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专题14. 六类几何最值模型专项训练
本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。
1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形 边长为8，点 在对角线 上运动， 为
上一点， ，则 长的最小值为 ．
2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图， 中， ， ， 是 的角平分
线， 是 上的动点．（1）若 ，则 的长度为 ；（2）若 是 边上的动点，则
的最小值为 ．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形 的边长为4，点M在边 上， ，P为正方形
内（含边上）一点，且 ，G为边 上一动点，连接 ，则 的最小值为
．
4．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，菱形 ，P为对角线 上一动点，E为 边的中点，
连接 ．若菱形 的面积为 ， ，则 的最小值为 ．5．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，将线段
沿x轴平移得到 ，连接 ，则 的最小值为 ．
6．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，边 、
分别在 轴、 轴的正半轴上，点 、 在直线 上，且点 、 分别是 、 的中点．点
、 分别是 、 上的动点，且 ，若 ，则 的最小值为 ．
7．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形 的顶点O在坐标原点，顶
点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上， ， ，D为边 的中点．若E，F为边 上的两个动
点，且 ，当四边形 的周长最小时，点F的坐标为8．（23-24八年级下·广东广州·期末）在矩形 中， ， ，G，H分别是边AB与边
CD上的点，且 ．动点P从点D出发，沿 向点A运动，同时动点Q从点B出发，沿 向点
C运动，点P，Q的运动速度都是 ，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间
为t．连接 ， ， ， ．(1)如图1，求证：四边形 为平行四边形；(2)在点P，Q移动的过
程中，求四边形 周长的最小值；(3)如图2，当四边形 是菱形时，且 ，求t
的值．
9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边 中， ，将 沿 翻折，得到 ，
连接 ，交 于O点，E点在 上，且 ，F是 的中点，P是 上的一个动点，则
的最大值为 ．10．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形 中， 是对称轴 上的一
个动点，连接 将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则在点 运动过程中， 的最小
值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，已知等边 的边长为4，点D，E分别在边 ，
上， ．以 为边向右作等边 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
12．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图1，在等边三角形 中， ，点 分别在边
上，且 ，动点 从点 出发沿射线 运动，以 为边向右侧作等边三角形 ，
连接 ．(1)求证： 是等边三角形；(2)当点P在线段 上运动时，求 与 之间的数量关系；
(3)如图2，当点 在线段 的延长线上运动时． ① __________度；②当 时，求 的
长；(4)连接 ，直接写出 的最小值．
13．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图①，在 中， ， ， ，
点O为 内一点，连接 ， ， ，且 ，以点B为旋转中心，
将 绕点B顺时针方向旋转 ，得到 （点A，O的对应点分别为点 ， ），求：
(1) __________ ；(2)求 的值；(3)延伸迁移：如图②， 中， ，
， ，点P是三角形内一动点，请直接写出 的最小值．
14．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）问题情境：课堂上老师提出如下问题：如图，在等边 内有任
意一点 ，连接 ， ， ，将等边 分成三个小三角形．请利用三角板，将 以点 为旋
转中心，逆时针旋转 ，画出旋转后的图形．
(1)数学思考：请你按要求在图1中完成画图．(2)老师又给出了一组具体的数值， ， ，
，要求同学们求 的度数．请你利用在图1中画出的图形，完成解答．
(3) 深入探究：“智慧小组”的同学发现， 点的位置不是唯一确定的， ， ， 的长度只要满足
一定的关系， 的度数可以同上题②中的结论一样．请你写出三者之间应满足的关系：___（直接写出答案）
(4) “创新小组”的同学在“智慧小组”发现的基础上，又提出了新问题，并经过探索做出了猜想，得到了
老师的肯定．
新问题：设等边三角形的边长为4，当 的度数是多少时， 点就是唯一存在的呢？
探索过程：研究了将 以点 为旋转中心，顺时针旋转 所得到的图形．
猜想：当 的值最小时，可以求出 的度数，此时 点就是唯一的．请你求出这个最小
值是______，此时 的度数为______．（直接写出答案）
15．（2024·山东青岛·二模）（1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
如图1，在等边三角形 内部有一点P， ， ， ．求 的度数．
解：将 绕点A逆时针旋转60°，得到 ，连接 ，则 为等边三角形．
， ， ， ．
为______三角形 的度数为______．
（2）类比延伸：如图2，在正方形 内部有一点P，若 ，试判断线段 之间
的数量关系，并说明理由．
（3）联想拓展：如图3，在 中， ， ．点P在直线AB上方且 ，试
判断是否存在常数k，满足 ．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由，16．（2024九年级上·浙江·专题练习）问题提出
(1)如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．
问题探究：(2)在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决：(3)如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上修
一凉亭 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？若存在，请画出点
的位置，并求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
17.（2024·重庆校考一模）如图， ， ， ，点 为 上一点，连接 ，则
的最小值为 ．
18．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，
▱
中 ， ， ， 为边 上一点，则
的最小值为______．19．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2 ，点P是对角线AC上
的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
20．（2024·陕西西安·一模）如图，在 ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，D为BC边的中点，点E、F分别
是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE△，则BE+CF的最小值为 ．
21．（2024年湖北三模）如图，已知 ， ， ，点 ， 分别是 边
上的动点，满足 ．连接 ，则 的最小值为 ．
22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点 ， 和直线 ，如何在直线 上确
定一点 ，使 最小？将下面解决问题的思路补充完整．解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在 上任取一点 ，作
点 关于 的对称点 ， 与直线 相交于点 ．连接 ，易知 ______，从而有 ．
这样，在 中，根据“_______”可知 与 的交点 即为所求．
解决问题：（2）如图②，在 中， ， ， ， 为 上的两个动点，且
，求 的最小值．
变式研究：（3）如图③，在 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 上的
动点，且 ，请直接写出 的最小值．
23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点 在 轴上，动点 从点 出发，沿线段
方向匀速运动，运动到点 时停止．动点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同
的速度沿 轴正方向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，则 的最小值是
．24．（2023·河南新乡·一模）如图，在菱形 中， ，E、F分别是边 上的动点，连接
，G、H分别为 的中点，连接 ．若 的最小值为3，则 的长为 ．
25．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为 的正方形 中，点 为边 的中点，点
为边 上的动点，以 为一边在 的右上方作等边三角形 ，连接 ，则 的最小值为
．
26．（2023上·广东茂名·九年级校考期中）如图，在菱形 中， ， ， 是 边上一动
点，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
27．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ， ．点 为边上任意一点，连结 ，以 ， 为邻边作 ，连结 ，则 的最小值为
．
28．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形 中， ， ，点 ， 分别在边 ，
上，连接 ，点 关于 的对称点 在线段 上，则 的最大值为_________．
