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专题 13.4 轴对称中的最值问题
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 典例分析
【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到
B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两
个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段
A′B的长．
（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________；
（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两
点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右
侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．
【思路点拨】
（1）根据轴对称的性质作出图形；
（2）根据两点之间线段最短解答；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAE(SAS)，根据全等的性质和三线合一
可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的
对称的M，连接FM交CE于E′，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值
1
是AF+AE+EF=AF+MF= a+b，∠CFE=90°．
2
【解题过程】
（1）解：作图如下：
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，
连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，
连接OM、ON，如图，
由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，
∠MON=2∠AOB=60°，
∴△MON为等边三角形，
∴MN=12，
∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；
②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E′，如图，
此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM=FB=b，
1
∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF= a+b，∠CFE=90°．
2
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，
CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值
是（ ）
A．6 B．5 C．4.8 D．42．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=15,△ABC的面积为90，BD平分∠ABC
，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．9
3．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，点
D在边AC上，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，BC上方
1
有一动点P满足S = S ，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
△PBC 2 △ABC
A．60° B．45° C．30° D．不确定
5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，
AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则
∠AMN+∠ANM的度数为（ ）A．76° B．84° C．96° D．109°
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，∠AOB=18°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、
Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α=
．
7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知∠AOB=30°，点P是射线OA上的一个动点，点
PM
M是射线OB上的一个定点，PQ为点P到OB边的距离，则当PM+PQ最小时， = ．
PQ
8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，
AD=4，DC=3，BD=2．点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S = ．
△EDC9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4，射线
CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，
则AB的长为 ．
10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，点P，Q
分别在边AB，BC上，则AQ+PQ的最小值为 ．
11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P为边BC上方的
1
一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为 ．
212．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P
为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小时，则∠PMO的度数为 ．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线
且AD=12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．
7
14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC= ，△ABC的面积
2
是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△≝¿周长的最小值是 ．
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15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为 的锐角△ABC中，AB= ，∠C=30°，D是
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△ABC内部一点，E，F分别是边BC,AC上的动点，连接AD,BD,DE,DF,EF．若△ABD的面积为
1，则△≝¿周长的最小值为 ．16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在∠AOB内部，点M，N分别是边OA，OB上的动
点，点M，N不与点O重合．
（1）若将点P在∠AOB的内部移动位置，使OP平分∠AOB，当PN∥OA，ON=2时，PN的长等于
；
（2）若∠AOB=60°，OP=a，随着点M，N位置的变动，当△PMN周长最小时，点O到直线MN的距
离等于 ．（用含a的代数式表示）
17．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排
开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．问：在什么位置
列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？
18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把
直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l
上存在点P，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B，A′B与直线l的交点即为点P．此时PA+PB的值最小．
模型应用：
（1）如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH=8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则PD+PB的最小值为 cm．
模型变式：
（2）如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得
PO=10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．
19．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段
AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；
（2）当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P为直线CF上一动点．当
PE−PD的值最大时，请探究表示PE，PD与AB之间的数量关系并说明理由．20．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D是线段BC的中点，
过点D作射线DE和射线DF，分别交边AB，AC于点E，F，∠AED+∠AFD=180°．
（1）∠AED与∠CFD相等吗？为什么？
（2）DE与DF相等吗？为什么？
（3）如图2，若∠A=120°，∠EDF=60°，AB=10，试求EF+EC的最小值．（在直角三角形中，如
果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
