．如图， 和 关于直线 对称， 和 的交点F在直线 上．
(1) 图中点B的对称点是点______， 的对应角是______；
(2) 若 ， ，求 的长度．34．已知三角形纸片 （如图），将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕分别与边 、 交于
点 、 ，点 关于直线 的对称点为点 ．
(1) 画出直线 和点 ；
(2) 连接 、 ，如果 ，求 的度数；
(3) 连接 、 、 ，如果 ，且 的面积为4，求 的面积．
35． 与 关于直线 对称，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ．
(1) 如图1，若 为直角，求证： ；
(2) 若 为钝角如图2， 为锐角如图3， 是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其
中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明；若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）．36．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条
桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人
从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比
赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是
还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张
晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以是轴对称图形；C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以不是轴对称图形．
故选：C．
【点拨】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【分析】根据轴对称的性质解答．
解：∵ 与 关于直线MN对称， 交 于点O，
∴ ， ， ，
综上，三个选项都正确，
故选：A．
【点拨】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的
关键．
3．C
【分析】根据 是 的中线，可推出点 是 中点，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可
求出答案.
解： 是 的中线，
是 中点，
，
由图可知，根据翻折性质，满足 的只有选项C.
故选：C.
【点拨】本题考查了三角形的中线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形.
4．C
【分析】根据成轴对称的性质结合三角形内角和定理可得结果．
解：∵ 和 成轴对称，
∴
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称的性质以及三角形内角和定理，根据轴对称的性质得出 是
解本题的关键．
5．C
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．解：作点B关于直线L的对称点C，连接AC交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，所需管道最短．
故选：C．
【点拨】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．
6．C
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图
形就叫做轴对称图形）依次进行判断即可得．
解：A、是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意；
B、是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意；
C、不是轴对称图形，选项说法错误，符合题意；
D、是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．
7．A
【分析】首先根据AC是四边形ABCD的对称轴，AD BC，得出∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠BAC，
BC=CD，进而可判断①②③，通过证明 可得出AO＝OC．
解：∵AC是四边形ABCD的对称轴，AD BC，
∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠BAC，BC=CD，
∴∠BAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ACD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴AB=BC，AB CD，
∵BC=CD，
∴AB=CD，
∴①②③正确；
在 和 中，∴ ，
∴AO＝OC，
∴④正确，
故选：A．
【点拨】此题考查了轴对称的性质，三角形全等的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握以上知识点．
8．B
【分析】根据题意画出图形，证得 ， ，求出
，直接利用面积公式计算即可．
解：如图，
∵点 与点P关于 对称，点 与点P关于 对称，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴以 、O、 三点为顶点的三角形面积是 ，
故选：B．
【点拨】此题考查了轴对称的性质：对应点与对称中心所连线段相等，对应点与对称中心连线的夹角被对称轴平分，熟记轴对称的性质是解题的关键．
9．A
【分析】图1中，由题意知 ，求出图2中 ，图3中根据
求出度数．
解：图1中，∵矩形对边 ，
∴ ，
在图2中， ，
在图3中， ．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的
角相等是解题的关键．
10．B
【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得
CF的长，即为FE+EB的最小值．
解：如图，连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴BE+EF=CE+EF，
∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=6，
即EF+BE的最小值为6．
故选：B
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质
以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
11．B
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重
合．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
12．D
解：A两个全等三角形合在一起不一定是轴对称图形，需要看实际组合成什么样的图形；
B中应该为底边上的中线所在的直线；
C应该是底边的垂直平分线被三角形所截取的线段；
故选：D．
13．D
【分析】通过对称的性质得到 ，结合 计算得 ，进
而用余角进行计算．
解：∵∠BAC＝90°，∠B′AC＝14°，
∴ ，
∵ ABD与 ADB′关于直线AD对称，
△ △
∴ ，
∵AD⊥BC，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点晴】本题考查对称以及直角三角形中角的转化与计算，解题的关键是掌握对称的性质．
14．B【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接
BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知， ，
即BE+EF的值最小为 ，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求
出AE′B′即可．
解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接
BE′，如图：
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
在△ABG和△AB′G中，
，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G， AB＝AB′，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
在△ABE′和△AB′E′中，
，
∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），
∴∠AE′B＝AE′B′，∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°，
∴∠AE′B＝115°．
即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°．
故选B．
【点拨】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外
角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置．
15．D
【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可；
解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°，
第二次翻折后3a+∠BDC=180°，
第三次翻折后4a+∠BDE=180°，
第四次翻折后5a+∠BDC=180°，
若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°，
若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°，
当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上，
∴30°＜a＜36°，
故选：D；
【点拨】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规
律是解题关键．
16．5
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；
解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，
∴S CEF=S BEF，
△ △
∴阴影部分的面积= S ABC= ×10=5，
△
故答案为：5；
【点拨】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键．
17．垂直
【分析】点P与点 关于直线m成轴对称，即线段 关于直线m成轴对称；根据轴对称的性质，有直线m垂直平分 ．
解：点P和点 关于直线m成轴对称，则直线m和线段 的位置关系是：直线m垂直平分 ．
故答案为：垂直．
【点拨】此题考查了对称轴的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个
图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
18．15
【分析】根据轴对称的性质得到 ，据此利用三角形周长公式求解即．
解：∵P点关于 的对称点 ，
∴ ．
∴ 的周长为 ．
故答案为：15．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
19．75
【分析】根据轴对称的性质找到对应角，再利用三角形内角和定理即可得到答案．
解：根据图形可知，所求角与第一个图形的未知角是对应角，
，
故答案为：75．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，准确找出对应角是解题关键．
20．24°/24度
【分析】根据折叠的性质，得到 ， ，三角形内角和求出 ，平行线
的性质，得到 ，即可得解．
解：∵将长方形纸片 沿直线 折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：24°．【点拨】本题考查折叠的性质，三角形的内角和．熟练掌握折痕为角平分线，对应角相等，是解题的
关键．
21．4
解：关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，则有 和 ， 和 ，
和 ， 和 共4对．
考点：轴对称图形．
22．D
【分析】由轴对称的性质和平行四边形的判定与性质即可得出结论．
解：∵△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，l垂直平分AB，且l垂直平分CD，故选项A、B、C正确；
∵四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴AC与BD不一定互相平分，故选项D不一定正确；
故答案为：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与
性质和轴对称的性质是解题的关键．
23．60
【分析】根据对称得出 ，根据全等三角形判定的“ ”定理即可证得 ，得
出 ，求出 ，根据对称得出 ，代入求出即可．
解： 与 是关于 的轴对称图形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
与 是关于 的轴对称图形，，
即 ，
故答案为：60．
【点拨】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称图形的性质和三
角形全等的判定是解题的关键．
24．30
【分析】根据折叠得出 ，证明 ，求出 ，根据折叠得
出 ，根据平行线的性质求出 ，根据折叠求出
，即可得出答案．
解：根据折叠可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据折叠可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
根据折叠可知， ，
∵ ，
∴ ，
根据折叠可知： ， ，
∴ ，
即 ，
故答案为：30．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键
是根据折叠得出 ，证明 ．
25．130度/130°【分析】根据等边三角形的性质得出∠FAE的度数，再根据三角形外角的性质得出∠AFB的度数即
可．
解：∵△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，
∴∠EAF＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°，
∵∠AEB＝100°，
∴∠AFB＝∠AEB＋∠EAF＝30°＋100°＝130°，
故答案为：130°．
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
26．①③
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：①是轴对称图形；②不一定是轴对称图形；③是轴对称图形；
故选答案为：①③．
【点拨】考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可
重合．
27．3
【分析】如图，把 沿直线 对折可得： 把 沿直线 对折，从而可
得答案.
解：如图，把 沿直线 对折可得：
把 沿直线 对折可得：
所以符合条件的点有3个，
故答案为：3【点拨】本题考查的轴对称的性质，全等三角形的概念，掌握“利用轴对称的性质确定全等三角形”
是解本题的关键.
28．28°
【分析】根据对称性可判断出BB'⊥AC，先求出∠BAC＝34°，再根据对称的性质判断△A'CB≌△ACB，
最后根据∠ACA'＝2∠ACB即可求解．
解：连接BA'，AC与BB'交点为O，
∵CB关于CA的对称线段是CB'，
∴BB'⊥AC，
∵∠ABB'＝56°，
∴∠BAC＝34°，
∵边CA关于CB的对称线段是CA'，
∴△A'CB≌△ACB，
∴∠BA'C＝∠BAC＝34°，
∴∠ACA'＝2∠ACB＝56°，
∴∠ACB＝28°，
故答案为28°．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的
关键．
29．8
【分析】连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，先利用三角形的面积公式求出 ，再
根据轴对称的性质可得 ， ， ，从而可得 ，然后
利用三角形的面积公式可得 的面积为 ，根据垂线段最短可得当点 与点 重合时， 取得最小值， 的面积最小，由此即可得．
解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∵点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点为 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
∴ 的面积的最小值为 ，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
30．128°
【分析】分别作点A关于BC、DC的对称点E、F，连接EF、DF、BE ，则当M、N在线段EF上时
△AMN的周长最小，此时由对称的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质即可求得结果．
解：分别作点A关于BC、DC的对称点E、F，连接EF、DF、BE，如图由对称的性质得：AN=FN，AM=EM
∴∠F=∠NAD，∠E=∠MAB
∵AM+AN+MN=EM+FN+MN EF
∴当M、N在线段EF上时，≥△AMN的周长最小
∵∠AMN+∠ANM=∠E+∠MAB+∠F+∠NAD=2∠E+2∠F=2(∠E+∠F)=2(180° ∠BAD)=2 (180° ° °
故答案为：128° − × −116 )=128
【点拨】本题考查了对称的性质，两点间线段最短，三角形内角和定理与三角形外角的性质等知识，
作点A关于BC、DC的对称点是本题的关键．
31． ， 、
【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．
解： 和 关于直线 对称，
， ， ，
又 ， ， ．
， ， ，
【点拨】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等．
32．（1）7cm；（2）65°
【分析】（1）先根据折叠的性质可得BE=BC，DE=CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长
=AC+AE，即可得出答案；
（2）由折叠的性质可得∠C=∠DEB=100°，∠BDE=∠CDB，由三角形的外角性质可得∠ADE=50°，即可求
解．
解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴△AED的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7（cm）；
（2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB，
∵∠DEB＝∠A＋∠ADE，∴∠ADE＝100°﹣50°＝50°，
∴∠BDE＝∠CDB＝ ＝65°．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，三角形的外角性质，三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的
解题的关键．
33．(1)D； ；(2)3
【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可；
（2）根据轴对称的性质得 ，从而即可求解．
（1）解：图中点B的对称点是点D， 的对应角是 ，
故答案为∶ D， ；
（2）解：∵ 和 关于直线 对称，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．如果两个图形关于某直线对称，
那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，两个图形的对应线段，对应角，分别相等．
34．(1)见分析；(2) ；(3)28
【分析】（1）根据折叠的性质画出图形；
（2）根据折叠的性质可得 ，再由 ，可得到 的度数，再由对顶角相
等，即可；
（3）根据折叠的性质得到 ， ，根据等高的两个三角形的面积比等于底的比
求出 的面积，进而得到 的面积，即可．
（1）解：如图，直线 和点 即为所求；
（2）解：∵点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，
由折叠的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是翻折变换的性质、三角形的面积计算，掌握翻折变换是轴对称、翻折前后图形
的对应边、对应角相等是解题的关键．
35．(1)证明见分析；(2)结论：若 为钝角， 成立；若 为锐角， 不一定成立，
理由见分析
【分析】（1）根据对称的性质可得 ， ， ，证明
，根据全等的性质可得 ，即可得证；
（2）结论是：若 为钝角， 成立；若 为锐角， 不一定成立．
当 为钝角时，补全图形如图2：
过 作 ，交 的延长线于点 ，作 ，交 的延长线于点 ，根据对称的性质可得 ，证明 ， ，可得 ，
，即可得证；
当 为锐角时如图3，上述结论不一定成立，画出反例如图即可．
解：（1）证明：∵ 与 关于直线 对称， 为直角，
∴ ， ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：结论：若 为钝角， 成立；若 为锐角， 不一定成立．
证明：当 为钝角时，补全图形如图2：
过 作 ，交 的延长线于点 ，作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ 与 关于直线 对称，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
当 为锐角时如图3，上述结论不一定成立，画出反例如图，
以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ， ，
可得： ， ．
【点拨】本题考查对称的性质，全等三角形的判定和性质，运用了分类讨论的思想．结合题意画出图
形是解题的关键．
36．有，捷径见分析
【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点 ， ，连接 ，交两长条桌于C，D两点，则折线
就是捷径．
解：如下图，
假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．
因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点 ， ，连接 ，交两长条桌于C，D
两点，则折线 的长度等于 的长度，
连接 ，则 ，在 中，由三角形三边故选可得： ，
所以 折线 的长，
即折线 就是捷径．
【点拨】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到 A，B的对称点，，连接，得出
C，D两点．
